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第15課時(shí)　二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用
考點(diǎn)　二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用
二次函數(shù)與實(shí)際問(wèn)題的基本類(lèi)型
(1)拋物線型問(wèn)題.
(2)銷(xiāo)售問(wèn)題.
(3)幾何圖形面積問(wèn)題.
注意:實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù),往往自變量的取值范圍受到限制,這時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象應(yīng)是原函數(shù)圖象的一部分.
二次函數(shù)實(shí)際問(wèn)題求最值
(1)先根據(jù)題意列出二次函數(shù)解析式.
(2)再用配方法把得到的解析式化為頂點(diǎn)式.
(3)若二次項(xiàng)系數(shù)大于0,則拋物線開(kāi)口向上,自變量的值離對(duì)稱(chēng)軸越近,函數(shù)的值越小,在對(duì)稱(chēng)軸處,函數(shù)取得最小值;若二次項(xiàng)系數(shù)小于0,則拋物線開(kāi)口向下,自變量的值離對(duì)稱(chēng)軸越近,函數(shù)的值越大,在對(duì)稱(chēng)軸處,函數(shù)取得最大值.
(4)在實(shí)際問(wèn)題中要根據(jù)具體情況來(lái)確定自變量的取值范圍從而確定最值.
① (人教九上P52T3變式)飛機(jī)著陸后滑行的距離y(單位:m)關(guān)于滑行時(shí)間t(單位:s)的函數(shù)解析式是y=60t-1.5t2.在飛機(jī)著陸滑行中,前一半的時(shí)間滑行的距離是　　　　m.
② (人教九上P52T8變式)某公司經(jīng)銷(xiāo)某種品牌的普洱茶,每千克成本50元,經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn):每周的銷(xiāo)售量y(千克)與銷(xiāo)售單價(jià)x(元/千克)滿足一次函數(shù)關(guān)系,部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示.
銷(xiāo)售單價(jià)x/(元/千克) 56 65 75
銷(xiāo)售量y/千克 128 110 90
解答下列問(wèn)題:
(1)y與x的關(guān)系式為　　　　　　　　.
(2)當(dāng)x=　　　　時(shí),利潤(rùn)W的值最大為　　　　　元.
(3)物價(jià)部門(mén)規(guī)定茶葉銷(xiāo)售單價(jià)不得高于90元/千克時(shí),公司想獲得不低于2 000元周利潤(rùn),銷(xiāo)售單價(jià)范圍為　　　　　.
類(lèi)型一　最值問(wèn)題
建大棚種植蔬菜是農(nóng)民致富的一條好途徑.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn):搭建一個(gè)面積為x(x為整數(shù))公頃的大棚,前期準(zhǔn)備所需總費(fèi)用由建設(shè)費(fèi)用和內(nèi)部設(shè)備費(fèi)用兩部分組成,其中建設(shè)費(fèi)用與x2成正比例,內(nèi)部設(shè)備費(fèi)用與x+2成正比例,部分?jǐn)?shù)據(jù)如下:
大棚面積x/公頃 3 8
前期準(zhǔn)備所需總費(fèi)用w/萬(wàn)元 21 134
(1)求前期準(zhǔn)備所需總費(fèi)用w與x之間的函數(shù)關(guān)系式.
(2)若種植1公頃蔬菜需種子、化肥、農(nóng)藥的開(kāi)支0.4萬(wàn)元,收獲1公頃的蔬菜年均可賣(mài)9.4萬(wàn)元.設(shè)當(dāng)年收獲蔬菜的總收益(扣除修建和種植成本)為y萬(wàn)元,寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.
(3)求種植的面積為多少公頃時(shí),當(dāng)年收獲蔬菜的總收益最大,最大值為多少
(1)根據(jù)題意可設(shè)w=k1x2+k2(x+2),
∵x=3,w=21;x=8,w=134,
∴
解得
∴w=2x2+(x+2)=2x2+x+.
(2)由(1)得w=2x2+x+,
∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=9.4x-0.4x-2x2+x+=-2x2+x-.
(3)y=-2x2+x-
=-2x-2+,
∵x為整數(shù),∴當(dāng)x=2時(shí),y最大值=7.6,
∴種植的面積為2公頃時(shí),當(dāng)年收獲蔬菜的總收益最大,最大值為7.6萬(wàn)元.
類(lèi)型二　拋物線型實(shí)際問(wèn)題
(2024·衡水模擬)如圖是某同學(xué)正在設(shè)計(jì)的一動(dòng)畫(huà)示意圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)K為斜坡上(圖中虛線部分所示)設(shè)計(jì)的參照點(diǎn),在函數(shù)y=ax2+bx+66(a≠0,x≥0)中,分別輸入a和b的值,便得到拋物線L,從y軸上的點(diǎn)A沿L發(fā)出一個(gè)帶光的點(diǎn)P,使得光點(diǎn)P擊中斜坡BC,若K(75,h)在斜坡BC上,其中h為定值.
(1)①若輸入a=-,b=,光點(diǎn)P恰好能擊中基準(zhǔn)點(diǎn)K,求h的值;
②若輸入a=-,光點(diǎn)P落在斜坡上點(diǎn)K的右側(cè),則b的取值范圍為　　　　.
(2)若拋物線L在距y軸水平距離為25時(shí),恰好達(dá)到最大高度76,求拋物線L的解析式,并說(shuō)明點(diǎn)P能否越過(guò)點(diǎn)K.
(1)①解:∵a=-,b=,
∴y=-x2+x+66.
∵基準(zhǔn)點(diǎn)K的橫坐標(biāo)為75,
∴y=-×752+×75+66=21,
∴基準(zhǔn)點(diǎn)K的縱坐標(biāo)h為21.
②b>
解析:∵a=-,∴y=-x2+bx+66.∵光點(diǎn)P落在斜坡上點(diǎn)K的右側(cè),∴當(dāng)x=75時(shí),y>21,即-×752+75b+66>21,解得b>.
(2)解:∵拋物線L在距y軸水平距離為25時(shí),恰好達(dá)到最大高度76,即拋物線的頂點(diǎn)為(25,76),
∴設(shè)拋物線L的解析式為y=a(x-25)2+76,把(0,66)代入,得66=a×(0-25)2+76,
解得a=-,∴拋物線L的解析式為y=-(x-25)2+76.
點(diǎn)P能越過(guò)點(diǎn)K.理由如下:當(dāng)x=75時(shí),y=-×(75-25)2+76=36,∵36>21,∴點(diǎn)P能越過(guò)K點(diǎn).
命題點(diǎn)　二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用
一、幾何圖形問(wèn)題
(2022·河北)某種正方形合金板材的成本y(元)與它的面積成正比,設(shè)邊長(zhǎng)為x厘米,當(dāng)x=3時(shí),y=18,那么當(dāng)成本為72元時(shí),邊長(zhǎng)為 (　　)
A.6厘米 B.12厘米
C.24厘米 D.36厘米
(2023·河北)用承重指數(shù)W衡量水平放置的長(zhǎng)方體木板的最大承重量,實(shí)驗(yàn)室有一些同材質(zhì)同長(zhǎng)同寬而厚度不一的木板,實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn):木板承重指數(shù)W與木板厚度x(厘米)的平方成正比,當(dāng)x=3時(shí),W=3.
(1)求W與x的函數(shù)關(guān)系式.
(2)如圖,選一塊厚度為6厘米的木板,把它分割成與原來(lái)同長(zhǎng)同寬但薄厚不同的兩塊板(不計(jì)分割損耗).設(shè)薄板的厚度為x(厘米),Q=W厚-W薄.
①求Q與x的函數(shù)關(guān)系式;
②x為何值時(shí),Q是W薄的3倍
[注:(1)及(2)中的①不必寫(xiě)x的取值范圍]
二、拋物線型問(wèn)題
(2023·河北)嘉嘉和淇淇在玩沙包游戲,某同學(xué)借此情境編制了一道數(shù)學(xué)題,請(qǐng)解答這道題.
如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一個(gè)單位長(zhǎng)度代表1 m長(zhǎng),嘉嘉在點(diǎn)A(6,1)處將沙包(看成點(diǎn))拋出,
其運(yùn)動(dòng)路線為拋物線C1:y=a(x-3)2+2的一部分,淇淇恰在點(diǎn) B(0,c)處接住,然后跳起將沙包回傳,其運(yùn)動(dòng)路線為拋物線C2:y=-x2+x+c+1的一部分.
(1)寫(xiě)出C1的最高點(diǎn)坐標(biāo),并求a,c的值.
(2)若嘉嘉在x軸上方1 m的高度上,且到點(diǎn)A水平距離不超過(guò)1 m的范圍內(nèi)可以接到沙包,求符合條件的n的整數(shù)值.
三、利潤(rùn)問(wèn)題
(2023·河北)某廠按用戶的月需求量x(件)完成一種產(chǎn)品的生產(chǎn),其中x>0,每件的售價(jià)為18萬(wàn)元,每件的成本y(萬(wàn)元)是基礎(chǔ)價(jià)與浮動(dòng)價(jià)的和,其中基礎(chǔ)價(jià)保持不變,浮動(dòng)價(jià)與月需求量x(件)成反比.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn),月需求量x與月份n(n為整數(shù),1≤n≤12)符合關(guān)系式x=2n2-2kn+9(k+3)(k為常數(shù)),且得到了表中的數(shù)據(jù).
月份n/月 1 2
成本y/(萬(wàn)元/件) 11 12
需求量x/(件/月) 120 100
(1)求y與x滿足的關(guān)系式,請(qǐng)說(shuō)明一件產(chǎn)品的利潤(rùn)能否是12萬(wàn)元.
(2)求k,并推斷是否存在某個(gè)月既無(wú)盈利也不虧損.
(3)在這一年12個(gè)月中,若第m個(gè)月和第(m+1)個(gè)月的利潤(rùn)相差最大,求m.
【詳解答案】
教材考點(diǎn)·深度梳理
對(duì)應(yīng)練習(xí)
1.450　解析:∵y=60t-1.5t2=-1.5(t-20)2+600,
∴當(dāng)t=20時(shí),飛機(jī)著陸后滑行600 m才能停下來(lái),
∴當(dāng)t=10時(shí),y=-1.5×(10-20)2+600=600-150=450,
∴前一半的時(shí)間滑行的距離是450 m.
2.(1) y=-2x+240　(2)85　2 450　(3)70≤x≤90　解析:(1)設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b(k≠0),
把(56,128)和(65,110)分別代入,得
解得
∴y與x的關(guān)系式為y=-2x+240.
(2)由題意知,W=(x-50)·y
=(x-50)(-2x+240)
=-2x2+340x-12 000,
∴W與x的關(guān)系式為W=-2x2+340x-12 000,
∴W=-2x2+340x-12 000=-2(x-85)2+2 450,
當(dāng)x=85時(shí),W的值最大為2 450元.
(3)若獲得2 000元周利潤(rùn),則-2(x-85)2+2 450=2 000,
解得x1=70,x2=100,
∵W=-2x2+340x-12 000為開(kāi)口向下的拋物線,
∴當(dāng)70≤x≤100時(shí),W≥2 000.
又∵物價(jià)部門(mén)規(guī)定茶葉銷(xiāo)售單價(jià)不得高于90元/千克,
∴銷(xiāo)售單價(jià)范圍為70≤x≤90.
河北中考·真題體驗(yàn)
1.A　解析:根據(jù)題意,設(shè)y=kx2(k≠0).把x=3,y=18代入,得18=9k.解得k=2.故函數(shù)解析式為y=2x2.當(dāng)y=72時(shí),72=2x2.解得x1=6,x2=-6(舍去).故選A.
2.解:(1)設(shè)W=kx2(k≠0).∵當(dāng)x=3時(shí),W=3,∴3=9k.解得k=.∴W與x的函數(shù)關(guān)系式為W=x2.
(2)①設(shè)薄板的厚度為x厘米,則厚板的厚度為(6-x)厘米.∴Q=W厚-W薄=(6-x)2-x2=-4x+12,即Q與x的函數(shù)關(guān)系式為Q=-4x+12.
②∵Q是W薄的3倍,∴-4x+12=3×x2.整理,得x2+4x-12=0.解得x1=2,x2=-6(不合題意,舍去).故x為2時(shí),Q是W薄的3倍.
3.解:(1)∵拋物線C1:y=a(x-3)2+2,
∴C1的最高點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2).
∵點(diǎn)A(6,1)在拋物線C1:y=a(x-3)2+2上,
∴1=a×(6-3)2+2.解得a=-.
∴拋物線C1的解析式為y=-(x-3)2+2.
令x=0,則c=-×(0-3)2+2=1.
(2)∵c=1,∴拋物線C2的解析式為y=-x2+x+2.
依題意,當(dāng)x=5時(shí),y=-++2≥1,解得n≥.
當(dāng)x=7時(shí),y=-++2≤1,
解得n≤.∴≤n≤.
∴n的整數(shù)值為4,5.
4.解:(1)由題意,設(shè)基礎(chǔ)價(jià)為a萬(wàn)元,浮動(dòng)價(jià)為b萬(wàn)元,則y=a+.
由題表中數(shù)據(jù)可得
解得∴y=6+.
由題意,若12=18-6+,
則=0,∵x>0,∴>0.
∴一件產(chǎn)品的利潤(rùn)不可能是12萬(wàn)元.
(2)將n=1,x=120代入x=2n2-2kn+9(k+3),得120=2-2k+9k+27,解得k=13.∴x=2n2-26n+144.將n=2,x=100代入x=2n2-26n+144也符合,∴k=13.
由18=6+,解得x=50.經(jīng)檢驗(yàn),x=50是分式方程的解且符合題意.∴50=2n2-26n+144,即n2-13n+47=0.
∵Δ=(-13)2-4×1×47<0,∴方程無(wú)實(shí)數(shù)根.∴不存在某個(gè)月既無(wú)盈利也不虧損.
(3)設(shè)第m個(gè)月的利潤(rùn)為W萬(wàn)元,則W=x(18-y)=18x-x6+=12(x-50)=24(m2-13m+47).∴第(m+1)個(gè)月的利潤(rùn)為W'=24×[(m+1)2-13(m+1)+47]=24(m2-11m+35).若W≥W',則W-W'=48(6-m),m取最小值1,W-W'取得最大值240;
若W∴m=1或11.

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