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第12課時　一次函數的實際應用
考點　一次函數的實際應用
用一次函數解決實際問題的一般步驟
(1)設定實際問題中的變量.
(2)建立一次函數關系式.
(3)確定自變量的取值范圍.
(4)利用函數的性質解決問題.
(5)作答.
一次函數實際應用的常見類型
(1)根據實際問題給出的數據列相應的函數解析式解決實際問題.
(2)利用一次函數對實際問題中的方案進行比較.
(3)結合實際問題的函數圖象解決實際問題.
(4)兩個以上的一次函數拼接成一個分段函數,分段求函數解析式,標清自變量的取值范圍,找準所求的問題在哪段.
求最值問題,即求最佳方案問題
(1)將所有求得的方案的值計算出來,再進行比較.
(2)直接利用求值與其變量之間滿足的一次函數關系式求解,求一次函數的增減性可直接確定最優方案及最值;若是分段函數,則需要分類討論,先計算出每個分段函數的最值,再進行比較.
解決圖象型分段函數問題的一般思路
(1)找特殊點,即圖象的起點、中點或轉折點.
(2)根據函數圖象的特征判斷函數的類型,利用待定系數法求相應的函數解析式.
(3)根據題目要求解決實際問題.
① (2024·邯鄲三模)珍珍的爸爸是某單位的一名銷售員,他的月工資(基本工資+計件提成)總額隨月銷售量x(件)的變化而變化,下表是他應得工資w(元)與x之間的關系:
銷售量x/件 100 110 120 130 …
月工資總額w/元 2 800+1 000 2 800+1 100 2 800+1 200 2 800+1 300 …
求珍珍爸爸的月收入不低于5 000元時應銷售件數的取值范圍,有如下解題方法:
方法一:
建立w與x的函數關系式:w=100x+2 800.
由w≥5 000,求得x的取值范圍
方法二:
月工資因計件提成不同而不同,
5 000-2 800=2 200.
由10x≥2 200,求得x的取值范圍
下列判斷正確的是 (　　)
A.方法一的思路正確,函數解析式也正確
B.方法一的思路和函數解析式都不正確
C.方法二的思路正確,所列不等式也正確
D.方法二的思路和所列不等式都不正確
② (2024·龍東地區)甲、乙兩貨車分別從相距225 km的A,B兩地同時出發,甲貨車從A地出發途經配貨站時,停下來卸貨,半小時后繼續駛往B地,乙貨車沿同一條公路從B地駛往A地,但乙貨車到達配貨站時接到緊急任務立即原路原速返回B地,結果比甲貨車晚半小時到達B地.如圖是甲、乙兩貨車距A地的距離y(km)與行駛時間x(h)之間的函數圖象,結合圖象回答下列問題:
(1)甲貨車到達配貨站之前的速度是　　　km/h,乙貨車的速度是　　　km/h.
(2)求甲貨車在配貨站卸貨后駛往B地的過程中,甲貨車距A地的距離y(km)與行駛時間x(h)之間的函數解析式.
(3)直接寫出甲、乙兩貨車在行駛的過程中,出發多長時間甲、乙兩貨車與配貨站的距離相等.
一次函數的實際應用一般涉及:①求一次函數解析式;②選擇最佳方案或方案選取;③利潤最大或費用最少
求一次函 數解析式 ①文字型及表格型的應用題,一般都是根據題干中給出的數據及關系式來求一次函數解析式;②圖象型的應用題,一般都是找圖象上的兩個點的坐標,根據待定系數法求一次函數的解析式.
選擇最優 方案或方 案選取 當給定x值選取方案時,將x值代入解析式,判斷y值大小;給定y值選取方案時,將y值代入解析式,判斷x值大小.當x,y值均未給定時,若為兩種方案的選取,則兩種方案的函數關系式組成不等式,求解對應的x的取值范圍;若為三種方案的選取,可畫出函數圖象,求出交點坐標,利用函數圖象性質解答
利潤最大或 費用最少 常利用一次函數的增減性,即先確定k的正負,再確定x的范圍,取x的兩端點的值比較大小即可
類型一　一次函數圖象型實際應用
已知A,B兩地相距120 km,甲車從A地駛往B地,乙車從B地以80 km/h的速度勻速駛往A地,乙車比甲車晚出發m h.設甲車行駛的時間為x(h),甲、乙兩車離A地的距離分別為y1(km)、y2(km),圖中線段OP表示y1與x的函數關系.
(1)甲車的速度為　　　　 km/h.
(2)若兩車同時到達目的地,在圖中畫出y2與x的函數圖象,并求甲車行駛幾小時后與乙車相遇.
(3)若甲、乙兩車在距A地60 km至72 km之間的某處相遇,直接寫出m的取值范圍.
(1)60
(2)解:∵乙車從B地以80 km/h的速度勻速駛往A地,兩車同時到達目的地,
∴乙車行駛時間為120÷80=1.5(h).
∵2-1.5=0.5(h),∴乙車比甲車晚出發0.5 h.
圖象CD即為y2與x的函數圖象,如圖所示.
由題意,得y1=60x,
設CD的函數解析式為y2=-80x+b,
將(2,0)代入y2=-80x+b,得b=160,
∴y2=-80x+160,由-80x+160=60x,得x=,
∴甲車出發后 h與乙車相遇.
(3)解:m的取值范圍是解析:根據題意,得y1=60x,y2=120-80(x-m)=-80x+120+80m,由60x=-80x+120+80m,得x=+m,
當x=+m時,y1=y2=60+m.
∵甲、乙兩車在距A地60 km至72 km之間的某處相遇,
∴60<60+m<72,解得∴m的取值范圍是類型二　一次函數文字型實際應用
如圖,小強組裝了一款遙控車,并在長度為160 m的跑道AB上試驗它在不同速度下的運行情況.從點A出發,先以2 m/s的速度行進了20 s,接著以3 m/s的速度行進到終點B.為記錄全程,安裝了拍攝設備,拍攝設備在與起點A距離40 m處的P點.設遙控車的運動時間為x(s),遙控車與拍攝點的距離為y(m).
(1)求y與x之間的函數關系式.
(2)求遙控車距離拍攝點10 m時的運動時間.
(3)當遙控車從點A出發時,一個機器人從拍攝點出發以a m/s的速度向點B行進,并在與點B相距15 m內(不與點B重合)被遙控車追上,直接寫出a的取值范圍.
(1)由題意知,當0≤x≤20時,遙控車在點A和拍攝點之間,則y=2×20-2x=-2x+40.過了拍攝點后,到達B點還需行駛時間為(160-40)÷3=40(s).
∴當20則y=3(x-20)=3x-60.
綜上所述,y=
(2)將y=10代入y=-2x+40,得10=-2x+40,
解得x=15,
將y=10代入y=3x-60,得10=3x-60,
解得x=,
所以遙控車離拍攝點10 m時的運動時間為15 s或 s.
(3)解析:遙控車走到距離B點15 m處所用時間為
20+(160-40-15)÷3=20+35=55(s),
遙控車走到B點所用時間為
20+(160-40)÷3=20+40=60(s),
遙控車在距離B點15 m內追上機器人,則55a>105,且60a<120,解得∴a的取值范圍為類型三　一次函數表格型實際應用
某企業接到一批訂單,在160天內(含160天)生產甲、乙兩種型號家具共100套,經過測試與統計,得到如下數據:
型號 制造每套家具平均用時/天 每套家具的利潤/萬元
甲 0.5
乙 0.8
受條件限制,兩種型號的家具不能同時生產,已知該企業能如期完成生產任務,設生產甲型號家具x套,生產這100套家具的總利潤為y萬元.
(1)求y與x之間的函數關系式.
(2)求x為何值時,y最大,最大值是多少
(3)由于客戶需要,生產乙型號家具需添加一道工序,此道工序平均每套家具所需費用為3m(m>0)萬元,若y隨x的增大而減小,求m的取值范圍.
(1)依題意,得y=0.5x+0.8(100-x),
整理,得y=-0.3x+80,
∴y與x之間的函數關系式為y=-0.3x+80.
(2)依題意,得x+(100-x)≤160,
解得x≥16.
對于y=-0.3x+80,y隨x的增大而減小,
∴當x取最小值時,y最大,
∴當x=16時,y最大,
此時y=-0.3×16+80=75.2,
∴當x=16時,y最大,最大值為75.2萬元.
(3)依題意,得y=-0.3x+80-(100-x)×3m,
整理,得y=3(m-0.1)x-300m+80,
∵y隨x的增大而減小,
∴3(m-0.1)<0,
解得m<0.1.
又m>0,∴m的取值范圍是0命題點　一次函數的實際應用
(2023·河北)水平放置的容器內原有210 mm高的水,如圖,將若干個球逐一放入該容器中,每放入一個大球水面就上升4 mm,每放入一個小球水面就上升3 mm,假定放入容器中的所有球完全浸沒水中且水不溢出.設水面高為y mm.
(1)只放入大球,且個數為x大,求y與x大的函數關系式(不必寫出x大的范圍).
(2)僅放入6個大球后,開始放入小球,且小球個數為x小.
①求y與x小的函數關系式(不必寫出x小的范圍);
②限定水面高不超過260 mm,最多能放入幾個小球
(2023·河北)如圖是某機場監控屏顯示兩飛機的飛行圖象,1號指揮機(看成點P)始終以 3 km/min的速度在離地面5 km高的上空勻速向右飛行,2號試飛機(看成點Q)一直保持在1號機P的正下方,2號機從原點O處沿45°仰角爬升,到4 km高的A處便立刻轉為水平飛行,再過1 min到達 B 處開始沿直線 BC 降落,要求1 min后到達點C(10,3)處.
(1)求OA的h關于s的函數解析式,并直接寫出2號機的爬升速度.
(2)求BC的h關于s的函數解析式,并預計2號機著陸點的坐標.
(3)通過計算說明兩機距離PQ不超過3 km的時長是多少.
[注:(1)及(2)中不必寫s的取值范圍]
(2024·河北)長為300 m的春游隊伍,以v(m/s)的速度向東行進.如圖1和圖2,當隊伍排尾行進到位置O時,在排尾處的甲有一物品要送到排頭,送到后立即返回排尾,甲的往返速度均為2v(m/s),當甲返回排尾后,他及隊伍均停止行進.設排尾從位置O開始行進的時間為t(s),排頭與位置O的距離為s頭(m).
(1)當v=2時,解答:
①求s頭與t的函數關系式(不寫t的取值范圍);
②當甲趕到排頭位置時,求s頭的值;在甲從排頭返回到排尾過程中,設甲與位置O的距離為s甲(m),求s甲與t的函數關系式(不寫t的取值范圍).
(2)設甲這次往返隊伍的總時間為T(s),求T與v的函數關系式(不寫v的取值范圍),并寫出隊伍在此過程中行進的路程.
圖1　 圖2
(2023·河北)某商店通過調低價格的方式促銷n個不同的玩具,調整后的單價y(元)與調整前的單價x(元)滿足一次函數關系,如下表:
項目 第1個 第2個 第3個 第4個 … 第n個
調整前的單價x/元 x1 x2=6 x3=72 x4 … xn
調整后的單價y/元 y1 y2=4 y3=59 y4 … yn
已知這n個玩具調整后的單價都大于2元.
(1)求y與x的函數關系式,并確定x的取值范圍.
(2)某個玩具調整前的單價是108元,顧客購買這個玩具省了多少錢
(3)這n個玩具調整前、后的平均單價分別為,,猜想與的關系式,并寫出推導過程.
【詳解答案】
教材考點·深度梳理
對應練習
1.C　解析:觀察表格可知w=10x+2 800,∵珍珍爸爸的月收入不低于5 000元,∴w≥5 000,則10x+2 800≥5 000,即10x≥2 200,∴方法一的思路正確,函數解析式錯誤,方法二的思路正確,所列不等式也正確.故選C.
2.解:(1)30　40
解析:由題圖可知甲貨車到達配貨站路程為105 km,所用時間為3.5 h,∴甲貨車到達配貨站之前的速度是105÷3.5=30(km/h).
∵乙貨車到達配貨站的路程為225-105=120(km),到達配貨站時接到緊急任務立即原路原速返回B地,總路程為240 km,總時間是6 h,
∴乙貨車速度為240÷6=40(km/h).
(2)由題意,得E(4,105),F(5.5,225).
設yEF=kx+b(4≤x≤5.5),
∴
解得
∴甲貨車在配貨站卸貨后駛往B地的過程中,甲貨車距A地的距離y(km)與行駛時間x(h)之間的函數解析式為y=80x-215(4≤x≤5.5).
(3)經過 h或 h或5 h,甲、乙兩貨車與配貨站的距離相等.
解析:設甲貨車出發x h,甲、乙兩貨車與配貨站的距離相等,
①當兩車到達配貨站之前時,105-30x=120-40x,
解得x=.
②當乙貨車到達配貨站時開始返回,甲貨車未到達配貨站時,105-30x=40x-120,
解得x=.
③當甲貨車在配貨站卸貨后駛往B地時,80x-215-105=40x-120,
解得x=5.
故經過 h或 h或5 h,甲、乙兩貨車與配貨站的距離相等.
河北中考·真題體驗
1.解:(1)根據題意,得y=4x大+210.
(2)①當x大=6時,y=4×6+210=234,∴y=3x小+234.
②依題意,得3x小+234≤260,
解得x小≤8,∵x小為自然數,∴x小最大為8,即最多能放入8個小球.
2.解:(1)∵2號機爬升角度為45°,
∴OA上的點的橫、縱坐標相同,∴點A(4,4).設OA的解析式為h=ks,
∴4k=4,∴k=1.
∴OA的解析式為h=s.
2號機的爬升速度為3 km/min.
(2)設BC的解析式為h=ms+n.
由題意,得點B(7,4),C(10,3).
∴解得
∴BC的解析式為h=-s+.
令h=0,則s=19.
∴預計2號機著陸點的坐標為(19,0).
(3)∵PQ不超過3 km,∴5-h≤3.∴PQ=
解得2≤s≤13.
∴兩機距離PQ不超過3 km的時長為(13-2)÷3=(min).
3.解:(1)①排尾從位置O開始行進的時間為t(s),則排頭也離開原排頭t(s),∴s頭=2t+300.
②甲從排尾趕到排頭的時間為300÷(2v-v)=300÷v=300÷2=150(s),此時s頭=2t+300=600 m,甲返回時間為(t-150)s,∴s甲=s頭-s甲回=600-4(t-150)=-4t+1 200.∴在甲從排頭返回到排尾過程中,s甲與t的函數關系式為s甲=-4t+1 200.
(2)T=t追及+t返回=+,在甲這次往返隊伍的過程中隊伍行進的路程為·v=400(m).
4.解:(1)設y=kx+b.由題意得x=6時,y=4;x=72時,y=59.
∴解得
∴y與x的函數關系式為y=x-1.
∵這n個玩具調整后的單價都大于2元,
∴x-1>2,解得x>.
∴x的取值范圍是x>.
(2)將x=108代入y=x-1,
得y=×108-1=89,∴108-89=19(元).
∴顧客購買這個玩具省了19元.
(3)-1.推導過程:由(1)得
y1=x1-1,y2=x2-1,…,yn=xn-1,
∴(y1+y2+…+yn)=x1-1+x2-1+…+xn-1=(x1+x2+…+xn)-n=-1=-1.

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