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第16課時　二次函數的綜合應用
考點　二次函數的綜合應用
與其他函數結合
(1)與一次函數結合:一次函數y=kx+n(k≠0)的圖象l與二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象G的交點個數,由方程組的解的數目確定,方程組有兩組不同的解,l與G有兩個交點;方程組只有一組解,l與G只有一個交點;方程組無解,l與G沒有交點.
(2)與反比例函數結合:主要涉及二次函數與反比例函數的交點問題.
與幾何圖形結合
(1)從題干出發,尋找拋物線上的特殊點,如與x軸、y軸、幾何圖形各邊的交點及拋物線的對稱軸方程和頂點坐標,二次函數中有幾個待定系數,則至少找幾個點.
(2)根據二次函數與方程(不等式)的關系、幾何圖形的性質,求出上述的特殊點,利用待定系數法即可求得拋物線的解析式.
(3)根據拋物線的解析式與相關幾何圖形的性質,如三角形面積、三角形全等、三角形相似、四邊形判定等知識,有針對性地求解具體問題.
如圖,二次函數y=-x2+4x的圖象與x軸的正半軸交于點A,經過點A的直線與該函數圖象交于點B(1,3),與y軸交于點C.
(1)求直線AB的函數解析式及點C的坐標.
(2)點P是第一象限內二次函數圖象上的一個動點,過點P作直線PE⊥x軸于點E,與直線AB交于點D,設點P的橫坐標為m.
①當PD=OC時,求m的值;
②當點P在直線AB上方時,連接OP,過點B作BQ⊥x軸于點Q,BQ與OP交于點F,連接DF.設四邊形FQED的面積為S,求S關于m的函數解析式,并求出S的最大值.
如圖1,拋物線L1:y=-x2+bx+c經過點A(1,0)和點B(5,0),直線l的解析式為y=kx-5.
(1)求拋物線L1的解析式,并直接寫出拋物線L1的對稱軸及頂點坐標.
(2)若直線l將線段AB分成1∶3兩部分,求k的值.
圖1
(3)如圖2,當k=2時,直線l與拋物線交于M,N兩點,P是拋物線位于直線l上方的一點,當△PMN的面積最大時,求點P的坐標,并求面積的最大值.
圖2
(4)如圖3,將拋物線L1在x軸上方的部分沿 x軸折疊到x軸下方,將這部分圖象與原拋物線剩余的部分組成的新圖象記為L2.
圖3
①當y隨x的增大而增大時,x的取值范圍為　　　　;
②當直線y=t與圖象L2有4個交點時,t的取值范圍為　　　　;
③當直線l與圖象L2有3個交點時,k的值為　　　　;
④當直線l與圖象L2有4個交點時,k的取值范圍為　　　　.
(1)解:∵拋物線L1:y=-x2+bx+c經過點A(1,0)和點B(5,0),∴y=-(x-1)(x-5)=-x2+6x-5=-(x-3)2+4,
∴拋物線L1的解析式為y=-x2+6x-5.
對稱軸為直線x=3,頂點坐標為(3,4).
(2)解:∵直線l將線段AB分成1∶3兩部分,則l經過點(2,0)或(4,0),∴0=2k-5或0=4k-5,
∴k=或k=.
(3)解:如圖1,
圖1
設點P的坐標為(x,-x2+6x-5),
解方程組
解得或
∴M(0,-5),N(4,3),
∴0過點P作PH⊥x軸交直線l于點H,
則H(x,2x-5),
PH=-x2+6x-5-(2x-5)=-x2+4x,
S△PMN=PH·xN
=(-x2+4x)×4
=-2(x-2)2+8.
∵0(4)①x≤1或3≤x≤5　②-4解析:如圖2,
圖2
A(1,0),B(5,0).
由翻折,得D(3,-4).
①當x≤1或3≤x≤5時,y隨x的增大而增大.
②當直線y=t與圖象L2有4個交點時,t的取值范圍為-4③當y=kx-5與拋物線相切時,由消去y,得x2-(6+k)x+10=0,根據Δ=[-(6+k)]2-40=0,解得k=2-6(負值舍去),
當直線y=kx-5過點B時,5k-5=0,解得k=1,
∴當直線l與圖象L2有3個交點時,k的值為1或-6+2.
④由圖象可知,當2-6命題點　二次函數的綜合應用
(2024·河北)如圖,若b是正數,直線l:y=b與y軸交于點A;直線a:y=x-b與y軸交于點B;拋物線L:y=-x2+bx的頂點為C,且L與x軸右交點為D.
(1)若AB=8,求b的值,并求此時L的對稱軸與a的交點坐標.
(2)當點C在l下方時,求點C與l距離的最大值.
(3)設x0≠0,點(x0,y1),(x0,y2),(x0,y3)分別在l,a和L上,且y3是y1,y2的平均數,求點(x0,0)與點D間的距離.
(4)在L和a所圍成的封閉圖形的邊界上,把橫、縱坐標都是整數的點稱為“美點”,分別直接寫出b=2 019和2 019.5 時“美點”的個數.
(2023·河北)如圖是某同學正在設計的一動畫示意圖,x軸上依次有A,O,N三個點,且AO=2,在ON上方有五個臺階T1~T5(各拐角均為90°),每個臺階的高、寬分別是1和1.5,臺階T1到x軸距離OK=10.從點A處向右上方沿拋物線L:y=-x2+4x+12發出一個帶光的點P.
(1)求點A的橫坐標,且在圖中補畫出y軸,并直接指出點P會落在哪個臺階上;
(2)當點P落到臺階上后立即彈起,又形成了另一條與L形狀相同的拋物線C,且最大高度為11,求C的解析式,并說明其對稱軸是否與臺階T5有交點;
(3)在x軸上從左到右有兩點D,E,且DE=1,從點E向上作EB⊥x軸,且BE=2.在△BDE沿x軸左右平移時,必須保證(2)中沿拋物線C下落的點P能落在邊BD(包括端點)上,則點B橫坐標的最大值比最小值大多少
【注:(2)中不必寫x的取值范圍】
【詳解答案】
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對應練習
解:(1)由 y=-x2+4x,得當 y=0 時,-x2+4x=0,
解得 x1=0,x2=4.
∵點A在x軸正半軸上,
∴點A的坐標為(4,0).
設直線AB的函數解析式為 y=kx+b(k≠0).
將A(4,0),B(1,3)分別代入 y=kx+b,
得
解得
∴直線AB的函數解析式為 y=-x+4.
將x=0代入 y=-x+4,得 y=4.
∴點C的坐標為(0,4).
(2)①∵點P在第一象限內二次函數 y=-x2+4x的圖象上,且PE⊥x軸于點E,與直線AB交于點D,其橫坐標為m.
∴點P,D的坐標分別為 P(m,-m2+4m),D(m,-m+4),
∴PE=-m2+4m,DE=-m+4,OE=m.
∵點C的坐標為(0,4),
∴OC=4.
∵PD=OC,∴PD=2.
圖1
如圖1,當點P在直線AB上方時,PD=PE-DE=-m2+4m-(-m+4)=-m2+5m-4.
∵PD=2,
∴-m2+5m-4=2,
解得m1=2,m2=3.
如圖2,當點P在直線AB下方時,PD=DE-PE=-m+4-(-m2+4m)=m2-5m+4.
圖2
∵PD=2,
∴m2-5m+4=2,
解得m=,
∵0綜上所述,m的值為2或3或.
②如圖3,
圖3
由(2)①得,OE=m,PE=-m2+4m,DE=-m+4.
∵BQ⊥x軸于點Q,交OP于點F,點B的坐標為(1,3),
∴OQ=1,∠OQF=90°.
∵點P在直線AB上方,
∴EQ=m-1.
∵PE⊥x軸于點E,
∴∠OQF=∠OEP=90°,
∴FQ∥DE.
∵∠FOQ=∠POE,
∴△FOQ∽△POE,
∴,即,
∴FQ==-m+4,
∴FQ=DE,
∴四邊形FQED為平行四邊形.
∵PE⊥x軸,
∴四邊形FQED為矩形.
∴S=EQ·FQ=(m-1)(-m+4),即S=-m2+5m-4=-m-2+,
∵-1<0,1∴當m=時,S的最大值為.
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1.解:(1)當x=0時,y=x-b=-b,
∴點B(0,-b),A(0,b).∵AB=8,
∴b-(-b)=8.∴b=4.
∴L:y=-x2+4x.
∴L的對稱軸為直線x=2.當x=2時,y=x-4=-2,
∴L的對稱軸與a的交點坐標為(2,-2).
(2)∵y=-x-2+,
∴L的頂點C,,
∵點C在l下方,
∴C與l的距離b-=-(b-2)2+1≤1.
∴點C與l距離的最大值為1.
(3)由題意得y3=,即y1+y2=2y3,得b+x0-b=2(-+bx0).解得x0=0或x0=b-.
∵x0≠0,∴x0=b-.
對于L,當y=0時,0=-x2+bx,即0=-x(x-b),解得x1=0,x2=b,∵b>0,∴右交點D(b,0).∴點(x0,0)與點D間的距離為b-b-=.
(4)b=2 019時“美點”的個數為4 040;b=2 019.5時“美點”的個數為1 010.
解析:①當b=2 019時,拋物線解析式L:y=-x2+2 019x,直線解析式a:y=x-2 019,聯立上述兩個解析式可得x1=-1,x2=2 019,
∴可知每一個整數x的值都對應的一個整數y值,且-1和2 019之間(包括-1和2 019)共有2 021個整數.
∵另外要知道所圍成的封閉圖形邊界分兩部分:線段和拋物線,∴線段和拋物線上各有2 021個整數點.∴總計4 042個整數點.
∵這兩段圖象交點有2個點重復,
∴“美點”的個數為4 042-2=4 040.
②當b=2 019.5時,拋物線解析式L:y=-x2+2 019.5x,直線解析式a:y=x-2 019.5,
聯立上述兩個解析式可得x1=-1,x2=2 019.5,
∴當x取整數時,在一次函數y=x-2 019.5上,y取不到整數值,因此在該圖象上“美點”為0,在二次函數y=-x2+2 019.5x圖象上,
當x為偶數時,函數值y可取整數,可知-1到2 019.5之間有1 010個偶數,即“美點”共有1 010個.
故b=2 019時“美點”的個數為4 040,b=2 019.5時“美點”的個數為1 010.
2.解:(1)當y=0時,-x2+4x+12=0,
解得x1=-2,x2=6.
∵A在左側,∴A(-2,0).
∵拋物線y=-x2+4x+12關于直線x=-=2對稱,
∴y軸與OK重合,如下圖:
點P會落在臺階T4上.
(2)由題意,設拋物線C的解析式為y=-(x-h)2+11,
計算易得點P落在T4上的點(5,7)處,把x=5,y=7代入y=-(x-h)2+11,得7=-(5-h)2+11,
解得h1=7,h2=3,由題意可知h>5,∴h=7,
∴拋物線C:y=-(x-7)2+11.
∴拋物線y=-(x-7)2+11的對稱軸為直線x=7,∵臺階T5的左端點為(6,6),右端點為(7.5,6),
∴其對稱軸與臺階T5有交點.
(3)由題意知,當△BDE沿x軸左右平移,恰使拋物線C下落的點P過點D時,此時點B的橫坐標值最大.
當y=0時,-(x-7)2+11=0,
解得x1=7+,x2=7-(舍去),
故點B的橫坐標最大值為8+,
當△BDE沿x軸左右平移,恰使拋物線C下落的點P過點B時,此時點B的橫坐標值最小.
當y=2時,-(x-7)2+11=2,
解得x1=10,x2=4(舍去),
故點B的橫坐標最小值為10,
則點B橫坐標的最大值比最小值大8+-10=-2.

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