資源簡介

第8課時　一元二次方程及其應用
考點一　一元二次方程及其解法
概念及一般形式
概念 只含有一個未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是①　　　　的整式方程
一般 形式
解法
適用情況 注意事項/步驟
(1)當方程缺少一次項時,即方程ax2+c=0(a≠0,ac<0). (2)形如(x+b)2=a(a≥0)的方程 開方后所取值前記得加“±”
適用于所有一元二次方程,求根公式為②　　　　　　　(b2-4ac≥0) (1)使用求根公式時要先把一元二次方程化為一般形式,方程的右邊一定要化為0. (2)將a,b,c代入公式時應注意其符號. (3)若b2-4ac<0,則原方程無解
適用所有一元二次方程,其中當二次項系數(shù)化為1,一次項系數(shù)為偶數(shù)時,配方法較簡單 (1)化二次項系數(shù)為1. (2)把常數(shù)項移到方程的另一邊. (3)在方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方. (4)把方程整理成(x+b)2=a(a≥0)的形式. (5)運用直接開平方法解方程
因式 分解 法 將方程右邊化為0后,方程的左邊可以提出含有x的公因式,形如x·(ax+b)=0或(ax+b)·(cx+d)=0,并令ax+b=0和cx+d=0進行求解 不能在方程兩邊同除以相同的因式
① (2024·涼山州)若關于x的一元二次方程(a+2)x2+x+a2-4=0的一個根是x=0,則a的值為 (　　)
A.2 B.-2 C.2或-2 D.
② 關于x的方程x(x-1)=3(x-1),下列解法完全正確的是 (　　)
甲:兩邊同時除以(x-1),得x=3.
乙:整理,得x2-4x=-3,
∵a=1,b=-4,c=-3,
∴b2-4ac=28,
∴x==2±,
∴x1=2+,x2=2-.
丙:整理,得x2-4x=-3,
配方,得x2-4x+2=-1,
∴(x-2)2=-1,
∴x-2=±1,
∴x1=1,x2=3.
丁:移項,得x(x-1)-3(x-1)=0,
∴(x-3)(x-1)=0,
∴x-3=0或x-1=0,
∴x1=1,x2=3.
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
③ 按要求解下列一元二次方程:
(1)(2x+3)2=(3x+2)2(直接開平方法).
(2)x2+10x+16=0(配方法).
(3)3x2+10=2x2+8x(公式法).
(4)3x(x-1)=2(x-1)(因式分解法).
考點二　一元二次方程根的判別式
根的判別式:一般地,式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判別式.
根的情況與判別式的關系
(1)b2-4ac>0 方程有兩個不相等的實數(shù)根.
(2)③　　　　　　 方程有兩個相等的實數(shù)根.
(3)④　　　　　　 方程無實數(shù)根.
④ (冀教九上P42變式)已知一元二次方程x2+3x-2k=0,請回答下列問題:
(1)若k=-2,判斷該方程根的情況.
(2)若一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根,求k的值.
(3)若一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根,求k的取值范圍.
考點三　一元二次方程根與系數(shù)的關系
若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個實數(shù)根分別為x1,x2,則x1+x2=⑤　　　　,x1·x2=⑥　　　　.
常見的轉化模型
(1)+=.
(2)+==.
(3)(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1.
⑤ (冀教九上P46變式)已知x1,x2是關于x的一元二次方程x2-2(k+1)x+k2+2=0的兩實數(shù)根.
(1)x1+x2=　　　　;x1x2=　　　　.
(2)若(x1+1)(x2+1)=8,求k的值.
考點四　一元二次方程的實際應用
平均增長(下降)率問題
(1)增長率=×100%.
(2)設a是基礎量,當m為平均增長率,2為增長次數(shù),b為增長后的量,則⑦　　　　　　,當m為平均下降率,2為下降次數(shù),b為下降后的量,則⑧　　　　　　.
解決增長率問題關鍵要找到增長的基礎量,增長的百分率,增長的次數(shù)等.
公式a(1±x)n=b,a表示增長(或下降)前的數(shù)據(jù),b表示增長(或下降)后的數(shù)據(jù),x表示增長(或下降)率,n表示增長(或下降)的次數(shù).
幾何圖形面積問題
(1)S陰影=S全-S空白,如圖1,設空白部分的寬為x,則S陰影=⑨　　　　　　　　.
圖1　 　圖2
(2)如圖2,欄桿總長為a,BC的長為b,則S陰影=⑩　　　　 .
(3)如圖3、圖4.設陰影道路的寬為x,則S空白=　　　　　　.
圖3　　 　圖4
單循環(huán)賽(握手)與送禮物問題
單循環(huán)賽(握手)總次數(shù)=(n為人數(shù)),禮物總份數(shù)=n(n-1)(n為人數(shù)).
利潤問題
利潤=售價-進價;
利潤率=×100%;
售價=進價×(1+利潤率);
總利潤=每件利潤×銷售量=總收入-總支出.
⑥ 在一次酒會上,每兩人都只碰一次杯,如果一共碰杯55次,則參加酒會的人數(shù)為 (　　)
A.9 B.10 C.11 D.12
⑦ 如圖,在寬為20 m、長為32 m的矩形地面上修筑同樣寬的道路(圖中陰影部分),余下的面積種上草坪,要使草坪的面積為540 m2,求道路的寬.
⑧ 某汽車租賃公司共有300輛可供出租的某款汽車,2024年每輛汽車的日租金為100元,由于物價上漲,到2024年日租金上漲到121元.
(1)求2024年至2024年日租金的平均增長率.
(2)經(jīng)市場調研發(fā)現(xiàn),從2024年開始,當每輛汽車的日租金定為121元時,汽車可全部租出;日租金每增加1元,就要少租出2輛.已知汽車租賃公司每日需為每輛租出的汽車支付各類費用31元,每輛未租出的汽車支付各類費用10元.
①在每輛汽車日租金121元的基礎上,設上漲y元,則每輛汽車的日租金為　　　　元,實際能租出　　　　輛車;
②當每輛汽車的日租金上漲多少元時,該租賃公司的日收益可達28 200元 (日收益=總租金-各類費用)
(原創(chuàng))已知關于x的一元二次方程x2-2x-m=0.
(1)若m=1,用公式法求方程的解.
(2)若m=-1時,選用最適當?shù)姆椒ń庠摲匠?
(3)若m>0,判斷該方程根的情況.
(4)若該方程無實數(shù)根,求m的取值范圍.
(5)若x1,x2是方程的兩根,則x1+x2=　　　　.
(6)若x1,x2是方程的兩根,x1x2=-3,則x1=　　　　,x2=　　　　.
(7)若x1,x2是方程的兩根,+=4,則該方程配方后為　 .
(1)解:x2-2x-1=0,
∵b2-4ac=(-2)2-4×1×(-1)=8,
∴x===1±,
∴x1=1+,x2=1-.
(2)解:x2-2x+1=0,∴(x-1)2=0,
∴x1=x2=1.
(3)解:b2-4ac=(-2)2-4×1×(-m)=4+4m.
∵m>0,∴4+4m>0,
∴該一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根.
(4)解:∵該方程無實數(shù)根,
∴Δ<0,即4+4m<0,∴m<-1.
(5)2
(6)-1　3
(7)(x-1)2=1
命題點一　一元二次方程及其解法
(2024·河北)淇淇在計算正數(shù)a的平方時,誤算成a與2的積,求得的答案比正確答案小1,則a= (　　)
A.1 B.-1 C.+1 D.1或+1
(2023·河北)對于實數(shù)p,q,我們用符號min{p,q}表示p,q兩數(shù)中較小的數(shù),如min{1,2}=1.因此,min{-,-}=　　　　;若min{(x-1)2,x2}=1,則x=　　　　.
(2022·河北)嘉淇同學用配方法推導一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式時,對于b2-4ac>0的情況,她是這樣做的:
由于a≠0,方程ax2+bx+c=0變形為
x2+x=-, 第一步
x2+x+2=-+2,
第二步
x+2= , 第三步
x+=(b2-4ac>0),
第四步
x=. 第五步
(1)嘉淇的解法從第　　　　步開始出現(xiàn)錯誤;事實上,當b2-4ac>0時,方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是　　　　　　.
(2)用配方法解方程:x2-2x-24=0.
命題點二　一元二次方程根的判別式
(2023·河北)a,b,c為常數(shù),且(a-c)2>a2+c2,則關于x的方程ax2+bx+c=0根的情況是 (　　)
A.有兩個相等的實數(shù)根
B.有兩個不相等的實數(shù)根
C.無實數(shù)根
D.有一根為0
(2023·河北)若關于x的方程x2+2x+a=0不存在實數(shù)根,則a的取值范圍是 (　　)
A.a<1 B.a>1 C.a≤1 D.a≥1
(2024·河北)小剛在解關于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)時,只抄對了a=1,b=4,解出其中一個根是x=-1,他核對時發(fā)現(xiàn)所抄的c比原方程的c值小2,則原方程的根的情況是 (　　)
A.不存在實數(shù)根
B.有兩個不相等的實數(shù)根
C.有一個根是x=-1
D.有兩個相等的實數(shù)根
命題點三　一元二次方程根與系數(shù)的關系
(2004·河北)若x1,x2是一元二次方程2x2-3x+1=0的兩個根,則+的值是 (　　)
A. B. C. D.7
(2024·河北樣題)關于x的一元二次方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的兩個實數(shù)根互為相反數(shù),則a的值為 (　　)
A.2 B.0 C.1 D.2或0
命題點四　一元二次方程的實際應用
(2008·河北)某縣為發(fā)展教育事業(yè),加強了對教育經(jīng)費的投入,2007年投入3 000萬元,預計2009年投入5 000萬元.設教育經(jīng)費的年平均增長率為x,根據(jù)題意,下面所列方程正確的是 (　　)
A.3 000(1+x)2=5 000
B.3 000x2=5 000
C.3 000(1+x%)2=5 000
D.3 000(1+x)+3 000(1+x)2=5 000
【詳解答案】
教材考點·深度梳理
①2　②x=　③b2-4ac=0　④b2-4ac<0　⑤-　⑥
⑦a(1+m)2=b　⑧a(1-m)2=b　⑨(a-2x)(b-2x)　⑩·b　(a-x)(b-x)
對應練習
1.A　解析:∵關于x的一元二次方程(a+2)x2+x+a2-4=0的一個根是x=0,∴a2-4=0且a+2≠0,解得a=2.故選A.
2.D　解析:甲的解法錯誤,方程兩邊不能同時除以(x-1),這樣會漏解;
乙的解法錯誤,沒有將原方程整理成一元二次方程的一般形式,所以c的值錯誤;
丙的解法錯誤,配方時,方程兩邊應同時加上一次項系數(shù)一半的平方;
丁利用因式分解法解一元二次方程,計算正確.故選D.
3.解:(1)(2x+3)2=(3x+2)2,
開方,得2x+3=3x+2或2x+3=-3x-2.
解得x1=1,x2=-1.
(2)x2+10x+16=0,
移項,得x2+10x=-16.
配方,得x2+10x+25=-16+25,
即(x+5)2=9.
由此可得x+5=±3.解得x1=-8,x2=-2.
(3)3x2+10=2x2+8x,
整理,得x2-8x+10=0.
∵a=1,b=-8,c=10,
∴Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×10=24>0.
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根,x==4±.
∴x1=4+,x2=4-.
(4)3x(x-1)=2(x-1),
整理,得3x(x-1)-2(x-1)=0.
因式分解,得(x-1)(3x-2)=0.
∴x1=1,x2=.
4.解:(1)當k=-2時,該方程為x2+3x+4=0,
Δ=b2-4ac=9-16=-7<0,故方程沒有實數(shù)根.
(2)Δ=b2-4ac=9+8k,
∵一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根,
∴9+8k=0,解得k=-.
(3)∵一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根,
∴Δ>0,
∴9+8k>0,解得k>-.
5.解:(1)2k+2　k2+2
(2)∵(x1+1)(x2+1)=8,
即x1x2+x1+x2+1=8,
∴k2+2+2k+2+1=8,
整理,得k2+2k-3=0,
解得k1=-3,k2=1.
∵此一元二次方程有兩實數(shù)根,
∴Δ=[-2(k+1)]2-4×1×(k2+2)≥0,
解得k≥,
∴k的值為1.
6.C　解析:設參加酒會的人數(shù)為x.x(x-1)=55,解得x1=11,x2=-10(不合題意,舍去).故選C.
7.解:利用平移,題圖可轉化為如圖1或圖2.設道路的寬為x m,則有20×32-20x-32x+x2=540,即x2-52x+100=0.(x-50)(x-2)=0,解得x1=50(不符合題意,舍去),x2=2.
答:道路的寬為2 m.
圖1　　圖2
8.解:(1)設2024年至2024年日租金的平均增長率為x,
根據(jù)題意,得100(1+x)2=121,
解得x1=0.1=10%,x2=-2.1(不符合題意,舍去).
答:2024年至2024年日租金的平均增長率為10%.
(2)①(121+y)　(300-2y)
②根據(jù)題意,得(121+y)(300-2y)-31(300-2y)-10[300-(300-2y)]=28 200,
整理,得y2-50y+600=0,
解得y1=20,y2=30.
答:當每輛汽車的日租金上漲20或30元時,該租賃公司的日收益可達28 200元.
河北中考·真題體驗
1.C　解析:根據(jù)題意,得a2-2a=1,解得a=1±.
∵a>0,∴a=+1.故選C.
2.-　2或-1　解析:∵-<-,
∴min{-,-}=-.若(x-1)23.解:(1)四　x=
(2)將方程x2-2x-24=0變形為x2-2x=24.
配方,得x2-2x+1=24+1.
整理,得(x-1)2=25.
解得x1=6,x2=-4.
4.B　解析:∵(a-c)2>a2+c2,∴-2ac>0.∴ac<0.∴b2-4ac>0.∴方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根.故選B.
5.B　解析:由題意,得22-4×1×a<0.解得a>1.故選B.
6.A　解析:將x=-1代入x2+4x+c'=0,得c'=3.∵c'比c小2,∴c=5.∴原方程為x2+4x+5=0,b2-4ac=42-4×1×5=-4<0.∴原方程不存在實數(shù)根.故選A.
7.A　解析:由題意知,x1x2=,x1+x2=,
∴+=(x1+x2)2-2x1x2=2-2×.故選A.
8.B　解析:設x1,x2為方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的兩根.由題意,得x1+x2=-(a2-2a).∵x1,x2互為相反數(shù),∴x1+x2=-(a2-2a)=0.∴a=0或a=2.當a=2時,原方程無解,∴ a=0.故選B.
9.A　解析:依題意,得2009年投入為3 000(1+x)2萬元,
∴3 000(1+x)2=5 000.故選A.

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