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第13課時　反比例函數及其應用
考點一　反比例函數的圖象與性質
定義:一般地,形如y=(k為常數,k≠0)的函數,叫做反比例函數.
反比例函數圖象上點的橫、縱坐標之積恒為k,用來判斷某個點是否在已知函數圖象上或判斷兩個點是否在同一個函數圖象上.
反比例函數的圖象與性質
解析式 y=(k為常數,k≠0)
k k①　　　　0 k②　　　　0
圖象 (草圖)
所在 象限 第③　　　象限(x,y同號) 第④　　　 象限(x,y異號)
增減性 在每一個象限內,y隨x的增大而⑤　　　 在每一個象限內,y隨x的增大而⑥　　　
對稱性 關于直線y=x,y=-x成軸對稱;關于原點成中心對稱. 注:因為正比例函數和反比例函數圖象都關于原點對稱,故在同一直角坐標系中,正比例函數與反比例函數的圖象若有交點,則兩個交點關于原點對稱
① 反比例函數y=的圖象如圖所示,給出以下結論:
(1)常數k的取值范圍是　　　　.
(2)在每一個象限內,y隨x的增大而　　　　.
(3)若點A(-1,a)和A'(1,b)都在該函數的圖象上,則a與b的關系是　　　　.
(4)若點B(-2,h),C(-1,m),D(3,n)在該函數的圖象上,則h,m,n的大小關系是　　　　(用“<”號連接).
考點二　反比例函數中比例系數k的幾何意義
k的幾何意義:如圖,過雙曲線y=(k為常數,k≠0)上任一點P(x,y)作x軸、y軸的垂線PM,PN,所得矩形PMON的面積S=|xy|=⑦　　　　.
反比例函數y=(k為常數,k≠0)的圖象中有關圖形面積的常見類型
S△AOP=⑧　　　　　 S△OBP=⑨　　　　
S△ABP=⑩　　　　　 S△APP'=　　　　
S△ABC=　　　　　 S ABCD=　　　　
② 如圖,四個都是反比例函數y=的圖象.其中陰影部分面積為6的個數是(　　)
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
③ 如圖,在平面直角坐標系中,直線l∥x軸,且直線l分別與反比例函數y=(x>0)和y=-(x<0)的圖象交于點P,Q,連接PO,QO,則△POQ的面積為　　　　.
④ 如圖,在反比例函數y=(x>0)的圖象上,有點P1,P2,P3,P4,它們的橫坐標依次為1,2,3,4.分別過這些點作x軸與y軸的垂線,圖中所構成的陰影部分的面積從左到右依次為S1,S2,S3,則S1+S2+S3=　　　　.
考點三　反比例函數解析式的確定
待定系數法
(1)設所求反比例函數的解析式為y=(k≠0).
(2)找出圖象上的一點P(a,b)代入y=中.
(3)確定反比例函數的解析式y=.
利用k的幾何意義:題中已知面積時,考慮用k的幾何意義,由面積得|k|,再結合圖象所在象限判斷k的正負,從而得出k的值,代入解析式即可.
⑤ 若反比例函數y=的圖象經過點(2,-4),則該反比例函數的解析式為　　　　;若反比例函數y=的圖象上有一點P,過點P作PA⊥x軸于點A,連接OP,且△POA的面積是5,則k=　　　　.
考點四　反比例函數與一次函數、幾何圖形的綜合
　　反比例函數常和一次函數、三角形、四邊形等聯系起來綜合考查,比如用點的坐標表示線段的長度,結合幾何圖形的特征列方程,求出點的坐標,進而求出函數解析式,或用點的坐標表示線段的長度來探究幾何圖形的某些特征.
⑥ (冀教九上P144C組T2變式)如圖,反比例函數y=-與一次函數y=-x+2的圖象相交于A,B兩點.
(1)求A,B兩點的坐標.
(2)求△AOB的面積.
(3)觀察圖象,直接寫出一次函數值大于反比例函數值時x的取值范圍.
(4)在x軸上是否存在一點C,使△AOB的面積等于△AOC的面積 若存在,求出點C坐標;若不存在,請說明理由.
(5)在x軸上是否存在一點E,使△ADE的周長最小 若存在,求出點E坐標;若不存在,請說明理由.
(6)在y軸上是否存在一點P,使△AOP是等腰三角形 若存在,求出點P坐標;若不存在,請說明理由.
(7)在x軸上是否存在一點Q,使△AOQ是直角三角形 若存在,求出Q坐標;若不存在,請說明理由.
考點五　反比例函數的實際應用
常見的反比例函數關系
(1)行程問題:速度=.
(2)工程問題:工作效率=.
(3)壓強問題:壓強=.
(4)電學問題:電阻=.
步驟
(1)根據實際情況建立反比例函數模型.
(2)確定函數解析式.
(3)根據反比例函數的性質解決實際問題.
注意:在實際問題中,求出解析式后要注意自變量和函數值的取值范圍.
⑦ (人教九下P18變式)已知蓄電池的電壓為定值,使用蓄電池時,電流I(單位:A)與電阻R(單位:Ω)是反比例函數關系,它的圖象如圖所示,下列說法中不正確的是 (　　)
A.函數解析式為I= B.蓄電池的電壓是60 V
C.當R=6 Ω時,I=8 A D.當I≤10 A時,R≥6 Ω
⑧ 某標準游泳池的尺寸為長50 m,寬25 m,深3 m,游泳池蓄水能游泳時,水深不低于1.8 m.
(1)該游泳池能游泳時,最低蓄水量是多少立方米
(2)游泳池的排水管每小時排水x m3,那么將游泳池最低蓄水量排完用了y h.
①寫出y與x的函數關系式;
②當x=225時,求y的值;
③如果增加排水管,使每小時排水量達到s m3,則時間y會　　　　(選填“增大”或“減小”);
④在②的情況下,如果最低蓄水量排完不超過5 h,每小時排水量最少增加多少立方米
(多維設問)已知反比例函數y=(k為常數,k≠1).
(1)若在其圖象的每一支上,y隨x的增大而減小,求k的取值范圍.
(2)若其圖象的一支位于第二象限,在這一支上任取兩點A(x1,y1),B(x2,y2),當y1>y2時,試比較x1與x2的大小.
(3)若在其圖象上任取一點,向x軸和y軸作垂線,若所得矩形面積為6,求k的值.
(4)其圖象與正比例函數y=x的圖象的一個交點為P,若點P的縱坐標是2,求k的值.
(5)其中k> -1,且k≠0,1≤x≤2,若該函數的最大值與最小值的差是1,求k的值.
(1)∵在反比例函數y=圖象的每一支上,y隨x的增大而減小,∴k-1>0,解得k>1.
(2)∵反比例函數y=圖象的一支位于第二象限,
∴在該函數圖象的每一支上,y隨x的增大而增大.
∵點A(x1,y1)與點B(x2,y2)在該函數的第二象限的圖象上,且y1>y2,∴x1>x2.
(3)∵在其圖象上任取一點,向兩坐標軸作垂線,得到的矩形面積為6,∴|k-1|=6,解得k=7或k=-5.
(4)由題意,設點P的坐標為(m,2).
∵點P在正比例函數y=x的圖象上,∴2=m,∴點P的坐標為(2,2).∵點P在反比例函數y=的圖象上,∴2=,解得k=5.
(5)當-1解得k=-1,不合題意,舍去;
當k>1時,在1≤x≤2范圍內,y隨x的增大而減小,
∴k-1-=1,解得k=3.∴k的值為3.
命題點一　反比例函數的圖象與性質
(2024·河北模擬)已知(m+3)>1,則函數y=-的圖象大致是 (　　)
A B C D
(2022·河北)定義新運算:a b=例如:4 5=,4 (-5)=,則函數y=2 x(x≠0)的圖象大致是 (　　)
A B C D
(2023·河北)如圖,若拋物線y=-x2+3與x軸圍成封閉區域(邊界除外)內整點(點的橫、縱坐標都是整數)的個數為k,則反比例函數y=(x>0)的圖象是 (　　)
A B C D
(2023·河北)如圖,已知點A(3,3),B(3,1),反比例函數y=(k≠0)圖象的一支與線段AB有交點,寫出一個符合條件的k的整數值:　　　　.
(2023·河北)如圖是8個臺階的示意圖,每個臺階的高和寬分別是1和2,每個臺階凸出的角的頂點記作Tm(m為1~8的整數),函數y=(x<0)的圖象為曲線L.
(1)若L過點 T1,則k=　　　　.
(2)若L過點T4,則它必定還過另一點Tm,則m=　　　　.
(3)若曲線L使得T1~T8這些點分布在它的兩側,每側各4個點,則k的整數值有　　　　個.
(2023·河北)用繪圖軟件繪制雙曲線m:y=與動直線l:y=a,且交于一點,圖1為a=8時的視窗情形.
圖1 圖2
(1)當a=15時,l與m的交點坐標為　　　　.
(2)視窗的大小不變,但其可視范圍可以變化,且變化前后原點O始終在視窗中心.
例如,為在視窗中看到(1)中的交點,可將圖1
中坐標系的單位長度變為原來的,其可視范圍就由-15≤x≤15及-10≤y≤10變成了-30≤x≤30及-20≤y≤20(如圖2).
當a=-1.2和a=-1.5時,l與m的交點分別是點A和B,為能看到m在點A和B之間的一整段圖象,需要將圖1中坐標系的單位長度至少變為原來的,則整數k=　　　　.
命題點二　反比例函數的實際應用
(2023·河北)一臺印刷機每年可印刷的書本數量y(萬冊)與它的使用時間x(年)成反比例關系,當x=2時,y=20,則y與x的函數圖象大致是 (　　)
A B C D
(2024·河北)節能環保已成為人們的共識.淇淇家計劃購買500度電,若平均每天用電x度,則能使用y天.下列說法錯誤的是(　　)
A.若x=5,則y=100
B.若y=125,則x=4
C.若x減小,則y也減小
D.若x減小一半,則y增大一倍
【詳解答案】
教材考點·深度梳理
①>?、??、垡弧⑷、芏?、四
⑤減小?、拊龃蟆、遼k|?、唷、帷、狻?|k|　|k|　|k|
對應練習
1.(1)k>-1　(2)減小　(3)a+b=0　(4)m解析:(1)∵圖象位于第一、三象限,
∴k+1>0,解得k>-1.
(2)在每一個象限內,y隨x的增大而減小.
(3)若點A(-1,a)和A'(1,b)都在該函數的圖象上,則-a=b,即a+b=0.
(4)若點B(-2,h),C(-1,m),D(3,n)在該函數的圖象上,則m2.B　解析:第一個陰影部分的面積為6;第二個陰影部分的面積為3;第三個陰影部分的面積為6;第四個陰影部分的面積為12.故選B.
3.7　解析:如圖,∵直線l∥x軸,
∴S△OQM=×|-8|=4,S△OPM=×6=3,
∴S△POQ=S△OQM+S△OPM=7.
4.　解析:由題意,可知點P1,P2,P3,P4坐標分別為(1,2),(2,1),3,,4,.
∵題圖中所構成的陰影部分的總面積正好是從點P1向x軸、y軸引垂線構成的矩形面積減去最下方的矩形的面積,
∴S1+S2+S3=1×2-×1=.
5.y=-　±10　解析:將(2,-4)代入y=,得-4=,解得k=-8,故該反比例函數的解析式為y=-;
根據k的幾何意義可知,|k|=5,
∴k=±10.
6.解:(1)聯立
解得
∴A(-2,4),B(4,-2).
(2)y=-x+2中,當x=0時,y=-0+2=2,
∴點D的坐標為(0,2),
∴OD=2,
∴S△AOB=S△AOD+S△BOD=×2×2+×2×4=2+4=6.
(3)x<-2或0(4)存在,∵S△AOC=S△AOB=6,
∴×OC×4=6,
∴OC=3,
∴點C的坐標為(3,0)或(-3,0).
(5)存在,如圖1,作點D關于x軸對稱的點D'(0,-2),連接AD',交x軸于點E,連接DE,
圖1
∴DE=D'E.
∵△ADE的周長=AD+AE+DE=AD+AE+D'E,AD為定值,
∴當AE+D'E有最小值時,△ADE的周長有最小值,
∴當點A,點D',點E共線時,AE+D'E有最小值.
∵點A(-2,4),點D'(0,-2),
∴直線AD'的解析式為y=-3x-2,
當y=0時,x=-,
∴點E的坐標為-,0.
(6)存在,∵點A(-2,4),點O(0,0),
∴AO=2.
當AO=OP=2時,則點P(0,2)或(0,-2);
當AO=AP時,則點A在OP的垂直平分線上,
∴點P(0,8);
當AP=OP時,
如圖2,過點A作AH⊥y軸于點H,
圖2
∴AH=2,OH=4.
∵AP2=AH2+PH2,
∴OP2=4+(4-OP)2,
∴OP=,
∴點P0,,
綜上所述,點P坐標為(0,2)或(0,-2)或(0,8)或0,.
(7)存在,如圖3,
圖3
當∠AQO=90°時,則AQ⊥x軸,
∴AQ=4,OQ=2,
∴點Q(-2,0);
當∠Q'AO=90°時,
∴∠Q'AO=∠AQO=∠AQQ'=90°,
∴∠AOQ+∠QAO=90°=∠QAO+∠Q'AQ,
∴∠Q'AQ=∠AOQ,
∴△AQQ'∽△OQA,
∴,
∴16=2QQ',
∴QQ'=8,
∴OQ'=10,
∴點Q'(-10,0),
綜上所述,點Q的坐標(-2,0)或(-10,0).
7.C　解析:設I=,
∵題圖過點(5,12),
∴k=60,
∴I=,
∴蓄電池的電壓是60 V,
∴A,B正確,不符合題意;
當R=6 Ω時,I==10(A),
∴C錯誤,符合題意;
當I=10時,R=6,
結合題圖知,當I≤10 A時,R≥6 Ω,
∴D正確,不符合題意.故選C.
8.解:(1)蓄水池的最低蓄水量是50×25×1.8=2 250(m3).
(2)①∵xy=2 250,∴y與x成反比例關系,
∴y與x之間的函數關系式為y=.
②當x=225時,y==10.
③減小
④y=≤5,
解得x≥450,
即每小時的排水量至少為450 m3,
∴450-225=225(m3),
∴每小時排水量最少增加225 m3.
河北中考·真題體驗
1.C　解析:(m+3)>1,解得m>0,∴y=-的圖象分布于第二、四象限.故選C.
2.D　解析:2 x=故選D.
3.D　解析:拋物線y=-x2+3,當y=0時,x=±;當x=0時,y=3,則拋物線y=-x2+3與x軸圍成封閉區域(邊界除外)內整點(點的橫、縱坐標都是整數)為(-1,1),(0,1),(0,2),(1,1),共有4個,∴k=4.∴反比例函數解析式為y=.故只有D符合.故選D.
4.k=4(答案不唯一)　解析:由題圖可知k>0,
∵反比例函數y=(k>0)的圖象與線段AB有交點,且點A(3,3),B(3,1),
∴把B (3,1)代入y=,得k=3,
把A(3,3)代入y=,得k=3×3=9,
∴滿足條件的k值的取值范圍是3≤k≤9的整數,
故k=4(答案不唯一).
5.(1)-16　(2)5　(3)7　解析:∵每個臺階的高和寬分別是1和2,∴點T1(-16,1),T2(-14,2),T3(-12,3),T4(-10,4),T5(-8,5),T6(-6,6),T7(-4,7),T8(-2,8).
(1)∵L過點T1,∴k=-16×1=-16.
(2)∵L過點T4,∴k=-10×4=-40.∴反比例函數解析式為y=-.當x=-8時,y=5,∴點T5在反比例函數圖象上,∴m=5.
(3)若曲線L過點T1(-16,1),T8(-2,8)時,k=-16,若曲線L過點T2(-14,2),T7(-4,7)時,k=-14×2=-28,若曲線L過點T3(-12,3),T6(-6,6)時,k=-12×3=-36,若曲線L過點T4(-10,4),T5(-8,5)時,k=-40,∵曲線L使得T1~T8這些點分布在它的兩側,每側各4個點,
∴-36-35,-34,-33,-32,-31,-30,-29,共7個.
6.(1)(4,15)　(2)4　解析:(1)a=15時,y=15,由y=,當y=15時,得x=4,即當a=15時,l與m的交點坐標為(4,15).
(2)由y=,當a=-1.2,即y=-1.2時,得x=-50,
∴A點坐標為(-50,-1.2),
由y=,當a=-1.5,即y=-1.5時,得x=-40,∴B點坐標為(-40,-1.5).為能看到m在點A(-50,-1.2)和B(-40,-1.5)之間的一整段圖象,需要將題圖1中坐標系的單位長度至少變為原來的.∴整數k=4.
7.C　解析:設y=(k≠0).∵當x=2時,y=20,∴k=2×20=40,∴y=.∴y與x的函數圖象是雙曲線的一支(在第一象限)且過點(1,40).故選C.
8.C　解析:由題意,得y=.
A.若x=5,則y==100,正確,故此選項不符合題意;
B.若y=125,則125=,解得x=4,正確,故此選項不符合題意;
C.若x減小,則y增大,原說法錯誤,故此選項符合題意;
D.若x減小一半,即y'=,所以y增大一倍,正確,故此選項不符合題意.故選C.

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