資源簡介

第4課時　代數(shù)式與整式
考點一　列代數(shù)式及其求值
定義 用①　　　　　　連接數(shù)和字母組成的式子.單獨一個數(shù)或一個表示數(shù)的字母也是代數(shù)式
代數(shù)式 求值 (1)直接代入法. (2)整體代入法:利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式或降次等方法對所求代數(shù)式、已知等式進行恒等變形,使所求代數(shù)式變形成含有已知整式或部分項的形式,若涉及相反數(shù)、倒數(shù)需轉化為兩數(shù)和或積的形式,再整體代入求值
① 把下列問題中與數(shù)量有關的詞語用代數(shù)式表示出來:
(1)比a的n倍多m,可表示為　　　　.
(2)原價a的八折,可表示為　　　　;原價a提高x%后再打七五折,可表示為　　　　　.
② 當x=1時,代數(shù)式x3+x+m的值是7,則當x=-1時,這個代數(shù)式的值是　　　　.
考點二　整式的運算
整式的相關概念
單項式 用數(shù)或字母的②　　 　　表示的式子稱為單項式.單獨的一個數(shù)或一個字母也是單項式. (1)系數(shù):單項式中的③　　　　因數(shù). (2)次數(shù):一個單項式中,所有字母指數(shù)的④　　　
多項式 幾個單項式的⑤　　　　稱為多項式. (1)項:多項式中的每個單項式;不含字母的項叫做常數(shù)項. (2)次數(shù):多項式中次數(shù)最高項的次數(shù)
整式 單項式與多項式統(tǒng)稱為整式
整式的加減(實質:合并同類項)
同類項 所含字母相同,并且相同字母的⑥　　　　也相同.如3a與a是同類項
合并同 類項 法則 把同類項的系數(shù)相加減,字母和字母的指數(shù)不變.如:
去括號 法則 a+(b-c)=a+b-c,即括號前為“+”時,去括號后,括號內(nèi)各項⑧　　　　;a-(b-c)=a⑨　　b⑩　　c,即括號前是“-”時,去括號后,括號內(nèi)每一項　　　
冪的運算
同底數(shù) 冪的乘法 底數(shù)不變,指數(shù)　　　　,即am·an=　　　　(m,n是正整數(shù))
同底數(shù) 冪的除法 底數(shù)不變,指數(shù)　　　　,即am÷an=　　　　(a≠0,m,n是正整數(shù))
冪的乘方 底數(shù)不變,指數(shù)　　　　,即(am)n=　　　　(m,n是正整數(shù))
積的乘方 各因式乘方的積,即(ab)n=　　　　(n是正整數(shù))
遇到積的乘方時,需要注意:
(1)當括號內(nèi)有“-”號時,(-abm)n=
(2)當含有系數(shù)時,一定也要給系數(shù)進行乘方運算.
整式的乘除
單項式乘 單項式 把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘作為積的一個因式,對于只在一個單項式里含有的字母,則連同它的指數(shù)作為積的一個因式
單項式乘 多項式 用單項式分別去乘多項式的每一項,再把所得的積相加
多項式乘 多項式 先用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項相乘,再把所得的積相加
乘法 公式 平方差公式:(a+b)(a-b)=　　　 幾何背景:
完全平方公式:(a±b)2=　　　 幾何背景:
單項式 除以單項式 把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除作為商的因式,對于只在被除式中含有的字母,則連同它的指數(shù)作為商的一個因式
多項式 除以單項式 先用多項式的每一項分別除以這個單項式,再把所得的商相加
③ 如圖是嘉淇同學完成的作業(yè),則她做錯題的題數(shù)是 (　　)
判斷(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”):
1.0是單項式.(√)
2.單項式-πab2的系數(shù)是-.(√)
3.5mn是一次單項式.(√)
4.x2+x-1的常數(shù)項為1.(×)
5.7m2n2+3是四次二項式.(√)
6.23xy是五次單項式.(×)
7.與x2+-1都是整式.(√)
A.0 B.1 C.2 D.3
④ (人教七上P65變式)下列運算正確的是 (　　)
A.3a2-2a=a B.-(a-2)=-a-2
C.3(a-1)=3a-1 D.3a+2a=5a
⑤ (原創(chuàng))如圖是某同學完成的作業(yè),則他做錯的題數(shù)是 (　　)
填空:
1.a2·a3=　　a6　　. 2.(x5)2=　　x10　　.
3.-xy23=　　-x3y6　　. 4.a8÷a2=　　a4　　.
5.(-3)-2=　 　　. 6.(-4)0=　　1　　.
A.1 B.2
C.3 D.4
⑥ (2024·河北一模)現(xiàn)有如圖所示的甲、乙、丙三種矩形或正方形紙片各15張,小明要用這些紙片中的若干張拼接(不重疊、無縫隙)一個長、寬分別為(5x+4y)和(3x+y)的矩形.下列判斷正確的是(　　)
A.甲種紙片剩余7張 B.丙種紙片剩余10張
C.乙種紙片缺少2張 D.甲種和乙種紙片都不夠用
⑦ (人教八上P110變式)多項式4x2+1加上一個數(shù)或單項式后,使它成為一個多項式的完全平方,那么加上的數(shù)或單項式可以從①-1,②4x,③-4x,④-4x2,⑤4x4中選取,則選取的是 (　　)
A.① B.③
C.②③⑤ D.①②③④⑤
考點三　因式分解
概念 把一個　　　　分解成幾個整式的　　　　的形式,叫做多項式的因式分解
方法 提公 因式法 公式 ma+mb+mc=m(a+b+c)
確定公 因式的 步驟 (1)確定系數(shù):取各項系數(shù)的最大公約數(shù). (2)確定字母:取各項相同的字母. (3)確定字母的指數(shù):取各項相同字母的最低次數(shù)
公式法 a2-b2=　　　　; a2±2ab+b2=　　　
十字相乘 法(選學) x2+(a+b)x+ab(x+a)(x+b)
步驟
要點 因式分解的結果必須是最簡因式:(1)每個因式都必須是整式.(2)每個因式中不能再有公因式
因式分解與乘法運算互為逆變形,因式分解時結果為積的形式,乘法運算時結果一般為和差形式(有時為單項式).
⑧ 下列各式中,從左到右的變形正確且是因式分解的是 (　　)
A.(a+2)(a-2)=a2-4
B.ab+ac+d=a(b+c)+d
C.x2-9=(x-3)2
D.a2b-ab2=ab(a-b)
⑨ (2024·邯鄲邱縣二模)653-65不能被下列數(shù)整除的是 (　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
⑩ (1)(2024·北京)分解因式:x3-25x=　　　　.
(2)(2024·揚州)分解因式:2x2-4x+2=　　　　.
已知整式A=-6xy+2y2 .
(1)若x,y均為整數(shù),求證:整式A是偶數(shù).
(2)已知整式A+B=y2-8x2.
①求整式B;
②對于問題:已知整式C=(y+2x)(y-2x),當x=-1時,求代數(shù)式A+B-C的值.嘉嘉和淇淇提出不同的看法,你認為誰的說法對 為什么
(1)證明:A=-6xy+2y2=2y(y-3x).
∵x,y均為整數(shù),
∴整式A是偶數(shù).
(2)①B=y2-8x2-A=y2-8x2-(-6xy+2y2)=-8x2+6xy-y2.
②淇淇說得對.理由如下:
A+B-C=y2-8x2-(y+2x)(y-2x)=y2-8x2-(y2-4x2)=-4x2,
∴代數(shù)式A+B-C的值與y值無關,淇淇說得對.
命題點一　列代數(shù)式及其求值
(2023·河北)代數(shù)式-7x的意義可以是 (　　)
A.-7與x的和 B.-7與x的差
C.-7與x的積 D.-7與x的商
(2024·河北)若x和y互為倒數(shù),則x+2y-的值是 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
(2024·河北)若a,b互為相反數(shù),則a2-b2=　　　　.
(2023·河北)若mn=m+3,則2mn+3m-5nm+10=　　　　.
(2024·河北)如圖,棋盤旁有甲、乙兩個圍棋盒.
(1)甲盒中都是黑子,共10個,乙盒中都是白子,共8個.嘉嘉從甲盒拿出a個黑子放入乙盒,使乙盒棋子總數(shù)是甲盒所剩棋子數(shù)的2倍,則a=　　　　.
(2)設甲盒中都是黑子,共m(m>2)個,乙盒中都是白子,共2m個.嘉嘉從甲盒拿出a(1 (2023·河北)某書店新進了一批圖書,甲、乙兩種書的進價分別為4元/本、10元/本.現(xiàn)購進m本甲種書和n本乙種書,共付款Q元.
(1)用含m,n的代數(shù)式表示Q.
(2)若共購進5×104本甲種書及3×103本乙種書,用科學記數(shù)法表示Q的值.
命題點二　整式的運算
(2024 ·河北)計算a3÷a得 a ,則“ ”是 (　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
(2023·河北)不一定相等的一組是 (　　)
A.a+b與b+a B.3a與a+a+a
C.a3與a·a·a D.3(a+b)與3a+b
(2024·河北)下列運算正確的是 (　　)
A.a7-a3=a4 B.3a2·2a2=6a2
C.(-2a)3=-8a3 D.a4÷a4=a
(2023·河北)墨跡覆蓋了等式“x3x=x2(x≠0)”中的運算符號,則覆蓋的是 (　　)
A.+ B.- C.× D.÷
(2024·河北)小明總結了以下結論:
①a(b+c)=ab+ac;②a(b-c)= ab-ac;③(b-c)÷a=b÷a-c÷a(a≠0);④a÷(b+c)= a÷b+a÷c(a≠0).其中一定成立的個數(shù)是 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
(2024·河北)將9.52變形正確的是 (　　)
A.9.52=92+0.52 B.9.52=(10+0.5)×(10-0.5)
C.9.52=102-2×10×0.5+0.52 D.9.52=92+9×0.5+0.52
(2023·河北)若=8×10×12,則k= (　　)
A.12 B.10 C.8 D.6
(2023·河北)計算正確的是 (　　)
A.(-5)0=0 B.x2+x3 =x5
C.(ab2)3=a2b5 D.2a2·a-1=2a
(2023·河北)下列計算中,正確的是 (　　)
A.-1=- B.6×107=6 000 000
C.(2a)2=2a2 D.a3·a2=a5
(2023·河北)= (　　)
A. B. C. D.
(2024·河北)若2n+2n+2n+2n=2,則n= (　　)
A.-1 B.-2 C.0 D.
(2023·河北)若k為正整數(shù),則()k= (　　)
A.k2k B.k2k+1 C.2kk D.k2+k
(2024·河北)若a,b是正整數(shù),且滿足=,則a與b的關系正確的是 (　　)
A.a+3=8b B.3a=8b
C.a+3=b8 D.3a=8+b
(2023·河北)若k為任意整數(shù),則(2k+3)2-4k2的值總能 (　　)
A.被2整除 B.被3整除
C.被5整除 D.被7整除
21 (2024·河北)“鋪地錦”是我國古代一種乘法運算方法,可將多位數(shù)乘法運算轉化為一位數(shù)乘法和簡單的加法運算.淇淇受其啟發(fā),設計了如圖1所示的“表格算法”,圖1表示132×23,運算結果為3 036.圖2表示一個三位數(shù)與一個兩位數(shù)相乘,表格中部分數(shù)據(jù)被墨跡覆蓋,根據(jù)圖2中現(xiàn)有數(shù)據(jù)進行推斷,正確的是 (　　)
圖1 圖2
A.“20”左邊的數(shù)是16
B.“20”右邊的“□”表示5
C.運算結果小于6 000
D.運算結果可以表示為4 100a+1 025
22 (2024·河北)若7-2×7-1×70=7p,則p的值為　　　　.
23 (2023·河北改編)老師在黑板上書寫了一個正確的演算過程,隨后用手掌捂住了一個二次三項式,形式如圖:
-3x=x2-5x+1.
(1)求所捂的二次三項式.
(2)若x=+1,求所捂二次三項式的值.
(3)設所捂的二次三項式為A,已知A-(mx2+nx)的結果為常數(shù),求 m,n 的值.
24 (2023·河北)有一電腦程序:每按一次按鍵,屏幕的A區(qū)就會自動加上a2,同時B區(qū)就會自動減去3a,且均顯示化簡后的結果.已知A,B兩區(qū)初始顯示的分別是25和-16,如圖.
如:第一次按鍵后,A,B兩區(qū)分別顯示:
(1)從初始狀態(tài)按2次后,分別求A,B兩區(qū)顯示的結果.
(2)從初始狀態(tài)按4次后,計算A,B兩區(qū)代數(shù)式的和,請判斷這個和能為負數(shù)嗎 說明理由.
25 (2024·河北)發(fā)現(xiàn)　兩個已知正整數(shù)之和與這兩個正整數(shù)之差的平方和一定是偶數(shù),且該偶數(shù)的一半也可以表示為兩個正整數(shù)的平方和.
驗證　如(2+1)2+(2-1)2=10為偶數(shù).請把10的一半表示為兩個正整數(shù)的平方和.
探究　設“發(fā)現(xiàn)”中的兩個已知正整數(shù)為m,n,請論證“發(fā)現(xiàn)”中的結論正確.
26 (2023·河北)發(fā)現(xiàn)　任意五個連續(xù)整數(shù)的平方和是5的倍數(shù).
驗證　(1)(-1)2+02+12+22+32的結果是5的幾倍
(2)設五個連續(xù)整數(shù)的中間一個為n,寫出它們的平方和,并說明是5的倍數(shù).
延伸　任意三個連續(xù)整數(shù)的平方和被3除的余數(shù)是多少呢 請寫出理由.
27 (2023·河北)現(xiàn)有甲、乙、丙三種矩形卡片各若干張,卡片的邊長如圖1所示(a>1),某同學分別用6張卡片拼出了兩個矩形(不重疊無縫隙),如圖2和圖3,其面積分別為S1,S2.
　　
圖1　 　圖2 圖3
(1)請用含a的式子分別表示S1,S2;當a=2時,求S1+S2的值.
(2)比較S1與S2的大小,并說明理由.
28 (2024·河北)已知:整式A=(n2-1)2+(2n)2,整式B>0.
嘗試　化簡整式A.
發(fā)現(xiàn)　A=B2.求整式B.
聯(lián)想　由上可知,B2=(n2-1)2+(2n)2,當n>1時,n2-1,2n,B為直角三角形的三邊長,如圖.填寫下表中B的值:
直角三角形三邊 n2-1 2n B
勾股數(shù)組Ⅰ 8
勾股數(shù)組Ⅱ 35
命題點三　因式分解
29 (2023·河北)對于①x-3xy=x(1-3y);②(x+3)(x-1)=x2+2x-3,從左到右的變形,表述正確的是 (　　)
A.都是因式分解
B.都是乘法運算
C.①是因式分解,②是乘法運算
D.①是乘法運算,②是因式分解
【詳解答案】
教材考點·深度梳理
①基本運算符號　②乘積　③數(shù)字
④和　⑤和　⑥指數(shù)　⑦5　⑧不變號
⑨-　⑩+　均變號　相加
am+n　相減　am-n　相乘
amn　anbn　a2-b2
a2±2ab+b2
多項式　積　(a+b)(a-b)
(a±b)2
對應練習
1.(1)an+m　
(2)80%a　75%a(1+x%)
2.3　解析:當x=1時,x3+x+m=2+m=7,解得m=5.當x=-1時,x3+x+m=-1-1+5=3.
3.D　解析:她做錯的題目是第2,3,7題.單項式-πab2的系數(shù)是-π,故第2題錯誤;5mn是二次單項式,故第3題錯誤;是單項式,故是整式,x2+-1既不是單項式,也不是多項式,故不是整式,故第7題錯誤.故選D.
4.D　解析:A.3a2-2a=a錯誤,3a2與-2a不是同類項,不能合并,不符合題意;B.-(a-2)=-a+2,故原計算錯誤,不符合題意;C.3(a-1)=3a-3,故原計算錯誤,不符合題意;D.3a+2a=5a,正確,符合題意.故選D.
5.C　解析:他做錯的題目是第1,3,4題.a2·a3=a2+3=a5,故第1題錯誤;-xy23=-x3y6 ,故第3題錯誤;a8÷a2=a8-2=a6,故第4題錯誤.故選C.
6.C　解析:∵(5x+4y)(3x+y)=15x2+17xy+4y2,∴要拼接一個長、寬分別為(5x+4y)和(3x+y)的矩形,需要甲種紙片15張,乙種紙片17張,丙種紙片4張,∴乙種紙片缺少2張.故選C.
7.C　解析:①4x2+1-1=(2x)2,故本小題不正確,不是多項式;②4x2+1+4x=(2x+1)2,故本小題正確;③4x2+1-4x=(2x-1)2,故本小題正確;④4x2+1-4x2=1,不是多項式,故④不正確;⑤4x2+1+4x4=(2x2+1)2,故本小題正確;綜上所述,②③⑤都可以選取.故選C.
8.D　解析:D項從左到右的變形正確且是因式分解.故選D.
9.C　解析:653-65=65×(652-1)=65×(65+1)×(65-1)=65×66×64.
∵65=5×13,66=2×3×11,64=2×2×2×2×2×2,
∴653-65能被5,6,8整除,不能被7整除.故選C.
10.(1)x(x+5)(x-5)　解析:x3-25x=x(x2-25)=x(x+5)(x-5).
(2)2(x-1)2　解析:2x2-4x+2=2(x2-2x+1)=2(x-1)2.
河北中考·真題體驗
1.C　解析:-7x的意義可以是-7與x的積.故選C.
2.B　解析:x+2y-=+=·.
∵x,y互為倒數(shù),∴xy=1.∴原式==2×1=2.故選B.
3.0　解析:∵a2-b2=(a+b)(a-b),
又∵a,b互為相反數(shù),∴a+b=0.
∴a2-b2=(a+b)(a-b)=0.
4.1　解析:2mn+3m-5nm+10=-3mn+3m+10,當mn=m+3時,原式=-3(m+3)+3m+10=1.
5.(1)4　(2)(2a+m)　1
6.解:(1)由題意可得Q=4m+10n.
(2)將m=5×104,n=3×103代入(1)中所得代數(shù)式,得Q=4×5×104+10×3×103=2.3×105.
7.C
8.D
9.C　解析:A.a7與-a3不屬于同類項,不能合并,故A不符合題意;B.3a2·2a2=6a4,故B不符合題意;C.(-2a)3=-8a3,故C符合題意;D.a4÷a4=1,故D不符合題意.故選C.
10.D
11.C
12.C　解析:9.52=(10-0.5)2=102-2×10×0.5+0.52.故選C.
13.B　解析:∵=8×10×12,∴(9-1)×(9+1)×(11-1)×(11+1)=k·8×10×12.解得k=10.故選B.
14.D
15.D　解析:-1=2,6×107=60 000 000,(2a)2=4a2,a3·a2=a5.故選D.
16.B
17.A　解析:由2n+2n+2n+2n=2,得4×2n=2.∴2n=.∴n=-1.故選A.
18.A　解析:()k=(k2)k=k2k.故選A.
19.A　解析:根據(jù)已知得,8×2a=28b,即2a+3=28b,∴a+3=8b.故選A.
20.B　解析:(2k+3)2-4k2
=(2k+3+2k)(2k+3-2k)
=3(4k+3),
∵3(4k +3)能被 3 整除,∴(2k+3)2-4k2的值總能被3整除.故選B.
21.D　解析:設一個三位數(shù)與一個兩位數(shù)分別為100x+10y+z和10m+n,如圖1:
圖1
則由題意,得mz=20,nz=5,ny=2,nx=a,
∴=4,即m=4n,
∴當n=2,y=1 時,z=2.5不是正整數(shù),不符合題意,故舍去;
當n=1,y=2時,則m=4,z=5,x=a,如圖2:
圖2
∴A.“20”左邊的數(shù)是2×4=8,故本選項不符合題意;B.“20”右邊的“□”表示4,故本選項不符合題意;
∴a上面的數(shù)應為4a,如圖3:
圖3
∴運算結果可以表示為1 000(4a+1)+100a+25=4 100a+1 025,
∴D選項符合題意;
當a=2時,計算的結果大于6 000,故C選項不符合題意.故選D.
22.-3　解析:由7-2×7-1×70=7p,得-2-1+0=p.∴p=-3.
23.解:(1)設所捂的二次三項式為A,則A=x2-5x+1+3x=x2-2x+1.
(2)x2-2x+1=(x-1)2,
∵x=+1,∴x-1=.
∴當x=+1時,原式 =()2=6.
(3)由(1)知A=x2-2x+1,∵A-(mx2+nx)的結果為常數(shù),∴原式=x2-2x+1-mx2-nx=(1-m)·x2+(-2-n)x+1.∴1-m=0,-2-n=0.∴m=1,n=-2.
24.解:(1)依題意,得從初始狀態(tài)按2次后,A區(qū)顯示的結果為(25+a2)+a2=25+2a2,B區(qū)顯示的結果為(-16-3a)-3a=-16-6a.
(2)從初始狀態(tài)按4次后,A區(qū)顯示的結果為25+4a2,B區(qū)顯示的結果為-16-12a,
∴A,B兩區(qū)代數(shù)式的和為25+4a2+(-16-12a)=25+4a2-16-12a=4a2-12a+9.
不能為負數(shù).理由:
∵4a2-12a+9=(2a-3)2≥0,
∴A,B兩區(qū)代數(shù)式的和不能為負數(shù).
25.解:驗證　∵10的一半為5,5可以表示為22+12,∴=22+12.
探究　證明:由題可得(m+n)2+(m-n)2=m2+2mn+n2+m2-2mn+n2=2(m2+n2).
∵m,n為正整數(shù),
∴2(m2+n2)為偶數(shù).
∴該偶數(shù)的一半為m2+n2,為兩個正整數(shù)m,n的平方和,即“發(fā)現(xiàn)”中的結論正確.
26.解:驗證　(1)∵(-1)2+02+12+22+32=1+0+1+4+9=15=5×3,
∴結果是5的3倍.
(2)五個連續(xù)整數(shù)的平方和為(n-2)2+(n-1)2+n2+(n+1)2+(n+2)2,化簡,得5n2+10=5(n2+2).
∵n為整數(shù),
∴這五個連續(xù)整數(shù)的平方和是5的倍數(shù).
延伸　余數(shù)是2.
理由:設中間的整數(shù)為n,則(n-1)2+n2+(n+1)2=3n2+2,被3除,余2.
27.解:(1)依題意得,三種矩形卡片的面積分別為S甲=a2,S乙=a,S丙=1,
∴S1=S甲+3S乙+2S丙=a2+3a+2,S2=5S乙+S丙=5a+1.
∴S1+S2=(a2 +3a+2)+(5a+1)=a2+8a+3.
∴當a=2時,S1+S2=22+8×2+3=23.
(2)S1>S2.理由如下:
∵S1=a2 +3a+2,S2=5a+1,
∴S1-S2=(a2 +3a+2)-(5a+1)=a2-2a+1=(a-1)2.
∵a>1,∴S1-S2=(a-1)2>0.
∴S1>S2.
28.解:嘗試　A=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2.
發(fā)現(xiàn)　∵A=B2,B>0.∴B=n2+1.
聯(lián)想　17　37
29.C

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