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第3課時　二次根式
考點(diǎn)一　二次根式的相關(guān)概念及性質(zhì)
相 關(guān) 概 念 (1)二次根式:形如(a≥0)的式子. (2)有意義的條件:被開方數(shù)①　　　　　. (3)最簡二次根式滿足的兩個條件: a.被開方數(shù)不含分母(即分母中不含根號); b.被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式
性 質(zhì) (1)雙重非負(fù)性:≥0且a≥0. (2)()2=a(a②　　　　). (3)=|a|= (4)=·(a≥0,b≥0). (5)=(a≥0,b>0)
① (人教八下P2變式)代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.
(1)實(shí)數(shù)x的取值范圍在數(shù)軸上表示為 (　　)
A.　　 B. C.　　 D.
(2)實(shí)數(shù)x的值可能是 (　　)
A. B.1 C.0 D.
② (冀教八上P91變式)下列選項中,化簡結(jié)果為-5的是 (　　)
A. B.(-)2 C.- D.
③ (2024·樂山)已知1A.-1 B.1 C.2x-3 D.3-2x
④ 計算下列式子:
(1)=　　　　.
(2)()2=　　　　.
(3)=　　　　.
(4)=　　　　.
考點(diǎn)二　二次根式的運(yùn)算
加減法 先將二次根式化成最簡二次根式,再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并
乘法 ·=⑤　　　　(a≥0,b≥0)
除法 =⑥　　　　(或=)(a≥0,b>0)
混合運(yùn)算 與實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序相同且運(yùn)算結(jié)果必須為最簡二次根式
⑤ 下列二次根式中,能與進(jìn)行合并的是 (　　)
A. B. C. D.
⑥ 下列計算不正確的是 (　　)
A.=2 B.=1 C.= D.+=3
⑦ 計算的結(jié)果是　　　　;(2+)(2-)=　　　　;(2-)2=　　　　.
考點(diǎn)三　二次根式的估值
估計二 次根式 的值在 哪兩個 整數(shù)之間 (1)先對根式平方. (2)找出與平方后所得數(shù)相鄰的兩個開得盡方的整數(shù). (3)對以上兩個整數(shù)開方. (4)確定這個根式的值在開方后的這兩個整數(shù)之間. (5)較小的整數(shù)即為根式的整數(shù)部分,小數(shù)部分為根式與其整數(shù)部分的差,如的整數(shù)部分為2,小數(shù)部分為-2. (6)確定±a(b≥0)的值在哪兩個整數(shù)之間,只需在(4)的結(jié)果上根據(jù)不等式的性質(zhì),給不等號兩邊分別加減a
確定二次根式 的值離哪個整 數(shù)較近 (1)先確定二次根式在哪兩個整數(shù)之間. (2)求這兩個整數(shù)的平均數(shù) (3)將二次根式和平均數(shù)進(jìn)行平方:若二次根式的平方大于平均數(shù)的平方,則離較大的整數(shù)近,反之離較小的整數(shù)近
⑧ (人教七下P47變式)如圖,在數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)-2的點(diǎn)落在 (　　)
A.段① B.段② C.段③ D.段④
⑨ 已知a,b為兩個連續(xù)整數(shù),a<(1)的值為 (　　)
A.2 B.±2 C.6 D.±6
(2)已知-2的整數(shù)部分是m,小數(shù)部分是n,則m-n 的值是 (　　)
A.-3 B.-1 C.3 D.1
⑩ (2023·自貢)請寫出一個比小的整數(shù)　　　　.
有個填寫數(shù)字的游戲:在“”中的每個內(nèi),填入數(shù)字(可重復(fù)使用),然后計算結(jié)果.
(1)若三個內(nèi)從左到右依次填入,2,,請計算所得的結(jié)果.
(2)若“”中的數(shù)相同,且“”表示的數(shù)是,求“”結(jié)果的整數(shù)部分和小數(shù)部分.
(3)若=,請推算內(nèi)的數(shù)字.
(4)若-的結(jié)果是的相反數(shù),請推算內(nèi)的數(shù)字.
(1)×2-=-2=-.
(2)由題意可知,=5-.
∵2<<3,∴-3<-<-2,
∴5-3<5-<5-2,
∴2<5-<3.∵5--2=3-,
∴“”的整數(shù)部分為2,小數(shù)部分為3-.
(3)設(shè)內(nèi)的數(shù)字為x,可得x-=,
移項,得x=+,
合并同類項,得x=3,
系數(shù)化為1,得x=,
所以內(nèi)的數(shù)字為.
(4)設(shè)內(nèi)的數(shù)字為x,可得--x=-,
移項,得-x=-+,
合并同類項,得-x=2,
系數(shù)化為1,得x=-2,
所以內(nèi)的數(shù)字為-2.
命題點(diǎn)一　二次根式的相關(guān)概念及性質(zhì)
(2024·河北樣題)代數(shù)式+中x的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是(　　)
A. B.
C. D.
命題點(diǎn)二　二次根式的運(yùn)算
(2024·河北)下列正確的是 (　　)
A.=2+3 B.=2×3
C.=32 D.=0.7
(2023·河北)關(guān)于的敘述,錯誤的是 (　　)
A.是有理數(shù)
B.面積為12的正方形的邊長是
C.=2
D.在數(shù)軸上可以找到表示的點(diǎn)
(2023·河北)若a=,b=,則等于 (　　)
A.2 B.4 C. D.
(2022·河北)計算:=　　　　.
(2023·河北)已知=a=b,則ab=　　　　.
命題點(diǎn)三　二次根式的估值
(2022·河北)a,b是兩個連續(xù)整數(shù),若a<A.2,3 B.3,2 C.3,4 D.6,8
(2023·河北)如圖,在數(shù)軸上標(biāo)注了四段范圍,則表示的點(diǎn)落在 (　　)
A.段① B.段② C.段③ D.段④
(2024·河北)已知a,b,n均為正整數(shù).
(1)若n<(2)若n-1<【詳解答案】
教材考點(diǎn)·深度梳理
①大于或等于0　②≥0　③a　④-a　⑤　⑥
對應(yīng)練習(xí)
1.(1)A　(2)D　解析:(1)由題意可知,x-1>0,解得x>1.
在數(shù)軸上表示為
.故選A.
(2)由題意可知,x-1>0,解得x>1,>1.故選D.
2.C　解析:A的結(jié)果是5,B的結(jié)果是5,C的結(jié)果是-5,D的結(jié)果是5.故選C.
3.B　解析:∵1∴+|x-2|=x-1+2-x=1.故選B.
4.(1)4　(2)7　(3)　(4)2
5.B　解析:是最簡二次根式.=2,=5,=2,∴能與進(jìn)行合并.故選B.
6.B　解析:A.÷=2,故該選項是正確的,但不符合題意;B.÷≠1,故該選項是錯誤的,符合題意;C.,故該選項是正確的,但不符合題意;D.+=2+=3,故該選項是正確的,但不符合題意.故選B.
7.-2　1　7-4
8.B　解析:∵2<<3,∴ 2-2<-2<3-2,即0<-2<1 ,故落在段②.故選B.
9.(1)A　(2)C　解析:(1)∵3<<4,∴a=3,b=4,∴=2.故選A.
(2)∵3<<4,∴ 3-2<-2<4-2,即1<-2<2,
∴m=1,n=-3,∴m-n=-(-3)=3.故選C.
10.4(答案不唯一)　解析:由16<23可得,<,即4<.答案不唯一.
河北中考·真題體驗(yàn)
1.A　解析:由題意,得3-x≥0且x-1≠0,解得x≤3且x≠1.故選A.
2.B　解析:A.,故A錯誤;C.=92=81,故C錯誤;D.,故D錯誤,故選B.
3.A　解析:是無理數(shù),故A錯誤,故選A.
4.A　解析:∵a=,b=,∴==2.故選A.
5.2　解析: ==2.
6.6　解析:=3=2,∴a=3,b=2,∴ab=6.
7.A　解析:2<<3.故選A.
8.C　解析:2.82=7.84,2.92=8.41.∴2.8<<2.9.故選C.
9.(1)3　(2)2　解析:(1)∵<<,
∴3<<4.∵n<∴n=3.
(2)∵n-1<∴a的個數(shù)為n2-(n-1)2-1=n2-n2+2n-1-1=2n-2.
∵n<∴b的個數(shù)為(n+1)2-n2-1=n2+2n+1-n2-1=2n.
∵2n-(2n-2)=2,
∴滿足條件的a的個數(shù)總比b的個數(shù)少2個.

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