資源簡介

第14課時　二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
考點一　二次函數(shù)的定義
　　一般地,形如①　　　　　　(a,b,c是常數(shù),a≠0)的函數(shù),叫做二次函數(shù),其中,x是自變量,a,b,c分別是函數(shù)解析式的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.
考點二　二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)
a的符號 a>0 a<0
圖象
開口方向 開口向②　　　 開口向③　　　
對稱軸 直線x=④　　　
頂點坐標(biāo) ⑤　　　　　　　
最值 拋物線有最低點,當(dāng)x=-時,y有最小值,最小值為 拋物線有最高點,當(dāng)x=-時,y有最大值,最大值為
增 減 性 在對稱軸左側(cè) 當(dāng)x<-時,y隨x的增大而⑥　　　 當(dāng)x<-時,y隨x的增大而⑦　　　
在對稱軸右側(cè) 當(dāng)x>-時,y隨x的增大而⑧　　　 當(dāng)x>-時,y隨x的增大而⑨　　　
① (冀教九下P38A組T2變式)已知二次函數(shù)y=x2-2x-3 ,回答下列問題:
(1)該二次函數(shù)的圖象開口向　　　　,對稱軸為　　　　;函數(shù)有最　　　　(填“大”或“小”)值,其值為　　　　.
(2)該二次函數(shù)圖象與x軸的交點坐標(biāo)為　　　　　,與y軸的交點坐標(biāo)為　　　　.
(3)當(dāng)-1≤x≤2 時,y的最大值為　　　　,最小值為　　　　.
(4)已知點A(m,n)是拋物線上一點.
①若點A關(guān)于對稱軸對稱的點為B,且點B的坐標(biāo)為(6,21),則點A的坐標(biāo)為　　　　;
②若點A到對稱軸的距離為4,則點A的坐標(biāo)為　　　　;
③當(dāng)n=3時,滿足條件的點A有　　　　個.
(5)若點(-,y1),(,y2),(2,y3)在該函數(shù)圖象上,則y1,y2,y3的大小關(guān)系為　　　　.
(6)若(4,y1),(m,y2)是拋物線上不同的兩點,且y2=y1-8,則m的值為　　　　.
考點三　二次函數(shù)的圖象與系數(shù)a,b,c的關(guān)系
a 決定拋物線開口方向及開口大小 a>0,拋物線開口向上; a<0,拋物線開口向下; |a|越大,拋物線開口越小; |a|越小,拋物線開口越大
a,b 決定拋物線對稱軸直線x=-的位置 b=0,對稱軸為y軸; ->0,對稱軸在y軸右側(cè); -<0,對稱軸在y軸左側(cè)
c 決定拋物線與y軸交點的位置 c=0,拋物線過原點; c>0,拋物線與y軸交于正半軸; c<0,拋物線與y軸交于負(fù)半軸
b2- 4ac 決定拋物線與 x軸的交點個數(shù) b2-4ac=0,拋物線與x軸有唯一交點; b2-4ac>0,拋物線與x軸有兩個不相同的交點; b2-4ac<0,拋物線與x軸沒有交點
特殊 關(guān)系 當(dāng)x=1時,y=a+b+c; 當(dāng)x=-1時,y=a-b+c
若a+b+c>0,則當(dāng)x=1時,y>0; 若a-b+c>0,則當(dāng)x=-1時,y>0
② 二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的部分圖象如圖所示,其對稱軸為直線x=1,且與x軸交于點(-1,0).分析判斷下列結(jié)論,用“>”“<”或“=”填空.
(1)a　　　　0,b　　　　0,c　　　　0,abc　　　　0.
(2)b2-4ac　　　　0.
(3)2a+b　　　　0.
(4)a-b+c　　　　0.
(5)4a+2b+c　　　　0.
(6)9a+3b+c　　　　0.
(7)2c-a　　　　0.
(8)3a+c　　　　0.
(9)8a+c　　　　0.
考點四　二次函數(shù)圖象的平移
平移的方法步驟
(1)平移二次函數(shù)圖象前,一般將其解析式化為頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k,確定其頂點坐標(biāo).
(2)保持拋物線的形狀不變,平移頂點(h,k).
平移規(guī)律
平移前的 解析式 平移方向 平移后的解析式 規(guī)律 總結(jié)
y=a(x- h)2+k 向左平移m個單位長度(m>0) y=a(x-h+m)2+k 左加 左右平移時,是給平方里面加減;上下平移時,是給k值后面加減　
向右平移m個單位長度(m>0) y=a(x-h-m)2+k 右減
向上平移m個單位長度(m>0) y=a(x-h)2+k+m 上加
向下平移m個單位長度(m>0) y=a(x-h)2+k-m 下減
對稱性
對稱軸為直線x=.(x1,x2表示拋物線上關(guān)于對稱軸對稱的任意兩點的橫坐標(biāo))
③ 已知拋物線C1:y=2x2.
(1)若將拋物線C1向右平移3個單位長度,得到拋物線C2,請在圖中畫出拋物線C2.
(2)若將拋物線C1先向上平移2個單位長度,再向左平移1個單位長度,得到拋物線C3,求拋物線C3的解析式.
(3)若將拋物線C1平移后得到的新拋物線C4的頂點坐標(biāo)為(-2,-1),則平移方式為　 .
(4)若將拋物線C1先向下平移3個單位長度,再向右平移m(m>0)個單位長度,得到的新拋物線C5經(jīng)過點(1,5),求m的值.
(5)若將拋物線C1先向上平移1個單位長度,再向右平移n(n>0)個單位長度,得到拋物線C6,且拋物線C6的頂點在拋物線C1上,求n的值.
考點五　二次函數(shù)解析式的確定
待定系數(shù)法
(1)三種解析式的適用條件
已知條件 選用解析式的形式 形式
已知拋物線上三點的坐標(biāo) 一般選用一般式 y=ax2+bx+c(a≠0)
已知拋物線的頂點坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸與最大(小)值 一般選用頂點式 y=a(x-h)2+k(a≠0),(h,k)是拋物線的頂點坐標(biāo)
已知拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo) 一般選用交點式 y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2是拋物線與x軸交點的橫坐標(biāo)
(2)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的步驟:
①設(shè)出合適的二次函數(shù)解析式;
②根據(jù)已知條件,得到關(guān)于待定系數(shù)的方程(組);
③解方程(組),求出待定系數(shù)的值,從而寫出二次函數(shù)解析式.
根據(jù)圖象變換求函數(shù)解析式的方法
(1)將已知解析式化為頂點式.
(2)根據(jù)下表求出變化后的a,h,k.
y=a(x-h)2+k a 頂點(h,k)
平移變換 左右或上下平移　 不變 變
軸對稱 變化 x軸 相反數(shù) (h,-k)
y軸 不變 (-h,k)
旋轉(zhuǎn) 變換 繞頂點(180°) 相反數(shù) (h,k)
繞原點(180°) 相反數(shù) (-h,-k)
(3)將變化后的a,h,k代入頂點式中即可得到變化后的函數(shù)解析式.
④ 求下列二次函數(shù)的解析式:
(1)把拋物線y=x2先向左平移2個單位長度,再向下平移3個單位長度,得到的新拋物線的解析式為　　　　　　　.
(2)已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(-1,0),(3,0)和(0,-3),則這個二次函數(shù)的解析式為　　　　　　　　.
(3)頂點是點M(-2,1),且圖象經(jīng)過原點的二次函數(shù)的解析式是　　　　　　　　　.
(4)如果拋物線經(jīng)過點A(2,0)和B(-1,0),且與y軸交于點C,若OC=2,則這條拋物線的解析式是　　　　　　　　　　　　　　　　.
(5)將拋物線y=x2-6x+7沿y軸翻折,所得拋物線的解析式是　　　　　　　　.
(6)將拋物線y=x2+1繞原點O旋轉(zhuǎn)180°,則旋轉(zhuǎn)后的拋物線的解析式為　　　　　　　.
考點六　二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的關(guān)系
二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系
(1)如果拋物線y=ax2+bx+c與x軸有公共點,公共點的橫坐標(biāo)是x0,那么當(dāng)x=x0時,函數(shù)值是　　　　,因此x=x0是方程ax2+bx+c=0的一個根.
(2)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的位置關(guān)系有三種:
當(dāng)b2-4ac>0時,拋物線與x軸有　　　　　　交點;方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根;
當(dāng)b2-4ac=0時,拋物線與x軸有　　　　　　交點,方程ax2+bx+c=0有兩個相等的實數(shù)根;
當(dāng)b2-4ac<0時,拋物線與x軸無交點,方程ax2+bx+c=0　　　　實數(shù)根.
二次函數(shù)與不等式的關(guān)系
ax2+bx+c>0的解集:函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象位于x軸上方對應(yīng)點的橫坐標(biāo)的取值范圍.
ax2+bx+c<0的解集:函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象位于x軸下方對應(yīng)點的橫坐標(biāo)的取值范圍.
⑤ 已知拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a<0)的頂點坐標(biāo)為(1,3),與x軸的一個交點在(-2,0)和(-1,0)之間,其部分圖象如圖所示.
(1)一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情況是　　　　　　　　　.
(2)若拋物線經(jīng)過點(-2,t),則關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c-t=0(a≠0)的兩根分別為　　　　　　.
(3)若一元二次方程ax2+bx+c=m沒有實數(shù)根,則m的取值范圍為　　　　.
已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0).
(1)若該拋物線經(jīng)過點(2,n),(4,n),則其對稱軸為直線　　　　.
(2)已知拋物線的解析式為y=-x2-4x+c.
①拋物線的對稱軸為直線　　　　;
②當(dāng)x>-3時,y有最　　　　值;當(dāng)x<-3時,y隨x的增大而　　　　;
③當(dāng)-1≤x≤2時,函數(shù)的最小值為1,則c的值為　　　　;
④若拋物線經(jīng)過點(-5,2),則當(dāng)y=2時,x=　　　　;當(dāng)y>2時,x的取值范圍為　　　　;
⑤若(-3,y1),(-2,y2),(1,y3)是拋物線上的點,則y1,y2,y3的大小關(guān)系為 　 　　　;
⑥若P(-5,y1),Q(m,y2)是拋物線上兩點,且y1>y2,則實數(shù)m的取值范圍是　 .
(3)已知該拋物線是由拋物線y=2x2+1向左平移1個單位長度,再向下平移4個單位長度得到的.
①該拋物線的解析式為　　　　　　　　　　;
②保持該拋物線的位置不動,將坐標(biāo)軸先向下平移1個單位長度,再向右平移2個單位長度,則原拋物線的解析式變?yōu)椤　　　　　　　?
③該拋物線關(guān)于x軸對稱的拋物線的解析式為　　　　　　　　;
④該拋物線關(guān)于y軸對稱的拋物線的解析式為　　　　　　　　;
⑤該拋物線關(guān)于原點成中心對稱的拋物線的解析式為　　　　　　　　;
⑥將拋物線在x軸下方的部分沿x軸翻折,與原圖象在x軸上方的部分組成的圖象記為W,則:
a.直線y=0與圖象W有　　　　個交點;
b.當(dāng)直線y=d與圖象W有3個交點時,d的值為　　　　;
c.當(dāng)直線y=d與圖象W有4個交點時,d的取值范圍為　　　　;
d.當(dāng)直線y=d與圖象W有2個交點時,d的取值范圍為　　　　.
(4)一次函數(shù)y=ax+b(a≠0)與二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是　　　　.(填序號)
①　 ②　 ③　 ④
(5)若拋物線y=-x2+bx+c與直線y=x+b交于點(-2,m),(4,n),則:
①m,n的大小關(guān)系為　　　　;
②關(guān)于x的方程-x2+bx+c=x+b的解為　　　　;
③關(guān)于x的不等式x2-bx-c<-x-b的解集為　　　　.
(1)x=3
(2)①x=-2　②大　增大　③13
④1或-5　-5y1>y3
⑥m<-5或m>1
解析:①x=-=-=-2.
③在 -1≤x≤2 范圍內(nèi),當(dāng)x=2時函數(shù)有最小值,∴-22-4×2+c=1,解得c=13.
④∵拋物線經(jīng)過點(-5,2),
∴將點(-5,2)代入y=-x2-4x+c,得2=-(-5)2-4×(-5)+c,解得c=7,
∴拋物線的解析式為y=-x2-4x+7,
將y=2代入,得2=-x2-4x+7,
解得x1=1,x2=-5.
當(dāng)y>2時,x的取值范圍為-5⑤由①可知,對稱軸為直線x=-2,
∵a<0,離對稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越小,
∴y2>y1>y3.
(3)①y=2(x+1)2-3　②y=2(x+3)2-2
③y=-2(x+1)2+3　④y=2(x-1)2-3
⑤y=-2(x-1)2+3
⑥a.2　b.3　c.03或d=0　
解析:①由平移規(guī)律可知,拋物線y=2x2+1向左平移1個單位長度,再向下平移4個單位長度得到的解析式為y=2(x+1)2-3.
②該拋物線的頂點坐標(biāo)為(-1,-3),若拋物線的坐標(biāo)軸向下平移1個單位長度,向右平移2個單位長度,平移后拋物線的頂點坐標(biāo)為(-3,-2),
∴原拋物線的解析式變?yōu)閥=2(x+3)2-2.
③該拋物線關(guān)于x軸對稱的拋物線的解析式為-y=2(x+1)2-3,故y=-2(x+1)2+3.
④該拋物線關(guān)于y軸對稱的拋物線的解析式為y=2(-x+1)2-3,即y=2(x-1)2-3.
⑤該拋物線關(guān)于原點成中心對稱的拋物線的解析式為-y=2(-x+1)2-3,故y=-2(x-1)2+3.
⑥將拋物線在x軸下方的部分沿x軸翻折后的圖象W如圖所示,由圖象可知:
a.直線y=0與圖象W有2個交點.
b.當(dāng)y=d的直線與圖象W有3個交點時,即過拋物線的頂點,∴d=3.
c.當(dāng)y=d的直線與圖象W有4個交點時,0d.當(dāng)y=d的直線與圖象W有2個交點時,d>3或d=0.
(4)③
(5)①n>m　②x1=-2,x2=4　③-2解析:②方程-x2+bx+c=x+b的解是拋物線y1=-x2+bx+c與直線y2=x+b的交點的橫坐標(biāo),∴x1=-2,x2=4.
③求不等式x2-bx-c<-x-b的解集即求拋物線y1=-x2+bx+c位于直線y2=x+b上方時x的取值范圍,當(dāng)y1>y2時,x的取值范圍為-2求拋物線的對稱軸的方法
1.公式法:拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為直線x=-.
2.配方法:將拋物線的解析式配方成頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k,對稱軸為直線x=h.
3.根據(jù)對稱性求解:若拋物線上兩點的縱坐標(biāo)相等,則說明這兩點是關(guān)于拋物線的對稱軸對稱的,對稱軸是這兩點連線的垂直平分線,即若拋物線過點(x1,n),(x2,n),則對稱軸為直線x=.
利用二次函數(shù)的性質(zhì)比較函數(shù)值大小的方法
1.代入比較法:若已知二次函數(shù)的解析式,可將各點的橫坐標(biāo)代入解析式,求出各點的縱坐標(biāo),進(jìn)而比較大小.
2.增減性比較法:利用二次函數(shù)圖象的對稱性,將已知點轉(zhuǎn)化到對稱軸的同側(cè),再利用二次函數(shù)的增減性比較大小.
3.距離比較法:根據(jù)點到對稱軸的距離比較大小,具體如下,
對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c:
①當(dāng)a>0時,拋物線上的點到對稱軸的距離越小,對應(yīng)的函數(shù)值越小,如圖1;
②當(dāng)a<0時,拋物線上的點到對稱軸的距離越小,對應(yīng)的函數(shù)值越大,如圖2.
d1y2>y3
圖1　　　　　 圖2
確定平移后拋物線的解析式的方法
1.平移頂點法
(1)將拋物線的解析式化成頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k,得到頂點坐標(biāo)(h,k).
(2)將點(h,k)平移,得到平移后拋物線的頂點.
(3)利用頂點式的求法確定平移后拋物線的解析式.
2.平移任意兩點法
先求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式.
3.直接法
針對一般式,直接進(jìn)行“左加右減自變量,上加下減常數(shù)項”.如將拋物線y=ax2+bx向右平移h(h>0)個單位長度,得到拋物線y=a(x-h)2+b(x-h);向下平移k(k >0)個單位長度,得到拋物線y=ax2+bx-k.
命題點一　二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
(2023·河北)如圖,現(xiàn)要在拋物線y=x(4-x)上找點P(a,b),針對b的不同取值,所找點P的個數(shù),三人的說法如下,甲:若b=5,則點 P的個數(shù)為0;乙:若b=4,則點 P的個數(shù)為1;丙:若 b=3,則點 P的個數(shù)為1.下列判斷正確的是(　　)
A.乙錯,丙對 B.甲和乙都錯
C.乙對,丙錯 D.甲錯,丙對
(2024·河北)對于題目“一段拋物線L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)與直線l:y=x+2有唯一公共點.若c為整數(shù),確定所有c的值.”甲的結(jié)果是c=1,乙的結(jié)果是c=3或4,則 (　　)
A.甲的結(jié)果正確
B.乙的結(jié)果正確
C.甲、乙的結(jié)果合在一起才正確
D.甲、乙的結(jié)果合在一起也不正確
(2023·河北)已知二次函數(shù)y=-x2+m2x和y=x2-m2(m是常數(shù))的圖象與x軸都有兩個交點,且這四個交點中每相鄰兩點間的距離都相等,則這兩個函數(shù)圖象對稱軸之間的距離為 (　　)
A.2 B.m2 C.4 D.2m2
命題點二　二次函數(shù)的應(yīng)用
(2024·河北)如圖,點P(a,3)在拋物線C:y=4-(6-x)2上,且在C的對稱軸右側(cè).
(1)寫出C的對稱軸和y的最大值,并求a的值.
(2)坐標(biāo)平面上放置一透明膠片,并在膠片上描畫出點P及C的一段,分別記為點P',C'.平移該膠片,使C'所在拋物線對應(yīng)的函數(shù)恰為y=-x2+6x-9,求點P'移動的最短路程.
(2022·河北)如圖,2×2網(wǎng)格(每個小正方形的邊長為1)中有A,B,C,D,E,F,G,H,O九個格點,拋物線l的解析式為 y=(-1)nx2+bx+c(n為整數(shù)).
(1)若n為奇數(shù),且l經(jīng)過點H(0,1)和C(2,1),求b,c的值,并直接寫出哪個格點是該拋物線的頂點.
(2)若n為偶數(shù),且l經(jīng)過點A(1,0)和B(2,0),通過計算說明點F(0,2)和H(0,1)是否在該拋物線上.
(3)若l經(jīng)過這九個格點中的三個,直接寫出所有滿足這樣條件的拋物線條數(shù).
(2023·河北)如圖,已知點O(0,0),A(-5,0),B(2,1),拋物線l:y=-(x-h)2+1(h為常數(shù))與y軸的交點為C.
(1)若l經(jīng)過點B,求它的解析式,并寫出此時l的對稱軸及頂點坐標(biāo).
(2)設(shè)點C的縱坐標(biāo)為yc,求yc的最大值,此時l上有(x1,y1),(x2,y2)兩點,其中x1>x2≥0,比較y1與y2的大小.
(3)當(dāng)線段OA被l只分為兩部分,且這兩部分的比是1∶4時,求h的值.
命題點三　二次函數(shù)與其他函數(shù)結(jié)合
(2023·河北)如圖,拋物線L:y=-(x-t)(x-t+4)(常數(shù)t>0)與x軸從左到右的交點為B,A,過線段OA的中點M作MP⊥x軸交雙曲線y=(k>0,x>0)于點P,且OA·MP=12.
(1)求k的值.
(2)當(dāng)t=1時,求AB的長,并求直線MP與L的對稱軸之間的距離.
(3)把L在直線MP左側(cè)部分的圖象(含與直線MP的交點)記為G,用t表示圖象G最高點的坐標(biāo).
(4)設(shè)L與雙曲線有個交點的橫坐標(biāo)為x0,且滿足4≤x0≤6,通過L位置隨t變化的過程,直接寫出t的取值范圍.
(2024·河北)如圖,拋物線C1:y=ax2-2x過點(4,0),頂點為Q.拋物線C2:y=-(x-t)2+t2-2(其中t為常數(shù),且t>2),頂點為P.
(1)直接寫出a的值和點Q的坐標(biāo).
(2)嘉嘉說:無論t為何值,將C1的頂點Q向左平移2個單位長度后一定落在C2上.
淇淇說:無論t為何值,C2總經(jīng)過一個定點.
請選擇其中一人的說法進(jìn)行說理.
(3)當(dāng)t=4時,
①求直線PQ的解析式;
②作直線l∥PQ,當(dāng)l與C2的交點到x軸的距離恰為6時,求l與x軸交點的橫坐標(biāo).
(4)設(shè)C1與C2的交點A,B的橫坐標(biāo)分別為xA,xB,且xA【詳解答案】
教材考點·深度梳理
①y=ax2+bx+c　②上　③下　④-　⑤　⑥減小
⑦增大　⑧增大　⑨減小　⑩0　兩個不同的　且只有一個　無
對應(yīng)練習(xí)
1.(1)上　直線x=1　小　-4
(2)(-1,0),(3,0)　(0,-3)
(3)0　-4
(4)①(-4,21)　②(-3,12)或(5,12)
③2
(5)y1>y3>y2
(6)0或2
2.(1)<　>　>　<　(2)>　(3)=
(4)=　(5)>　(6)=　(7)>
(8)=　(9)<
解析:(1)由題圖可知,拋物線開口向下,a<0,與y軸交于正半軸,c>0,
∵-=1>0,∴b>0,∴abc<0.
(2)∵拋物線與x軸有兩個交點,
∴b2-4ac>0.
(3)∵-=1,∴2a+b=0.
(4)當(dāng)x=-1時,y=0,∴a-b+c=0.
(5)x=2時,y>0,∴4a+2b+c>0.
(6)x=3時,y=0,
∴9a+3b+c=0.
(7)∵a+b+c>0, b=-2a,
∴a-2a+c>0,即c-a>0,
∵c>0,∴2c-a>0.
(8)∵a-b+c=0,b=-2a,
∴3a+c=0.
(9)x=-2時,4a-2b+c<0,
∵b=-2a,
∴4a+4a+c<0,即8a+c< 0.
3.解:(1)畫出拋物線C2如圖所示.
(2)拋物線C3的解析式為y=2(x+1)2+2.
(3)拋物線C1先向左平移2個單位長度,再向下平移1個單位長度
(4)∵拋物線C1 的解析式為y=2x2,
∴拋物線C1先向下平移3個單位長度,再向右平移m(m>0)個單位長度,得到的新拋物線C5為y=2(x-m)2-3.
將(1,5)代入,得5=2(1-m)2-3,解得m=3或m=-1(不合題意,舍去),
故m=3.
(5)∵拋物線C1的解析式為y=2x2,
∴拋物線C1先向上平移1個單位長度,再向右平移n(n>0)個單位長度,得到的新拋物線C6為y=2(x-n)2+1,
∴其頂點坐標(biāo)為(n,1).
∵拋物線C6的頂點在拋物線C1上,
∴1=2n2,解得n=或n=-(不合題意,舍去),
故n的值為.
4.(1)y=(x+2)2-3
(2)y=x2-2x-3
(3)y=-(x+2)2+1
(4)y=-x2+x+2或y=x2-x-2
(5)y=x2+6x+7
(6)y=-x2-1
5.(1)有兩個不相等的實數(shù)根
(2)x1=-2,x2=4　(3)m>3
解析:(1)由題圖可知,y=ax2+bx+c與x軸有兩個交點,∴一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根.
(2)由題意可設(shè)y=a(x-1)2+3.
將(-2,t)代入y=a(x-1)2+3,得9a+3=t,∴a=.
∵ax2+bx+c-t=0,
∴方程為(x-1)2+3-t=0,
解得x1=-2,x2=4.
(3)∵拋物線的頂點坐標(biāo)為(1,3),
要使ax2+bx+c=m沒有實數(shù)根,即拋物線y=ax2+bx+c向下平移m個單位長度與x軸沒交點,
∴m>3.
河北中考·真題體驗
1.C　解析:y=x(4-x)=-x2+4x=-(x-2)2+4,∴拋物線的頂點坐標(biāo)為(2,4),∴在拋物線上的點P的縱坐標(biāo)最大為4,∴甲、乙的說法正確.若b=3,則拋物線上縱坐標(biāo)為3的點有2個,∴丙的說法不正確.故選C.
2.D　解析:∵拋物線L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)與直線l:y=x+2有唯一公共點,
∴①拋物線與直線相切,聯(lián)立解析式
得x2-2x+2-c=0,
Δ=(-2)2-4(2-c)=0,解得c=1;
②拋物線與直線不相切,但在0≤x≤3上只有一個交點,此時兩個臨界值分別為(0,2)和(3,5),易得23.A　解析:令-x2+m2x=0,解得x=0或x=m2,
令x2-m2=0,解得x=-m或x=m.
∵這四個交點中每相鄰兩點間的距離都相等,
∴m=-2或m=2.
∵拋物線y=x2-m2的對稱軸為直線x=0,拋物線y=-x2+m2x的對稱軸為直線x=,
∴這兩個函數(shù)圖象對稱軸之間的距離為2.故選A.
4.解:(1)∵拋物線C:y=4-(6-x)2=-(x-6)2+4,∴拋物線的頂點為Q(6,4),拋物線的對稱軸為直線x=6,y的最大值為4.將點P(a,3)代入拋物線C,得3=-(a-6)2+4.
∴a=5或7.∵點P在對稱軸的右側(cè),∴a>6.∴a=7.
(2)∵平移后得到的拋物線的解析式為y=-x2+6x-9=-(x-3)2,
∴平移后拋物線的頂點坐標(biāo)為Q'(3,0).∵平移前拋物線的頂點坐標(biāo)為Q(6,4),∴點P'移動的最短路程為QQ'==5.
5.解:(1)∵n為奇數(shù),∴y=-x2+bx+c.
∵點H(0,1)和C(2,1)在拋物線上,
∴解得
格點E是該拋物線的頂點.
(2)∵n為偶數(shù),
∴y=x2+bx+c.
∵點A(1,0)和B(2,0)在拋物線上,
∴解得
∴y=x2-3x+2.
當(dāng)x=0時,y=2≠1,∴點F(0,2)在該拋物線上,而點H(0,1)不在這條拋物線上.
(3)所有滿足條件的拋物線共有8條.
6.解:(1)把點B的坐標(biāo)(2,1)代入y=-(x-h)2+1,得1=-(2-h)2+1.解得h=2.
∴該拋物線的解析式為y=-(x-2)2+1(或y=-x2+4x-3),故拋物線l的對稱軸為直線x=2,頂點坐標(biāo)是(2,1).
(2)∵點C的橫坐標(biāo)為0,∴yc=-h2+1.∴當(dāng)h=0時,yc有最大值1.此時,拋物線l為y=-x2+1,對稱軸為y軸,開口方向向下,當(dāng)x≥0時,y隨x的增大而減小.當(dāng)x1>x2≥0時,y1(3)∵線段OA被l只分為兩部分,且這兩部分的比是1∶4,點O(0,0),A(-5,0),
∴把線段OA分為兩部分的點的坐標(biāo)是(-1,0)或(-4,0).把x=-1,y=0 代入y=-(x-h)2+1,得0=-(-1-h)2+1,解得h1=0,h2=-2.但是當(dāng)h=-2時,拋物線為y=-(x+2)2+1,線段OA被拋物線l分為三部分,不合題意,舍去.同理,把x=-4,y=0代入y=-(x-h)2+1,得0=-(-4-h)2+1,解得h=-5或h=-3(不合題意,舍去).綜上所述,h的值是0或-5.
7.解:(1)設(shè)點P(x,y),則MP=y,由OA的中點為M可知OA=2x,代入OA·MP=12,
得2x·y=12,即xy=6,
∴k=xy=6.
(2)當(dāng)t=1時,令y=0,0=-(x-1)(x+3),
解得x=1或x=-3.
∵點B在點A左邊,
∴B(-3,0),A(1,0),
∴AB=4,L的對稱軸是直線x=-1,且M為,0,
∴直線MP與L的對稱軸之間的距離為.
(3)∵A(t,0),B(t-4,0),
∴L的對稱軸為直線x=t-2,OM的長為.
當(dāng)t-2≤,即t≤4時,頂點(t-2,2)就是圖象G的最高點坐標(biāo);
當(dāng)t>4時,L與MP的交點,-t2+t就是圖象G的最高點坐標(biāo).
(4)5≤t≤8-或7≤t≤8+.
解析:設(shè)L與雙曲線的交點的縱坐標(biāo)為y0,對于雙曲線,當(dāng)4≤x0≤6時,1≤y0≤,即L與雙曲線在C4,,D(6,1)之間的一段有個交點.
①由=-(4-t)(4-t+4),得t=5或7.
②由1=-(6-t)(6-t+4),得t=8+或8-.
隨t的逐漸增加,L的位置隨著A(t,0)向右平移,如圖所示,
當(dāng)t=5時,L右側(cè)過點C.
當(dāng)t=8-<7時,L右側(cè)過點D,即當(dāng)5≤t≤8-時,L與CD段有個交點.
當(dāng)8-當(dāng)t=7時,L左側(cè)過點C.
當(dāng)t=8+時,L左側(cè)過點D,即當(dāng)7≤t≤8+時,L與CD段有個交點.
綜上所述,滿足條件的t的取值范圍為5≤t≤8-或7≤t≤8+.
8.解:(1)a=,Q(2,-2).
解析:∵拋物線C1:y=ax2-2x過點(4,0),頂點為Q,
∴16a-8=0,
解得a=,
∴拋物線C1的解析式為y=x2-2x=(x-2)2-2,
∴Q(2,-2).
(2)選擇嘉嘉的說法說理如下:
把Q(2,-2)向左平移2個單位長度得到對應(yīng)點的坐標(biāo)為(0,-2),
當(dāng)x=0時,
C2:y=-(x-t)2+t2-2=-t2+t2-2=-2,
∴(0,-2)在C2上,
∴嘉嘉的說法正確.
選擇淇淇的說法說理如下:
C2:y=-(x-t)2+t2-2=-x2+tx-2,
當(dāng)x=0時,y=-2,
∴C2:y=-(x-t)2+t2-2
過定點(0,-2),
∴淇淇的說法正確.
(3)①當(dāng)t=4時,
C2:y=-(x-t)2+t2-2=-(x-4)2+6,
∴頂點P(4,6).
而Q(2,-2),
設(shè)直線PQ的解析式為y=ex+f,
∴解得
∴直線PQ的解析式為y=4x-10.
②如圖1,當(dāng)C2:y=-(x-4)2+6=-6時(等于6兩直線重合,不符合題意),x=4±2,
圖1
∴交點J(4-2,-6),交點K(4+2,-6),
由直線l∥PQ,
設(shè)直線l的解析式為y=4x+b,
當(dāng)直線l過點J(4-2,-6)時,4(4-2)+b=-6,
解得b=8-22,
∴直線l的解析式為y=4x+8-22.
當(dāng)y=4x+8-22=0時,x=-2,
此時直線l與x軸交點的橫坐標(biāo)為-2.
同理當(dāng)直線l過點K(4+2,-6)時,
直線l的解析式為y=4x-8-22,
當(dāng)y=4x-8-22=0時,x=+2,
此時直線l與x軸交點的橫坐標(biāo)為+2.
綜上所述,l與x軸交點的橫坐標(biāo)為-2或+2.
(4)n=2+t-m.
解析:∵C1:y=(x-2)2-2,
C2:y=-(x-t)2+t2-2,
∴C2是由C1通過旋轉(zhuǎn)180°,再平移得到的,兩個函數(shù)圖象的形狀相同,
如圖2,連接AB交PQ于點L,連接AQ,BQ,AP,BP,
圖2
易知四邊形APBQ是平行四邊形.
若點M是到直線PQ的距離最大的點,最大距離為d,點N到直線PQ的距離恰好也為d,則M與B重合,N與A重合,
∵Q(2,-2),Pt,t2-2,
∴L的橫坐標(biāo)為,Mm,m2-2m,Nn,-(n-t)2+t2-2,
∴L的橫坐標(biāo)為,
∴,
解得n=2+t-m.

展開更多......

收起↑