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第2課時　實(shí)數(shù)的大小比較及運(yùn)算
考點(diǎn)一　實(shí)數(shù)的大小比較
數(shù)軸比較法 在數(shù)軸上表示兩個數(shù)的點(diǎn),右邊的點(diǎn)表示的數(shù)①　　　　左邊的點(diǎn)表示的數(shù)
性質(zhì)比較法 正數(shù)大于0,負(fù)數(shù)小于0;兩個正數(shù),絕對值大的數(shù)較②　　　　;兩個負(fù)數(shù),絕對值大的數(shù)較③　　　　
作差比較法 設(shè)a,b是任意的兩個實(shí)數(shù),若a-b>0,則a④　　　　b;若a-b=0,則a⑤　　　　b;若a-b<0,則a⑥　　　　b
平方比較法 若a> a2>b(b>0)(主要應(yīng)用于二次根式估值及含有二次根號的數(shù)的大小比較)
特殊值法 含有字母時,給字母取特殊值比較大小,更加簡便快捷
(1)給出一組數(shù)據(jù)(正、負(fù)數(shù)均有)求最大的數(shù)值在正數(shù)中尋找.(2)進(jìn)行大小排序時,先排序正數(shù),再排序負(fù)數(shù),根據(jù)正數(shù)>0>負(fù)數(shù)進(jìn)行最終排序,也可將數(shù)在數(shù)軸上表示出來,從左到右,數(shù)越來越大.
① (2024·貴州)下列有理數(shù)中最小的數(shù)是 (　　)
A.-2 B.0 C.2 D.4
② (冀教七上P14變式)實(shí)數(shù)a,b在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示,下列結(jié)論正確的是 (　　)
A.a<-2 B.b<2 C.ab
③ 若0”連接)
考點(diǎn)二　實(shí)數(shù)的運(yùn)算
運(yùn)算法則
加法 同號兩數(shù)相加,取相同的符號,并把絕對值⑦　　　　;絕對值不相等的異號兩數(shù)相加,取絕對值較大的加數(shù)的符號,并用較大的絕對值⑧　　　　較小的絕對值;互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得⑨　　　　;一個數(shù)同0相加,仍得這個數(shù)
減法 減去一個數(shù),等于加上這個數(shù)的⑩　　　　,即a-b=a+(-b)
乘法 兩個數(shù)相乘,同號得正,異號得負(fù),并把絕對值相乘;任何數(shù)與0相乘,仍得0,即
除法 兩個數(shù)相除,同號得正,異號得負(fù),并把絕對值相除;0除以任何一個非零的數(shù)都得0;一個數(shù)除以一個不等于0的數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù),即a÷b=a· 　　　　(b≠0)
乘方 an表示n個相同的因數(shù)a相乘,即an=
|a-b|=先判斷絕對值符號中運(yùn)算結(jié)果的正負(fù)性,再根據(jù)絕對值的非負(fù)性寫出結(jié)果
常見運(yùn)算
運(yùn)算 法則 舉例
零次冪 a0=1(a≠0) (π-2)0=1
-1的奇、偶次冪 偶數(shù)次冪為1,奇數(shù)次冪為-1 (-1)2 024=1,(-1)2 023=-1
負(fù)整數(shù)指數(shù)冪 a-n=(a≠0,n為正整數(shù)) 2-1=,==9
特殊角的銳角三角函數(shù)值 sin 30°=,sin 45°=,sin 60°=; cos 30°=,cos 45°=,cos 60°=;tan 30°=,tan 45°=1,tan 60°=
(1)指數(shù)的符號與結(jié)果正負(fù)無關(guān),負(fù)指數(shù)可按“倒底數(shù),反指數(shù)”快速計(jì)算.(2)當(dāng)絕對值符號前是“-”時,去掉絕對值符號后,先加上括號然后再去括號.
實(shí)數(shù)混合運(yùn)算的解題步驟
(1)先將每個小項(xiàng)的值計(jì)算出來,一般涉及的有乘方、-1的奇偶次冪、零次冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、去絕對值符號、特殊角的三角函數(shù)值、開方運(yùn)算等.
(2)再根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序計(jì)算:先乘方,再乘除,后加減;有括號時先計(jì)算括號里面的,同級運(yùn)算按照從左到右的順序進(jìn)行運(yùn)算.
(3)最后計(jì)算結(jié)果.
簡便運(yùn)算
(1)先“湊十”“湊百”“湊千”,然后利用分配律、平方差公式、完全平方公式等計(jì)算.
例如:-9×42
=-(10-)×42
=-(10×42-×42)
=-(420-2)
=-418.
9982
=(1 000-2)2
=1 0002-2×1 000×2+22
=996 004.
99×(-100)
=-(100-)×(100+)
=-[1002-()2]
=-(10 000-)
=-9 999.
(2)先將算式中所有的小數(shù)或分?jǐn)?shù)湊成整數(shù),再進(jìn)行計(jì)算.
例如:(-5)×8×(-1)×(-1.25)
=[(-5)×(-)]×[8×(-1.25)]
=9×(-10)
=-90.
4.61×-5.39×(-)+3×(-)
=4.61×+5.39×-3×
=×(4.61+5.39-3)
=×7
=3.
(3)直接利用分配律、平方差公式、完全平方公式等計(jì)算.
例如:(3+2)(3-2)
=(3)2-(2)2
=18-12
=6.
(-48)×(-+)
=(-48)×(-)+(-48)×-(-48)×
=36-40+28
=24.
-101×190+1012+952
=1012-2×101×95+952
=(101-95)2
=62
=36.
(1-)(1-)×(1-)×…×(1-)
=(1-)×(1+)×(1-)×(1+)×(1-)×(1+)×…×(1-)×(1+)
=×…×
=
=.
④ (人教八上P143變式)下列計(jì)算正確的是 (　　)
A.(-2)0=-1 B.-23=-8 C.3-1=- D.3-2=-6
⑤ (2024·邯鄲叢臺區(qū)二模)計(jì)算+的結(jié)果是 (　　)
A.3m+4n B.m3+4n C.3m+4n D.3m+n4
⑥ 下列各式中正確的是 (　　)
A.-7+3=4 B.7-(-7)=0 C.-3.5×(-2)=7 D.(-)÷(-)=-
⑦ 計(jì)算:（）-1-2cos 30°+|-|-(4-π)0=　　　　.
⑧ (原創(chuàng))計(jì)算:
(1)(+)×(-)-2. (2)|-3|+2cos 30°+()-1+(π-)0+.
在數(shù)學(xué)活動課上,李老師設(shè)計(jì)了一個游戲活動,四名同學(xué)分別代表一種運(yùn)算,四名同學(xué)可以任意排列,每次排列代表一種運(yùn)算順序,剩余同學(xué)中,一名學(xué)生負(fù)責(zé)說一個數(shù),其他同學(xué)負(fù)責(zé)運(yùn)算,運(yùn)算結(jié)果既對又快者獲勝,可以得到一個獎品.
下面我們用四個卡片代表四名同學(xué)(如圖):
(1)列式,并計(jì)算:
①-10只經(jīng)過B,D的順序運(yùn)算后,結(jié)果是多少
②-3經(jīng)過A,B,C,D的順序運(yùn)算后,結(jié)果是多少
③5經(jīng)過B,C,A,D的順序運(yùn)算后,結(jié)果是多少
(2)探究:數(shù)a經(jīng)過D,C,A,B的順序運(yùn)算后,結(jié)果是45,a是多少
(1)①-10-(-5)+6=1.
②[(-3)×2-(-5)]2+6
=(-6+5)2+6
=(-1)2+6
=1+6
=7.
③[5-(-5)]2×2+6
=(5+5)2×2+6
=102×2+6
=100×2+6
=200+6
=206.
(2)由題意知,(a+6)2×2-(-5)=45,
∴(a+6)2×2=40,
∴(a+6)2=20,
∴a+6=±2,
∴a1=2-6,a2=-2-6.
命題點(diǎn)一　實(shí)數(shù)的大小比較
(2023·河北)點(diǎn)A,B在數(shù)軸上的位置如圖所示,其對應(yīng)的數(shù)分別是a和b.對于以下結(jié)論:甲:b-a<0;乙:a+b>0;丙:|a|<|b|;丁:>0.其中正確的是 (　　)
A.甲乙 B.丙丁 C.甲丙 D.乙丁
命題點(diǎn)二　實(shí)數(shù)的運(yùn)算
一、實(shí)數(shù)的簡單運(yùn)算
(2024·河北)與-3相等的是 (　　)
A.-3- B.3- C.-3+ D.3+
(2023·河北)計(jì)算:3-2×(-1)= (　　)
A.5 B.1 C.-1 D.6
(2023·河北)能與-()相加得0的是 (　　)
A.- B.+ C.-+ D.-+
(2023·河北)若取1.442,計(jì)算-3-98的結(jié)果是 (　　)
A.-100 B.-144.2
C.144.2 D.-0.014 42
(2022·河北)計(jì)算:852-152= (　　)
A.70 B.700 C.4 900 D.7 000
(2023·河北)如圖是國際數(shù)學(xué)日當(dāng)天淇淇和嘉嘉的微信對話,根據(jù)對話內(nèi)容,下列選項(xiàng)錯誤的是 (　　)
A.4+4-=6 B.4+40+40=6
C.4+=6 D.4-1÷+4=6
二、實(shí)數(shù)的復(fù)雜運(yùn)算
(2024·河北)有個填寫運(yùn)算符號的游戲:在“1　2　6　9”中的每個　內(nèi),填入+,-,×,÷中的某一個(可重復(fù)使用),然后計(jì)算結(jié)果.
(1)計(jì)算:1+2-6-9.
(2)若1÷2×6　9=-6,請推算　內(nèi)的符號.
(3)在“1　2　6-9”的　內(nèi)填入符號后,使計(jì)算所得數(shù)最小,直接寫出這個最小數(shù).
(2023·河北)
利用運(yùn)算律有時能進(jìn)行簡便計(jì)算.
例1　98×12=(100-2)×12=1 200-24=1 176.
例2　-16×233+17×233=(-16+17)×233=233.
請你參考黑板中老師的講解,用運(yùn)算律簡便計(jì)算:
(1)999×(-15).
(2)999×118+999×(-)-999×18.
(2023·河北)如圖,在一條不完整的數(shù)軸上從左到右有點(diǎn)A,B,C,其中AB=2,BC=1.設(shè)點(diǎn)A,B,C 所對應(yīng)數(shù)的和是p.
(1)若以B為原點(diǎn),寫出點(diǎn)A,C所對應(yīng)的數(shù),并計(jì)算p 的值;若以 C 為原點(diǎn),p又是多少
(2)若原點(diǎn)O在圖中數(shù)軸上點(diǎn)C的右邊,且CO=28,求p.
(2024·河北)如圖,有甲、乙兩條數(shù)軸.甲數(shù)軸上的三點(diǎn)A,B,C所對應(yīng)的數(shù)依次為-4,2,32,乙數(shù)軸上的三點(diǎn)D,E,F所對應(yīng)的數(shù)依次為0,x,12.
(1)計(jì)算A,B,C三點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)的和,并求的值.
(2)當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)D上下對齊時,點(diǎn)B,C恰好分別與點(diǎn)E,F上下對齊,求x的值.
【詳解答案】
教材考點(diǎn)·深度梳理
①大于?、诖蟆、坌　、?　⑤=
⑥⑩相反數(shù)　ab　-ab　
對應(yīng)練習(xí)
1.A　解析:∵4>2>0>-2,∴最小的數(shù)是-2.故選A.
2.C　解析:由數(shù)軸,得-23.>a>-a>-　解析:∵01,-1<-a<0,-<-1,∴>a>-a>-.
4.B　解析:A.(-2)0=1,故此選項(xiàng)不合題意;B.-23=-8,故此選項(xiàng)符合題意;C.3-1=,故此選項(xiàng)不合題意;D.3-2=,故此選項(xiàng)不合題意.故選B.
5.A　解析:+,m個3相加表示為3m,根據(jù)乘方的定義:n個4相乘表示為4n,故結(jié)果是3m+4n.故選A.
6.C　解析:A.∵-7+3=-4,故選項(xiàng)A錯誤;B.∵7-(-7)=14,故選項(xiàng)B錯誤;C.∵-3.5×(-2)=7,故選項(xiàng)C正確;D.∵-÷-=,故選項(xiàng)D錯誤.故選C.
7.2　解析:原式=3-2×+-1=3-+-1=2.
8.解:(1)原式=+×36
=×36-×36+×36
=28-33+6
=1.
(2)原式=3-+2×+3+1+3
=10.
河北中考·真題體驗(yàn)
1.C　解析:由題圖可知b<-3<0,02.A　解析:-3-=-3.故選A.
3.A　解析:3-2×(-1)=3+2=5.故選A.
4.C　解析:能與-相加得0的數(shù)是0--=.故選C.
5.B　解析:原式=(1-3-98)×=-100×1.442=-144.2.故選B.
6.D　解析:852-152=(85+15)×(85-15)=100×70=7 000.故選D.
7.D　解析:4-1÷+4=÷2+4=+4=4.故選D.
8.解:(1)1+2-6-9=3-6-9=-3-9=-12.
(2)∵1÷2×6□9=-6,∴1××6□9=-6.
∴3□9=-6.∴□內(nèi)的符號是“-”.
(3)這個最小數(shù)是-20.
9.解:(1)原式=(1 000-1)×(-15)=1 000×(-15)+15=-15 000+15=-14 985.
(2)原式=999×118+--18=999×100=99 900.
10.解:(1)若以B為原點(diǎn),則點(diǎn)C表示1,點(diǎn)A表示-2,
∴p=1+0+(-2)=-1.
若以C為原點(diǎn),則點(diǎn)A表示-3,點(diǎn)B表示-1,∴p=-3+(-1)+0=-4.
(2)若原點(diǎn)O在題圖中數(shù)軸上點(diǎn)C的右邊,且CO=28,則點(diǎn)C表示-28,點(diǎn)B表示-29,點(diǎn)A表示-31,∴p=-31+(-29)+(-28)=-88.
11.解:(1)∵點(diǎn)A,B,C所對應(yīng)的數(shù)依次為-4,2,32,
∴A,B,C三點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)的和為-4+2+32=30,
∵AB=2-(-4)=6,AC=32-(-4)=36,
∴.
(2)由數(shù)軸,得DE=x-0=x,DF=12-0=12,
由題意,得,∴,
∴x=2.