資源簡介

第6課時　一次方程(組)及其應(yīng)用
考點一　等式的性質(zhì)
若a=b,則a±c=①　　 移項.
若a=b,則②　　　=bc去分母(方程兩邊同乘各分母的最小公倍數(shù));
若a=b,則③　　　　=(c≠0)系數(shù)化為1.
① 下列等式的性質(zhì)運用錯誤的是 (　　)
A.若a=b,則a+2 024=b+2 024
B.若a=b,則-3a=-3b
C.若=,則a=b
D.若a=b,則=
② 有兩種等式變形:①若ax=b,則x=;②若x=,則ax=b,其中 (　　)
A.只有①對 B.只有②對
C.①②都對 D.①②都錯
③ (2024·石家莊裕華區(qū)一模)如圖,已知相同物體的質(zhì)量相等,①中天平保持平衡狀態(tài),則②中天平 (　　)
①　　②
A.能平衡
B.不能平衡,右邊比左邊低
C.不能平衡,左邊比右邊低
D.無法確定
考點二　一元一次方程及其解法
一元一次方程
(1)概念:只含有一個未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是④　　　　　的整式方程.
(2)一般形式:ax+b=0(a,b是常數(shù),且a≠0).
(3)解:x=-(a≠0).
解一元一次方程的一般步驟
④ 下列是解一元一次方程2(x+3)=5x的步驟:2(x+3)=5x2x+6=5x2x-5x=-6-3x=-6x=2
其中說法錯誤的是 (　　)
A.①步的依據(jù)是乘法分配律
B.②步的依據(jù)是等式的性質(zhì)1
C.③步的依據(jù)是加法結(jié)合律
D.④步的依據(jù)是等式的性質(zhì)2
⑤ 小紅在解方程=+1時,第一步出現(xiàn)了錯誤:
解:2×7x=(4x-1)+1,
…
(1)請在相應(yīng)的方框內(nèi)用橫線畫出小紅的錯誤處.
(2)寫出你的解答過程.
考點三　二元一次方程(組)及其解法
二元一次方程:方程含有⑦　　　　個未知數(shù),并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是⑧　　　　的整式方程.例如ax+by=c(a,b,c為常數(shù)).
二元一次方程組:一個方程組含有兩個未知數(shù),每個方程中含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1,并且一共有兩個方程,像這樣的方程組叫做二元一次方程組.
二元一次方程組的解法
解二元一次方程組的基本思想:消元,即將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程.主要有代入消元法和加減消元法.
(1)代入消元法:當方程組中一個方程的常數(shù)項為0或某一個未知數(shù)的系數(shù)是1或-1時,選擇代入消元法較為簡單.
(2)加減消元法:①當方程組中同一個未知數(shù)的系數(shù)相同或互為相反數(shù)時,采用加減消元法較為簡單;②當系數(shù)不同也不互為相反數(shù)時,可通過找系數(shù)的最小公倍數(shù),將系數(shù)變相同或互為相反數(shù),再采用加減消元法求解.
⑥ 解方程組①和方程組②比較簡便的方法是(　　)
A.均用代入消元法 B.均用加減消元法
C.①用代入消元法,②用加減消元法 D.①用加減消元法,②用代入消元法
⑦ (原創(chuàng))解方程組
(1)若將①寫成含x的代數(shù)式表示y,則y= 　　　　.
(2)若將②寫成含y的代數(shù)式表示x,則x=　　　　.
(3)要消去x,可以將①×5-②×3,得　　　　.
(4)要消去y,可以將①×3+②×2,得　　　　.
考點四　三元一次方程組的解法
三元一次方程組:一個方程組含有三個未知數(shù),每個方程中含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1,并且一共有三個方程,像這樣的方程組叫做三元一次方程組.
解三元一次方程組的基本思路
三元一次方程組二元一次方程組一元一次方程.
⑧ 解方程組時,要使解法較為簡便,應(yīng) (　　)
A.先消去x
B.先消去y
C.先消去z
D.先消去常數(shù)
考點五　一次方程(組)的實際應(yīng)用
列方程(組)解應(yīng)用題的一般步驟
審 審清題意,分清題中的已知量、未知量
設(shè) 設(shè)關(guān)鍵未知數(shù),一般求什么,就設(shè)什么,也可設(shè)間接未知數(shù)
列 找出適當?shù)攘筷P(guān)系,列方程(組)
解 解方程(組)
驗 檢驗所解答案是否正確且是否符合題意
答 解答題需要作答,注意單位名稱
基本等量關(guān)系
和差倍 分問題 抓住反映等量關(guān)系的關(guān)鍵字:和、差、倍、幾分之幾、比、大、小、多、少、增加、減少等
購買問題 總價=單價×數(shù)量
利潤 問題 (1)售價=標價×折扣, 銷售額=售價×銷量. (2)利潤=售價-進價, 利潤率=×100%
行程 問題 (勻速 運動) 基本關(guān)系:s=vt (1)相遇問題(同時出發(fā))s甲+s乙=⑨　　　　,t甲=t乙. (2)追擊問題:同時不同地:s甲=s乙+⑩　　　　,t甲=t乙. 同地不同時:甲出發(fā)t小時后乙出發(fā),在B處乙追上甲,s甲=s乙,t甲=　　　　. (3)環(huán)形跑道問題:關(guān)鍵是抓住各物體的運動時間和路程關(guān)系
數(shù)字 問題 數(shù)字問題常間接設(shè)未知數(shù),如十位、個位上的數(shù)字分別為a,b的兩位數(shù)為　　　　;百位、十位、個位上的數(shù)字分別為a,b,c的三位數(shù)為　　　　　
比賽積 分問題 (1)總場數(shù)=勝場數(shù)+負場數(shù)+平場數(shù). (2)總積分=勝場積分+負場積分+平場積分
雞兔同 籠問題 (1)雞的頭數(shù)+兔的頭數(shù)=總頭數(shù). (2)雞腳的總數(shù)+兔腳的總數(shù)=腳數(shù)和
流水問題 v順=v靜+v水,v逆=v靜-v水
日歷 問題 (1)日歷中的數(shù)量關(guān)系:每一橫排相鄰兩個數(shù)之差為1;每一豎排相鄰兩個數(shù)之差為7;左上到右下相鄰兩個數(shù)之差為8;右上到左下相鄰兩個數(shù)字之差為6. (2)日歷中矩形框內(nèi)的數(shù)量關(guān)系:如圖,落在矩形框內(nèi)的9個數(shù),中間一個數(shù)是這9個數(shù)的平均值;矩形框內(nèi),每一橫排、豎排、斜排,中間的數(shù)都是它們的平均值
⑨ (一題多設(shè)問)如圖,A,B兩地由公路和鐵路相連,在這條路上有一家食品廠,它到B地的距離是到A地距離的2倍,現(xiàn)該食品廠從A地購買原料,全部制成食品(制作過程中有損耗)賣到B地,兩次運輸(第一次:A地→食品廠,第二次:食品廠→B地)共支出公路運費15 600元,鐵路運費20 600元.已知公路運費為1.5元/(km·t),鐵路運費為1元/(km·t).
(1)求該食品廠到A地,B地的鐵路距離分別是多少千米
(2)求該食品廠買進原料及賣出食品各多少噸
(3)若該食品廠此次買進的原料每噸花費5 000元,要想該批食品銷售完后工廠共獲利863 800元,求賣出的食品每噸售價是多少元 (利潤=總售價-總成本-總運費)
李明準備完成題目:解二元一次方程組發(fā)現(xiàn)系數(shù)“ ”印刷不清楚.
(1)解該方程組最適合的方法是　　　　消元法.
(2)若該方程組用代入消元法來解,應(yīng)將　　 　 　變形,變形結(jié)果為　　 　　,再代入方程 　　　　　　　.
(3)他把 “ ”猜成3,請你用適當?shù)姆椒ń舛淮畏匠探M
(4)張老師說:“你猜錯了,我看到該題標準答案的結(jié)果是x,y互為相反數(shù).”通過計算說明原題中的“ ”是多少
(1)加減
(2)x-y=4　y=x-4　 x+y=-8
(3)解:
①+②,得4x=-4,解得x=-1,
把x=-1代入①,得-1-y=4,
解得y=-5,
∴方程組的解是
(4)解:設(shè)“ ”為a,∵x,y互為相反數(shù),
∴把x=-y代入x-y=4,得-y-y=4,
解得y=-2,∴x=-(-2)=2,
∴方程組的解是
代入ax+y=-8,得2a-2=-8,
解得a=-3,即原題中“ ”是-3.
(多維設(shè)問)小李媽媽去市里商場買東西.
(1)去的路上有一條長2 110 m的隧道.現(xiàn)小李媽媽開貨車從隧道勻速通過,測得貨車從開始進入隧道到完全通過隧道共用了106 s(即從車頭進入隧道口到車尾離開隧道),整輛車完全在隧道內(nèi)的時間為105 s.隧道內(nèi)平均行駛速度不得低于60 km/h,又不得高于80 km/h.
①如果設(shè)這輛貨車的長度為x m,填寫下表(不需要化簡):
項目 時間/s 路程/m 平均速度/(m/s)
完全通過隧道 106 　　　 　　　
整輛車在隧道內(nèi) 105 　　　 　　　
②求這輛貨車的長度;
③這輛貨車是按規(guī)定的速度行駛的嗎 請說明理由.
(2)小李媽媽在某商場購買A,B兩種商品若干次(每次A,B商品都買),其中前兩次按標價購買,第三次購買時,A,B兩種商品同時打折,三次購買A,B商品的數(shù)量和費用情況如表所示:
項目 購買A商品的數(shù)量/件 購買B商品的數(shù)量/件 購買總費用/元
第一次 6 5 980
第二次 3 7 940
第三次 9 8 912
①求A,B商品的標價;
②若小李媽媽第三次購買時,A,B商品的折扣相同,則商場是打幾折出售這兩種商品的
③在②的條件下打折,若小李媽媽第四次購買A,B商品共花去960元,則小李媽媽購買方案可能有哪幾種
(1)①2 110+x　　2 110-x
②解:根據(jù)題意,得=,解得x=10,∴這輛貨車的長度為10 m.
③解:這輛貨車是按規(guī)定的速度行駛的.理由:貨車的平均速度為=20(m/s),20 m/s=72 km/h.
∵60<72<80,
∴這輛貨車是按規(guī)定的速度行駛的.
(2)解:①設(shè)A商品的標價為x元/件,B商品的標價為y元/件.
依題意,得
解得
答:A商品的標價為80元/件,B商品的標價為100元/件.
②設(shè)商場是打m折出售這兩種商品的.
依題意,得(80×9+100×8)×=912,
解得m=6.
答:商場是打6折出售這兩種商品的.
③設(shè)購買A商品a件,B商品b件.
依題意,得(80a+100b)×0.6=960,
∴a=20-b.
∵a,b均為正整數(shù),
∴或或
∴共有3種購買方案:方案一:購買A商品15件,B商品4件;方案二:購買A商品10件,B商品8件;方案三:購買A商品5件,B商品12件.
命題點一　等式的性質(zhì)
(2023·河北)有三種不同質(zhì)量的物體“”“”“”,其中,同一種物體的質(zhì)量都相等.現(xiàn)左右手中同樣的盤子上都放著不同個數(shù)的物體,只有一組左右質(zhì)量不相等,則該組是 (　　)
A B C D
(2024·河北樣題)等式就像平衡的天平,能運用等式的性質(zhì)說明如圖事實的是 (　　)
A.如果a=b,那么ac=bc(a,b,c均不為0)
B.如果a-c=b-c,那么a=b(a,b,c均不為0)
C.如果a=b,那么a+c=b+c(a,b,c均不為0)
D.如果a+c=b+c,那么a=b(a,b,c均不為0)
命題點二　一元一次方程及其解法
(2024·河北樣題)試卷上有一道解方程的題:+1=x,□處在印刷時被油墨蓋住了,查后面的答案知這個方程的解是x=-2,那么□處應(yīng)該是 (　　)
A.7 B.5 C.2 D.-2
(2024·河北樣題)若“△”表示一種新運算,規(guī)定a△b=a×b-(a+b).
(1)計算:-3△5.
(2)計算:2△[(-4)△(-5)].
(3)(-2)△(1+x)=-x+6,求x的值.
命題點三　二元一次方程(組)及其解法
(2024·河北)利用加減消元法解方程組下列做法正確的是(　　)
A.要消去y,可以將①×5+②×2 B.要消去x,可以將①×3+②×(-5)
C.要消去y,可以將①×5+②×3 D.要消去x,可以將①×(-5)+②×2
命題點四　三元一次方程組的解法
(2024·河北樣題)三元一次方程組的解為　　　　.
命題點五　一次方程(組)的實際應(yīng)用
(2024·河北)“曹沖稱象”是流傳很廣的故事,如圖.按照他的方法:先將象牽到大船上,并在船側(cè)面標記水位,再將象牽出.然后往船上抬入20塊等重的條形石,并在船上留3個搬運工,這時水位恰好到達標記位置.如果再抬入1塊同樣的條形石,船上只留1個搬運工,水位也恰好到達標記位置.已知搬運工的體重均為120斤,設(shè)每塊條形石的重量是x斤,則正確的是 (　　)
A.依題意3×120=x-120 B.依題意20x+3×120=(20+1)x+120
C.該象的重量是5 040斤 D.每塊條形石的重量是260斤
(2023·河北)某磁性飛鏢游戲的靶盤如圖,珍珍玩了兩局,每局投10次飛鏢,若投到邊界則不計入次數(shù),需重新投,計分規(guī)則如下:
投中位置 A區(qū) B區(qū) 脫靶
一次計分/分 3 1 -2
在第一局中,珍珍投中A區(qū)4次,B區(qū)2次,脫靶4次.
(1)求珍珍第一局的得分.
(2)第二局,珍珍投中 A區(qū)k次,B區(qū)3次,其余全部脫靶,若本局得分比第一局提高了 13 分,求k的值.
【詳解答案】
教材考點·深度梳理
①b±c　②ac?、邸、?　⑤最小公倍數(shù)?、奕ダㄌ枴、邇伞、??、醩AB　⑩sAC　t乙+t　10a+b　
100a+10b+c
對應(yīng)練習
1.D
2.B
3.A
4.C　解析:解一元一次方程2(x+3)=5x的步驟:2(x+3)=5x2x+6=5x2x-5x=-6-3x=-6x=2,
①步的依據(jù)是乘法分配律;②步的依據(jù)是等式的性質(zhì)1;③步的依據(jù)是合并同類項的法則;④步的依據(jù)是等式的性質(zhì)2.故選C.
5.解:(1)如圖:
解:2×7x=(4x-1)+1,
…
(2)去分母,得2×7x=(4x-1)+6,
去括號,得14x=4x-1+6,
移項,得14x-4x=-1+6,
合并同類項,得10x=5,
系數(shù)化為1,得x=.
6.C　解析:解方程組①最簡便的方法是代入消元法,解方程組
②最簡便的方法是加減消元法.故選C.
7.(1)　(2)
(3)38y=-19　(4)19x=114
8.B　解析:第二個、第三個方程消去y,把三元一次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組,比較簡單.故選B.
9.解:(1)設(shè)這家食品廠到A地的距離是x km,到B地的距離是y km,
根據(jù)題意,得
解得
∴50-20=30(km),
100-30=70(km),
答:這家食品廠到A地的鐵路距離是30 km,到B地的鐵路距離是70 km.
(2)設(shè)該食品廠買進原料m t,賣出食品n t,
由題意,得
解得
答:該食品廠買進原料220 t,賣出食品200 t.
(3)設(shè)賣出的食品每噸售價為a元,
由題意,得200a-5 000×220-15 600-20 600=863 800,
解得a=10 000,
答:賣出的食品每噸售價是10 000元.
河北中考·真題體驗
1.A　解析:設(shè)“”“”“”的質(zhì)量分別為x,y,z.由A可得2x=3y;由B可得2z+x=2z+2y,從而有x=2y;由C可得z+x=z+2y,從而有x=2y;由D可得2x=4y,從而有x=2y,綜上,只有A與其他三項不同.故選A.
2.D　解析:由題圖可得如果a+c=b+c,那么a=b(a,b,c均不為0).故選D.
3.B　解析:將x=-2代入原方程,設(shè)□內(nèi)的數(shù)字為y.+1=-2,解得y=5.故選B.
4.解:(1)-3△5=(-3)×5-(-3 +5)=-15-2=-17.
(2)2△[(-4)△(-5)]=2△[(-4)×(-5)-(-4-5)]=2△29=2×29-(2+29)=27.
(3)根據(jù)題意可得-2(1+x)-(-2+1+x)=-x+6,
去括號,得-2-2x+2-1-x=-x+6.
移項,得-2x-x+x=6+2-2+1.
合并同類項,得-2x=7.
系數(shù)化為1,得x=-.
5.D
6.　解析:③-①,得b=4.將b=4代入②,得a=1.將a=1,b=4代入①,得c=2.∴原方程組的解為
7.B　解析:根據(jù)題意,得20x+3×120=(20+1)x+120,故選項B正確,選項A錯誤,解上述方程,得x=240,即每塊條形石的重量是240斤.∴大象的重量為20×240+360=5 160(斤).故C,D錯誤.故選B.
8.解:(1)由題意,得4×3+2×1+4×(-2)=6(分).
答:珍珍第一局的得分為6分.
(2)由題意,得3k+3×1+(10-k-3)×(-2)=6+13.
解得k=6.

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