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第5課時　分式
考點一　分式的相關概念
分式 形如的代數式叫做分式,其中A,B都是整式,B中含有①　　　　且B≠0,A叫做分式的分子,B叫做分式的分母
最簡分式 分子與分母沒有②　　　　的分式,叫做最簡分式
分式有意 義的條件 分母 ③　　0 易錯警示:在求使分式有意義條件時,不能對分式化簡,要就原分式討論.如使分式有意義的條件是④　　　
分式無意 義的條件 分母⑤　　　　0
分式值為 零的條件 分子⑥　　　　0,且分母⑦　　　　0
在求使分式值為整數的條件時,一般要先對分式化簡再解答,但最終結果要使原分式有意義.
① (冀教八上P4變式)已知分式.
(1)若該分式在實數范圍內有意義,則x的取值范圍是　　　　.
(2)若該分式在實數范圍內無意義,則x的值是　　　　.
(3)若該分式的值為0,則x的值是　　　.
考點二　分式的基本性質與應用
基本 性質 分式的分子與分母同乘(或除以)一個不等于零的⑧　　　　,分式的值⑨　　　　,即=,=(M≠0),其中A,B,M是整式
約分 定義 把一個分式的分子與分母的⑩　　　　約去,叫做分式的約分
關鍵 確定公因式
找公因式 的步驟 (1)分子、分母中能分解因式的,先分解因式. (2)取分子、分母中相同因式的最低次冪的積(數字因式取它們的最大公約數)作為公因式
通分 定義 根據分式的基本性質,把幾個異分母的分式化分別化成與原來的分式相等的 　　　　的分式,這一過程叫做分式的通分
最簡公 分母 一般取各分母的所有因式的　　　　　　作為公分母,它叫做最簡公分母
確定最簡 公分母 的步驟 (1)各分母能因式分解的先因式分解. (2)取各分母系數的　　　　. (3)凡單獨出現的字母連同它的指數作為最簡公分母的一個因式. (4)同底數冪取次數最　　　　的,得到的因式的積就是最簡公分母
② (人教八上P133變式)如圖,是某同學完成的作業,他做錯的題數是 (　　)
1.約分:=.
2.約分:=-.
3.與的最簡公分母是6a2b3c.
4.將與通分可得=,=.
5.在分式,,,,中,最簡分式有1個.
A.1 B.2 C.3 D.4
考點三　分式的運算
乘除 (1)兩個分式相乘,用分子的積作積的分子,分母的積作積的分母,即·=　　　　 (a≠0,c≠0). (2)兩個分式相除,將除式的分子、分母顛倒位置后,與被除式相乘,即=　　　　 (a≠0,c≠0,d≠0)
乘方 分式的乘方就是把分子、分母分別乘方,即=　　　　(n為整數,a≠0)
加減 (1)同分母的分式相加減,分母不變,把分子相加減,即=　　　　. (2)異分母的分式相加減,先通分,變為同分母的分式,再加減,即=　　　　. 滿分技法:當整式與分式進行加減運算時,要將整式看作分母為1的分式,然后進行通分
混合 運算 分式的運算順序與實數的運算順序相同,要注意運算結果要化為　　　
分式化簡求值的一般步驟
①有括號先計算括號內的;②除法運算轉化為乘法運算;③分式的分子、分母能因式分解的先進行因式分解;④約分;⑤進行加減運算時,對于異分母分式,先進行通分,轉化為同分母分式,此時分母不變,分子合并同類項,最終化成最簡分式;⑥將所給數值代入最簡分式求值,代入數值時注意使原分式有意義.
③ (2024·唐山古冶區二模)下列有關分式的運算,結果正確的是 (　　)
A.=1 B.+=
C.·=a D.=1
④ 已知=3,則的值為　　　　,若添加條件ab=1,則=　　　　.
⑤ 先化簡÷a+1-,再求值,其中-2≤a≤2且a為整數,請你從中選取一個合適的數代入求值.
⑥ (2023·張家界)先化簡x-1-÷,然后從-1,1,2這三個數中選一個合適的數代入求值.
⑦ (2023·達州)先化簡,再求值:a+2-÷,其中a為滿足0已知A=,B=.
(1)嘉嘉說:“A,B都是分式”,淇淇說:“A是整式,B是分式.”則針對以上說法,下列說法正確的是 (　　)
A.嘉嘉的說法正確
B.淇淇的說法正確
C.淇淇的說法不正確
D.嘉嘉和淇淇的說法都不正確
(2)A的值等于0時,m的值為　　　;B有意義的條件時,m的值為　　　.
(3)若B為負數,求m的取值范圍.
(4)設y=,若m為整數,求正整數y的值.
(5)當m>0時,比較A-B與0的大小,并說明理由.
(6)化簡:·A-B.
(1)B
(2)-1　不等于-1的全體實數
(3)解:由題意可得,<0,
∴或解得-1(4)解:y===,
∵m為整數,∴正整數y為4或2或1.
(5)解:A-B≥0,理由如下:
A-B===.
∵m>0,∴m+1>0,(m-1)2≥0,∴≥0,即A-B≥0.
(6)解:·A-B
=+·
=·
=2+m-
=
=
=.
命題點一　分式的概念及性質
(2024·河北樣題)使式子有意義的x的取值范圍是　　　　.
命題點二　分式的運算
一、分式的化簡
(2024·河北)已知A為整式,若計算的結果為,則A= (　　)
A.x B.y C.x+y D.x-y
(2023·河北)化簡x32的結果是 (　　)
A.xy6 B.xy5 C.x2y5 D.x2y6
(2023·河北)若a≠b,則下列分式化簡正確的是 (　　)
A.= B.=
C.= D.=
(2024·河北)老師設計了接力游戲,用合作的方式完成分式化簡.規則:每人只能看到前一人給的式子,并進行一步計算,再將結果傳遞給下一人,最后完成化簡.過程如圖所示:
接力中,自己負責的一步出現錯誤的是 (　　)
A.只有乙 B.甲和丁
C.乙和丙 D.乙和丁
(2023·河北)下列運算結果為x-1的是 (　　)
A.1- B.·
C. D.
二、分式化簡求值
(2023·河北)由值的正負可以比較A=與的大小,下列正確的是 (　　)
A.當c=-2時,A=
B.當c=0時,A≠
C.當c<-2時,A>
D.當c<0時,A<
(2024·河北)如圖,若x為正整數,則表示的值的點落在 (　　)
A.段① B.段② C.段③ D.段④
(2023·河北)若a=2b≠0,則的值為　　　　.
【詳解答案】
教材考點·深度梳理
①字母　②公因式　③不等于　④B≠0,C≠0且D≠0　⑤等于　⑥等于
⑦不等于　⑧整式　⑨不變　⑩公因式
同分母　最高次冪的積　最小公倍數　高　　　
　　最簡分式或整式
對應練習
1.(1)x≠3　(2)3　(3)-3
2.C　解析:他做錯的題目是第2,4,5題.第2題約分不徹底,,故第2題錯誤;第4題中,,故第4題錯誤;第5題,最簡分式有和,共2個,故第5題錯誤.故選C.
3.C　解析:,故選項A錯誤,不符合題意;+,故選項B錯誤,不符合題意;··=a,故選項C正確,符合題意;÷·=a+1,故選項D錯誤,不符合題意.故選C.
4.1　±　解析:∵=3,
∴3ab=b-a,
∴
=
=
=1.
∵ab=1,
∴b-a=3ab=3,
∴(b-a)2=9,
∴a2-2ab+b2=9,
∴a2+b2=11,
∴(a+b)2=a2+b2+2ab=11+2=13,
∴a+b=±,
∴=±.
5.解:÷a+1-
=÷
=·
=-,
當a=0時,原式=-(答案不唯一).
6.解:原式=··=x+1.
∵x+1≠0,x2-4≠0,
∴x≠-1,x≠±2.
當x=1時,原式=1+1=2.
7.解:a+2-÷
=
=
=
=-2a-6.
∵a為滿足0∴a≠2,a≠3.
∴取a=1,原式=-2×1-6=-8.
河北中考·真題體驗
1.x<
2.A　解析:∵,
∴+,
即,
∴+,
∴Ax=(x-y)(x+y)+y2,
∴Ax=x2,∴A=x.故選A.
3.A　解析:x32=x3·=xy6.故選A.
4.D　解析:.故選D.
5.D　解析:÷·=-·=-·=-,∴乙和丁錯誤.故選D.
6.B　解析:A.1-,不符合題意;B.··=x-1,符合題意;C.÷·(x-1)=,不符合題意;D.=x+1,不符合題意.故選B.
7.C　解析:=
,當c<-2時,2+c<0,此時的分子、分母均為負值,∴>0.∴>.故選C.
8.B　解析:=1-.∵x取正整數,1-<1,當x=1時,原式最小=.∵≤1-<1,∴原式的值落在段②.故選B.
9.　解析:,當a=2b≠0時,原式=.

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