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第7課時　分式方程及其應用
考點一　分式方程及解法
概念:分母中含有①　　　　的方程叫做分式方程.
分式方程的解法
(1)解分式方程的基本思路是將分式方程轉(zhuǎn)化為②　　　　.
(2)解分式方程的一般步驟:
a.去分母:方程兩邊同乘最簡公分母,約去分母,化成整式方程;
b.解整式方程;
c.驗根:代入最簡公分母,若結(jié)果不為0,則是原方程的解,或直接代入原方程,若方程的左右兩邊相等,則是原方程的解.
解分式方程必須驗根.
分式方程的增根
(1)增根是去分母后所得整式方程的根.
(2)增根是使原方程中各分式的最簡公分母為0的未知數(shù)的值.
(1)若要判斷分式方程解的情況,化為整式方程求解后需驗根,判斷是否為無解或有增根.(2)分式方程的增根與無解并非同一個概念,分式方程無解,可能是解為增根,也可能是去分母后的整式方程無解;分式方程的增根不僅是去分母后的整式方程的根,也是使分式方程分母為0的根.
① 已知關(guān)于x的分式方程-2=(m為常數(shù)),回答下列問題:
(1)以下是嘉淇同學解該分式方程的部分過程,請認真閱讀,并回答下列問題.
解:去分母,得x-2=m, 第一步
移項,得x=m+2, 第二步
……
從第　　　　步開始出錯,錯誤的原因是　　　　,則正確的結(jié)果為x=　　　　(用含m的代數(shù)式表示).
(2)若分式方程的解為x=4,則m的值為　　　　.
(3)若分式方程有增根,則m的值為　　　　.
(4)若分式方程無解,則m的值為　　　　.
(5)若分式方程的解為非負數(shù),則m的取值范圍為　　　　.
考點二　分式方程的實際應用
分式方程的應用題與一元一次方程應用題類似,關(guān)鍵要分清題目中的等量關(guān)系,不同的是要注意驗根:
(1)檢驗所求的解是否是③　　　　方程的解.
(2)檢驗所求的解是否符合實際問題.
常見的分式方程解題模型及數(shù)量關(guān)系
常見模型 數(shù)量關(guān)系
行程 問題 基本數(shù)量關(guān)系:=時間
常見應用題中的相等關(guān)系: =時間差
一段路程原計劃按甲速度行駛完,但行駛途中速度變?yōu)橐宜俣?則:=原計劃時間, 甲速度行駛路程+乙速度行駛路程=全部路程, -=時間差
工程 問題 基本數(shù)量關(guān)系:=工作時間
常見應用題中的相等關(guān)系: 甲、乙單獨完成時: =時間差, =時間差, 甲、乙合作完成時: -=時間差. 特別地,有時工作總量可以看作整體“1”,這時,=工作效率
銷售 問題 基本數(shù)量關(guān)系:=數(shù)量,利潤=售價-進價,利潤率=×100%
常見應用題中的相等關(guān)系: =數(shù)量差
② 解答下列問題:
(1)某班分成甲、乙兩個小組同時開始攀登一座高480 m的山,乙組的攀登速度是甲組的1.2倍,乙組達到頂峰所用的時間比甲組少5 min.設(shè)甲組的攀登速度為x m/min,則可列方程是　 　　　　.
(2)甲做320個零件與乙做400個零件所用的時間相同,已知兩人每天共做90個零件,若設(shè)甲每天做x個零件,則可列方程是　　　　　　　　.
(3)甲同學2 h清點完一批圖書的一半,乙同學加入清點另一半圖書的工作,兩人合作1.5 h清點完另一半圖書,如果乙同學單獨清點這批圖書需要x h,根據(jù)題意列方程是　　　　　　　.
(4)某校社團進行愛心義賣活動,先用800元購進第一批康乃馨,包裝后售完,接著又用400元購進第二批康乃馨;已知第二批所購數(shù)量是第一批所購數(shù)量的,且第二批康乃馨的單價比第一批的單價多1元,設(shè)第一批康乃馨的單價是x元,則可列方程是　　　　　　　　.
(多維設(shè)問)嘉淇準備完成題目:解分式方程:=2-,發(fā)現(xiàn)數(shù)字◆印刷不清楚.
(1)他把“◆”猜成5,請你解方程:=2-.
(2)若方程的解為x=0,則“◆”是幾
(3)她媽媽說:“你猜錯了,我看到該題目的正確答案是此分式方程無解”.通過計算說明原題中“◆”是幾
(4)若這個方程=2-的解為正數(shù),求m的取值范圍.
(5)延伸:關(guān)于x的方程+=2有整數(shù)解,直接寫出整數(shù)m的值.
(1)方程整理,得=2+,去分母,得x=2(x-3)+5,解得x=1.檢驗:當x=1時,x-3≠0.
∴分式方程的解為x=1.
(2)設(shè)原題中“◆”是a.方程整理,得0=2+,去分母,得0=-6+a,解得a=6,∴“◆”是6.
(3)設(shè)原題中“◆”是b.方程整理,得=2+,
去分母,得x=2(x-3)+b,由分式方程無解,得x=3.
把x=3代入整式方程,得b=3,∴原題中“◆”是3.
(4)方程兩邊同乘(x-3),得x=2(x-3)+m,解得x=6-m.
∵這個方程=2-的解為正數(shù),
∴6-m>0且6-m≠3,解得m<6且m≠3.
(5)整數(shù)m的值為3,4,0.
解析:原分式方程去分母,得mx-1-1=2(x-2),
整理,得(m-2)x=-2.
當m≠2時,x=.
∵方程有整數(shù)解,∴m-2=±1或m-2=±2,
解得m=3,1,4,0.
∵x-2≠0,∴x≠2,∴≠2,∴m≠1,∴m=3,4,0.
甲、乙兩名同學分別從各自家出發(fā),均到距離家4 km的同一個文具城購買相同價格的同一種商品,已知甲每小時走x km,乙的速度是甲的1.5倍,最終乙比甲早20 min到達.甲用2 400元購買的商品數(shù)量比乙用3 000元購買的商品數(shù)量少10件.
(1)求乙每小時走多少千米.
(2)求這種商品的單價.
(3)甲、乙兩人第二次又同時去購買該商品,發(fā)現(xiàn)該商品的單價有所變化,如果甲購買該商品的總價與上次相同,乙購買該商品的數(shù)量與上次相同,結(jié)果甲兩次購買的總件數(shù)與乙兩次購買的總件數(shù)相同,那么該商品的單價是如何變化的 請說明理由.
(1)設(shè)甲的速度為x km/h,根據(jù)題意,得=,
解得x=4,
經(jīng)檢驗,x=4是所列分式方程的解,且符合題意,
則1.5x=1.5×4=6,∴乙每小時走6 km.
(2)設(shè)這種商品的單價為a元,
根據(jù)題意,得+10=,
解得a=60,
經(jīng)檢驗可知a=60是所列分式方程的解,且滿足題意,
答:這種商品的單價為60元.
(3)該商品的單價為40元,比第一次購買的單價少了20元.
理由如下:設(shè)第二次購買時,該商品的單價為(60+m)元,
∵乙兩次購買該商品的總件數(shù)為×2=100(件),
而甲第一次購買該商品的件數(shù)為=40(件),
∴甲第二次購買該商品的件數(shù)為60件,
∴=60,解得m=-20,
經(jīng)檢驗,m=-20是所列方程的解,且符合題意,
則60+m=40,
故第二次購買時,該商品的單價為40元,比第一次購買的單價少了20元.
命題點一　分式方程及解法
(2023·河北)根據(jù)下表中的數(shù)據(jù),寫出a的值為　　　　,b的值為　　　　.
代數(shù)式 x
2 n
3x+1 7 b
a 1
命題點二　分式方程的實際應用
(2023·河北)在求3x的倒數(shù)的值時,嘉淇同學誤將3x看成了8x,她求得的值比正確答案小5.依上述情形,所列關(guān)系成立的是 (　　)
A.=-5 B.=+5 C.=8x-5 D.=8x+5
(2024·河北樣題)某工廠計劃生產(chǎn)1 500個零件,但是在實際生產(chǎn)時……求實際每天生產(chǎn)零件的個數(shù).在這個題目中,若設(shè)實際每天生產(chǎn)零件x個,可得方程=10,則題目中用“……”表示的條件應是 (　　)
A.每天比原計劃多生產(chǎn)5個,結(jié)果延期10天完成
B.每天比原計劃多生產(chǎn)5個,結(jié)果提前10天完成
C.每天比原計劃少生產(chǎn)5個,結(jié)果延期10天完成
D.每天比原計劃少生產(chǎn)5個,結(jié)果提前10天完成
(2024·河北樣題)為有效解決交通擁堵問題,營造路網(wǎng)微循環(huán),某市決定對一條長860 m的道路進行拓寬改造.為了減輕施工對城市交通造成的影響,實際施工時,每天改造道路的長度比原計劃增加10%,結(jié)果提前6天完成任務(wù).求實際每天改造道路的長度與實際施工天數(shù).珍珍同學根據(jù)題意列出方程=6;文文同學根據(jù)題意列出方程=×(1+10%).已知兩人的答案均正確,則下列說法正確的是 (　　)
A.x,y代表相同的含義
B.x表示實際每天改造道路的長度
C.y表示實際施工天數(shù)
D.表示實際每天改造道路的長度
【詳解答案】
教材考點·深度梳理
①未知數(shù)　②整式方程　③原分式
對應練習
1.(1)一　去分母時常數(shù)項未乘最簡公分母　6-m
(2)2　(3)3　(4)3
(5)m≤6且m≠3
2.(1)-5=　(2)
(3)+×1.5=
(4)
河北中考·真題體驗
1.　-2　解析:當x=n時,3x+1=b,即3n+1=b,當x=2時,=a,即a=.當x=n時,=1,即=1.解得n=-1.經(jīng)檢驗,n=-1是分式方程的解.∴b=3×(-1)+1=-2.
2.B
3.B
4.C　解析:依題意,得x表示原計劃每天改造道路的長度,y表示實際施工天數(shù).故選C.

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