資源簡介

第17課時　幾何初步、相交線與平行線
考點一　直線、射線與線段
直線、射線和線段的區別與聯系
項目 端點 屬性 表示方法 聯系
直線 無 無長度,不可度量 用兩個大寫字母表示(射線的表示要注意:頂點字母在前、方向字母在后),直線和線段也可以用一個小寫字母表示 射線、線段是直線的一部分
射線 1個 無長度,不可度量
線段 2個 有長度,可度量
兩個基本事實
(1)經過兩點,①　　　　一條直線.
例:如圖1,木工師傅畫直線.如圖2,墻上固定木條.
圖1　 　圖2
(2)兩點之間,②　　　　最短.
例:如圖,彎曲河道改直.
兩個概念
(1)兩點之間的距離:連接兩點之間的線段的③　　　　.
(2)線段的中點:如圖,線段AB上的點M,把線段AB分成兩條線段AM與MB.如果AM=MB,那么點M就叫做線段AB的中點,此時④　　　　=MB=AB,⑤　　　　=2AM=2MB.
線段的和與差
如圖1,AC=AB+⑥　　　　;
如圖2,AD=⑦　　　　-BD,⑧　　　　=⑨　　　　-　　　　.
圖1　 　圖2
① (人教七上P128變式)如圖,某工廠有三個住宅區,A,B,C各區分別住有職工15人、20人、45人,且這三個區在一條大道上(A,B,C三點共線),已知AB=1 500 m,BC=1 000 m.
(1)若D為線段BC的中點,則A和D之間的距離是 (　　)
A.3 000 m B.2 500 m C.2 000 m D.1 500 m
(2)若在B住宅區設置一個車站,那么三個住宅區的人步行到停靠點的路程之和是(　　)
A.120 000 m B.67 500 m C.62 500 m D.57 500 m
(3)為了方便職工上下班,該工廠打算從以下四處中選一處設置接送車停靠點,為使所有的人步行到停靠點的路程之和最小,那么該停靠點的位置應設在 (　　)
A.A住宅區
B.B住宅區
C.C住宅區
D.B、C住宅區中間D處
② 如圖,以O為端點,可以畫　　　　條射線,若一條射線與直線l相交,則這條射線還可能經過的點是　　　　.
考點二　角及其平分線
角的分類及關系
角的分類 若0°<α<90°,則α為銳角; 若α=　　　　,則α為直角; 若　　　　　　,則α為鈍角; 若α=180°,則α為平角; 若α=360°,則α為周角
度、分、 秒的換算 1周角=360°,1平角=180°, 1°=60',1'=60″, 角的度、分、秒是60進制
兩角間 的關系 互余 (1)如果α+β=90°,那么α與β互為　　　　. (2)性質:同角(或等角)的余角　　　
互補 (1)如果α+β=180°,那么α與β互為　　　　. (2)性質:同角(或等角)的補角　　　
角平分線的性質及判定
(1)概念:在角的內部,以角的頂點為端點的一條射線把這個角分成相等的兩個角,這條射線叫做這個角的平分線.
(2)定理:角平分線上的點到角兩邊的距離　　　　.
(3)逆定理:在角的內部,到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.
③ 如圖,O為直線AB上一點,∠DOE=90°.若∠AOC=58°,OD平分∠AOC.
(1)圖中小于平角的角的個數是　　　　,其中　　　　　　　　是∠DOC的余角.
(2)求出∠BOD的度數.
(3)請通過計算說明OE是否平分∠BOC.
考點三　相交線
三線八角
對頂角 ∠1與∠3,∠2與∠4,∠5與∠7,∠6與　　　　　. 性質:對頂角　　　
鄰補角 ∠1和∠3都與∠2,∠4互為鄰補角; ∠5和∠7都與∠6,∠8互為鄰補角. 性質:互為鄰補角的兩個角之和等于　　　
同位角 ∠1與　　　　,∠2與∠6,∠4與∠8,∠3與∠7
內錯角 ∠2與　　　　,∠3與∠5
同旁 內角 ∠2與∠5,∠3與　　　
垂線及其性質
垂 線 性質1 在同一平面內,過一點有且只有一條直線與已知直線垂直
性質2 連接直線外一點與直線上各點的所有線段中,　　　　最短
點到直線的距離 直線外一點到這條直線的垂線段的長度,叫做點到直線的距離
垂直平分線
(1)概念:經過線段中點并且垂直于這條線段的直線,叫做這條線段的垂直平分線.
(2)定理:線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離　　　　.
(3)逆定理:與一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的　　　　　　　　.
④ (原創)如圖,直線AB,CD相交于點O,OM平分∠AOC,ON⊥OM,連接MN交直線CD于點C.
(1)指出直線AB與CD相交形成的對頂角有哪些.
(2)在圖中找出∠BON的內錯角,并指明是哪兩條直線被哪條直線所截而形成的.
(3)指出∠AON的同旁內角.
(4)若∠BON=55°,求∠BOD的度數.
(5)當線段CO為點O到線段MN的最短距離時,直線CD與線段MN的位置關系是　　　　.
考點四　平行線的性質與判定
平行公理 經過直線外一點,有且只有一條直線與這條直線平行
平行公理 的推論 如果兩條直線都和第三條直線平行,那么這兩條直線也互相平行,即如果a∥c,b∥c,那么　　　
平行線的 性質和 判定 兩直線平行同位角　　　
兩直線平行內錯角　　　
兩直線平行同旁內角　　　
平行線間 的距離 定義 從一條平行線上任意一點到另一條平行線作垂線,垂線段的長度叫做兩條平行線間的距離
性質 兩條平行線間的距離處處相等
平行線求角度的輔助線作法
作法1: 作平行線
作法2: 從拐點處 延長相交
角度關系 ∠ABE+∠DCE= ∠BEC ∠ABE+∠DCE+ ∠BEC=360° ∠ABE-∠DCE= ∠BEC ∠ABE-∠DCE= ∠BEC
⑤ (冀教七下P52變式)如圖,
(1)若AD∥BC,∠B=30°,則∠BAD=　　　.
(2)若∠CAD=∠C,則AD ∥　　　　.
(3)在(2)的基礎上,若AD是∠EAC的平分線,∠C=30°,則∠B=　　　　.
考點五　命題與定理
命題 判斷一件事情的語句,叫做命題.命題分為題設和結論兩部分
真命題 如果題設成立,那么結論一定成立的命題叫做真命題
假命題 題設成立時,不能保證結論一定成立的命題叫做假命題.判斷一個命題為假命題,只要找出一個符合命題題設,不符合命題結論的例子即可
互逆 命題 如果一個命題的題設和結論分別為另一個命題的結論和題設,那么我們把這兩個命題稱為互逆命題.在兩個互逆的命題中,如果我們將其中一個命題稱為原命題,那么另一個命題就是原命題的逆命題
定理 經過證明的真命題稱為定理.對于定理,它是經過證明的真命題,但并不是所有的真命題都是定理.定理可以作為判定其他命題真假的依據
互逆 定理 如果一個定理的逆命題是真命題,那么這個逆命題也可以稱為原定理的逆定理.一個定理和它的逆定理是互逆定理
反證法 先假設原命題結論不正確,然后從這個假設出發,經過逐步推理論證,最后推出與學過的概念、基本事實、定理、性質或題設條件相矛盾的結果.因此,假設是錯誤的,原結論是正確的.這種證明命題的方法叫做反證法
⑥ 已知命題“同位角相等”.
(1)命題改寫成“如果……,那么……”的形式:　　　　　　　　　　,題設為　　　　　　,結論為　　　　　　,該命題為　　　　命題.
(2)“同位角相等”的逆命題為　　　　　　　　　　,該命題為　　　　命題.
(1)如圖1,線段AB=16 cm,點C為線段AB上的一個動點,點D,E分別是AC,BC的中點.
圖1
①若AC=6 cm,則線段DE的長為　　　　 cm.
②設AC=a cm,則線段DE的長為　　　　 cm.
(2)如圖2,若∠MON=60°,OC是∠AOB內部的一條射線,射線OM平分∠AOC,射線ON平分∠BOC,求∠AOB的度數.
圖2
(3)已知∠COD在∠AOB內的位置如圖3所示,若∠COD=30°,且∠DOM=2∠AOM,∠CON=2∠BON,求∠MON與∠AOB的數量關系.
圖3
(1)①8　②8
解析:①∵AC=6 cm,AB=16 cm,
∴BC=AB-AC=16-6=10(cm).
又∵點D,E分別是AC,BC的中點,
∴CD=3 cm,CE=5 cm,
∴DE=CD+CE=3+5=8(cm).
②∵AC=a cm,AB=16 cm,∴BC=AB-AC=(16-a) cm.
又∵點D,E分別是AC,BC的中點,
∴CD=a cm,CE=(16-a)cm,
∴DE=CD+CE=a+(16-a)=8(cm).
(2)解:∵射線OM平分∠AOC,射線ON平分∠BOC,
∴∠MOC=∠AOC,∠CON=∠COB,
∴∠MON=∠MOC+∠CON=(∠AOC+∠COB)=∠AOB,
∵∠MON=60°,∴∠AOB=120°.
(3)解:∵∠DOM=2∠AOM,∠CON=2∠BON,
∴∠MOD=∠AOD,∠CON=∠BOC,
∵∠COD=30°,
∴∠MON=∠MOD+∠CON+∠COD
=∠AOD+∠BOC+∠COD+∠COD
=(∠AOD+∠BOC+∠COD)+∠COD
=∠AOB+∠COD
=∠AOB+10°.
已知:如圖1,AB∥CD,CD∥EF.求證:∠B+∠BDF+∠F=360°.
老師要求學生在完成這道題目證明后,嘗試對圖形進行變式,繼續做拓展探究,看看有什么新發現.
圖1　 圖2 　 圖3
圖4　 圖5
(1)小穎首先完成了對這道題的證明,在證明過程中她用到了平行線的一條性質,小穎用到的平行線性質可能是　　　　　　　　.
(2)接下來,小穎用《幾何畫板》對圖形進行了變式,她先畫了兩條平行線AB,EF,然后在平行線間畫了一點D,連接BD,DF后,用鼠標拖動點D,分別得到了圖2,3,4,小穎發現圖3正是上面題目的原型,于是她由上題的結論猜想到圖2和圖4中的∠B,∠BDF與∠F之間也可能存在著某種數量關系.于是她利用《幾何畫板》的度量與計算功能,找到了這三個角之間的數量關系.
請你在小穎操作探究的基礎上,繼續回答下面的問題:
①猜想圖2中∠B,∠BDF與∠F之間的數量關系并加以證明;
②利用圖4探究,在拖動點D至AB上方或EF的下方時,∠B,∠BDF與∠F之間還存在其他數量關系,請直接寫出∠B,∠BDF與∠F之間的數量關系　　　　　　　(寫出一種即可).
(3)一個小區大門欄桿的平面示意圖如圖5所示,BA垂直地面AE于點A,CD平行于地面AE,若∠BCD=150°,則∠ABC的度數為　　　　.
(1)兩直線平行,同旁內角互補
解析:證明過程如下:∵AB∥CD,
∴∠B+∠CDB=180°(兩直線平行,同旁內角互補).
∵CD∥EF,∴∠F+∠CDF=180°(兩直線平行,同旁內角互補).
∵∠BDC+∠CDF=∠BDF,
∴∠B+∠BDF+∠F=360°.
(2)①解:∠BDF=∠B+∠F,
圖1
證明:如圖1,過點D作DC∥AB,
則∠B=∠BDC.
∵AB∥EF,∴CD∥EF,
∴∠CDF=∠F,
∴∠BDF=∠BDC+∠FDC=∠B+∠F.
圖2
②∠F=∠B+∠BDF(或∠F=∠B-∠BDF)
解析:當拖動點D至AB的上方時,如圖2,過點D作DM∥AB,
∵DM∥AB,∴∠MDB=∠B,
∵AB∥EF,∴DM∥EF,∴∠MDF=∠F,
∵∠MDF=∠MDB+∠BDF,
圖3
∴∠F=∠B+∠BDF;
當拖動點D至EF的下方時,
如圖3,過點D作DN∥AB,
∵DN∥AB,∴∠NDB=∠B,
∵AB∥EF,∴DN∥EF,
∴∠NDF=∠F,∵∠NDF=∠NDB-∠BDF,
∴∠F=∠B-∠BDF.
(3)120°
解析:如圖4,過點B作BG∥AE,
圖4
∵BG∥AE,CD∥AE,∴CD∥BG,
∴∠C+∠CBG=180°.
∵∠BCD=150°,∴∠CBG=30°.
∵BA⊥AE,BG∥AE,∴∠ABG=90°,
∴∠ABC=∠ABG+∠CBG=90°+30°=120°.
命題點一　直線和線段
(2023·河北)如圖,已知四條線段a,b,c,d中的一條與擋板另一側的線段m在同一直線上,請借助直尺判斷該線段是 (　　)
A.a B.b C.c D.d
命題點二　角及其平分線
(2023·河北)用量角器測量∠MON的度數,下列操作正確的是 (　　)
A B C D
命題點三　相交線
(2023·河北)如圖,在平面內作已知直線m的垂線,可作垂線的條數有(　　)
A.0條 B.1條 C.2條 D.無數條
(2024·河北模擬)如圖,點O在直線AB上,∠AOC=53°17'28″,則∠BOC的度數是　　　　.
命題點四　平行線的性質與判定
(2024·河北)下面是投影屏上出示的搶答題,需要回答橫線上符號代表的內容.
已知:如圖,∠BEC=∠B+∠C,求證:AB∥CD.
證明:延長BE交　※　于點F,則∠BEC=　 　+
∠C(三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角之和).
又∵∠BEC=∠B+∠C,得∠B=　▲　.
故AB∥CD(　@　相等,兩直線平行).
則回答正確的是 (　　)
A. 代表∠FEC B.@代表同位角 C.▲代表∠EFC D.※代表 AB
(2024·河北)如圖,快艇從P處向正北航行到A處時,向左轉50°航行到B處,再向右轉80°繼續航行,此時的航行方向為 (　　)
A.北偏東30° B.北偏東80° C.北偏西30° D.北偏西50°
(2023·河北)如圖,AB∥EF,CD⊥EF,∠BAC=50°,則∠ACD= (　　)
A.120°　　 B.130°　　 C.140°　　 D.150°
(2024·河北)要得知作業紙上兩相交直線AB,CD所夾銳角的大小,發現其交點不在作業紙內,無法直接測量.兩同學提供了如下間接測量方案(如圖1和圖2).
方案Ⅰ
①作一直線GH,交AB,CD于點E,F;
②利用尺規作∠HEN=∠CFG;
③測量∠AEM的大小即可.
圖1
方案Ⅱ
①作一直線GH,交AB,CD于點E,F;
②測量∠AEH和
∠CFG的大小;
③計算180°-∠AEH-∠CFG即可.
圖2
對于方案Ⅰ、Ⅱ,說法正確的是 (　　)
A.Ⅰ可行、Ⅱ不可行
B.Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C.Ⅰ、Ⅱ都可行
D.Ⅰ、Ⅱ都不可行
命題點五　命題與定理
(2024·河北樣題)能說明“相等的角是對頂角”是假命題的一個反例是 (　　)
A B C　 　 D
(2024·河北樣題)已知下列命題:①若|a|=|b|,則a2=b2;②若am2>bm2,則a>b;③對頂角相等;④等腰三角形的兩底角相等.其中原命題和逆命題均為真命題的個數是 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【詳解答案】
教材考點·深度梳理
①有且只有　②線段　③長度　④AM
⑤AB　⑥BC　⑦AB　⑧BD　⑨AB　⑩AD　90°　90°<ɑ<180°　余角　相等　補角　相等　相等
∠8　相等　180°　∠5　∠8
∠8　垂線段　相等　垂直平分線上　a∥b　相等　相等
互補
對應練習
1.(1)C　(2)B　(3)C　解析:(1)∵D為線段BC的中點,BC=1 000 m,
∴BD=CD=BC=500 m,
∴AD=AB+BD=2 000 m.故選C.
(2)∵A住宅區有15人,B住宅區有20人,C住宅區有45人,
∴在B住宅區設置一個車站,那么三個住宅區的人步行到停靠點的路程之和為1 500×15+1 000×45=67 500(m).故選B.
(3)在A住宅區設置一個車站,顯然不符合題意;
在B住宅區設置一個車站,那么三個住宅區的人步行到停靠點的路程之和為1 500×15+1 000×45=67 500(m),
在C住宅區設置一個車站,那么三個住宅區的人步行到停靠點的路程之和為2 500×15+1 000×20=57 500(m),
在B住宅區與C住宅區中間D處設置一個車站,那么三個住宅區的人步行到停靠點的路程之和為2 000×15+500×20+500×45=62 500(m),
綜上所述,在C住宅區設置一個車站,路程之和最小.故選C.
2.4　N
3.解:(1)9　∠COE與∠BOE
解析:根據題中圖形可知,圖中小于平角的角的個數是9.
∵∠DOE=∠DOC+∠COE=90°,
∴∠DOC和∠COE互余.
又∵∠AOB=180°,
∴∠AOD+∠BOE=90°.
∵OD平分∠AOC,
∴∠AOD=∠COD,
∴∠COE=∠BOE,
∴∠BOE+∠COD=90°,
∴∠COE與∠BOE 是∠DOC的余角.
(2)∵∠AOC=58°,OD平分∠AOC,
∴∠AOD=∠DOC=29°,∴∠BOD=180°-29°=151°.
(3)OE平分∠BOC.理由如下:
∵∠DOC+∠COE=90°,∠DOC=29°,
∴∠COE=61°,
∴∠BOE=180°-∠AOC-∠COE=61°,
∴∠EOC=∠BOE,
∴OE平分∠BOC.
4.解:(1)直線AB與CD形成的對頂角有∠AOC與∠BOD,∠BOC與∠AOD.
(2)∠BON的內錯角為∠N,∠BON與∠N是直線MN與AB被直線ON所截而形成的.
(3)∠AON的同旁內角是∠N.
(4)∵ON⊥OM,
∴∠MON=90°.
∵∠BON=55°,
∴∠AOM=180°-90°-55°=35°.
∵射線OM平分∠AOC,∴∠AOC=2∠AOM=70°,
∴∠BOD=∠AOC=70°.
(5)CD⊥MN.
5.(1)150°　(2)BC　(3)30°
解析:(1)∵AD∥BC,∠B=30°,
∴∠BAD=180°-30°=150°.
(2)∵∠CAD=∠C,
∴AD ∥BC.
(3)∵AD ∥BC,∠C=30°,
∴∠DAC=∠C=30°.
∵AD是∠EAC的平分線,
∴∠EAD=∠DAC=30°,
∴∠B=∠EAD=30°.
6.(1)如果兩個角是同位角,那么這兩個角相等　兩個角是同位角　這兩個角相等　假
(2)如果兩個角相等,那么這兩個角是同位角　假
河北中考·真題體驗
1.A
2.C
3.D
4.126°42'32″
5.C 　解析:由題圖可知∠BEC=∠EFC+∠C,又∵∠BEC=∠B+∠C,∴∠B=∠EFC.∴AB∥CD(內錯角相等,兩直線平行).故選C.
6.A　解析:如圖,過點B作BC∥AP,∴∠2=∠1=50°.∴∠3=80°-∠2=30°.故此時快艇的航行方向為北偏東30°.故選A.
7.C　解析:如圖,延長AC交EF于點M.
∵AB∥EF,∴∠BAC=∠CMD=50°.
又∵CD⊥EF,∴∠CDM=90°.
∴∠ACD=∠CMD+∠CDM=50°+90°=140°.故選C.
8.C　解析:∵∠HEN=∠CFG,∴MN∥CD.∴直線AB,CD所夾銳角與∠AEM相等,故方案Ⅰ可行.根據三角形內角和定理可知,直線AB,CD所夾銳角與180°-∠AEH-∠CFG相等,故方案Ⅱ可行.故選C.
9.A　解析:A.兩個角都是30°,這兩個角相等,但這兩個角不是對頂角,可以說明“相等的角是對頂角”是假命題,本選項符合題意;
B.兩個角都是30°,這兩個角相等,這兩個角是對頂角,不能說明“相等的角是對頂角”是假命題,本選項不符合題意;
C.兩個角不相等,不能說明“相等的角是對頂角”是假命題,本選項不符合題意;
D.兩個角不相等,不能說明“相等的角是對頂角”是假命題,本選項不符合題意.故選A.
10.B　解析:若|a|=|b|,則a2=b2的逆命題為若a2=b2,則|a|=|b|,原命題和逆命題均為真命題;若am2>bm2,則a>b的逆命題為若a>b,則am2>bm2,原命題為真命題,逆命題為假命題;對頂角相等的逆命題為相等的角為對頂角,原命題為真命題,逆命題為假命題;等腰三角形的兩底角相等的逆命題為有兩角相等的三角形為等腰三角形,原命題和逆命題均為真命題.故選B.

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