資源簡介

1、將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截去一個棱錐，得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的側視圖為(　　)
答案　B
解析　由正視圖和俯視圖可知該幾何體的直觀圖如圖所示，故該幾何體的側視圖為選項B.
2、某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積為________cm3，表面積為________cm2.
答案　　
解析　由三視圖知該幾何體為一個半球被割去后剩下的部分，
其球半徑為1，所以該幾何體的體積為××π×13＝(cm3)，
表面積為××4π×12＋×π×12＋2××π×12＝(cm2).
3、已知圓錐的表面積等于12π cm2，其側面展開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為(　　)
A．1 cm B．2 cm
C．3 cm D. cm
答案　B
解析　S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2 cm.
4、體積為8的正方體的頂點都在同一球面上，則該球面的表面積為(　　)
A．12π B.π
C．8π D．4π
答案　A
解析　由題意可知正方體的棱長為2，其體對角線2即為球的直徑，所以球的表面積為4πR2＝(2R)2π＝12π，故選A.
5、某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的表面積是________cm2，體積是________cm3.
答案　80　40
解析　由三視圖可知該幾何體由一個正方體和一個長方體組合而成，上面正方體的棱長為2 cm，下面長方體的底面邊長為4 cm，高為2 cm，其直觀圖如圖所示，
其表面積S＝6×22＋2×42＋4×2×4－2×22＝80(cm2)，體積V＝2×2×2＋4×4×2＝40(cm3)．
6、 如圖，三棱柱ABC－A1B1C1的體積為1，P為側棱B1B上的一點，則四棱錐P－ACC1A1的體積為______．
答案　
解析　設點P到平面ABC，平面A1B1C1的距離分別為h1，h2，
則棱柱的高為h＝h1＋h2，又記S＝S△ABC＝，
則三棱柱的體積為V＝Sh＝1.而從三棱柱中去掉四棱錐
P－ACC1A1的剩余體積為V′＝VP－ABC＋＝Sh1＋Sh2＝S(h1＋h2)＝，
從而＝V－V′＝1－＝.
無
題型一　簡單幾何體的三視圖
命題點1　已知幾何體，識別三視圖
例1 如圖，多面體ABCD－EFG的底面ABCD為正方形，FC＝GD＝2EA，其俯視圖如圖所示，則其正視圖和側視圖正確的是(　　)
答案　D
解析　正視圖的輪廓線是矩形DCFG，點E在平面DCFG上的投影為DG的中點，且邊界BE，BG可視，故正視圖為選項B或D中的正視圖，側視圖的輪廓線為直角梯形ADGE，且邊界BF不可視，故側視圖為選項D中的側視圖，故選D.
命題點2　已知三視圖，判斷幾何體的形狀
例2 如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互相垂直的半徑．若該幾何體的體積是，則它的表面積是(　　)
A．17π B．18π C．20π D．28π
答案　A
解析　由該幾何體的三視圖可知，這個幾何體是把一個球挖掉它的得到的(如圖所示)．設該球的半徑為R，則×πR3＝π，得R＝2.所以它的表面積為4π×22－×4π×22＋3××π×22＝17π.故選A.
命題點3　已知三視圖中的兩個視圖，判斷第三個視圖
例3 一個三棱錐的正視圖和俯視圖如圖所示，則該三棱錐的側視圖可能為(　　)
答案　D
解析　由題圖可知，該幾何體為如圖所示的三棱錐，其中平面ACD⊥平面BCD，故選D.
【同步練習】
1、如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為(　　)
A．18＋36 B．54＋18
C．90 D．81
(2)如圖是一幾何體的直觀圖、正視圖和俯視圖，
則該幾何體的側視圖為(　　)
答案　(1)B　(2)B
解析　(1)由題意知，幾何體為平行六面體，邊長分別為3,3，，幾何體的表面積S＝3×6×2＋3×3×2＋3××2＝54＋18.
(2)由直觀圖、正視圖和俯視圖可知，該幾何體的側視圖應為平面PAD，且EC投影在平面PAD上，故B正確．
題型二 空間幾何的三視圖
例4 將正方體(如圖1所示)截去兩個三棱錐，得到如圖2所示的幾何體，則該幾何體的側視圖為(　　)
錯解展示
解析　結合正方體中各頂點投影，側視圖應為一個正方形，中間兩條對角線．
答案　C
現場糾錯
解析　側視圖中能夠看到線段AD1，應畫為實線，而看不到B1C，應畫為虛線．由于AD1與B1C不平行，投影為相交線，故應選B.
答案　B
糾錯心得　確定幾何體的三視圖要正確把握投影方向，可結合正方體確定點線的投影位置，要學會區分三視圖中的實虛線．
題型三　求空間幾何體的表面積
例5　(1)一個多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的表面積為(　　)
A．21＋ B．18＋
C．21 D．18
(2)一個六棱錐的體積為2，其底面是邊長為2的正六邊形，側棱長都相等，則該六棱錐的側面積為________．
答案　(1)A　(2)12
解析　(1)由幾何體的三視圖可知，該幾何體的直觀圖如圖所示，因此該幾何體的表面積為
6×(4－)＋2××()2＝21＋.故選A.
(2)設正六棱錐的高為h，側面的斜高為h′.
由題意，得×6××2××h＝2，
∴h＝1，
∴斜高h′＝＝2，
∴S側＝6××2×2＝12.
【同步練習】1、如圖所示的是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為____．
答案　26
解析　該幾何體為一個長方體從正上方挖去一個半圓柱剩下的部分，長方體的長，寬，高分別為4,1,2，挖去半圓柱的底面半徑為1，高為1，所以表面積為S＝S長方體表－2S半圓柱底－S圓柱軸截面＋S半圓柱側＝2×4×1＋2×1×2＋2×4×2－π×12－2×1＋×2π×1＝26.
1．多面體的表面積、側面積
因為多面體的各個面都是平面，所以多面體的側面積就是所有側面的面積之和，表面積是側面積與底面面積之和．
2．圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式
圓柱 圓錐 圓臺
側面展開圖
側面積公式 S圓柱側＝2πrl S圓錐側＝πrl S圓臺側＝π(r1＋r2)l
3.柱、錐、臺和球的表面積和體積
　名稱 幾何體　　 表面積 體積
柱體(棱柱和圓柱) S表面積＝S側＋2S底 V＝Sh
錐體(棱錐和圓錐) S表面積＝S側＋S底 V＝Sh
臺體(棱臺和圓臺) S表面積＝S側＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S＝4πR2 V＝πR3
【知識拓展】
1．與體積有關的幾個結論
(1)一個組合體的體積等于它的各部分體積的和或差．
(2)底面面積及高都相等的兩個同類幾何體的體積相等．
2．幾個與球有關的切、接常用結論
(1)正方體的棱長為a，球的半徑為R，
①若球為正方體的外接球，則2R＝a；
②若球為正方體的內切球，則2R＝a；
③若球與正方體的各棱相切，則2R＝a.
(2)若長方體的同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝.
(3)正四面體的外接球與內切球的半徑之比為3∶1.
題型四　求空間幾何體的體積
命題點1　求以三視圖為背景的幾何體的體積
例6 一個由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　)
A.＋π B.＋π
C.＋π D．1＋π
答案　C
解析　由三視圖知，半球的半徑R＝，四棱錐為正四棱錐，它的底面邊長為1，高為1，∴V＝×1×1×1＋×π×3＝＋π，故選C.
命題點2　求簡單幾何體的體積
例7 現需要設計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐P－A1B1C1D1，下部的形狀是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍．若AB＝6 m，PO1＝2 m，則倉庫的容積為________m3.
答案　312
解析　由PO1＝2 m，知O1O＝4PO1＝8 m．因為A1B1＝AB＝6 m，所以正四棱錐P－A1B1C1D1的體積
V錐＝·A1B·PO1＝×62×2＝24(m3)；
正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的體積
V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)．
所以倉庫的容積V＝V錐＋V柱＝24＋288＝312(m3)．
【同步練習】(1)已知三棱錐的四個面都是腰長為2的等腰三角形，該三棱錐的正視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是________．
(2)如圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為(　　)
A. B. C. D.
答案　(1)　(2)A
解析　(1) 由題意可知，因為三棱錐每個面都是腰長為2的等腰三角形，由正視圖可得俯視圖(如圖)，且三棱錐高為h＝1，則體積V＝Sh＝×(×2×1)×1＝.
(2)如圖，分別過點A，B作EF的垂線，垂足分別為G，H，連接DG，CH，
容易求得EG＝HF＝，
AG＝GD＝BH＝HC＝，
∴S△AGD＝S△BHC＝××1＝，
∴V＝VE－ADG＋VF－BCH＋VAGD－BHC＝2VE－ADG＋VAGD－BHC＝×××2＋×1＝.故選A.
題型五　與球有關的切、接問題
例8　已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為(　　)
A. B．2
C. D．3
答案　C
解析　如圖所示，由球心作平面ABC的垂線，
則垂足為BC的中點M.
又AM＝BC＝，
OM＝AA1＝6，所以球O的半徑R＝OA＝ ＝.
引申探究
1．已知棱長為4的正方體，則此正方體外接球和內切球的體積各是多少？
解　由題意可知，此正方體的體對角線長即為其外接球的直徑，正方體的棱長即為其內切球的直徑．設該正方體外接球的半徑為R，內切球的半徑為r.
又正方體的棱長為4，故其體對角線長為4，
從而V外接球＝πR3＝π×(2)3＝32π，
V內切球＝πr3＝π×23＝.
2．已知棱長為a的正四面體，則此正四面體的表面積S1與其內切球的表面積S2的比值為多少？
解　正四面體的表面積為S1＝4··a2＝a2，其內切球半徑r為正四面體高的，即r＝·a＝a，因此內切球表面積為S2＝4πr2＝，則＝＝.
3．已知側棱和底面邊長都是3的正四棱錐，則其外接球的半徑是多少？
解　依題意得，該正四棱錐的底面對角線的長為3×＝6，高為 ＝3，
因此底面中心到各頂點的距離均等于3，所以該正四棱錐的外接球的球心即為底面正方形的中心，其外接球的半徑為3.
【同步練習】(1)在封閉的直三棱柱ABC—A1B1C1內有一個體積為V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是(　　)
A．4π B. C．6π D.
(2)正四棱錐的頂點都在同一球面上．若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為(　　)
A. B．16π C．9π D.
答案　(1)B　(2)A
解析　(1)由題意知，底面三角形的內切圓直徑為4.三棱柱的高為3，所以球的最大直徑為3，V的最大值為.
(2) 如圖，設球心為O，半徑為r，
則在Rt△AOF中，(4－r)2＋()2＝r2，
解得r＝，
∴該球的表面積為4πr2＝4π×()2＝π.
例9 如圖，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5，則此幾何體的體積為________．
解析　用“補形法”把原幾何體補成一個直三棱柱，使AA′＝BB′＝CC′＝8，所以V幾何體＝V三棱柱＝×S△ABC×AA′＝×24×8＝96.
答案　96
一、三視圖問題的常見類型及解題策略
(1)由幾何體的直觀圖求三視圖．注意正視圖、側視圖和俯視圖的觀察方向，注意看到的部分用實線表示，不能看到的部分用虛線表示．
(2)由幾何體的部分視圖畫出剩余的部分視圖．先根據已知的一部分三視圖，還原、推測直觀圖的可能形式，然后再找其剩下部分三視圖的可能形式．當然作為選擇題，也可將選項逐項代入，再看看給出的部分三視圖是否符合．
(3)由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀．要熟悉柱、錐、臺、球的三視圖，明確三視圖的形成原理，結合空間想象將三視圖還原為實物圖．
二、空間幾何體表面積的求法
(1)以三視圖為載體的幾何體的表面積問題，關鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關系及數量．
(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理．
(3)旋轉體的表面積問題注意其側面展開圖的應用．
三、空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略
(1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式進行求解．
(2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉換法、分割法、補形法等方法進行求解．
(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應先根據三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據條件求解.
四、空間幾何體與球接、切問題的求解方法
(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點作截面，把空間問題轉化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找幾何中元素間的關系求解．
(2)若球面上四點P，A，B，C構成的三條線段PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關元素“補形”成為一個球內接長方體，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．
1．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為(　　)
A. B. C. D．1
答案　A
解析　由三視圖知，三棱錐如圖所示，由側視圖得高h＝1，
又底面面積S＝×1×1＝.
所以體積V＝Sh＝.
2． 圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示．若該幾何體的表面積為16＋20π，則r等于(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
答案　B
解析　如圖，該幾何體是一個半球
與一個半圓柱的組合體，球的半徑為r，圓柱的底面半徑為r，高為2r，則表面積S＝×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.又S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2，故選B.
3．如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為(　　)
A．20π B．24π C．28π D．32π
答案　C
解析　由三視圖可知，組合體的底面圓的面積和周長均為4π，圓錐的母線長l＝＝4，所以圓錐的側面積為S錐側＝×4π×4＝8π，圓柱的側面積S柱側＝4π×4＝16π，所以組合體的表面積S＝8π＋16π＋4π＝28π，故選C.
4．如圖所示，下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個視圖相同的是(　　)
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
答案　C
解析　由幾何體的結構可知，只有圓錐、正四棱錐兩個幾何體的正視圖和側視圖相同，且不與俯視圖相同．
5．某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長棱的棱長為(　　)
A．1 B. C. D．2
答案　C
解析　根據三視圖，可知該幾何體的直觀圖為如圖所示的四棱錐V－ABCD，其中VB⊥平面ABCD，
且底面ABCD是邊長為1的正方形，VB＝1.所以四棱錐中最長棱為VD.連接BD，易知BD＝，在Rt△VBD中，VD＝＝.
6. 一只螞蟻從正方體ABCD－A1B1C1D1的頂點A處出發，經正方體的表面，按最短路線爬行到達頂點C1位置，則下列圖形中可以表示正方體及螞蟻最短爬行路線的正視圖是(　　)
A．①② B．①③ C．③④ D．②④
答案　D
解析　由點A經正方體的表面，按最短路線爬行到達頂點C1位置，共有6種展開方式，若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展開到同一個平面內，在矩形中連接AC1會經過BB1的中點，故此時的正視圖為②.若把平面ABCD和平面CDD1C1展開到同一個平面內，在矩形中連接AC1會經過CD的中點，此時正視圖會是④.其他幾種展開方式對應的正視圖在題中沒有出現或者已在②④中，故選D.
7．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于________．
答案　64＋32
解析　由三視圖可知該幾何體為直三棱柱截去一個三棱錐，
因為SB＝4，AC＝4，則其表面積等于4×8＋×4×(8＋4)＋×4×(8＋4)＋×4×4＋×4×4＝64＋32.
8. 如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點P是上底面A1B1C1D1內一動點，則三棱錐P－ABC的正視圖與側視圖的面積的比值為________．
答案　1
解析　設正方體的棱長為a，則三棱錐P－ABC的正視圖與側視圖都是三角形，且面積都是a2，故面積的比值為1.
9. 如圖所示，點O為正方體ABCD－A′B′C′D′的中心，點E為平面B′BCC′的中心，點F為B′C′的中點，則空間四邊形D′OEF在該正方體的各個面上的投影可能是下圖中的________．(填出所有可能的序號)
答案　①②③
解析　空間四邊形D′OEF在平面DCC′D′上的投影是①，在平面BCC′B′上的投影是②，在平面ABCD上的投影是③，故填①②③.
10．某幾何體的三視圖如圖所示．
(1)判斷該幾何體是什么幾何體？
(2)畫出該幾何體的直觀圖．
解　(1)該幾何體是一個正方體切掉兩個圓柱后得到的幾何體．
(2)直觀圖如圖所示．
11．某幾何體的一條棱長為，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長為的線段，在該幾何體的側視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為a和b的線段，求a＋b的最大值．
解　如圖，把幾何體放到長方體中，
使得長方體的體對角線剛好為幾何體的已知棱，則長方體的體對角線A1C＝，則它的正視圖投影長為A1B＝，側視圖投影長為A1D＝a，俯視圖投影長為A1C1＝b，則a2＋b2＋()2＝2·()2，即a2＋b2＝8，又≤，當且僅當“a＝b＝2”時等號成立．所以a＋b≤4，即a＋b的最大值為4.
*12.已知正三棱錐V－ABC的正視圖和俯視圖如圖所示．
(1)畫出該正三棱錐的側視圖和直觀圖；
(2)求出側視圖的面積．
解　(1)如圖．
(2)側視圖中VA＝ ＝＝2，則S△VBC＝×2×2＝6.
13、某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(　　)
A．12＋4 B．18＋8
C．28 D．20＋8
答案　D
解析　由三視圖可得該幾何體是平放的直三棱柱，該直三棱柱的底面是腰長為2的等腰直角三角形、側棱長為4，所以表面積為×2×2×2＋4×2×2＋4×2＝20＋8，故選D.
14、一個幾何體的三視圖如圖所示，且其側視圖是一個等邊三角形，則這個幾何體的體積為(　　)
A. B.
C. D．(4＋π)
答案　B
解析　由三視圖可知該幾何體是由一個半圓錐和一個四棱錐組成的，其中半圓錐的底面半徑為1，四棱錐的底面是一個邊長為2的正方形，它們的高均為.則V＝··＝.故選B.
15、在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為(　　)
A. B. C. D．2π
答案　C
解析　過點C作CE垂直AD所在直線于點E，梯形ABCD繞AD所在直線旋轉一周而形成的旋轉體是由以線段AB的長為底面圓半徑，線段BC為母線的圓柱挖去以線段CE的長為底面圓半徑，ED為高的圓錐，如圖所示，該幾何體的體積為V＝V圓柱－V圓錐＝π·AB2·BC－·π·CE2·DE＝π×12×2－π×12×1＝，故選C.
16、一個四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是(　　)
A．1＋ B．2＋
C．1＋2 D．2
答案　B
解析　由空間幾何體的三視圖可得該空間幾何體的直觀圖，如圖所示，∴該四面體的表面積為S表＝2××2×1＋2××()2＝2＋，故選B.
17、某幾何體的三視圖如圖所示，其俯視圖是由一個半圓與其直徑組成的圖形，則此幾何體的體積是(　　)
A.π B．6π C.π D.π
答案　C
解析　該幾何體是由半個圓柱和半個圓錐構成的組合體，所以V＝×π×4×1＋××π×4×2＝π.故選C.
18、 如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1的六個頂點都在半徑為1的半球面上，AB＝AC，側面BCC1B1是半球底面圓的內接正方形，則側面ABB1A1的面積為(　　)
A. B. C．2 D．1
答案　A
解析　由題意知，球心在正方形的中心上，球的半徑為1，則正方形的邊長為.∵ABC—A1B1C1為直三棱柱，∴平面ABC⊥平面BCC1B1，∴BC為截面圓的直徑，∴∠BAC＝90°.∵AB＝AC，∴AB＝1.∴側面ABB1A1的面積為×1＝.故選A.
19、某四棱柱的三視圖如圖所示，則該四棱柱的體積為________．
答案　
解析　由三視圖知該四棱柱為直四棱柱，
底面積S＝＝，高h＝1，
所以四棱柱體積V＝S·h＝×1＝.
20．已知四面體ABCD滿足AB＝CD＝，AC＝AD＝BC＝BD＝2，則四面體ABCD的外接球的表面積是________．
答案　7π
解析　(圖略)在四面體ABCD中，取線段CD的中點為E，連接AE，BE.∵AC＝AD＝BC＝BD＝2，∴AE⊥CD，BE⊥CD.在Rt△AED中，CD＝，∴AE＝.同理BE＝.取AB的中點為F，連接EF.由AE＝BE，得EF⊥AB.在Rt△EFA中，∵AF＝AB＝，AE＝，∴EF＝1.取EF的中點為O，連接OA，則OF＝.在Rt△OFA中，OA＝.∵OA＝OB＝OC＝OD，∴該四面體的外接球的半徑是，∴外接球的表面積是7π.
21、已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為________．
答案　3π
解析　方法一　由三視圖可知，
此幾何體(如圖所示)是底面半徑為1，高為4的圓柱被從母線的中點處截去了圓柱的，所以V＝×π×12×4＝3π.
方法二　由三視圖可知，此幾何體是底面半徑為1，高為4的圓柱從母線的中點處截去了圓柱的，直觀圖如圖(1)所示，我們可用兩個大小與形狀完全相同的該幾何體補成一個半徑為1，高為6的圓柱，如圖(2)所示，則所求幾何體的體積為V＝×π×12×6＝3π.
　　
22．一個圓錐過軸的截面為等邊三角形，它的頂點和底面圓周在球O的球面上，則該圓錐的體積與球O的體積的比值為________．
答案　
解析　設等邊三角形的邊長為2a，球O的半徑為R，
則V圓錐＝·πa2·a＝πa3.
又R2＝a2＋(a－R)2，所以R＝a，
故V球＝·(a)3＝a3，
則其體積比為.
23．已知一個幾何體的三視圖如圖所示．
(1)求此幾何體的表面積；
(2)如果點P，Q在正視圖中所示位置，P為所在線段中點，Q為頂點，求在幾何體表面上，從P點到Q點的最短路徑的長．
解　(1)由三視圖知該幾何體是由一個圓錐加一個圓柱組成的，其表面積是圓錐的側面積、圓柱的側面積和圓柱的一個底面積之和．
S圓錐側＝(2πa)·(a)＝πa2，
S圓柱側＝(2πa)·(2a)＝4πa2，
S圓柱底＝πa2，
所以S表＝πa2＋4πa2＋πa2＝(＋5)πa2.
(2)沿P點與Q點所在母線剪開圓柱側面，如圖．
則PQ＝＝＝a，
所以從P點到Q點在側面上的最短路徑長為a.1、將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截去一個棱錐，得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的側視圖為(　　)
某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，
則該幾何體的體積為________cm3，表面積為________cm2.
3、已知圓錐的表面積等于12π cm2，其側面展開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為(　　)
A．1 cm B．2 cm
C．3 cm D. cm
4、體積為8的正方體的頂點都在同一球面上，則該球面的表面積為(　　)
A．12π B.π
C．8π D．4π
5、某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的表面積是________cm2，體積是________cm3.
如圖，三棱柱ABC－A1B1C1的體積為1，P為側棱B1B上的一點，則四棱錐P－ACC1A1的體積為______．
無
題型一　簡單幾何體的三視圖
命題點1　已知幾何體，識別三視圖
例1 如圖，多面體ABCD－EFG的底面ABCD為正方形，FC＝GD＝2EA，其俯視圖如圖所示，則其正視圖和側視圖正確的是(　　)
命題點2　已知三視圖，判斷幾何體的形狀
例2 如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互相垂直的半徑．若該幾何體的體積是，則它的表面積是(　　)
A．17π B．18π C．20π D．28π
命題點3　已知三視圖中的兩個視圖，判斷第三個視圖
例3 一個三棱錐的正視圖和俯視圖如圖所示，則該三棱錐的側視圖可能為(　　)
【同步練習】
1、如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為(　　)
A．18＋36 B．54＋18
C．90 D．81
(2)如圖是一幾何體的直觀圖、正視圖和俯視圖，
則該幾何體的側視圖為(　　)
題型二 空間幾何的三視圖
例4 將正方體(如圖1所示)截去兩個三棱錐，得到如圖2所示的幾何體，則該幾何體的側視圖為(　　)
題型三　求空間幾何體的表面積
例5　(1)一個多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的表面積為(　　)
A．21＋ B．18＋
C．21 D．18
(2)一個六棱錐的體積為2，其底面是邊長為2的正六邊形，側棱長都相等，則該六棱錐的側面積為________．
【同步練習】1、如圖所示的是一個幾何體的三視圖，
則該幾何體的表面積為____．
1．多面體的表面積、側面積
因為多面體的各個面都是平面，所以多面體的側面積就是所有側面的面積之和，表面積是側面積與底面面積之和．
2．圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式
圓柱 圓錐 圓臺
側面展開圖
側面積公式 S圓柱側＝2πrl S圓錐側＝πrl S圓臺側＝π(r1＋r2)l
3.柱、錐、臺和球的表面積和體積
　名稱 幾何體　　 表面積 體積
柱體(棱柱和圓柱) S表面積＝S側＋2S底 V＝Sh
錐體(棱錐和圓錐) S表面積＝S側＋S底 V＝Sh
臺體(棱臺和圓臺) S表面積＝S側＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S＝4πR2 V＝πR3
【知識拓展】
1．與體積有關的幾個結論
(1)一個組合體的體積等于它的各部分體積的和或差．
(2)底面面積及高都相等的兩個同類幾何體的體積相等．
2．幾個與球有關的切、接常用結論
(1)正方體的棱長為a，球的半徑為R，
①若球為正方體的外接球，則2R＝a；
②若球為正方體的內切球，則2R＝a；
③若球與正方體的各棱相切，則2R＝a.
(2)若長方體的同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝.
(3)正四面體的外接球與內切球的半徑之比為3∶1.
題型四　求空間幾何體的體積
命題點1　求以三視圖為背景的幾何體的體積
例6 一個由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　)
A.＋π B.＋π
C.＋π D．1＋π
命題點2　求簡單幾何體的體積
例7 現需要設計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐P－A1B1C1D1，下部的形狀是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍．若AB＝6 m，PO1＝2 m，則倉庫的容積為________m3.
【同步練習】(1)已知三棱錐的四個面都是腰長為2的等腰三角形，該三棱錐的正視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是________．
(2)如圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為(　　)
A. B. C. D.
題型五　與球有關的切、接問題
例8　已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為(　　)
A. B．2
C. D．3
引申探究
1．已知棱長為4的正方體，則此正方體外接球和內切球的體積各是多少？
2．已知棱長為a的正四面體，則此正四面體的表面積S1與其內切球的表面積S2的比值為多少？
3．已知側棱和底面邊長都是3的正四棱錐，則其外接球的半徑是多少？
【同步練習】(1)在封閉的直三棱柱ABC—A1B1C1內有一個體積為V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是(　　)
A．4π B. C．6π D.
(2)正四棱錐的頂點都在同一球面上．若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為(　　)
A. B．16π C．9π D.
例9 如圖，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，
BD＝3，FC＝4，AE＝5，則此幾何體的體積為________．
一、三視圖問題的常見類型及解題策略
(1)由幾何體的直觀圖求三視圖．注意正視圖、側視圖和俯視圖的觀察方向，注意看到的部分用實線表示，不能看到的部分用虛線表示．
(2)由幾何體的部分視圖畫出剩余的部分視圖．先根據已知的一部分三視圖，還原、推測直觀圖的可能形式，然后再找其剩下部分三視圖的可能形式．當然作為選擇題，也可將選項逐項代入，再看看給出的部分三視圖是否符合．
(3)由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀．要熟悉柱、錐、臺、球的三視圖，明確三視圖的形成原理，結合空間想象將三視圖還原為實物圖．
二、空間幾何體表面積的求法
(1)以三視圖為載體的幾何體的表面積問題，關鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關系及數量．
(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理．
(3)旋轉體的表面積問題注意其側面展開圖的應用．
三、空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略
(1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式進行求解．
(2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉換法、分割法、補形法等方法進行求解．
(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應先根據三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據條件求解.
四、空間幾何體與球接、切問題的求解方法
(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點作截面，把空間問題轉化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找幾何中元素間的關系求解．
(2)若球面上四點P，A，B，C構成的三條線段PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關元素“補形”成為一個球內接長方體，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．
1．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為(　　)
A. B. C. D．1
2． 圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示．若該幾何體的表面積為16＋20π，則r等于(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
3．如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為(　　)
A．20π B．24π C．28π D．32π
4．如圖所示，下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個視圖相同的是(　　)
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
5．某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長棱的棱長為(　　)
A．1 B. C. D．2
6. 一只螞蟻從正方體ABCD－A1B1C1D1的頂點A處出發，經正方體的表面，按最短路線爬行到達頂點C1位置，則下列圖形中可以表示正方體及螞蟻最短爬行路線的正視圖是(　　)
A．①② B．①③ C．③④ D．②④
7．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于________．
8. 如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點P是上底面A1B1C1D1內一動點，則三棱錐P－ABC的正視圖與側視圖的面積的比值為________．
9. 如圖所示，點O為正方體ABCD－A′B′C′D′的中心，點E為平面B′BCC′的中心，點F為B′C′的中點，則空間四邊形D′OEF在該正方體的各個面上的投影可能是下圖中的________．(填出所有可能的序號)
10．某幾何體的三視圖如圖所示．
(1)判斷該幾何體是什么幾何體？
(2)畫出該幾何體的直觀圖．
11．某幾何體的一條棱長為，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長為的線段，在該幾何體的側視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為a和b的線段，求a＋b的最大值．
*12.已知正三棱錐V－ABC的正視圖和俯視圖如圖所示．
(1)畫出該正三棱錐的側視圖和直觀圖；
(2)求出側視圖的面積．
13、某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(　　)
A．12＋4 B．18＋8
C．28 D．20＋8
14、一個幾何體的三視圖如圖所示，且其側視圖是一個等邊三角形，則這個幾何體的體積為(　　)
A. B.
C. D．(4＋π)
15、在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為(　　)
A. B. C. D．2π
16、一個四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是(　　)
A．1＋ B．2＋
C．1＋2 D．2
17、某幾何體的三視圖如圖所示，其俯視圖是由一個半圓與其直徑組成的圖形，則此幾何體的體積是(　　)
A.π B．6π C.π D.π
18、 如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1的六個頂點都在半徑為1的半球面上，AB＝AC，側面BCC1B1是半球底面圓的內接正方形，則側面ABB1A1的面積為(　　)
A. B. C．2 D．1
19、某四棱柱的三視圖如圖所示，則該四棱柱的體積為________．
20．已知四面體ABCD滿足AB＝CD＝，AC＝AD＝BC＝BD＝2，則四面體ABCD的外接球的表面積是________．
21、已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為________．
22．一個圓錐過軸的截面為等邊三角形，它的頂點和底面圓周在球O的球面上，則該圓錐的體積與球O的體積的比值為________．
23．已知一個幾何體的三視圖如圖所示．
(1)求此幾何體的表面積；
(2)如果點P，Q在正視圖中所示位置，P為所在線段中點，Q為頂點，求在幾何體表面上，從P點到Q點的最短路徑的長．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)多面體的表面積等于各個面的面積之和．(　√　)
(2)錐體的體積等于底面積與高之積．(　×　)
(3)球的體積之比等于半徑比的平方．(　×　)
(4)簡單組合體的體積等于組成它的簡單幾何體體積的和或差．(　√　)
(5)長方體既有外接球又有內切球．(　×　)
(6)圓柱的一個底面積為S，側面展開圖是一個正方形，那么這個圓柱的側面積是2πS.(　×　)
1．多面體的表面積、側面積
因為多面體的各個面都是平面，所以多面體的側面積就是所有側面的面積之和，表面積是側面積與底面面積之和．
2．圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式
圓柱 圓錐 圓臺
側面展開圖
側面積公式 S圓柱側＝2πrl S圓錐側＝πrl S圓臺側＝π(r1＋r2)l
3.柱、錐、臺和球的表面積和體積
　名稱 幾何體　　 表面積 體積
柱體(棱柱和圓柱) S表面積＝S側＋2S底 V＝Sh
錐體(棱錐和圓錐) S表面積＝S側＋S底 V＝Sh
臺體(棱臺和圓臺) S表面積＝S側＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S＝4πR2 V＝πR3
題型一　求空間幾何體的表面積
例1　(1)(2016·淮北模擬)一個多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的表面積為(　　)
A．21＋ B．18＋
C．21 D．18
(2)一個六棱錐的體積為2，其底面是邊長為2的正六邊形，側棱長都相等，則該六棱錐的側面積為________．
答案　(1)A　(2)12
解析　(1)由幾何體的三視圖可知，該幾何體的直觀圖如圖所示，因此該幾何體的表面積為
6×(4－)＋2××()2＝21＋.故選A.
(2)設正六棱錐的高為h，側面的斜高為h′.
由題意，得×6××2××h＝2，
∴h＝1，
∴斜高h′＝＝2，
∴S側＝6××2×2＝12.
思維升華　空間幾何體表面積的求法
(1)以三視圖為載體的幾何體的表面積問題，關鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關系及數量．
(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理．
(3)旋轉體的表面積問題注意其側面展開圖的應用．
　(2016·大連模擬)如圖所示的是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為____．
答案　26
解析　該幾何體為一個長方體從正上方挖去一個半圓柱剩下的部分，長方體的長，寬，高分別為4,1,2，挖去半圓柱的底面半徑為1，高為1，所以表面積為S＝S長方體表－2S半圓柱底－S圓柱軸截面＋S半圓柱側＝2×4×1＋2×1×2＋2×4×2－π×12－2×1＋×2π×1＝26.
題型二　求空間幾何體的體積
命題點1　求以三視圖為背景的幾何體的體積
例2　(2016·山東)一個由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　)
A.＋π B.＋π
C.＋π D．1＋π
答案　C
解析　由三視圖知，半球的半徑R＝，四棱錐為正四棱錐，它的底面邊長為1，高為1，∴V＝×1×1×1＋×π×3＝＋π，故選C.
命題點2　求簡單幾何體的體積
例3　(2016·江蘇改編) 現需要設計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐P－A1B1C1D1，下部的形狀是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍．若AB＝6 m，PO1＝2 m，則倉庫的容積為________m3.
答案　312
解析　由PO1＝2 m，知O1O＝4PO1＝8 m．因為A1B1＝AB＝6 m，所以正四棱錐P－A1B1C1D1的體積
V錐＝·A1B·PO1＝×62×2＝24(m3)；
正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的體積
V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)．
所以倉庫的容積V＝V錐＋V柱＝24＋288＝312(m3)．
思維升華　空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略
(1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式進行求解．
(2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉換法、分割法、補形法等方法進行求解．
(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應先根據三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據條件求解.
　(1)(2016·四川)已知三棱錐的四個面都是腰長為2的等腰三角形，該三棱錐的正視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是________．
(2)如圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為(　　)
A. B. C. D.
答案　(1)　(2)A
解析　(1) 由題意可知，因為三棱錐每個面都是腰長為2的等腰三角形，由正視圖可得俯視圖(如圖)，且三棱錐高為h＝1，則體積V＝Sh＝×(×2×1)×1＝.
(2)如圖，分別過點A，B作EF的垂線，垂足分別為G，H，連接DG，CH，
容易求得EG＝HF＝，
AG＝GD＝BH＝HC＝，
∴S△AGD＝S△BHC＝××1＝，
∴V＝VE－ADG＋VF－BCH＋VAGD－BHC＝2VE－ADG＋VAGD－BHC＝×××2＋×1＝.故選A.
題型三　與球有關的切、接問題
例4　已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為(　　)
A. B．2
C. D．3
答案　C
解析　如圖所示，由球心作平面ABC的垂線，
則垂足為BC的中點M.
又AM＝BC＝，
OM＝AA1＝6，所以球O的半徑R＝OA＝ ＝.
引申探究
1．已知棱長為4的正方體，則此正方體外接球和內切球的體積各是多少？
解　由題意可知，此正方體的體對角線長即為其外接球的直徑，正方體的棱長即為其內切球的直徑．設該正方體外接球的半徑為R，內切球的半徑為r.
又正方體的棱長為4，故其體對角線長為4，
從而V外接球＝πR3＝π×(2)3＝32π，
V內切球＝πr3＝π×23＝.
2．已知棱長為a的正四面體，則此正四面體的表面積S1與其內切球的表面積S2的比值為多少？
解　正四面體的表面積為S1＝4··a2＝a2，其內切球半徑r為正四面體高的，即r＝·a＝a，因此內切球表面積為S2＝4πr2＝，則＝＝.
3．已知側棱和底面邊長都是3的正四棱錐，則其外接球的半徑是多少？
解　依題意得，該正四棱錐的底面對角線的長為3×＝6，高為 ＝3，
因此底面中心到各頂點的距離均等于3，所以該正四棱錐的外接球的球心即為底面正方形的中心，其外接球的半徑為3.
思維升華　空間幾何體與球接、切問題的求解方法
(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點作截面，把空間問題轉化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找幾何中元素間的關系求解．
(2)若球面上四點P，A，B，C構成的三條線段PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關元素“補形”成為一個球內接長方體，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．
　(1)(2016·全國丙卷)在封閉的直三棱柱ABC—A1B1C1內有一個體積為V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是(　　)
A．4π B. C．6π D.
(2)正四棱錐的頂點都在同一球面上．若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為(　　)
A. B．16π C．9π D.
答案　(1)B　(2)A
解析　(1)由題意知，底面三角形的內切圓直徑為4.三棱柱的高為3，所以球的最大直徑為3，V的最大值為.
(2) 如圖，設球心為O，半徑為r，
則在Rt△AOF中，(4－r)2＋()2＝r2，
解得r＝，
∴該球的表面積為4πr2＝4π×()2＝π.
17．巧用補形法解決立體幾何問題
典例　(2016·青島模擬) 如圖，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5，則此幾何體的體積為________．
思想方法指導　解答本題時可用“補形法”完成．“補形法”是立體幾何中一種常見的重要方法，在解題時，把幾何體通過“補形”補成一個完整的幾何體或置于一個更熟悉的幾何體中，巧妙地破解空間幾何體的體積等問題，常見的補形法有對稱補形、聯系補形與還原補形，對于還原補形，主要涉及臺體中“還臺為錐”，將不規則的幾何體補成規則的幾何體等．
解析　用“補形法”把原幾何體補成一個直三棱柱，使AA′＝BB′＝CC′＝8，所以V幾何體＝V三棱柱＝×S△ABC×AA′＝×24×8＝96.
答案　96
1．與體積有關的幾個結論
(1)一個組合體的體積等于它的各部分體積的和或差．
(2)底面面積及高都相等的兩個同類幾何體的體積相等．
2．幾個與球有關的切、接常用結論
(1)正方體的棱長為a，球的半徑為R，
①若球為正方體的外接球，則2R＝a；
②若球為正方體的內切球，則2R＝a；
③若球與正方體的各棱相切，則2R＝a.
(2)若長方體的同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝.
(3)正四面體的外接球與內切球的半徑之比為3∶1.
1．(2017·合肥質檢)某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(　　)
A．12＋4 B．18＋8
C．28 D．20＋8
答案　D
解析　由三視圖可得該幾何體是平放的直三棱柱，該直三棱柱的底面是腰長為2的等腰直角三角形、側棱長為4，所以表面積為×2×2×2＋4×2×2＋4×2＝20＋8，故選D.
2．(2016·大同模擬)一個幾何體的三視圖如圖所示，且其側視圖是一個等邊三角形，則這個幾何體的體積為(　　)
A. B.
C. D．(4＋π)
答案　B
解析　由三視圖可知該幾何體是由一個半圓錐和一個四棱錐組成的，其中半圓錐的底面半徑為1，四棱錐的底面是一個邊長為2的正方形，它們的高均為.則V＝··＝.故選B.
3．(2015·山東)在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為(　　)
A. B. C. D．2π
答案　C
解析　過點C作CE垂直AD所在直線于點E，梯形ABCD繞AD所在直線旋轉一周而形成的旋轉體是由以線段AB的長為底面圓半徑，線段BC為母線的圓柱挖去以線段CE的長為底面圓半徑，ED為高的圓錐，如圖所示，該幾何體的體積為V＝V圓柱－V圓錐＝π·AB2·BC－·π·CE2·DE＝π×12×2－π×12×1＝，故選C.
4．(2015·安微)一個四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是(　　)
A．1＋ B．2＋
C．1＋2 D．2
答案　B
解析　由空間幾何體的三視圖可得該空間幾何體的直觀圖，如圖所示，∴該四面體的表面積為S表＝2××2×1＋2××()2＝2＋，故選B.
5．(2016·廣東東莞一中、松山湖學校聯考)某幾何體的三視圖如圖所示，其俯視圖是由一個半圓與其直徑組成的圖形，則此幾何體的體積是(　　)
A.π B．6π C.π D.π
答案　C
解析　該幾何體是由半個圓柱和半個圓錐構成的組合體，所以V＝×π×4×1＋××π×4×2＝π.故選C.
6．(2016·福建三明一中第二次月考) 如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1的六個頂點都在半徑為1的半球面上，AB＝AC，側面BCC1B1是半球底面圓的內接正方形，則側面ABB1A1的面積為(　　)
A. B. C．2 D．1
答案　A
解析　由題意知，球心在正方形的中心上，球的半徑為1，則正方形的邊長為.∵ABC—A1B1C1為直三棱柱，∴平面ABC⊥平面BCC1B1，∴BC為截面圓的直徑，∴∠BAC＝90°.∵AB＝AC，∴AB＝1.∴側面ABB1A1的面積為×1＝.故選A.
7．(2016·北京)某四棱柱的三視圖如圖所示，則該四棱柱的體積為________．
答案　
解析　由三視圖知該四棱柱為直四棱柱，
底面積S＝＝，高h＝1，
所以四棱柱體積V＝S·h＝×1＝.
8．已知四面體ABCD滿足AB＝CD＝，AC＝AD＝BC＝BD＝2，則四面體ABCD的外接球的表面積是________．
答案　7π
解析　(圖略)在四面體ABCD中，取線段CD的中點為E，連接AE，BE.∵AC＝AD＝BC＝BD＝2，∴AE⊥CD，BE⊥CD.在Rt△AED中，CD＝，∴AE＝.同理BE＝.取AB的中點為F，連接EF.由AE＝BE，得EF⊥AB.在Rt△EFA中，∵AF＝AB＝，AE＝，∴EF＝1.取EF的中點為O，連接OA，則OF＝.在Rt△OFA中，OA＝.∵OA＝OB＝OC＝OD，∴該四面體的外接球的半徑是，∴外接球的表面積是7π.
9．(2016·武漢模擬)已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為________．
答案　3π
解析　方法一　由三視圖可知，
此幾何體(如圖所示)是底面半徑為1，高為4的圓柱被從母線的中點處截去了圓柱的，所以V＝×π×12×4＝3π.
方法二　由三視圖可知，此幾何體是底面半徑為1，高為4的圓柱從母線的中點處截去了圓柱的，直觀圖如圖(1)所示，我們可用兩個大小與形狀完全相同的該幾何體補成一個半徑為1，高為6的圓柱，如圖(2)所示，則所求幾何體的體積為V＝×π×12×6＝3π.
　　
10．一個圓錐過軸的截面為等邊三角形，它的頂點和底面圓周在球O的球面上，則該圓錐的體積與球O的體積的比值為________．
答案　
解析　設等邊三角形的邊長為2a，球O的半徑為R，
則V圓錐＝·πa2·a＝πa3.
又R2＝a2＋(a－R)2，所以R＝a，
故V球＝·(a)3＝a3，
則其體積比為.
11．已知一個幾何體的三視圖如圖所示．
(1)求此幾何體的表面積；
(2)如果點P，Q在正視圖中所示位置，P為所在線段中點，Q為頂點，求在幾何體表面上，從P點到Q點的最短路徑的長．
解　(1)由三視圖知該幾何體是由一個圓錐加一個圓柱組成的，其表面積是圓錐的側面積、圓柱的側面積和圓柱的一個底面積之和．
S圓錐側＝(2πa)·(a)＝πa2，
S圓柱側＝(2πa)·(2a)＝4πa2，
S圓柱底＝πa2，
所以S表＝πa2＋4πa2＋πa2＝(＋5)πa2.
(2)沿P點與Q點所在母線剪開圓柱側面，如圖．
則PQ＝＝＝a，
所以從P點到Q點在側面上的最短路徑長為a.
12．(2016·全國丙卷) 如圖，四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M為線段AD上一點，AM＝2MD，N為PC的中點．
(1)證明：MN∥平面PAB；
(2)求四面體NBCM的體積．
(1)證明　由已知得AM＝AD＝2.
如圖，取BP的中點T，連接AT，TN，由N為PC中點知TN∥BC，TN＝BC＝2.
又AD∥BC，故TN綊AM，所以四邊形AMNT為平行四邊形，于是MN∥AT.
因為AT 平面PAB，MN 平面PAB，
所以MN∥平面PAB.
(2)解　因為PA⊥平面ABCD，N為PC的中點，所以N到平面ABCD的距離為PA.
取BC的中點E，連接AE.
由AB＝AC＝3得AE⊥BC，AE＝＝.
由AM∥BC得M到BC的距離為，
故S△BCM＝×4×＝2.
所以四面體NBCM的體積VN-BCM＝×S△BCM×＝.
*13.(2017·浙江七校聯考)如圖所示，在空間幾何體ADE－BCF中，四邊形ABCD是梯形，四邊形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，AD⊥DC，AB＝AD＝DE＝2，EF＝4，M是線段AE上的動點．
(1)試確定點M 的位置，使AC∥平面MDF，并說明理由；
(2)在(1)的條件下，平面MDF將幾何體ADE－BCF分成兩部分，求空間幾何體M－DEF與空間幾何體ADM－BCF的體積之比．
解　(1) 當M是線段AE的中點時，AC∥平面MDF.
理由如下：
連接CE交DF于點N，連接MN.因為M，N分別是AE，CE的中點，所以MN∥AC.又因為MN 平面MDF，AC 平面MDF，所以AC∥平面MDF.
(2)將幾何體ADE－BCF補成三棱柱ADE－B′CF，如圖所示，
三棱柱ADE－B′CF的體積為V＝S△ADE·CD＝×2×2×4＝8，則幾何體ADE－BCF的體積VADE－BCF＝VADE－B′CF－VF－BB′C＝8－××2＝.
因為三棱錐M－DEF的體積
VM－DEF＝××1＝，
所以VADM－BCF＝－＝，
所以兩幾何體的體積之比為∶＝1∶4.
1．(教材改編)已知圓錐的表面積等于12π cm2，其側面展開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為(　　)
A．1 cm B．2 cm
C．3 cm D. cm
答案　B
解析　S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，
∴r2＝4，∴r＝2 cm.
2．(2016·全國甲卷)體積為8的正方體的頂點都在同一球面上，則該球面的表面積為(　　)
A．12π B.π
C．8π D．4π
答案　A
解析　由題意可知正方體的棱長為2，其體對角線2即為球的直徑，所以球的表面積為4πR2＝(2R)2π＝12π，故選A.
3．(2016·浙江)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的表面積是________cm2，體積是________cm3.
答案　80　40
解析　由三視圖可知該幾何體由一個正方體和一個長方體組合而成，上面正方體的棱長為2 cm，下面長方體的底面邊長為4 cm，高為2 cm，其直觀圖如圖所示，
其表面積S＝6×22＋2×42＋4×2×4－2×22＝80(cm2)，體積V＝2×2×2＋4×4×2＝40(cm3)．
4. 如圖，三棱柱ABC－A1B1C1的體積為1，P為側棱B1B上的一點，則四棱錐P－ACC1A1的體積為______．
答案　
解析　設點P到平面ABC，平面A1B1C1的距離分別為h1，h2，則棱柱的高為h＝h1＋h2，又記S＝S△ABC＝，則三棱柱的體積為V＝Sh＝1.而從三棱柱中去掉四棱錐P－ACC1A1的剩余體積為V′＝VP－ABC＋＝Sh1＋Sh2＝S(h1＋h2)＝，從而＝V－V′＝1－＝.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)多面體的表面積等于各個面的面積之和．(　 　)
(2)錐體的體積等于底面積與高之積．(　 　)
(3)球的體積之比等于半徑比的平方．(　 　)
(4)簡單組合體的體積等于組成它的簡單幾何體體積的和或差．(　 　)
(5)長方體既有外接球又有內切球．(　 　)
(6)圓柱的一個底面積為S，側面展開圖是一個正方形，那么這個圓柱的側面積是2πS.(　 　)
1．多面體的表面積、側面積
因為多面體的各個面都是平面，所以多面體的側面積就是所有側面的面積之和，表面積是側面積與底面面積之和．
2．圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式
圓柱 圓錐 圓臺
側面展開圖
側面積公式 S圓柱側＝2πrl S圓錐側＝πrl S圓臺側＝π(r1＋r2)l
3.柱、錐、臺和球的表面積和體積
　名稱 幾何體　　 表面積 體積
柱體(棱柱和圓柱) S表面積＝S側＋2S底 V＝Sh
錐體(棱錐和圓錐) S表面積＝S側＋S底 V＝Sh
臺體(棱臺和圓臺) S表面積＝S側＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S＝4πR2 V＝πR3
題型一　求空間幾何體的表面積
例1　(1)一個多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的表面積為(　　)
A．21＋ B．18＋
C．21 D．18
(2)一個六棱錐的體積為2，其底面是邊長為2的正六邊形，側棱長都相等，則該六棱錐的側面積為________．
　如圖所示的是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為____．
題型二　求空間幾何體的體積
命題點1　求以三視圖為背景的幾何體的體積
例2　一個由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　)
A.＋π B.＋π
C.＋π D．1＋π
命題點2　求簡單幾何體的體積
例3　 現需要設計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐P－A1B1C1D1，下部的形狀是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍．若AB＝6 m，PO1＝2 m，則倉庫的容積為________m3.
　(1)已知三棱錐的四個面都是腰長為2的等腰三角形，該三棱錐的正視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是________．
(2)如圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為(　　)
A. B. C. D.
題型三　與球有關的切、接問題
例4　已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為(　　)
A. B．2
C. D．3
引申探究
1．已知棱長為4的正方體，則此正方體外接球和內切球的體積各是多少？
2．已知棱長為a的正四面體，則此正四面體的表面積S1與其內切球的表面積S2的比值為多少？
3．已知側棱和底面邊長都是3的正四棱錐，則其外接球的半徑是多少？
　(1)在封閉的直三棱柱ABC—A1B1C1內有一個體積為V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是(　　)
A．4π B. C．6π D.
(2)正四棱錐的頂點都在同一球面上．若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為(　　)
A. B．16π C．9π D.
17．巧用補形法解決立體幾何問題
典例　如圖，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5，則此幾何體的體積為________．
1．與體積有關的幾個結論
(1)一個組合體的體積等于它的各部分體積的和或差．
(2)底面面積及高都相等的兩個同類幾何體的體積相等．
2．幾個與球有關的切、接常用結論
(1)正方體的棱長為a，球的半徑為R，
①若球為正方體的外接球，則2R＝a；
②若球為正方體的內切球，則2R＝a；
③若球與正方體的各棱相切，則2R＝a.
(2)若長方體的同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝.
(3)正四面體的外接球與內切球的半徑之比為3∶1.
1．某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(　　)
A．12＋4 B．18＋8
C．28 D．20＋8
2．一個幾何體的三視圖如圖所示，且其側視圖是一個等邊三角形，則這個幾何體的體積為(　　)
A. B.
C. D．(4＋π)
3．在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為(　　)
A. B. C. D．2π
4．一個四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是(　　)
A．1＋ B．2＋
C．1＋2 D．2
5．某幾何體的三視圖如圖所示，其俯視圖是由一個半圓與其直徑組成的圖形，則此幾何體的體積是(　　)
A.π B．6π C.π D.π
6．如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1的六個頂點都在半徑為1的半球面上，AB＝AC，側面BCC1B1是半球底面圓的內接正方形，則側面ABB1A1的面積為(　　)
A. B. C．2 D．1
7．某四棱柱的三視圖如圖所示，則該四棱柱的體積為________．
8．已知四面體ABCD滿足AB＝CD＝，AC＝AD＝BC＝BD＝2，則四面體ABCD的外接球的表面積是________．
9．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為________．
10．一個圓錐過軸的截面為等邊三角形，它的頂點和底面圓周在球O的球面上，則該圓錐的體積與球O的體積的比值為________．
11．已知一個幾何體的三視圖如圖所示．
(1)求此幾何體的表面積；
(2)如果點P，Q在正視圖中所示位置，P為所在線段中點，Q為頂點，求在幾何體表面上，從P點到Q點的最短路徑的長．
12．如圖，四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M為線段AD上一點，AM＝2MD，N為PC的中點．
(1)證明：MN∥平面PAB；
(2)求四面體NBCM的體積．
*13.如圖所示，在空間幾何體ADE－BCF中，四邊形ABCD是梯形，四邊形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，AD⊥DC，AB＝AD＝DE＝2，EF＝4，M是線段AE上的動點．
(1)試確定點M 的位置，使AC∥平面MDF，并說明理由；
(2)在(1)的條件下，平面MDF將幾何體ADE－BCF分成兩部分，求空間幾何體M－DEF與空間幾何體ADM－BCF的體積之比．
1．已知圓錐的表面積等于12π cm2，其側面展開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為(　　)
A．1 cm B．2 cm
C．3 cm D. cm
2．體積為8的正方體的頂點都在同一球面上，則該球面的表面積為(　　)
A．12π B.π
C．8π D．4π
3．某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的表面積是________cm2，體積是________cm3.
4. 如圖，三棱柱ABC－A1B1C1的體積為1，P為側棱B1B上的一點，則四棱錐P－ACC1A1的體積為______．8.3點、直線、平面的關系-教師版
判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)如果兩個不重合的平面α，β有一條公共直線a，就說平面α，β相交，并記作α∩β＝a.(　√　)
(2)兩個平面α，β有一個公共點A，就說α，β相交于過A點的任意一條直線．(　×　)
(3)兩個平面ABC與DBC相交于線段BC.(　×　)
(4)經過兩條相交直線，有且只有一個平面．(　√　)
(5)沒有公共點的兩條直線是異面直線．(　×　)
1．四個公理
公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內．
公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面．
公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．
公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．
2．直線與直線的位置關系
(1)位置關系的分類
(2)異面直線所成的角
①定義：設a，b是兩條異面直線，經過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．
②范圍：.
3．直線與平面的位置關系有直線在平面內、直線與平面相交、直線與平面平行三種情況．
4．平面與平面的位置關系有平行、相交兩種情況．
5．等角定理
空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補．
題型一　平面基本性質的應用
例1　(1)(·山東)已知直線a，b分別在兩個不同的平面α，β內，則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
答案　A
解析　若直線a和直線b相交，則平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直線a和直線b可能平行或異面或相交，故選A.
(2)已知，空間四邊形ABCD(如圖所示)，E、F分別是AB、AD的中點，G、H分別是BC、CD上的點，且CG＝BC，CH＝DC.求證：
①E、F、G、H四點共面；
②三直線FH、EG、AC共點．
證明　①連接EF、GH，如圖所示，
∵E、F分別是AB、AD的中點，
∴EF∥BD.
又∵CG＝BC，CH＝DC，
∴GH∥BD，∴EF∥GH，
∴E、F、G、H四點共面．
②易知FH與直線AC不平行，但共面，
∴設FH∩AC＝M，∴M∈平面EFHG，M∈平面ABC.
又∵平面EFHG∩平面ABC＝EG，
∴M∈EG，∴FH、EG、AC共點．
思維升華　共面、共線、共點問題的證明
(1)證明點或線共面問題的兩種方法：①首先由所給條件中的部分線(或點)確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內；②將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合．
(2)證明點共線問題的兩種方法：①先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；②直接證明這些點都在同一條特定直線上．
(3)證明線共點問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經過該點．
　如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F分別是AB和AA1的中點．求證：
(1)E、C、D1、F四點共面；
(2)CE，D1F，DA三線共點．
證明　(1)如圖，連接EF，CD1，A1B.
∵E，F分別是AB，AA1的中點，∴EF∥A1B.
又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，
∴E、C、D1、F四點共面．
(2)∵EF∥CD1，EF∴CE與D1F必相交，
設交點為P，如圖所示．
則由P∈CE，CE 平面ABCD，得P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，
∴P∈直線DA.∴CE，D1F，DA三線共點．
題型二　判斷空間兩直線的位置關系
例2　(1)(·廣東)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內，l2在平面β內，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是(　　)
A．l與l1，l2都不相交
B．l與l1，l2都相交
C．l至多與l1，l2中的一條相交
D．l至少與l1，l2中的一條相交
(2) 如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點，則下列判斷錯誤的是(　　)
A．MN與CC1垂直
B．MN與AC垂直
C．MN與BD平行
D．MN與A1B1平行
(3)在圖中，G、N、M、H分別是正三棱柱(兩底面為正三角形的直棱柱)的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH、MN是異面直線的圖形有________．(填上所有正確答案的序號)
答案　(1)D　(2)D　(3)②④
解析　(1)若l與l1，l2都不相交，則l∥l1，l∥l2，∴l1∥l2，這與l1和l2異面矛盾，∴l至少與l1，l2中的一條相交．
(2) 連接B1C，B1D1，如圖所示，則點M是B1C的中點，MN是△B1CD1的中位線，∴MN∥B1D1，
又BD∥B1D1，∴MN∥BD.
∵CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，
∴MN⊥CC1，MN⊥AC.
又∵A1B1與B1D1相交，
∴MN與A1B1不平行，故選D.
(3)圖①中，直線GH∥MN；
圖②中，G、H、N三點共面，但M 平面GHN，
因此直線GH與MN異面；
圖③中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；
圖④中，G、M、N共面，但H 平面GMN，
因此GH與MN異面．
所以圖②④中GH與MN異面．
思維升華　空間中兩直線位置關系的判定，主要是異面、平行和垂直的判定．對于異面直線，可采用直接法或反證法；對于平行直線，可利用三角形(梯形)中位線的性質、公理4及線面平行與面面平行的性質定理；對于垂直關系，往往利用線面垂直的性質來解決．
　(1)已知a，b，c為三條不重合的直線，有下列結論：①若a⊥b，a⊥c，則b∥c；②若a⊥b，a⊥c，則b⊥c；③若a∥b，b⊥c，則a⊥c.其中正確的個數為(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)(·南昌一模)已知a、b、c是相異直線，α、β、γ是相異平面，則下列命題中正確的是(　　)
A．a與b異面，b與c異面 a與c異面
B．a與b相交，b與c相交 a與c相交
C．α∥β，β∥γ α∥γ
D．a α，b β，α與β相交 a與b相交
答案　(1)B　(2)C
解析　(1)在空間中，若a⊥b，a⊥c，則b，c可能平行，也可能相交，還可能異面，所以①②錯，③顯然成立．
(2)如圖(1)，在正方體中，a、b、c是三條棱所在直線，滿足a與b異面，b與c異面，但a∩c＝A，故A錯誤；在圖(2)的正方體中，滿足a與b相交，b與c相交，但a與c不相交，故B錯誤；如圖(3)，α∩β＝c，a∥c，則a與b不相交，故D錯誤．
題型三　求兩條異面直線所成的角
例3　(·重慶模擬) 如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，則異面直線AP與BD所成的角為________．
答案　
解析　如圖，將原圖補成正方體ABCD－QGHP，連接GP，則GP∥BD，
所以∠APG為異面直線AP與BD所成的角，
在△AGP中，AG＝GP＝AP，
所以∠APG＝.
引申探究
在本例條件下，若E，F，M分別是AB，BC，PQ的中點，異面直線EM與AF所成的角為θ，求cos θ的值．
解　設N為BF的中點，連接EN，MN，
則∠MEN是異面直線EM與AF所成的角或其補角．
不妨設正方形ABCD和ADPQ的邊長為4，
則EN＝，EM＝2，MN＝.
在△MEN中，由余弦定理得
cos∠MEN＝
＝
＝－＝－.
即cos θ＝.
思維升華　用平移法求異面直線所成的角的三步法
(1)一作：根據定義作平行線，作出異面直線所成的角；
(2)二證：證明作出的角是異面直線所成的角；
(3)三求：解三角形，求出作出的角．如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補角才是要求的角．
　(·杭州第一次質檢) 如圖，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BCD＝90°，且BC＝CD＝3.將△ABC沿BC邊翻折，設點A在平面BCD上的射影為點M，若點M在△BCD的內部(含邊界)，則點M的軌跡的最大長度等于________；在翻折過程中，當點M位于線段BD上時，直線AB和CD所成的角的余弦值等于________．
答案　　
解析　當平面ABC⊥平面BCD時，點A在平面BCD上的射影為BC的中點M，
當點A在平面BCD上的射影M在BD上時，因為AB＝AC，所以BM＝MC，因為BC＝CD＝3，所以∠DBC＝30°，所以由∠BCD＝90°得BM＝MD，點M的軌跡的最大長度等于CD＝，將其補為四棱錐，所以AB＝，AE＝＝，又因為∠EBA為直線AB和CD所成的角，所以cos∠EBA＝＝.
18．構造模型判斷空間線面位置關系
典例　已知m，n是兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，有下列四個命題：
①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β；
②若m∥α，n∥β，m⊥n，則α∥β；
③若m⊥α，n∥β，m⊥n，則α∥β；
④若m⊥α，n∥β，α∥β，則m⊥n.
其中所有正確的命題是________．(填序號)
思想方法指導　本題可通過構造模型法完成，構造法實質上是結合題意構造符合題意的直觀模型，然后將問題利用模型直觀地作出判斷，這樣減少了抽象性，避免了因考慮不全面而導致解題錯誤．對于線面、面面平行、垂直的位置關系的判定，可構造長方體或正方體化抽象為直觀去判斷．
解析　借助于長方體模型來解決本題，對于①，可以得到平面α、β互相垂直，如圖(1)所示，故①正確；對于②，平面α、β可能垂直，如圖(2)所示，故②不正確；對于③，平面α、β可能垂直，如圖(3)所示，故③不正確；對于④，由m⊥α，α∥β可得m⊥β，因為n∥β，所以過n作平面γ，且γ∩β＝g，如圖(4)所示，所以n與交線g平行，因為m⊥g，所以m⊥n，故④正確．
答案　①④
1.唯一性定理
(1)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行．
(2)過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直．
(3)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行．
(4)過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直．
2.異面直線的判定定理
經過平面內一點的直線與平面內不經過該點的直線互為異面直線．
1．設a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，a α，b⊥β，則“α∥β”是“a⊥b”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
答案　A
解析　若a α，b⊥β，α∥β，則由α∥β，b⊥β b⊥α，
又a α，所以a⊥b；若a⊥b，a α，b⊥β，
則b⊥α或b∥α或b α，此時α∥β或α與β相交，
所以“α∥β”是“a⊥b”的充分不必要條件，故選A.
2．(·福州質檢)在三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分別為棱AA1、CC1的中點，則在空間中與直線A1B1、EF、BC都相交的直線(　　)
A．不存在 B．有且只有兩條
C．有且只有三條 D．有無數條
答案　D
解析　在EF上任意取一點M，直線A1B1與M確定一個平面，這個平面與BC有且僅有1個交點N，
當M的位置不同時確定不同的平面，從而與BC有不同的交點N，而直線MN與A1B1、EF、BC分別有交點P、M、N，如圖，故有無數條直線與直線A1B1、EF、BC都相交．
3．對于任意的直線l與平面α，在平面α內必有直線m，使m與l(　　)
A．平行 B．相交
C．垂直 D．互為異面直線
答案　C
解析　不論l∥α，l α，還是l與α相交，α內都有直線m使得m⊥l.
4．在四面體ABCD的棱AB，BC，CD，DA上分別取E，F，G，H四點，如果EF與HG交于點M，則(　　)
A．M一定在直線AC上
B．M一定在直線BD上
C．M可能在AC上，也可能在BD上
D．M既不在AC上，也不在BD上
答案　A
解析　由于EF∩HG＝M，且EF 平面ABC，
HG 平面ACD，所以點M為平面ABC與平面ACD的一個公共點，而這兩個平面的交線為AC，
所以點M一定在直線AC上，故選A.
5．設四面體的六條棱的長分別為1,1,1,1，和a，且長為a的棱與長為的棱異面，則a的取值范圍是(　　)
A．(0，) B．(0，)
C．(1，) D．(1，)
答案　A
解析　此題相當于一個正方形沿著對角線折成一個四面體，長為a的棱長一定大于0且小于.故選A.
6．(·寧波二模)下列命題中，正確的是(　　)
A．若a，b是兩條直線，α，β是兩個平面，且a α，b β，則a，b是異面直線
B．若a，b是兩條直線，且a∥b，則直線a平行于經過直線b的所有平面
C．若直線a與平面α不平行，則此直線與平面內的所有直線都不平行
D．若直線a∥平面α，點P∈α，則平面α內經過點P且與直線a平行的直線有且只有一條
答案　D
解析　對于A，當α∥β，a，b分別為第三個平面γ與α，β的交線時，由面面平行的性質可知a∥b，故A錯誤．
對于B，設a，b確定的平面為α，顯然a α，故B錯誤．
對于C，當a α時，直線a與平面α內的無數條直線都平行，故C錯誤．易知D正確．故選D.
7．(·昆明模擬)若兩條異面直線所成的角為60°，則稱這對異面直線為“黃金異面直線對”，在連接正方體各頂點的所有直線中，“黃金異面直線對”共有________對．
答案　24
解析　如圖，
若要出現所成角為60°的異面直線，則直線需為面對角線，以AC為例，與之構成黃金異面直線對的直線有4條，分別是A′B，BC′，A′D，C′D，正方形的面對角線有12條，所以所求的“黃金異面直線對”共有＝24對(每一對被計算兩次，所以要除以2)．
8．(·南昌高三期末) 如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面為直角三角形．∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝，P是BC1上一動點，則CP＋PA1的最小值為________．
答案　5
解析　連接A1B，將△A1BC1與△CBC1同時展開形成一個平面四邊形A1BCC1，則此時對角線CP＋PA1＝A1C達到最小，在等腰直角三角形△BCC1中，BC1＝2，∠CC1B＝45°，在△A1BC1中，A1B＝＝2，A1C1＝6，BC1＝2，∴A1C＋BC＝A1B2，即∠A1C1B＝90°.對于展開形成的四邊形A1BCC1，在△A1C1C中，C1C＝，A1C1＝6，∠A1C1C＝135°，由余弦定理有，CP＋PA1＝A1C＝＝＝5.
9. 如圖是正四面體(各面均為正三角形)的平面展開圖，G、H、M、N分別為DE、BE、EF、EC的中點，在這個正四面體中，
①GH與EF平行；
②BD與MN為異面直線；
③GH與MN成60°角；
④DE與MN垂直．
以上四個命題中，正確命題的序號是________．
答案　②③④
解析　把正四面體的平面展開圖還原，如圖所示，
GH與EF為異面直線，BD與MN為異面直線，GH與MN成60°角，DE⊥MN.
10．(·浙江)如圖，三棱錐A—BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，點M，N分別是AD，BC的中點，則異面直線AN，CM所成的角的余弦值是________．
答案　
解析　如圖所示，連接DN，取線段DN的中點K，連接MK，CK.
∵M為AD的中點，
∴MK∥AN，
∴∠KMC為異面直線AN，CM所成的角．
∵AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，
N為BC的中點，
由勾股定理求得AN＝DN＝CM＝2，
∴MK＝.
在Rt△CKN中，CK＝＝.
在△CKM中，由余弦定理，得
cos∠KMC＝
＝＝.
*11.(·鄭州質量預測) 如圖，矩形ABCD中，AB＝2AD，E為邊AB的中點，將△ADE沿直線DE翻折成△A1DE.若M為線段A1C的中點，則在△ADE翻折過程中，下面四個命題中不正確的是________．
①BM是定值；
②點M在某個球面上運動；
③存在某個位置，使DE⊥A1C；
④存在某個位置，使MB∥平面A1DE.
答案　③
解析　取DC中點F，連接MF，BF，MF∥A1D且MF＝A1D，FB∥ED且FB＝ED，所以∠MFB＝∠A1DE.由余弦定理可得MB2＝MF2＋FB2－2MF·FB·cos∠MFB是定值，所以M是在以B為圓心，MB為半徑的球上，可得①②正確；由MF∥A1D與FB∥ED可得平面MBF∥平面A1DE，可得④正確；A1C在平面ABCD中的投影與AC重合，AC與DE不垂直，可得③不正確．
12. 如圖所示，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E為DA的中點．求異面直線BE與CD所成角的余弦值．
解　如圖所示，取AC的中點F，連接EF，BF，
在△ACD中，E、F分別是AD、AC的中點，
∴EF∥CD.
∴∠BEF或其補角即為異面直線BE與CD所成的角．
在Rt△EAB中，AB＝AC＝1，AE＝AD＝，
∴BE＝.
在Rt△EAF中，AF＝AC＝，AE＝，
∴EF＝.
在Rt△BAF中，AB＝1，AF＝，∴BF＝.
在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝＝＝.
∴異面直線BE與CD所成角的余弦值為.
*13.已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別為D1C1，C1B1的中點，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求證：
(1)D、B、F、E四點共面；
(2)若A1C交平面DBFE于R點，則P，Q，R三點共線．
證明　(1) 如圖所示，因為EF是△D1B1C1的中位線，
所以EF∥B1D1.
在正方體ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD，
所以EF∥BD.
所以EF，BD確定一個平面．
即D、B、F、E四點共面．
(2)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，
設平面A1ACC1確定的平面為α，
又設平面BDEF為β.
因為Q∈A1C1，所以Q∈α.
又Q∈EF，所以Q∈β.
則Q是α與β的公共點，
同理，P點也是α與β的公共點．
所以α∩β＝PQ.
又A1C∩β＝R，
所以R∈A1C，則R∈α且R∈β.
則R∈PQ，故P，Q，R三點共線．
1．下列命題正確的個數為(　　)
①梯形可以確定一個平面；
②若兩條直線和第三條直線所成的角相等，則這兩條直線平行；
③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面；
④如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合．
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　C
解析　②中兩直線可以平行、相交或異面，④中若三個點在同一條直線上，則兩個平面相交，①③正確．
2．(·浙江)已知互相垂直的平面α，β交于直線l.若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則(　　)
A．m∥l B．m∥n
C．n⊥l D．m⊥n
答案　C
解析　由已知，α∩β＝l，∴l β，又∵n⊥β，∴n⊥l，C正確．
3．已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b(　　)
A．一定是異面直線 B．一定是相交直線
C．不可能是平行直線 D．不可能是相交直線
答案　C
解析　由已知得直線c與b可能為異面直線也可能為相交直線，但不可能為平行直線，若b∥c，則a∥b，與已知a、b為異面直線相矛盾．
4. (教材改編)如圖所示，已知在長方體ABCD－EFGH中，AB＝2，AD＝2，AE＝2，則BC和EG所成角的大小是______，AE和BG所成角的大小是________．
答案　45°　60°
解析　∵BC與EG所成的角等于EG與FG所成的角即∠EGF，tan∠EGF＝＝＝1，∴∠EGF＝45°，
∵AE與BG所成的角等于BF與BG所成的角即∠GBF，tan∠GBF＝＝＝，∴∠GBF＝60°.8.3點、直線、平面的關系-學生版
判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)如果兩個不重合的平面α，β有一條公共直線a，就說平面α，β相交，并記作α∩β＝a.(　 　)
(2)兩個平面α，β有一個公共點A，就說α，β相交于過A點的任意一條直線．(　 　)
(3)兩個平面ABC與DBC相交于線段BC.(　 　)
(4)經過兩條相交直線，有且只有一個平面．(　 　)
(5)沒有公共點的兩條直線是異面直線．(　 　)
1．四個公理
公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內．
公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面．
公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．
公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．
2．直線與直線的位置關系
(1)位置關系的分類
(2)異面直線所成的角
①定義：設a，b是兩條異面直線，經過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．
②范圍：.
3．直線與平面的位置關系有直線在平面內、直線與平面相交、直線與平面平行三種情況．
4．平面與平面的位置關系有平行、相交兩種情況．
5．等角定理
空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補．
題型一　平面基本性質的應用
例1　(1)已知直線a，b分別在兩個不同的平面α，β內，則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
(2)已知，空間四邊形ABCD(如圖所示)，E、F分別是AB、AD的中點，G、H分別是BC、CD上的點，且CG＝BC，CH＝DC.求證：
①E、F、G、H四點共面；
②三直線FH、EG、AC共點．
　如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F分別是AB和AA1的中點．求證：
(1)E、C、D1、F四點共面；
(2)CE，D1F，DA三線共點．
題型二　判斷空間兩直線的位置關系
例2　(1)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內，l2在平面β內，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是(　　)
A．l與l1，l2都不相交
B．l與l1，l2都相交
C．l至多與l1，l2中的一條相交
D．l至少與l1，l2中的一條相交
(2) 如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點，則下列判斷錯誤的是(　　)
A．MN與CC1垂直
B．MN與AC垂直
C．MN與BD平行
D．MN與A1B1平行
(3)在圖中，G、N、M、H分別是正三棱柱(兩底面為正三角形的直棱柱)的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH、MN是異面直線的圖形有________．(填上所有正確答案的序號)
　(1)已知a，b，c為三條不重合的直線，有下列結論：①若a⊥b，a⊥c，則b∥c；②若a⊥b，a⊥c，則b⊥c；③若a∥b，b⊥c，則a⊥c.其中正確的個數為(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)已知a、b、c是相異直線，α、β、γ是相異平面，則下列命題中正確的是(　　)
A．a與b異面，b與c異面 a與c異面
B．a與b相交，b與c相交 a與c相交
C．α∥β，β∥γ α∥γ
D．a α，b β，α與β相交 a與b相交
題型三　求兩條異面直線所成的角
例3　(·重慶模擬) 如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，則異面直線AP與BD所成的角為________．
　如圖，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BCD＝90°，且BC＝CD＝3.將△ABC沿BC邊翻折，設點A在平面BCD上的射影為點M，若點M在△BCD的內部(含邊界)，則點M的軌跡的最大長度等于________；在翻折過程中，當點M位于線段BD上時，直線AB和CD所成的角的余弦值等于________．
18．構造模型判斷空間線面位置關系
典例　已知m，n是兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，有下列四個命題：
①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β；
②若m∥α，n∥β，m⊥n，則α∥β；
③若m⊥α，n∥β，m⊥n，則α∥β；
④若m⊥α，n∥β，α∥β，則m⊥n.
其中所有正確的命題是________．(填序號)
1.唯一性定理
(1)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行．
(2)過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直．
(3)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行．
(4)過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直．
2.異面直線的判定定理
經過平面內一點的直線與平面內不經過該點的直線互為異面直線．
1．設a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，a α，b⊥β，則“α∥β”是“a⊥b”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2．在三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分別為棱AA1、CC1的中點，則在空間中與直線A1B1、EF、BC都相交的直線(　　)
A．不存在 B．有且只有兩條
C．有且只有三條 D．有無數條
3．對于任意的直線l與平面α，在平面α內必有直線m，使m與l(　　)
A．平行 B．相交
C．垂直 D．互為異面直線
4．在四面體ABCD的棱AB，BC，CD，DA上分別取E，F，G，H四點，如果EF與HG交于點M，則(　　)
A．M一定在直線AC上
B．M一定在直線BD上
C．M可能在AC上，也可能在BD上
D．M既不在AC上，也不在BD上
5．設四面體的六條棱的長分別為1,1,1,1，和a，且長為a的棱與長為的棱異面，則a的取值范圍是(　　)
A．(0，) B．(0，)
C．(1，) D．(1，)
6．下列命題中，正確的是(　　)
A．若a，b是兩條直線，α，β是兩個平面，且a α，b β，則a，b是異面直線
B．若a，b是兩條直線，且a∥b，則直線a平行于經過直線b的所有平面
C．若直線a與平面α不平行，則此直線與平面內的所有直線都不平行
D．若直線a∥平面α，點P∈α，則平面α內經過點P且與直線a平行的直線有且只有一條
7．若兩條異面直線所成的角為60°，則稱這對異面直線為“黃金異面直線對”，在連接正方體各頂點的所有直線中，“黃金異面直線對”共有________對．
8．如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面為直角三角形．∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝，P是BC1上一動點，則CP＋PA1的最小值為________．
9. 如圖是正四面體(各面均為正三角形)的平面展開圖，G、H、M、N分別為DE、BE、EF、EC的中點，在這個正四面體中，
①GH與EF平行；
②BD與MN為異面直線；
③GH與MN成60°角；
④DE與MN垂直．
以上四個命題中，正確命題的序號是________．
10．如圖，三棱錐A—BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，點M，N分別是AD，BC的中點，則異面直線AN，CM所成的角的余弦值是________．
*11. 如圖，矩形ABCD中，AB＝2AD，E為邊AB的中點，將△ADE沿直線DE翻折成△A1DE.若M為線段A1C的中點，則在△ADE翻折過程中，下面四個命題中不正確的是________．
①BM是定值；
②點M在某個球面上運動；
③存在某個位置，使DE⊥A1C；
④存在某個位置，使MB∥平面A1DE.
12. 如圖所示，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E為DA的中點．求異面直線BE與CD所成角的余弦值．
*13.已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別為D1C1，C1B1的中點，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求證：
(1)D、B、F、E四點共面；
(2)若A1C交平面DBFE于R點，則P，Q，R三點共線．
1．下列命題正確的個數為(　　)
①梯形可以確定一個平面；
②若兩條直線和第三條直線所成的角相等，則這兩條直線平行；
③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面；
④如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知互相垂直的平面α，β交于直線l.若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則(　　)
A．m∥l B．m∥n
C．n⊥l D．m⊥n
3．已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b(　　)
A．一定是異面直線 B．一定是相交直線
C．不可能是平行直線 D．不可能是相交直線
4. 如圖所示，已知在長方體ABCD－EFGH中，AB＝2，AD＝2，AE＝2，則BC和EG所成角的大小是______，AE和BG所成角的大小是________．8.4直線、平面平行-教師版
1．下列命題中正確的是(　　)
A．若a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經過b的任何平面
B．若直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內的任何直線平行
C．平行于同一條直線的兩個平面平行
D．若直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b α，則b∥α
答案　D
解析　A中，a可以在過b的平面內；B中，a與α內的直線可能異面；C中，兩平面可相交；D中，由直線與平面平行的判定定理知，b∥α，正確．
2．若平面α∥平面β，直線a∥平面α，點B∈β，則在平面β內且過B點的所有直線中(　　)
A．不一定存在與a平行的直線 B．只有兩條與a平行的直線
C．存在無數條與a平行的直線 D．存在唯一與a平行的直線
答案　A
解析　當直線a在平面β內且過B點時，不存在與a平行的直線，故選A.
3．過三棱柱ABC－A1B1C1任意兩條棱的中點作直線，其中與平面ABB1A1平行的直線共有________條．
答案　6
解析　各中點連線如圖，只有平面EFGH與平面ABB1A1平行，
在四邊形EFGH中有6條符合題意．
4. 如圖是長方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為________．
答案　平行四邊形
解析　∵平面ABFE∥平面DCGH，
又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，
∴EF∥HG.同理EH∥FG，
∴四邊形EFGH的形狀是平行四邊形．
無
題型一　直線與平面平行的判定與性質
命題點1　直線與平面平行的判定
例1　如圖，四棱錐P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F，H分別為線段AD，PC，CD的中點，AC與BE交于O點，G是線段OF上一點．
(1)求證：AP∥平面BEF；
(2)求證：GH∥平面PAD.
證明　
(1)連接EC，
∵AD∥BC，BC＝AD，
∴BC綊AE，
∴四邊形ABCE是平行四邊形，
∴O為AC的中點．
又∵F是PC的中點，∴FO∥AP，
FO 平面BEF，AP 平面BEF，
∴AP∥平面BEF.
(2)連接FH，OH，
∵F，H分別是PC，CD的中點，
∴FH∥PD，∴FH∥平面PAD.
又∵O是BE的中點，H是CD的中點，
∴OH∥AD，∴OH∥平面PAD.
又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD.
又∵GH 平面OHF，∴GH∥平面PAD.
命題點2　直線與平面平行的性質
例2 如圖，四棱錐P－ABCD的底面是邊長為8的正方形，四條側棱長均為2.點G，E，F，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.
(1)證明：GH∥EF；
(2)若EB＝2，求四邊形GEFH的面積．
(1)證明　因為BC∥平面GEFH，BC 平面PBC，
且平面PBC∩平面GEFH＝GH，
所以GH∥BC.
同理可證EF∥BC，因此GH∥EF.
(2)解　如圖，連接AC，BD交于點O，BD交EF于點K，連接OP，GK.
因為PA＝PC，O是AC的中點，所以PO⊥AC，
同理可得PO⊥BD.
又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面內，
所以PO⊥底面ABCD.
又因為平面GEFH⊥平面ABCD，
且PO 平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.
因為平面PBD∩平面GEFH＝GK，
所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD，
從而GK⊥EF.所以GK是梯形GEFH的高．
由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，
從而KB＝DB＝OB，即K為OB的中點．
再由PO∥GK得GK＝PO，
即G是PB的中點，且GH＝BC＝4.
由已知可得OB＝4，
PO＝＝＝6，
所以GK＝3.
故四邊形GEFH的面積S＝·GK＝×3＝18.
【同步練習】
1、如圖所示，CD，AB均與平面EFGH平行，E，F，G，H分別在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB.求證：四邊形EFGH是矩形．
證明　∵CD∥平面EFGH，
而平面EFGH∩平面BCD＝EF，
∵CD∥EF.
同理HG∥CD，且HE∥AB，∴EF∥HG.
同理HE∥GF，
∴四邊形EFGH為平行四邊形．
∴CD∥EF，HE∥AB，
∴∠HEF為異面直線CD和AB所成的角（或補角）．
又∵CD⊥AB，∴HE⊥EF.
∴平行四邊形EFGH為矩形．
題型二　平面與平面平行的判定與性質
例3　如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點，求證： (1)B，C，H，G四點共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.
證明　(1)∵G，H分別是A1B1，A1C1的中點，
∴GH是△A1B1C1的中位線，
∴GH∥B1C1.
又∵B1C1∥BC，
∴GH∥BC，
∴B，C，H，G四點共面．
(2)∵E，F分別是AB，AC的中點，
∴EF∥BC.
∵EF 平面BCHG，BC 平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
∵A1G綊EB，
∴四邊形A1EBG是平行四邊形，
∴A1E∥GB.
∵A1E 平面BCHG，GB 平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.
∵A1E∩EF＝E，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
引申探究
1．在本例條件下，若D為BC1的中點，求證：HD∥平面A1B1BA.
證明　
如圖所示，連接HD，A1B，
∵D為BC1的中點，H為A1C1的中點，
∴HD∥A1B，
又HD 平面A1B1BA，
A1B 平面A1B1BA，
∴HD∥平面A1B1BA.
2．在本例條件下，若D1，D分別為B1C1，BC的中點，求證：平面A1BD1∥平面AC1D.
證明　如圖所示，連接A1C交AC1于點M，
∵四邊形A1ACC1是平行四邊形，
∴M是A1C的中點，連接MD，
∵D為BC的中點，
∴A1B∥DM.∵A1B 平面A1BD1，
DM 平面A1BD1，
∴DM∥平面A1BD1.
又由三棱柱的性質知，D1C1綊BD，
∴四邊形BDC1D1為平行四邊形，
∴DC1∥BD1.
又DC1 平面A1BD1，BD1 平面A1BD1，
∴DC1∥平面A1BD1，
又∵DC1∩DM＝D，DC1 平面AC1D，DM 平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.
【同步練習】
1、如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝.
(1)證明：平面A1BD∥平面CD1B1；
(2)求三棱柱ABD－A1B1D1的體積．
(1)證明　由題設知，BB1綊DD1，
∴四邊形BB1D1D是平行四邊形，∴BD∥B1D1.
又BD 平面CD1B1，B1D1 平面CD1B1，
∴BD∥平面CD1B1.
∵A1D1綊B1C1綊BC，
∴四邊形A1BCD1是平行四邊形，∴A1B∥D1C.
又A1B 平面CD1B1，D1C 平面CD1B1，
∴A1B∥平面CD1B1.
又BD∩A1B＝B，∴平面A1BD∥平面CD1B1.
(2)解　∵A1O⊥平面ABCD，
∴A1O是三棱柱ABD－A1B1D1的高．
又AO＝AC＝1，AA1＝，
∴A1O＝＝1.
又S△ABD＝××＝1，
∴＝S△ABD·A1O＝1.
1．線面平行的判定定理和性質定理
文字語言 圖形語言 符號語言
判定定理 平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行(簡記為“線線平行 線面平行”) ∵l∥a，a α，l α，∴l∥α
性質定理 一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡記為“線面平行 線線平行”) ∵l∥α，l β，α∩β＝b，∴l∥b
2.面面平行的判定定理和性質定理
文字語言 圖形語言 符號語言
判定定理 一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行(簡記為“線面平行 面面平行”) ∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a α，b α，∴α∥β
性質定理 如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行 ∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b
題型三　平行關系的綜合應用
例4 如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是棱CC1的中點，問在棱AB上是否存在一點E，使DE∥平面AB1C1？若存在，請確定點E的位置；若不存在，請說明理由．
解　方法一　存在點E，且E為AB的中點時，DE∥平面AB1C1.
下面給出證明：
如圖，取BB1的中點F，連接DF，
則DF∥B1C1，
∵AB的中點為E，連接EF，ED，
則EF∥AB1，B1C1∩AB1＝B1，
∴平面DEF∥平面AB1C1.
而DE 平面DEF，
∴DE∥平面AB1C1.
方法二　假設在棱AB上存在點E，
使得DE∥平面AB1C1，
如圖，取BB1的中點F，連接DF，EF，ED，則DF∥B1C1，
又DF 平面AB1C1，B1C1 平面AB1C1，
∴DF∥平面AB1C1，
又DE∥平面AB1C1，DE∩DF＝D，
∴平面DEF∥平面AB1C1，
∵EF 平面DEF，∴EF∥平面AB1C1，
又∵EF 平面ABB1，平面ABB1∩平面AB1C1＝AB1，
∴EF∥AB1，
∵點F是BB1的中點，∴點E是AB的中點．
即當點E是AB的中點時，DE∥平面AB1C1.
【同步練習】
1、如圖所示，在四面體ABCD中，截面EFGH平行于對棱AB和CD，試問截面在什么位置時其截面面積最大？
解　∵AB∥平面EFGH，
平面EFGH與平面ABC和平面ABD分別交于FG，EH.
∴AB∥FG，AB∥EH，∴FG∥EH，同理可證EF∥GH，
∴截面EFGH是平行四邊形．
設AB＝a，CD＝b，∠FGH＝α(α即為異面直線AB和CD所成的角或其補角)．
又設FG＝x，GH＝y，則由平面幾何知識可得＝，
＝，兩式相加得＋＝1，即y＝(a－x)，
∴S EFGH＝FG·GH·sin α
＝x··(a－x)·sin α＝x(a－x)．
∵x>0，a－x>0且x＋(a－x)＝a為定值，
∴x(a－x)≤，當且僅當x＝a－x時等號成立．
此時x＝，y＝.
即當截面EFGH的頂點E、F、G、H分別為棱AD、AC、BC、BD的中點時截面面積最大．
2、如圖，在四棱錐S－ABCD中，已知底面ABCD為直角梯形，其中AD∥BC，∠BAD＝90°，SA⊥底面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，tan∠SDA＝.
(1)求四棱錐S－ABCD的體積；
(2)在棱SD上找一點E，使CE∥平面SAB，并證明．
規范解答
解　(1)∵SA⊥底面ABCD，tan∠SDA＝，SA＝2，
∴AD＝3.
由題意知四棱錐S－ABCD的底面為直角梯形，且SA＝AB＝BC＝2，
VS－ABCD＝·SA··(BC＋AD)·AB
＝×2××(2＋3)×2＝.
(2)當點E位于棱SD上靠近D的三等分點處時，可使CE∥平面SAB.
證明如下：
取SD上靠近D的三等分點為E，取SA上靠近A的三等分點為F，連接CE，EF，BF，
則EF綊AD，BC綊AD，
∴BC綊EF，∴CE∥BF.
又∵BF 平面SAB，CE 平面SAB，
∴CE∥平面SAB.
一、判斷或證明線面平行的常用方法
(1)利用線面平行的定義(無公共點)；
(2)利用線面平行的判定定理(a α，b α，a∥b a∥α)；
(3)利用面面平行的性質定理(α∥β，a α a∥β)；
(4)利用面面平行的性質(α∥β，a α，a β，a∥α a∥β)．
二、證明面面平行的方法
(1)面面平行的定義；
(2)面面平行的判定定理：如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行；
(3)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行；
(4)兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行；
(5)利用“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”的相互轉化．
1．有下列命題：
①若直線l平行于平面α內的無數條直線，則直線l∥α；
②若直線a在平面α外，則a∥α；
③若直線a∥b，b∥α，則a∥α；
④若直線a∥b，b∥α，則a平行于平面α內的無數條直線．
其中真命題的個數是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　A
解析　命題①：l可以在平面α內，不正確；命題②：直線a與平面α可以是相交關系，不正確；命題③：a可以在平面α內，不正確；命題④正確．故選A.
2．已知m，n，l1，l2表示直線，α，β表示平面．若m α，n α，l1 β，l2 β，l1∩l2＝M，則α∥β的一個充分條件是(　　)
A．m∥β且l1∥α B．m∥β且n∥β
C．m∥β且n∥l2 D．m∥l1且n∥l2
答案　D
解析　由定理“如果一個平面內有兩條相交直線分別與另一個平面平行，那么這兩個平面平行”可得，由選項D可推知α∥β.故選D.
3．對于空間中的兩條直線m，n和一個平面α，下列命題中的真命題是(　　)
A．若m∥α，n∥α，則m∥n
B．若m∥α，n α，則m∥n
C．若m∥α，n⊥α，則m∥n
D．若m⊥α，n⊥α，則m∥n
答案　D
解析　對A，直線m，n可能平行、異面或相交，故A錯誤；對B，直線m與n可能平行，也可能異面，故B錯誤；對C，m與n垂直而非平行，故C錯誤；對D，垂直于同一平面的兩直線平行，故D正確．
4．下列四個正方體圖形中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，P分別為其所在棱的中點，能得出AB∥平面MNP的圖形的序號是(　　)
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
答案　B
解析　①中易知NP∥AA′，MN∥A′B，
∴平面MNP∥平面AA′B可得出AB∥平面MNP(如圖)．
④中，NP∥AB，能得出AB∥平面MNP.
5．已知平面α∥平面β，P是α，β外一點，過點P的直線m與α，β分別交于A，C兩點，過點P的直線n與α，β分別交于B，D兩點，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，則BD的長為(　　)
A．16 B．24或
C．14 D．20
答案　B
解析　由α∥β得AB∥CD.
分兩種情況：
若點P在α，β的同側，則＝，
∴PB＝，∴BD＝；
若點P在α，β之間，則＝，
∴PB＝16，∴BD＝24.
6．α，β是兩個平面，m，n是兩條直線，有下列四個命題：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；
③如果α∥β，m α，那么m∥β；
④如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等．
其中正確的命題有________．(填寫所有正確命題的編號)
答案　②③④
解析　當m⊥n，m⊥α，n∥β時，兩個平面的位置關系不確定，故①錯誤，經判斷知②③④均正確，故正確答案為②③④.
7．設α，β，γ是三個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，在命題“α∩β＝m，n γ，且________，則m∥n”中的橫線處填入下列三組條件中的一組，使該命題為真命題．
①α∥γ，n β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m γ.
可以填入的條件有________．
答案　①或③
解析　由面面平行的性質定理可知，①正確；當n∥β，m γ時，n和m在同一平面內，且沒有公共點，所以平行，③正確．
8．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，P是DD1的中點，設Q是CC1上的點，則點Q滿足條件________時，有平面D1BQ∥平面PAO.
答案　Q為CC1的中點
解析　假設Q為CC1的中點．
因為P為DD1的中點，
所以QB∥PA.
連接DB，因為O是底面ABCD的中心，
所以D1B∥PO，
又D1B 平面PAO，QB 平面PAO，且PA∩PO于P，
所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，
又D1B∩QB于B，所以平面D1BQ∥平面PAO.
故點Q滿足條件，Q為CC1的中點時，有平面D1BQ∥平面PAO.
9．在四面體A－BCD中，M，N分別是△ACD，△BCD的重心，則四面體的四個面中與MN平行的是________．
答案　平面ABD與平面ABC
解析　如圖，取CD的中點E，連接AE，BE.
則EM∶MA＝1∶2，
EN∶BN＝1∶2，
所以MN∥AB.
所以MN∥平面ABD，
MN∥平面ABC.
*10.在三棱錐S－ABC中，△ABC是邊長為6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分別與AB，BC，SC，SA交于點D，E，F，H.D，E分別是AB，BC的中點，如果直線SB∥平面DEFH，那么四邊形DEFH的面積為________．
答案　
解析　如圖，取AC的中點G，
連接SG，BG.
易知SG⊥AC，BG⊥AC，SG∩BG＝G，
故AC⊥平面SGB，
所以AC⊥SB.
因為SB∥平面DEFH，SB 平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD，
則SB∥HD.同理SB∥FE.
又D，E分別為AB，BC的中點，
則H，F也為AS，SC的中點，
從而得HF綊AC綊DE，
所以四邊形DEFH為平行四邊形．
又AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，
所以DE⊥HD，
所以四邊形DEFH為矩形，其面積S＝HF·HD＝(AC)·(SB)＝.
11. 如圖，E、F、G、H分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中點．求證：
(1)EG∥平面BB1D1D；
(2)平面BDF∥平面B1D1H.
證明　(1)取B1D1的中點O，連接GO，OB，
易證四邊形BEGO為平行四邊形，故OB∥GE，
由線面平行的判定定理即可證EG∥平面BB1D1D.
(2)由題意可知BD∥B1D1.
如圖，連接HB、D1F，
易證四邊形HBFD1是平行四邊形，故HD1∥BF.
又B1D1∩HD1＝D1，
BD∩BF＝B，
所以平面BDF∥平面B1D1H.
12． 在如圖所示的多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長為a的菱形，且∠DAB＝60°，DF＝2BE＝2a，DF∥BE，DF⊥平面ABCD.
(1)在AF上是否存在點G，使得EG∥平面ABCD，請證明你的結論；
(2)求該多面體的體積．
解　(1) 當點G位于AF中點時，有EG∥平面ABCD.
證明如下：取AF的中點G，AD的中點H，連接GH，GE，BH.
在△ADF中，HG為中位線，
故HG∥DF且HG＝DF.
因為BE∥DF且BE＝DF，
所以BE綊GH，即四邊形BEGH為平行四邊形，
所以EG∥BH.
因為BH 平面ABCD，EG 平面ABCD，
所以E
G∥平面ABCD.
(2) 連接AC，BD.
因為DF⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，
所以AC⊥平面BDFE.
所以該多面體可分割成兩個以平面BDFE為底面的等體積的四棱錐．
即VABCDEF＝VA－BDFE＋VC－BDFE＝2VA－BDFE
＝2×××a×a
＝a3.
*13.如圖所示，斜三棱柱ABC－A1B1C1中，點D，D1分別為AC，A1C1上的點．
(1)當等于何值時，BC1∥平面AB1D1
(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值．
解　(1) 如圖所示，取D1為線段A1C1的中點，此時＝1.
連接A1B，交AB1于點O，連接OD1.
由棱柱的性質知，四邊形A1ABB1為平行四邊形，
∴點O為A1B的中點．
在△A1BC1中，點O，D1分別為A1B，A1C1的中點，
∴OD1∥BC1.
又∵OD1 平面AB1D1，BC1 平面AB1D1，
∴BC1∥平面AB1D1.
∴當＝1時，BC1∥平面AB1D1.
(2)由平面BC1D∥平面AB1D1，
且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，
平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，
得BC1∥D1O，同理AD1∥DC1，
∴＝，＝，
又∵＝1，∴＝1，即＝1.8.4直線、平面平行-學生版
1．下列命題中正確的是(　　)
A．若a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經過b的任何平面
B．若直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內的任何直線平行
C．平行于同一條直線的兩個平面平行
D．若直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b α，則b∥α
2．若平面α∥平面β，直線a∥平面α，點B∈β，則在平面β內且過B點的所有直線中(　　)
A．不一定存在與a平行的直線 B．只有兩條與a平行的直線
C．存在無數條與a平行的直線 D．存在唯一與a平行的直線
3．過三棱柱ABC－A1B1C1任意兩條棱的中點作直線，其中與平面ABB1A1平行的直線共有________條．
4. 如圖是長方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為________．
無
題型一　直線與平面平行的判定與性質
命題點1　直線與平面平行的判定
例1　如圖，四棱錐P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F，H分別為線段AD，PC，CD的中點，AC與BE交于O點，G是線段OF上一點．
(1)求證：AP∥平面BEF；
(2)求證：GH∥平面PAD.
命題點2　直線與平面平行的性質
例2 如圖，四棱錐P－ABCD的底面是邊長為8的正方形，四條側棱長均為2.點G，E，F，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.
(1)證明：GH∥EF；
(2)若EB＝2，求四邊形GEFH的面積．
【同步練習】
1、如圖所示，CD，AB均與平面EFGH平行，E，F，G，H分別在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB.求證：四邊形EFGH是矩形．
題型二　平面與平面平行的判定與性質
例3　如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點，求證： (1)B，C，H，G四點共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.
引申探究
1．在本例條件下，若D為BC1的中點，求證：HD∥平面A1B1BA.
2．在本例條件下，若D1，D分別為B1C1，BC的中點，求證：平面A1BD1∥平面AC1D.
【同步練習】
1、如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝.
(1)證明：平面A1BD∥平面CD1B1；
(2)求三棱柱ABD－A1B1D1的體積．
1．線面平行的判定定理和性質定理
文字語言 圖形語言 符號語言
判定定理 平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行(簡記為“線線平行 線面平行”) ∵l∥a，a α，l α，∴l∥α
性質定理 一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡記為“線面平行 線線平行”) ∵l∥α，l β，α∩β＝b，∴l∥b
2.面面平行的判定定理和性質定理
文字語言 圖形語言 符號語言
判定定理 一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行(簡記為“線面平行 面面平行”) ∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a α，b α，∴α∥β
性質定理 如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行 ∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b
題型三　平行關系的綜合應用
例4 如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是棱CC1的中點，問在棱AB上是否存在一點E，使DE∥平面AB1C1？若存在，請確定點E的位置；若不存在，請說明理由．
【同步練習】
1、如圖所示，在四面體ABCD中，截面EFGH平行于對棱AB和CD，試問截面在什么位置時其截面面積最大？
2、如圖，在四棱錐S－ABCD中，已知底面ABCD為直角梯形，其中AD∥BC，∠BAD＝90°，SA⊥底面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，tan∠SDA＝.
(1)求四棱錐S－ABCD的體積；
(2)在棱SD上找一點E，使CE∥平面SAB，并證明．
一、判斷或證明線面平行的常用方法
(1)利用線面平行的定義(無公共點)；
(2)利用線面平行的判定定理(a α，b α，a∥b a∥α)；
(3)利用面面平行的性質定理(α∥β，a α a∥β)；
(4)利用面面平行的性質(α∥β，a α，a β，a∥α a∥β)．
二、證明面面平行的方法
(1)面面平行的定義；
(2)面面平行的判定定理：如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行；
(3)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行；
(4)兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行；
(5)利用“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”的相互轉化．
1．有下列命題：
①若直線l平行于平面α內的無數條直線，則直線l∥α；
②若直線a在平面α外，則a∥α；
③若直線a∥b，b∥α，則a∥α；
④若直線a∥b，b∥α，則a平行于平面α內的無數條直線．
其中真命題的個數是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知m，n，l1，l2表示直線，α，β表示平面．若m α，n α，l1 β，l2 β，l1∩l2＝M，則α∥β的一個充分條件是(　　)
A．m∥β且l1∥α B．m∥β且n∥β
C．m∥β且n∥l2 D．m∥l1且n∥l2
3．對于空間中的兩條直線m，n和一個平面α，下列命題中的真命題是(　　)
A．若m∥α，n∥α，則m∥n
B．若m∥α，n α，則m∥n
C．若m∥α，n⊥α，則m∥n
D．若m⊥α，n⊥α，則m∥n
4．下列四個正方體圖形中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，P分別為其所在棱的中點，能得出AB∥平面MNP的圖形的序號是(　　)
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
5．已知平面α∥平面β，P是α，β外一點，過點P的直線m與α，β分別交于A，C兩點，過點P的直線n與α，β分別交于B，D兩點，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，則BD的長為(　　)
A．16 B．24或 C．14 D．20
6．α，β是兩個平面，m，n是兩條直線，有下列四個命題：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；
③如果α∥β，m α，那么m∥β；
④如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等．
其中正確的命題有________．(填寫所有正確命題的編號)
7．設α，β，γ是三個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，在命題“α∩β＝m，n γ，且________，則m∥n”中的橫線處填入下列三組條件中的一組，使該命題為真命題．
①α∥γ，n β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m γ.
可以填入的條件有________．
8．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，P是DD1的中點，設Q是CC1上的點，則點Q滿足條件________時，有平面D1BQ∥平面PAO.
9．在四面體A－BCD中，M，N分別是△ACD，△BCD的重心，則四面體的四個面中與MN平行的是________．
*10.在三棱錐S－ABC中，△ABC是邊長為6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分別與AB，BC，SC，SA交于點D，E，F，H.D，E分別是AB，BC的中點，如果直線SB∥平面DEFH，那么四邊形DEFH的面積為________．
11. 如圖，E、F、G、H分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中點．求證：
(1)EG∥平面BB1D1D；
(2)平面BDF∥平面B1D1H.
12． 在如圖所示的多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長為a的菱形，且∠DAB＝60°，DF＝2BE＝2a，DF∥BE，DF⊥平面ABCD.
(1)在AF上是否存在點G，使得EG∥平面ABCD，請證明你的結論；
(2)求該多面體的體積．
*13.如圖所示，斜三棱柱ABC－A1B1C1中，點D，D1分別為AC，A1C1上的點．
(1)當等于何值時，BC1∥平面AB1D1
(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值．8.5直線、平面垂直-教師版
1、判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)直線l與平面α內的無數條直線都垂直，則l⊥α.(　×　)
(2)垂直于同一個平面的兩平面平行．(　×　)
(3)直線a⊥α，直線b⊥α，則a∥b.(　√　)
(4)若α⊥β，a⊥β a∥α.(　×　)
(5)若直線a⊥平面α，直線b∥α，則直線a與b垂直．(　√　)
2、下列命題中不正確的是(　　)
A．如果平面α⊥平面β，且直線l∥平面α，則直線l⊥平面β
B．如果平面α⊥平面β，那么平面α內一定存在直線平行于平面β
C．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內一定不存在直線垂直于平面β
D．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ
答案　A
解析　根據面面垂直的性質，知A不正確，直線l可能平行平面β，也可能在平面β內．
3、設平面α與平面β相交于直線m，直線a在平面α內，直線b在平面β內，且b⊥m，則“α⊥β”是“a⊥b”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
答案　A
解析　若α⊥β，因為α∩β＝m，b β，b⊥m，所以根據兩個平面垂直的性質定理可得b⊥α，又a α，所以a⊥b；反過來，當a∥m時，因為b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保證b⊥α，所以不能推出α⊥β.
4、對于四面體ABCD，給出下列四個命題：
①若AB＝AC，BD＝CD，則BC⊥AD；
②若AB＝CD，AC＝BD，則BC⊥AD；
③若AB⊥AC，BD⊥CD，則BC⊥AD；
④若AB⊥CD，AC⊥BD，則BC⊥AD.
其中為真命題的是(　　)
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
答案　D
解析　①如圖，取BC的中點M，連接AM，DM，由AB＝AC AM⊥BC，同理DM⊥BC BC⊥平面AMD，而AD 平面AMD，故BC⊥AD.④設A在平面BCD內的射影為O，連接BO，CO，DO，由AB⊥CD BO⊥CD，由AC⊥BD CO⊥BD O為△BCD的垂心 DO⊥BC AD⊥BC.
5、在三棱錐P－ABC中，點P在平面ABC中的射影為點O.
(1)若PA＝PB＝PC，則點O是△ABC的________心．
(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則點O是△ABC的________心．
答案　(1)外　(2)垂
解析　(1)如圖1，連接OA，OB，OC，OP，
在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，
所以OA＝OB＝OC，即O為△ABC的外心．
(2)如圖2，延長AO，BO，CO分別交BC，AC，AB于H，D，G.
∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，
∴PC⊥平面PAB，AB 平面PAB，∴PC⊥AB，
又AB⊥PO，PO∩PC＝P，
∴AB⊥平面PGC，
又CG 平面PGC，
∴AB⊥CG，即CG為△ABC邊AB的高．
同理可證BD，AH為△ABC底邊上的高，
即O為△ABC的垂心.
無
題型一　直線與平面垂直的判定與性質
例1　如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，AB＝5，AC＝6，點E，F分別在AD，CD上，AE＝CF＝，EF交BD于點H.將△DEF沿EF折到△D′EF的位置．
OD′＝.
證明：D′H⊥平面ABCD.
證明　由已知得AC⊥BD，AD＝CD.
又由AE＝CF得＝，故AC∥EF.
因此EF⊥HD，從而EF⊥D′H.
由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝＝4.
由EF∥AC得＝＝.
所以OH＝1，D′H＝DH＝3.
于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2，故D′H⊥OH.
又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H，且OH，EF 平面ABCD，
所以D′H⊥平面ABCD.
【同步練習】
1、在三棱錐A－BCD中，AB⊥平面BCD，DB＝DC＝4，∠BDC＝90°，P在線段BC上，CP＝3PB，M，N分別為AD，BD的中點．
求證：BC⊥平面MNP.
證明　因為MN是△ABD的中位線，
所以MN∥AB.
又AB⊥平面BCD，
所以MN⊥平面BCD，
又因為BC 平面BCD，
所以MN⊥BC.①
取BC的中點Q，連接DQ，則DQ⊥BC.
由PN是△BDQ的中位線知PN∥DQ，
所以PN⊥BC.②
由①②可得BC⊥平面MNP.
題型二　平面與平面垂直的判定與性質
例2　如圖，四棱錐P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分別為PB，AB，BC，PD，PC的中點．
(1)求證：CE∥平面PAD；
(2)求證：平面EFG⊥平面EMN.
證明　(1)方法一　
取PA的中點H，連接EH，DH.
又E為PB的中點，
所以EH綊AB.
又CD綊AB，
所以EH綊CD.
所以四邊形DCEH是平行四邊形，所以CE∥DH.
又DH 平面PAD，CE 平面PAD.
所以CE∥平面PAD.
方法二　連接CF.
因為F為AB的中點，
所以AF＝AB.
又CD＝AB，所以AF＝CD.
又AF∥CD，所以四邊形AFCD為平行四邊形．
因此CF∥AD，又CF 平面PAD，AD 平面PAD，
所以CF∥平面PAD.
因為E，F分別為PB，AB的中點，所以EF∥PA.
又EF 平面PAD，PA 平面PAD，
所以EF∥平面PAD.
因為CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.
又CE 平面CEF，所以CE∥平面PAD.
(2)因為E、F分別為PB、AB的中點，所以EF∥PA.
又因為AB⊥PA，
所以EF⊥AB，同理可證AB⊥FG.
又因為EF∩FG＝F，EF 平面EFG，FG 平面EFG.
所以AB⊥平面EFG.
又因為M，N分別為PD，PC的中點，
所以MN∥CD，又AB∥CD，所以MN∥AB，
所以MN⊥平面EFG.
又因為MN 平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.
引申探究
1．在本例條件下，證明：平面EMN⊥平面PAC.
證明　因為AB⊥PA，AB⊥AC，
且PA∩AC＝A，PA 平面PAC，AC 平面PAC，
所以AB⊥平面PAC.
又MN∥CD，CD∥AB，所以MN∥AB，
所以MN⊥平面PAC.
又MN 平面EMN，
所以平面EMN⊥平面PAC.
2．在本例條件下，證明：平面EFG∥平面PAC.
證明　因為E，F，G分別為PB，AB，BC的中點，
所以EF∥PA，FG∥AC，
又EF 平面PAC，PA 平面PAC，
所以EF∥平面PAC.
同理，FG∥平面PAC.
又EF∩FG＝F，
所以平面EFG∥平面PAC.
【同步練習】
1、如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點，點F在側棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.
求證：(1)直線DE∥平面A1C1F；
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
證明　(1)由已知，DE為△ABC的中位線，
∴DE∥AC，又由三棱柱的性質可得AC∥A1C1，
∴DE∥A1C1，
又∵DE 平面A1C1F，A1C1 平面A1C1F，
∴DE∥平面A1C1F.
(2)在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，
∴AA1⊥A1C1，
又∵A1B1⊥A1C1，且A1B1∩AA1＝A1，
A1B1 平面ABB1A1，AA1 平面ABB1A1，
∴A1C1⊥平面ABB1A1，
∵B1D 平面ABB1A1，
∴A1C1⊥B1D，
又∵A1F⊥B1D，且A1F∩A1C1＝A1，
A1F 平面A1C1F，A1C1 平面A1C1F，
∴B1D⊥平面A1C1F，
又∵B1D 平面B1DE，
∴平面B1DE⊥平面A1C1F.
1．直線與平面垂直
(1)定義
如果直線l與平面α內的任意一條直線都垂直，則直線l與平面α垂直．
(2)判定定理與性質定理
文字語言 圖形語言 符號語言
判定定理 一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直 l⊥α
性質定理 垂直于同一個平面的兩條直線平行 a∥b
2.直線和平面所成的角
(1)定義
平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角．若一條直線垂直于平面，它們所成的角是直角，若一條直線和平面平行，或在平面內，它們所成的角是0°的角．
(2)范圍：[0，]．
3．平面與平面垂直
(1)二面角的有關概念
①二面角：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角；
②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所構成的角叫做二面角的平面角．
(2)平面和平面垂直的定義
兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．
(3)平面與平面垂直的判定定理與性質定理
文字語言 圖形語言 符號語言
判定定理 一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直 α⊥β
性質定理 兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直 l⊥α
【知識拓展】
重要結論：
(1)若兩平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面．
(2)若一條直線垂直于一個平面，則它垂直于這個平面內的任何一條直線．
(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行．
(4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則這一條直線與另一個平面也垂直．
題型三　求空間角
命題點1　求兩條異面直線所成的角和二面角
例3　如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F分別是AD，AA1的中點．
(1)求直線EF和直線AB1所成的角的大小；
(2)求二面角D—A1C1—D1的正切值．
解　(1)在正方體ABCD—A1B1C1D1中，
因為E，F分別是AD，AA1的中點，
所以EF∥A1D.
因為AD∥B1C1，AD＝B1C1，
所以四邊形ADC1B1為平行四邊形．
所以AB1∥DC1.
所以∠A1DC1是直線AB1和EF所成的角．
因為△A1DC1是等邊三角形，
所以∠A1DC1＝60°，
即直線AB1和EF所成的角是60°.
(2)在正方體ABCD—A1B1C1D1中，連接B1D1交A1C1于點M，連接DM，則D1M⊥A1C1.
又DD1⊥平面A1C1，
所以DD1⊥A1C1，
且D1M∩DD1＝D1，
所以A1C1⊥平面DD1M，又DM 平面DD1M，
所以DM⊥A1C1.
故∠DMD1為二面角D—A1C1—D1的平面角，
故tan∠DMD1＝＝.
命題點2　求直線和平面所成的角
例4　如圖，在三棱錐D—ABC中，DA＝DB＝DC，點D在底面ABC上的射影為點E，AB⊥BC，DF⊥AB于點F.
(1)求證：平面ABD⊥平面DEF；
(2)若AD⊥DC，AC＝4，∠BAC＝60°，求直線BE與平面DAB所成的角的正弦值．
(1)證明　如圖，由題意知DE⊥平面ABC，
所以AB⊥DE，又AB⊥DF，
DE∩DF＝D，
所以AB⊥平面DEF，
又AB 平面ABD，所以平面ABD⊥平面DEF.
(2)解　由DA＝DB＝DC，知EA＝EB＝EC，E為AC的中點，
所以E是△ABC的外心．
過點E作EH⊥DF于點H，則由(1)知EH⊥平面DAB，
所以∠EBH即為BE與平面DAB所成的角．
由AC＝4，∠BAC＝60°，得DE＝2，EF＝，
所以DF＝，EH＝，
所以sin∠EBH＝＝.
所以直線BE與平面DAB所成角的正弦值為.
【同步練習】
1、在如圖所示的多面體ABCDE中，已知AB∥DE，AB⊥AD，△ACD是正三角形，AD＝DE＝2AB＝2，BC＝，F是CD的中點．
(1)求證：AF∥平面BCE；
(2)求直線CE與平面ABED所成角的余弦值．
(1)證明　如圖所示，取CE的中點為M，連接BM，MF，
因為F為CD的中點，所以MF綊ED.
又AB∥DE，DE＝2AB，所以MF綊AB，
所以四邊形ABMF為平行四邊形．
所以BM∥AF.
因為BM 平面BCE，AF 平面BCE，
所以AF∥平面BCE.
(2)解　因為△ACD是正三角形，
所以AC＝AD＝CD＝2.
在△ABC中，AB＝1，AC＝2，BC＝，
所以AB2＋AC2＝BC2，故AB⊥AC.
又AB⊥AD，AC∩AD＝A，
所以AB⊥平面ACD.
如圖所示，取AD的中點H，連接CH，EH，則AB⊥CH.
又AC＝CD，所以CH⊥AD.
又AB∩AD＝A，所以CH⊥平面ABED，
所以∠CEH是直線CE與平面ABED所成的角．
在Rt△CHE中，CH＝，EH＝，CE＝2，
所以cos∠CEH＝＝.
所以直線CE與平面ABED所成角的余弦值為.
2、 如圖所示，M，N，K分別是正方體ABCD—A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中點．
求證：(1)AN∥平面A1MK；
(2)平面A1B1C⊥平面A1MK.
規范解答
證明　(1) 如圖所示，連接NK.
在正方體ABCD—A1B1C1D1中，
∵四邊形AA1D1D，DD1C1C都為正方形，
∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，
C1D1∥CD，C1D1＝CD.
∵N，K分別為CD，C1D1的中點，
∴DN∥D1K，DN＝D1K，
∴四邊形DD1KN為平行四邊形，
∴KN∥DD1，KN＝DD1，∴AA1∥KN，AA1＝KN，
∴四邊形AA1KN為平行四邊形，∴AN∥A1K.
∵A1K 平面A1MK，AN 平面A1MK，
∴AN∥平面A1MK.
(2)如圖所示，連接BC1.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1.
∵M，K分別為AB，C1D1的中點，
∴BM∥C1K，BM＝C1K，
∴四邊形BC1KM為平行四邊形，∴MK∥BC1. [10分]
在正方體ABCD—A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，
BC1 平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1.
∵MK∥BC1，∴A1B1⊥MK.
∵四邊形BB1C1C為正方形，∴BC1⊥B1C. [12分]
∴MK⊥B1C.
∵A1B1 平面A1B1C，B1C 平面A1B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴MK⊥平面A1B1C.
又∵MK 平面A1MK，
∴平面A1B1C⊥平面A1MK. [14分]
一、證明線面垂直的常用方法及關鍵
(1)證明直線和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α b⊥α)；③面面平行的性質(a⊥α，α∥β a⊥β)；④面面垂直的性質．
(2)證明線面垂直的關鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質．因此，判定定理與性質定理的合理轉化是證明線面垂直的基本思想．
二、面面垂直
(1)判定面面垂直的方法
①面面垂直的定義；
②面面垂直的判定定理(a⊥β，a α α⊥β)．
(2)在已知平面垂直時，一般要用性質定理進行轉化．在一個平面內作交線的垂線，轉化為線面垂直，然后進一步轉化為線線垂直．
三、垂直的核心
(1)線面平行、垂直關系的證明問題的指導思想是線線、線面、面面關系的相互轉化，交替使用平行、垂直的判定定理和性質定理；
(2)線線關系是線面關系、面面關系的基礎．證明過程中要注意利用平面幾何中的結論，如證明平行時常用的中位線、平行線分線段成比例；證明垂直時常用的等腰三角形的中線等；
(3)證明過程一定要嚴謹，使用定理時要對照條件、步驟書寫要規范．
1．設α，β是兩個不同的平面，m是直線，且m α，則“m⊥β”是“α⊥β”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
答案　A
解析　若m α，m⊥β，則α⊥β；反之，若α⊥β，m α，則m與β的位置關系不確定，所以“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要條件，故選A.
2．設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題中正確的是(　　)
A．若α⊥β，m α，n β，則m⊥n
B．若α∥β，m α，n β，，則m∥n
C．若m⊥n，m α，n β，則α⊥β
D．若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥β
答案　D
解析　A中，m與n可垂直、可異面、可平行；B中，m與n可平行、可異面；C中，若α∥β，仍然滿足m⊥n，m α，n β，故C錯誤．故選D.
3.如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC上的射影H必在(　　)
A．直線AB上
B．直線BC上
C．直線AC上
D．△ABC內部
答案　A
解析　由AC⊥AB，AC⊥BC1，∴AC⊥平面ABC1.
又∵AC 平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.
∴C1在平面ABC上的射影H必在兩平面交線AB上．
4．如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，側棱AA1垂直底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中點，則下列敘述正確的是(　　)
A．CC1與B1E是異面直線
B．AC⊥平面ABB1A1
C．AE與B1C1是異面直線，且AE⊥B1C1
D．A1C1∥平面AB1E
答案　C
解析　A不正確，因為CC1與B1E在同一個側面中，故不是異面直線；B不正確，由題意知，上底面ABC是一個正三角形，故AC不可能垂直平面ABB1A1；C正確，因為AE，B1C1為在兩個平行平面中且不平行的兩條直線，故它們是異面直線，易得AE⊥BC,而B1C1 ∥BC，所以AE⊥B1C1 ；D不正確，因為A1C1所在的平面與平面AB1E相交，且A1C1與交線有公共點，故A1C1∥平面AB1E不正確，故選C.
5．如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的兩個平面后，某學生得出下列四個結論：
①BD⊥AC；
②△BAC是等邊三角形；
③三棱錐D－ABC是正三棱錐；
④平面ADC⊥平面ABC.
其中正確的是(　　)
A．①②④ B．①②③
C．②③④ D．①③④
答案　B
解析　由題意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正確；AD為等腰直角三角形斜邊BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等邊三角形，②正確；易知DA＝DB＝DC，由②知③正確；由①知④錯．故選B.
6．已知三棱柱ABC—A1B1C1的側棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC內的射影為△ABC的中心，則AC1與底面ABC所成角的余弦值等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　設三棱柱ABC—A1B1C1的各棱長為a，A1在底面ABC內的射影為O.則依題意，得AO＝＝，由題意得四面體A1—ABC為四面體，所以∠A1AC＝60°，∠AA1C1＝120°.
在菱形ACC1A1中，AC1＝＝a.
又點C1到底面ABC的距離等于A1到底面ABC的距離，且A1O＝ ＝a，因此AC1與底面ABC所成角的正弦值為＝，
AC1與底面ABC所成角的余弦值為.
7. 如圖，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，則在△ABC和△PAC的邊所在的直線中，與PC垂直的直線有________；與AP垂直的直線有________．
答案　AB、BC、AC　AB
解析　∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直線AB，BC，AC；
∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，
∴AB⊥平面PAC，∴與AP垂直的直線是AB.
8. 如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，側棱長為2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中點，F是BB1上的動點，AB1，DF交于點E.要使AB1⊥平面C1DF，則線段B1F的長為________．
答案　
解析　設B1F＝x，
因為AB1⊥平面C1DF，DF 平面C1DF，
所以AB1⊥DF.
由已知可得A1B1＝，
設Rt△AA1B1斜邊AB1上的高為h，
則DE＝h.
又2×＝h，
所以h＝，DE＝.
在Rt△DB1E中，
B1E＝ ＝.
由面積相等得× ＝x，
得x＝.
9. 如圖，PA⊥圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點，E，F分別是點A在PB，PC上的射影，給出下列結論：
①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.
其中正確結論的序號是________．
答案　①②③
解析　由題意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.
又AC⊥BC，且PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF.
∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C，
∴AF⊥平面PBC，
∴AF⊥PB，又AE⊥PB，AE∩AF＝A，
∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF.
故①②③正確．
10．在直二面角α－MN－β中，等腰直角三角形ABC的斜邊BC α，一直角邊AC β，BC與β所成角的正弦值為，則AB與β所成的角是________．
答案　
解析　如圖所示，作BH⊥MN于點H，連接AH，
則BH⊥β，∠BCH為BC與β所成的角．
∵sin∠BCH＝＝，
設BC＝1，則BH＝.
∵△ABC為等腰直角三角形，∴AC＝AB＝，
∴AB與β所成的角為∠BAH.
∴sin∠BAH＝＝＝，
∴∠BAH＝.
11．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD.
(1)在平面PAD內找一點M，使得直線CM∥平面PAB，并說明理由；
(2)證明：平面PAB⊥平面PBD.
(1)解　取棱AD的中點M(M∈平面PAD)，點M即為所求的一個點，理由如下：
連接BM，CM.
因為AD∥BC，BC＝AD，
所以BC∥AM，且BC＝AM，
所以四邊形AMCB是平行四邊形，從而CM∥AB.
又AB 平面PAB，CM 平面PAB.
所以CM∥平面PAB.
(說明：取棱PD的中點N，則所找的點可以是直線MN上任意一點)
(2)證明　由已知，PA⊥AB，PA⊥CD.
因為AD∥BC，BC＝CD＝AD，
所以直線AB與CD相交，
因為AB 平面ABCD，CD 平面ABCD，
所以PA⊥平面ABCD，
又因為BD 平面ABCD，從而PA⊥BD.
又BC∥MD，且BC＝MD.
所以四邊形BCDM是平行四邊形，
所以BM＝CD＝AD，所以BD⊥AB.
又AB∩AP＝A，AB 平面PAB，AP 平面PAB，
所以BD⊥平面PAB.
又BD 平面PBD，
所以平面PAB⊥平面PBD.
12．在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC1⊥平面ABC，BC＝CA＝AC1.
(1)求證：AC⊥平面AB1C1；
(2)求直線A1B與平面AB1C1所成角的余弦值．
(1)證明　由三棱柱的性質知，
BC∥B1C1.
因為∠ACB＝90°，
所以AC⊥B1C1.
因為AC1⊥平面ABC，AC 平面ABC，
所以AC1⊥AC.
因為AC1∩B1C1＝C1，AC1 平面AB1C1，B1C1 平面ABC1，
所以AC⊥平面AB1C1.
(2)解　因為三棱柱ABC－A1B1C1中AC∥A1C1，
又由(1)知，AC⊥平面AB1C1，
所以A1C1⊥平面AB1C1.
設A1B交AB1于點O，所以∠AOC1為直線A1B與平面AB1C1所成角．
設BC＝CA＝AC1＝a，
Rt△AC1O中，OC1＝a，A1O＝a.
因此，cos∠A1OC1＝，
故直線A1B與平面AB1C1所成角的余弦值為.
13．如圖，在四棱錐P—ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.
(1)求證：DC⊥平面PAC；
(2)求證：平面PAB⊥平面PAC；
(3)設點E為AB的中點，在棱PB上是否存在點F，使得PA∥平面CEF？說明理由．
(1)證明　∵PC⊥平面ABCD，DC 平面ABCD，
∴PC⊥DC.又AC⊥DC，PC∩AC＝C，
PC 平面PAC，AC 平面PAC，
∴DC⊥平面PAC.
(2)證明　∵AB∥CD，CD⊥平面PAC，
∴AB⊥平面PAC，又AB 平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAC.
(3)解　棱PB上存在點F，使得PA∥平面CEF.
證明如下：
取PB的中點F，連接EF，CE，CF，又∵E為AB的中點，
∴EF為△PAB的中位線，
∴EF∥PA.又PA 平面CEF，EF 平面CEF，
∴PA∥平面CEF.8.5直線、平面垂直-學生版
1、判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)直線l與平面α內的無數條直線都垂直，則l⊥α.(　　)
(2)垂直于同一個平面的兩平面平行．(　　)
(3)直線a⊥α，直線b⊥α，則a∥b.(　　)
(4)若α⊥β，a⊥β a∥α.(　　)
(5)若直線a⊥平面α，直線b∥α，則直線a與b垂直．(　　)
2、下列命題中不正確的是(　　)
A．如果平面α⊥平面β，且直線l∥平面α，則直線l⊥平面β
B．如果平面α⊥平面β，那么平面α內一定存在直線平行于平面β
C．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內一定不存在直線垂直于平面β
D．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ
3、設平面α與平面β相交于直線m，直線a在平面α內，直線b在平面β內，且b⊥m，則“α⊥β”是“a⊥b”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
4、對于四面體ABCD，給出下列四個命題：
①若AB＝AC，BD＝CD，則BC⊥AD；
②若AB＝CD，AC＝BD，則BC⊥AD；
③若AB⊥AC，BD⊥CD，則BC⊥AD；
④若AB⊥CD，AC⊥BD，則BC⊥AD.
其中為真命題的是(　　)
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
5、在三棱錐P－ABC中，點P在平面ABC中的射影為點O.
(1)若PA＝PB＝PC，則點O是△ABC的________心．
(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則點O是△ABC的________心．
無
題型一　直線與平面垂直的判定與性質
例1　如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，AB＝5，AC＝6，點E，F分別在AD，CD上，AE＝CF＝，EF交BD于點H.將△DEF沿EF折到△D′EF的位置．OD′＝.
證明：D′H⊥平面ABCD.
【同步練習】
1、在三棱錐A－BCD中，AB⊥平面BCD，DB＝DC＝4，∠BDC＝90°，P在線段BC上，CP＝3PB，M，N分別為AD，BD的中點．求證：BC⊥平面MNP.
題型二　平面與平面垂直的判定與性質
例2　如圖，四棱錐P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分別為PB，AB，BC，PD，PC的中點．
(1)求證：CE∥平面PAD；
(2)求證：平面EFG⊥平面EMN.
引申探究
1．在本例條件下，證明：平面EMN⊥平面PAC.
2．在本例條件下，證明：平面EFG∥平面PAC.
【同步練習】
1、如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點，點F在側棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.
求證：(1)直線DE∥平面A1C1F；
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
1．直線與平面垂直
(1)定義
如果直線l與平面α內的任意一條直線都垂直，則直線l與平面α垂直．
(2)判定定理與性質定理
文字語言 圖形語言 符號語言
判定定理 一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直 l⊥α
性質定理 垂直于同一個平面的兩條直線平行 a∥b
2.直線和平面所成的角
(1)定義
平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角．若一條直線垂直于平面，它們所成的角是直角，若一條直線和平面平行，或在平面內，它們所成的角是0°的角．
(2)范圍：[0，]．
3．平面與平面垂直
(1)二面角的有關概念
①二面角：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角；
②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所構成的角叫做二面角的平面角．
(2)平面和平面垂直的定義
兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．
(3)平面與平面垂直的判定定理與性質定理
文字語言 圖形語言 符號語言
判定定理 一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直 α⊥β
性質定理 兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直 l⊥α
【知識拓展】
重要結論：
(1)若兩平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面．
(2)若一條直線垂直于一個平面，則它垂直于這個平面內的任何一條直線．
(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行．
(4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則這一條直線與另一個平面也垂直．
題型三　求空間角
命題點1　求兩條異面直線所成的角和二面角
例3　如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F分別是AD，AA1的中點．
(1)求直線EF和直線AB1所成的角的大小；
(2)求二面角D—A1C1—D1的正切值．
命題點2　求直線和平面所成的角
例4　如圖，在三棱錐D—ABC中，DA＝DB＝DC，點D在底面ABC上的射影為點E，AB⊥BC，DF⊥AB于點F.
(1)求證：平面ABD⊥平面DEF；
(2)若AD⊥DC，AC＝4，∠BAC＝60°，求直線BE與平面DAB所成的角的正弦值．
【同步練習】
1、在如圖所示的多面體ABCDE中，已知AB∥DE，AB⊥AD，△ACD是正三角形，AD＝DE＝2AB＝2，BC＝，F是CD的中點．
(1)求證：AF∥平面BCE；
(2)求直線CE與平面ABED所成角的余弦值．
2、 如圖所示，M，N，K分別是正方體ABCD—A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中點．
求證：(1)AN∥平面A1MK；
(2)平面A1B1C⊥平面A1MK.
一、證明線面垂直的常用方法及關鍵
(1)證明直線和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α b⊥α)；③面面平行的性質(a⊥α，α∥β a⊥β)；④面面垂直的性質．
(2)證明線面垂直的關鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質．因此，判定定理與性質定理的合理轉化是證明線面垂直的基本思想．
二、面面垂直
(1)判定面面垂直的方法
①面面垂直的定義；
②面面垂直的判定定理(a⊥β，a α α⊥β)．
(2)在已知平面垂直時，一般要用性質定理進行轉化．在一個平面內作交線的垂線，轉化為線面垂直，然后進一步轉化為線線垂直．
三、垂直的核心
(1)線面平行、垂直關系的證明問題的指導思想是線線、線面、面面關系的相互轉化，交替使用平行、垂直的判定定理和性質定理；
(2)線線關系是線面關系、面面關系的基礎．證明過程中要注意利用平面幾何中的結論，如證明平行時常用的中位線、平行線分線段成比例；證明垂直時常用的等腰三角形的中線等；
(3)證明過程一定要嚴謹，使用定理時要對照條件、步驟書寫要規范．
1．設α，β是兩個不同的平面，m是直線，且m α，則“m⊥β”是“α⊥β”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2．設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題中正確的是(　　)
A．若α⊥β，m α，n β，則m⊥n
B．若α∥β，m α，n β，，則m∥n
C．若m⊥n，m α，n β，則α⊥β
D．若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥β
3.如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC上的射影H必在(　　)
A．直線AB上
B．直線BC上
C．直線AC上
D．△ABC內部
4．如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，側棱AA1垂直底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中點，則下列敘述正確的是(　　)
A．CC1與B1E是異面直線
B．AC⊥平面ABB1A1
C．AE與B1C1是異面直線，且AE⊥B1C1
D．A1C1∥平面AB1E
5．如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的兩個平面后，某學生得出下列四個結論：
①BD⊥AC；②△BAC是等邊三角形；
③三棱錐D－ABC是正三棱錐；④平面ADC⊥平面ABC.
其中正確的是(　　)
A．①②④ B．①②③
C．②③④ D．①③④
6．已知三棱柱ABC—A1B1C1的側棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC內的射影為△ABC的中心，則AC1與底面ABC所成角的余弦值等于(　　)
A. B.
C. D.
7. 如圖，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，則在△ABC和△PAC的邊所在的直線中，與PC垂直的直線有________；與AP垂直的直線有________．
如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，側棱長為2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中點，
F是BB1上的動點，AB1，DF交于點E.要使AB1⊥平面C1DF，則線段B1F的長為________．
9. 如圖，PA⊥圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點，E，F分別是點A在PB，PC上的射影，給出下列結論：
①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.
其中正確結論的序號是________．
10．在直二面角α－MN－β中，等腰直角三角形ABC的斜邊BC α，一直角邊AC β，BC與β所成角的正弦值為，則AB與β所成的角是________．
11．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD.
(1)在平面PAD內找一點M，使得直線CM∥平面PAB，并說明理由；
(2)證明：平面PAB⊥平面PBD.
12．在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC1⊥平面ABC，BC＝CA＝AC1.
(1)求證：AC⊥平面AB1C1；
(2)求直線A1B與平面AB1C1所成角的余弦值．
13．如圖，在四棱錐P—ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.
(1)求證：DC⊥平面PAC；
(2)求證：平面PAB⊥平面PAC；
(3)設點E為AB的中點，在棱PB上是否存在點F，使得PA∥平面CEF？說明理由．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)空間中任意兩非零向量a，b共面．(　√　)
(2)在向量的數量積運算中(a·b)·c＝a·(b·c)．(　×　)
(3)對于非零向量b，由a·b＝b·c，則a＝c.(　×　)
(4)兩向量夾角的范圍與兩異面直線所成角的范圍相同．(　×　)
(5)若A、B、C、D是空間任意四點，則有＋＋＋＝0.(　√　)
題型一　空間向量的線性運算
例1　(1)如圖，在四面體O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D為BC的中點，E為AD的中點，則＝________.(用a，b，c表示)
答案　a＋b＋c
解析　＝＋＝＋＋
＝a＋b＋c.
(2)三棱錐O－ABC中，M，N分別是OA，BC的中點，G是△ABC的重心，用基向量，，表示，.
解　＝＋＝＋
＝＋(－)
＝＋[(＋)－]
＝－＋＋.
＝＋＝－＋＋
＝＋＋.
思維升華　用已知向量表示某一向量的方法
用已知向量來表示未知向量，一定要結合圖形，以圖形為指導是解題的關鍵．要正確理解向量加法、減法與數乘運算的幾何意義．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點指向末尾向量的終點的向量．在立體幾何中三角形法則、平行四邊形法則仍然成立．
　如圖所示，在空間幾何體ABCD－A1B1C1D1中，各面為平行四邊形，設＝a，＝b，＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點，試用a，b，c表示以下各向量：
(1)；
(2)＋.
解　(1)因為P是C1D1的中點，
所以＝＋＋
＝a＋＋
＝a＋c＋＝a＋c＋b.
(2)因為M是AA1的中點，
所以＝＋＝＋
＝－a＋(a＋c＋b)
＝a＋b＋c.
又＝＋＝＋
＝＋＝c＋a，
所以＋＝(a＋b＋c)＋(a＋c)
＝a＋b＋c.
題型二　共線定理、共面定理的應用
例2　已知E，F，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點．
(1)求證：E，F，G，H四點共面；
(2)求證：BD∥平面EFGH；
(3)設M是EG和FH的交點，求證：對空間任一點O，有＝(＋＋＋)．
證明　(1)連接BG，
則＝＋
＝＋(＋)
＝＋＋
＝＋，
由共面向量定理的推論知E，F，G，H四點共面．
(2)因為＝－
＝－
＝(－)＝，
所以EH∥BD.
又EH 平面EFGH，BD 平面EFGH，
所以BD∥平面EFGH.
(3)找一點O，并連接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.
由(2)知＝，
同理＝，
所以＝，即EH綊FG，
所以四邊形EFGH是平行四邊形，
所以EG，FH交于一點M且被M平分．
故＝(＋)
＝＋
＝[(＋)]＋[(＋)]
＝(＋＋＋)．
思維升華　(1)證明空間三點P，A，B共線的方法
①＝λ(λ∈R)；
②對空間任一點O，＝＋t(t∈R)；
③對空間任一點O，＝x＋y(x＋y＝1)．
(2)證明空間四點P，M，A，B共面的方法
①＝x＋y；
②對空間任一點O，＝＋x＋y；
③對空間任一點O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)；
④∥(或∥或∥)．
　已知A，B，C三點不共線，對平面ABC外的任一點O，若點M滿足＝(＋＋)．
(1)判斷，，三個向量是否共面；
(2)判斷點M是否在平面ABC內．
解　(1)由題意知＋＋＝3，
∴－＝(－)＋(－)
即＝＋＝－－，
∴，，共面．
(2)由(1)知，，共面且基線過同一點M，
∴M，A，B，C四點共面．
從而點M在平面ABC內．
題型三　空間向量數量積的應用
例3　已知平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.
(1)求線段AC1的長；
(2)求異面直線AC1與A1D所成角的余弦值；
(3)求證：AA1⊥BD.
(1)解　設＝a，＝b，＝c，
則|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1×cos 120°＝－1.
∵＝＋＝＋＋＝a＋b＋c，
∴||＝|a＋b＋c|＝
＝
＝＝.
∴線段AC1的長為.
(2)解　設異面直線AC1與A1D所成的角為θ，
則cos θ＝|cos〈，〉|＝.
∵＝a＋b＋c，＝b－c，
∴·＝(a＋b＋c)·(b－c)＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋12－22＝－2，
||＝＝
＝＝.
∴cos θ＝＝||＝.
故異面直線AC1與A1D所成角的余弦值為.
(3)證明　∵＝c，＝b－a，
∴·＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝(－1)－(－1)＝0，
∴⊥，∴AA1⊥BD.
思維升華　(1)利用向量的數量積可證明線段的垂直關系，也可以利用垂直關系，通過向量共線確定點在線段上的位置；
(2)利用夾角公式，可以求異面直線所成的角，也可以求二面角；
(3)可以通過|a|＝，將向量的長度問題轉化為向量數量積的問題求解．
　如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，以頂點A為端點的三條棱長度都為1，且兩兩夾角為60°.
(1)求的長；
(2)求與夾角的余弦值．
解　(1)記＝a，＝b，＝c，
則|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
∴a·b＝b·c＝c·a＝.
||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×(＋＋)＝6，
∴||＝，即AC1的長為.
(2)＝b＋c－a，＝a＋b，
∴||＝，||＝，
·＝(b＋c－a)·(a＋b)
＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1，
∴cos〈，〉＝＝.
即與夾角的余弦值為.
1.空間向量的有關概念
名稱 概念 表示
零向量 模為0的向量 0
單位向量 長度(模)為1的向量
相等向量 方向相同且模相等的向量 a＝b
相反向量 方向相反且模相等的向量 a的相反向量為－a
共線向量 表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量 a∥b
共面向量 平行于同一個平面的向量
2.空間向量中的有關定理
(1)共線向量定理
空間兩個向量a與b(b≠0)共線的充要條件是存在實數λ，使得a＝λb.
(2)共面向量定理
共面向量定理的向量表達式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b為不共線向量．
(3)空間向量基本定理
如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序實數組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空間的一個基底．
3．空間向量的數量積及運算律
(1)數量積及相關概念
①兩向量的夾角
已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作＝a，＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉，其范圍是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，則稱a與b互相垂直，記作a⊥b.
②兩向量的數量積
已知空間兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的數量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)空間向量數量積的運算律
①結合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交換律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4．空間向量的坐標表示及其應用
設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
向量表示 坐標表示
數量積 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3
共線 a＝λb(b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模 |a|
夾角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝
【知識拓展】
(1)向量三點共線定理：在平面中A、B、C三點共線的充要條件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O為平面內任意一點．
(2)向量四點共面定理：在空間中P、A、B、C四點共面的充要條件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O為空間中任意一點．
典例　如圖，已知直三棱柱ABC－A1B1C1，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分別是A1B1，A1A的中點．
(1)求的模；
(2)求cos〈，〉的值；
(3)求證：A1B⊥C1M.
思想方法指導　利用向量解決立體幾何問題時，首先要將幾何問題轉化成向量問題，通過建立坐標系利用向量的坐標進行求解．
規范解答
(1)解　如圖，建立空間直角坐標系．
依題意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，
所以||＝＝. [3分]
(2)解　依題意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0，1,2)．
所以＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)，
·＝3，||＝，||＝，
所以cos〈，〉＝
＝. [8分]
(3)證明　依題意得C1(0,0,2)，M(，，2)，
＝(－1,1，－2)，
＝(，，0)． [10分]
所以·＝－＋＋0＝0，
所以⊥，即A1B⊥C1M. [14分]
1．已知正四面體ABCD的棱長為a，點E，F分別是BC，AD的中點，則·的值為(　　)
A．a2 B.a2 C.a2 D.a2
答案　C
解析　如圖，
設＝a，＝b，＝c，則|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量兩兩夾角為60°.＝(a＋b)，＝c，
∴·＝(a＋b)·c＝(a·c＋b·c)＝(a2cos 60°＋a2cos 60°)＝a2.
2．向量a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，下列結論正確的是(　　)
A．a∥b，a∥c B．a∥b，a⊥c
C．a∥c，a⊥b D．以上都不對
答案　C
解析　因為c＝(－4，－6,2)＝2(－2，－3,1)＝2a，
所以a∥c.
又a·b＝(－2)×2＋(－3)×0＋1×4＝0，
所以a⊥b.故選C.
3．與向量(－3，－4,5)共線的單位向量是__________________________________．
答案　和
解析　因為與向量a共線的單位向量是±，又因為向量(－3，－4,5)的模為＝5，所以與向量(－3，－4,5)共線的單位向量是±(－3，－4，5)＝±(－3，－4,5)．
4．正四面體ABCD的棱長為2，E，F分別為BC，AD中點，則EF的長為________．
答案　
解析　||2＝2＝(＋＋)2
＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)
＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2，
∴||＝，∴EF的長為.
1．在下列命題中：
①若向量a，b共線，則向量a，b所在的直線平行；
②若向量a，b所在的直線為異面直線，則向量a，b一定不共面；
③若三個向量a，b，c兩兩共面，則向量a，b，c共面；
④已知空間的三個向量a，b，c，則對于空間的任意一個向量p總存在實數x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.
其中正確命題的個數是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　A
解析　a與b共線，a，b所在的直線也可能重合，故①不正確；根據自由向量的意義知，空間任意兩向量a，b都共面，故②不正確；三個向量a，b，c中任意兩個一定共面，但它們三個卻不一定共面，故③不正確；只有當a，b，c不共面時，空間任意一向量p才能表示為p＝xa＋yb＋zc，故④不正確，綜上可知四個命題中正確的個數為0，故選A.
2．已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c三向量共面，則λ等于(　　)
A．9 B．－9 C．－3 D．3
答案　B
解析　由題意知c＝xa＋yb，
即(7,6，λ)＝x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)，
∴解得λ＝－9.
3．已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若a⊥(a－λb)，則實數λ的值為(　　)
A．－2 B．－ C. D．2
答案　D
解析　由題意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，
所以14－7λ＝0，解得λ＝2.
4.如圖，在大小為45°的二面角A－EF－D中，四邊形ABFE，CDEF都是邊長為1的正方形，則B，D兩點間的距離是(　　)
A. B. C．1 D.
答案　D
解析　∵＝＋＋，
∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·
＝1＋1＋1－＝3－，
故||＝.
5．已知a，b是異面直線，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，則異面直線a，b所成的角等于(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案　C
解析　如圖，
設＝a，＝b，＝c，則＝a＋b＋c，
所以cos〈，〉＝＝，
所以異面直線a，b所成的角等于60°，
故選C.
6．正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為a，點M在AC1上且＝，N為B1B的中點，則||為(　　)
A.a B.a
C.a D.a
答案　A
解析　以D為原點建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz，
則A(a，0,0)，C1(0，a，a)，N(a，a，)．
設M(x，y，z)，
∵點M在AC1上且
＝，
∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)，
∴x＝a，y＝，z＝.
∴M(，，)，
∴||＝
＝a.
7．A，B，C，D是空間不共面四點，且·＝0，·＝0，·＝0，則△BCD的形狀是________三角形．(填銳角、直角、鈍角中的一個)
答案　銳角
解析　因為·＝(－)·(－)
＝·－·－·＋2
＝2>0，
所以∠CBD為銳角．
同理∠BCD，∠BDC均為銳角．
8．設O－ABC是四面體，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一點，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，則x，y，z的值分別為______________．
答案　，，
解析　如圖所示，
取BC的中點E，連接AE.
＝＝(＋)
＝＋
＝＋(＋)
＝＋(－＋－)
＝(＋＋)，
∴x＝y＝z＝.
9．已知ABCD－A1B1C1D1為正方體，
①(＋＋)2＝32；
②·(－)＝0；
③向量與向量的夾角是60°；
④正方體ABCD－A1B1C1D1的體積為|··|.
其中正確的序號是________．
答案　①②
解析　①中，(＋＋)2＝2＋2＋2＝32，故①正確；②中，－＝，因為AB1⊥A1C，故②正確；③中，兩異面直線A1B與AD1所成的角為60°，但與的夾角為120°，故③不正確；④中，|··|＝0，故④也不正確．
*10.如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，點M，P，Q分別為棱AB，CD，BC的中點，若平行六面體的各棱長均相等，則
①A1M∥D1P；
②A1M∥B1Q；
③A1M∥平面DCC1D1；
④A1M∥平面D1PQB1.
以上正確說法的個數為________．
答案　3
解析　＝＋＝＋，＝＋＝＋，
∴∥，
∴A1M∥D1P，由線面平行的判定定理可知，
A1M∥平面DCC1D1，A1M∥平面D1PQB1.
①③④正確．
11.如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點E，F，G分別是AB，AD，CD的中點，計算：
(1)·；
(2)·；
(3)EG的長；
(4)異面直線AG與CE所成角的余弦值．
解　(1)設＝a，＝b，＝c，
則|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
＝＝c－a，＝－a，＝b－c.
·＝·(－a)
＝a2－a·c＝.
(2)·＝(c－a)·(b－c)
＝(b·c－a·b－c2＋a·c)＝－.
(3)＝＋＋＝a＋b－a＋c－b
＝－a＋b＋c，
||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝，則||＝.
(4)＝b＋c，＝＋＝－b＋a，
cos〈，〉＝＝－，
由于異面直線所成角的范圍是，
所以異面直線AG與CE所成角的余弦值為.
*12.直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D、E分別為AB、BB′的中點．
(1)求證：CE⊥A′D；
(2)求異面直線CE與AC′所成角的余弦值．
(1)證明　設＝a，＝b，＝c，
根據題意得，|a|＝|b|＝|c|，
且a·b＝b·c＝c·a＝0，
∴＝b＋c，＝－c＋b－a.
∴·＝－c2＋b2＝0.
∴⊥，即CE⊥A′D.
(2)解　∵＝－a＋c，||＝|a|，||＝|a|.
·＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2，
∴cos〈，〉＝＝.
即異面直線CE與AC′所成角的余弦值為.
13．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，點M，N分別是A1D，B1D1的中點．
(1)試用a，b，c表示；
(2)求證：MN∥平面ABB1A1.
(1)解　∵＝－＝c－a，
∴＝＝(c－a)．
同理，＝(b＋c)，
∴＝－＝(b＋c)－(c－a)＝(b＋a)＝a＋b.
(2)證明　∵＝＋＝a＋b，
∴＝，即MN∥AB1，
∵AB1 平面ABB1A1，MN 平面ABB1A1，
∴MN∥平面ABB1A1.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)空間中任意兩非零向量a，b共面．(　 　)
(2)在向量的數量積運算中(a·b)·c＝a·(b·c)．(　 　)
(3)對于非零向量b，由a·b＝b·c，則a＝c.(　 　)
(4)兩向量夾角的范圍與兩異面直線所成角的范圍相同．(　 　)
(5)若A、B、C、D是空間任意四點，則有＋＋＋＝0.(　 　)
題型一　空間向量的線性運算
例1　(1)如圖，在四面體O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D為BC的中點，E為AD的中點，則＝________.(用a，b，c表示)
(2)三棱錐O－ABC中，M，N分別是OA，BC的中點，G是△ABC的重心，用基向量，，表示，.
　如圖所示，在空間幾何體ABCD－A1B1C1D1中，各面為平行四邊形，設＝a，＝b，＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點，試用a，b，c表示以下各向量：
(1)；
(2)＋.
題型二　共線定理、共面定理的應用
例2　已知E，F，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點．
(1)求證：E，F，G，H四點共面；
(2)求證：BD∥平面EFGH；
(3)設M是EG和FH的交點，求證：對空間任一點O，有＝(＋＋＋)．
　已知A，B，C三點不共線，對平面ABC外的任一點O，若點M滿足＝(＋＋)．
(1)判斷，，三個向量是否共面；
(2)判斷點M是否在平面ABC內．
題型三　空間向量數量積的應用
例3　已知平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.
(1)求線段AC1的長；
(2)求異面直線AC1與A1D所成角的余弦值；
(3)求證：AA1⊥BD.
　如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，以頂點A為端點的三條棱長度都為1，且兩兩夾角為60°.
(1)求的長；
(2)求與夾角的余弦值．
1.空間向量的有關概念
名稱 概念 表示
零向量 模為0的向量 0
單位向量 長度(模)為1的向量
相等向量 方向相同且模相等的向量 a＝b
相反向量 方向相反且模相等的向量 a的相反向量為－a
共線向量 表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量 a∥b
共面向量 平行于同一個平面的向量
2.空間向量中的有關定理
(1)共線向量定理
空間兩個向量a與b(b≠0)共線的充要條件是存在實數λ，使得a＝λb.
(2)共面向量定理
共面向量定理的向量表達式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b為不共線向量．
(3)空間向量基本定理
如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序實數組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空間的一個基底．
3．空間向量的數量積及運算律
(1)數量積及相關概念
①兩向量的夾角
已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作＝a，＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉，其范圍是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，則稱a與b互相垂直，記作a⊥b.
②兩向量的數量積
已知空間兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的數量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)空間向量數量積的運算律
①結合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交換律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4．空間向量的坐標表示及其應用
設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
向量表示 坐標表示
數量積 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3
共線 a＝λb(b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模 |a|
夾角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝
【知識拓展】
(1)向量三點共線定理：在平面中A、B、C三點共線的充要條件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O為平面內任意一點．
(2)向量四點共面定理：在空間中P、A、B、C四點共面的充要條件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O為空間中任意一點．
典例　如圖，已知直三棱柱ABC－A1B1C1，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分別是A1B1，A1A的中點．
(1)求的模；
(2)求cos〈，〉的值；
(3)求證：A1B⊥C1M.
1．已知正四面體ABCD的棱長為a，點E，F分別是BC，AD的中點，則·的值為(　　)
A．a2 B.a2 C.a2 D.a2
2．向量a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，下列結論正確的是(　　)
A．a∥b，a∥c B．a∥b，a⊥c
C．a∥c，a⊥b D．以上都不對
3．與向量(－3，－4,5)共線的單位向量是__________________________________．
4．正四面體ABCD的棱長為2，E，F分別為BC，AD中點，則EF的長為________．
1．在下列命題中：
①若向量a，b共線，則向量a，b所在的直線平行；
②若向量a，b所在的直線為異面直線，則向量a，b一定不共面；
③若三個向量a，b，c兩兩共面，則向量a，b，c共面；
④已知空間的三個向量a，b，c，則對于空間的任意一個向量p總存在實數x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.
其中正確命題的個數是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c三向量共面，則λ等于(　　)
A．9 B．－9 C．－3 D．3
3．已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若a⊥(a－λb)，則實數λ的值為(　　)
A．－2 B．－ C. D．2
4.如圖，在大小為45°的二面角A－EF－D中，四邊形ABFE，CDEF都是邊長為1的正方形，則B，D兩點間的距離是(　　)
A. B. C．1 D.
5．已知a，b是異面直線，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，則異面直線a，b所成的角等于(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
6．正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為a，點M在AC1上且＝，N為B1B的中點，則||為(　　)
A.a B.a
C.a D.a
7．A，B，C，D是空間不共面四點，且·＝0，·＝0，·＝0，則△BCD的形狀是________三角形．(填銳角、直角、鈍角中的一個)
8．設O－ABC是四面體，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一點，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，則x，y，z的值分別為______________．
9．已知ABCD－A1B1C1D1為正方體，
①(＋＋)2＝32；
②·(－)＝0；
③向量與向量的夾角是60°；
④正方體ABCD－A1B1C1D1的體積為|··|.
其中正確的序號是________．
*10.如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，點M，P，Q分別為棱AB，CD，BC的中點，若平行六面體的各棱長均相等，則
①A1M∥D1P；
②A1M∥B1Q；
③A1M∥平面DCC1D1；
④A1M∥平面D1PQB1.
以上正確說法的個數為________．
11.如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點E，F，G分別是AB，AD，CD的中點，計算：
(1)·；
(2)·；
(3)EG的長；
(4)異面直線AG與CE所成角的余弦值．
*12.直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D、E分別為AB、BB′的中點．
(1)求證：CE⊥A′D；
(2)求異面直線CE與AC′所成角的余弦值．
13．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，點M，N分別是A1D，B1D1的中點．
(1)試用a，b，c表示；
(2)求證：MN∥平面ABB1A1.1、判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)平面的單位法向量是唯一確定的．(　×　)
(2)若兩平面的法向量平行，則兩平面平行．(　√　)
(3)若兩直線的方向向量不平行，則兩直線不平行．(　√　)
(4)直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角．(　×　)
(5)兩異面直線夾角的范圍是(0，]，直線與平面所成角的范圍是[0，]，二面角的范圍是[0，π]．(　√　)
(6)若二面角α－a－β的兩個半平面α，β的法向量n1，n2所成角為θ，則二面角α－a－β的大小是π－θ.(　×　)
2、已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，則下列向量是平面ABC法向量的是(　　)
A．(－1,1,1) B．(1，－1,1)
C．(－，－，－) D．(，，－)
答案　C
解析　設n＝(x，y，z)為平面ABC的法向量，
則化簡得
∴x＝y＝z.故選C.
3、如圖，在空間直角坐標系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，則直線BC1與直線AB1所成角的余弦值為(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　設CA＝2，則C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)，可得向量＝(－2,2,1)，＝(0,2，－1)，由向量的夾角公式得cos〈，〉＝＝＝，故選A.
4、設u，v分別是平面α，β的法向量，u＝(－2,2,5)，當v＝(3，－2,2)時，α與β的位置關系為________；當v＝(4，－4，－10)時，α與β的位置關系為________．
答案　α⊥β　α∥β
解析　當v＝(3，－2,2)時，u·v＝(－2,2,5)·(3，－2,2)＝0 α⊥β.
當v＝(4，－4，－10)時，v＝－2u α∥β.
5、如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點，N是A1B1的中點，則直線ON，AM的位置關系是________．
答案　垂直
解析　以A為原點，分別以，，所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
設正方體棱長為1，則A(0,0,0)，M(0,1，)，O(，，0)，
N(，0,1)，·＝(0,1，)·(0，－，1)＝0，
∴ON與AM垂直．
無
題型一　利用空間向量證明平行問題
例1 如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分別是線段PA，PD，CD的中點．求證：PB∥平面EFG.
證明　∵平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，
△PAD是直角三角形，且PA＝AD，
∴AB，AP，AD兩兩垂直，以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz，
則A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0，0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1，2,0)．
∴＝(2,0，－2)，＝(0，－1,0)，＝(1,1，－1)，
設＝s＋t，
即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)，
∴解得s＝t＝2，∴＝2＋2，
又∵與不共線，∴，與共面．
∵PB 平面EFG，∴PB∥平面EFG.
引申探究
本例中條件不變，證明平面EFG∥平面PBC.
證明　∵＝(0,1,0)，＝(0,2,0)，
∴＝2，∴BC∥EF.
又∵EF 平面PBC，BC 平面PBC，
∴EF∥平面PBC，
同理可證GF∥PC，從而得出GF∥平面PBC.
又EF∩GF＝F，EF 平面EFG，GF 平面EFG，
∴平面EFG∥平面PBC.
【同步練習】
1、正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是C1C，B1C1的中點．求證：MN∥平面A1BD.
證明　如圖所示，
以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．
設正方體的棱長為1，則M(0,1，)，N(，1,1)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，
于是＝(，0，)，＝(1,0,1)，＝(1,1,0)．
設平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，
則n·＝0，且n·＝0，得
取x＝1，得y＝－1，z＝－1.
所以n＝(1，－1，－1)．
又·n＝(，0，)·(1，－1，－1)＝0，
所以⊥n.
又MN 平面A1BD，所以MN∥平面A1BD.
題型二　利用空間向量證明垂直問題
例2　如圖，在多面體ABC－A1B1C1中，四邊形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC＝AB，B1C1綊BC，二面角A1－AB－C是直二面角．求證：
(1)A1B1⊥平面AA1C；
(2)AB1∥平面A1C1C.
證明　(1)∵二面角A1－AB－C是直二面角，四邊形A1ABB1為正方形，
∴AA1⊥平面BAC.
又∵AB＝AC，BC＝AB，
∴∠CAB＝90°，即CA⊥AB，
∴AB，AC，AA1兩兩互相垂直．
建立如圖所示的空間直角坐標系，點A為坐標原點，
設AB＝2，則A(0,0,0)，B1(0,2,2)，A1(0,0,2)，C(2,0,0)，C1(1,1,2)，
∴＝(0,2,0)，＝(0,0，－2)，＝(2,0,0)．
設平面AA1C的一個法向量n＝(x，y，z)，
則即
即取y＝1，則n＝(0,1,0)．
∴＝2n，即∥n.
∴A1B1⊥平面AA1C.
(2)易知＝(0,2,2)，＝(1,1,0)，＝(2,0，－2)，
設平面A1C1C的一個法向量m＝(x1，y1，z1)，
則即
令x1＝1，則y1＝－1，z1＝1，即m＝(1，－1,1)．
∴·m＝0×1＋2×(－1)＋2×1＝0，
∴⊥m.
又AB1 平面A1C1C，∴AB1∥平面A1C1C.
【同步練習】
1、如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形，側面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD，設E，F分別為PC，BD的中點．
(1)求證：EF∥平面PAD；
(2)求證：平面PAB⊥平面PDC.
證明　(1)如圖，
取AD的中點O，連接OP，OF.
因為PA＝PD，所以PO⊥AD.
因為側面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
所以PO⊥平面ABCD.
又O，F分別為AD，BD的中點，所以OF∥AB.
又ABCD是正方形，所以OF⊥AD.
因為PA＝PD＝AD，所以PA⊥PD，OP＝OA＝.
以O為原點，OA，OF，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，
則A(，0,0)，F(0，，0)，D(－，0,0)，P(0,0，)，B(，a,0)，C(－，a,0)．
因為E為PC的中點，所以E(－，，)．
易知平面PAD的一個法向量為＝(0，，0)，
因為＝(，0，－)，
且·＝(0，，0)·(，0，－)＝0，
所以OF⊥EF，
又因為EF 平面PAD，所以EF∥平面PAD.
(2)因為＝(，0，－)，＝(0，－a,0)，
所以·＝(，0，－)·(0，－a,0)＝0，
所以PA⊥CD.
又PA⊥PD，PD∩CD＝D，PD 平面PDC，CD 平面PDC，
所以PA⊥平面PDC.
又PA 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PDC.
1．直線的方向向量與平面的法向量的確定
(1)直線的方向向量：在直線上任取一非零向量作為它的方向向量．
(2)平面的法向量可利用方程組求出：設a，b是平面α內兩不共線向量，n為平面α的法向量，則求法向量的方程組為
2．用向量證明空間中的平行關系
(1)設直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1∥l2(或l1與l2重合) v1∥v2.
(2)設直線l的方向向量為v，與平面α共面的兩個不共線向量v1和v2，則l∥α或l α 存在兩個實數x，y，使v＝xv1＋yv2.
(3)設直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l∥α或l α v⊥u.
(4)設平面α和β的法向量分別為u1，u2，則α∥β u1 ∥u2.
3．用向量證明空間中的垂直關系
(1)設直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1⊥l2 v1⊥v2 v1·v2＝0.
(2)設直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l⊥α v∥u.
(3)設平面α和β的法向量分別為u1和u2，則α⊥β u1⊥u2 u1·u2＝0.
4．兩條異面直線所成角的求法
設a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則
l1與l2所成的角θ a與b的夾角β
范圍 (0，] [0，π]
求法 cos θ＝ cos β＝
5.直線與平面所成角的求法
設直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為θ，a與n的夾角為β，則sin θ＝|cos β|＝.
6．求二面角的大小
(1)如圖①，AB，CD分別是二面角α－l－β的兩個面內與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝〈，〉．
(2)如圖②③，n1，n2分別是二面角α－l－β的兩個半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補角)．
題型三　利用空間向量求空間角
命題點1　求直線和平面所成的角
例3　如圖1，在Rt△ACB中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分別是AC，AB上的點，且DE∥BC，DE＝2，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如圖2.
(1)求證：A1C⊥平面BCDE；
(2)若M是A1D上的點，試確定點M的位置，使得直線CM與平面A1BE所成角的正弦值為.
(1)證明　因為∠C＝90°，DE∥BC，
所以BC⊥CD，BC⊥A1D，
因為CD∩A1D＝D，CD 平面A1CD，A1D 平面A1CD，
所以BC⊥平面A1CD，
因為A1C 平面A1CD，所以BC⊥A1C，DE⊥A1C，
又A1C⊥CD，CD∩BC＝C，
CD∩DE＝D，DE∥BC，
所以A1C⊥平面BCDE.
(2)解　以C為原點，以CB，CD，CA1所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系(圖略)，
因為＝，所以AD＝4，CD＝2，A1C＝2，
所以A1(0,0,2)，B(3,0,0)，E(2,2,0)，D(0,2,0)，
＝(2,2，－2)，＝(－1,2,0)，
＝(0，－2,2)．
設M點的坐標為(0，y0，z0)，＝λ，
則所以＝(0,2－2λ，2λ)，
設平面A1BE的一個法向量n＝(x，y，z)，
則即
令x＝2，則y＝1，z＝，即n＝(2,1，)．
設直線CM與平面A1BE所成角為θ，
則sin θ＝＝，
即＝，解得λ＝或，
所以M為線段A1D(靠近點A1)四分之一處的點或三分之二處的點．
命題點2　求二面角
例4　已知點E，F分別在正方體ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，則平面AEF與平面ABCD所成的二面角的正切值為________．
答案　
解析　如圖，建立空間直角坐標系Dxyz，
設DA＝1，由已知條件得
A(1,0,0)，E(1,1，)，F(0,1，)，＝(0,1，)，＝(－1,1，)，
設平面AEF的法向量為n＝(x，y，z)，
平面AEF與平面ABCD所成的二面角為θ，由圖知θ為銳角，由得
令y＝1，則z＝－3，x＝－1，即n＝(－1,1，－3)，
取平面ABCD的法向量為m＝(0,0，－1)，
則cos θ＝|cos〈n，m〉|＝，tan θ＝.
【同步練習】
1、如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M為線段AD上一點，AM＝2MD，N為PC的中點．
(1)證明MN∥平面PAB；
(2)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值．
(1)證明　由已知得AM＝AD＝2.
取BP的中點T，連接AT，TN，
由N為PC中點知TN∥BC，TN＝BC＝2.
又AD∥BC，故TN綊AM，四邊形AMNT為平行四邊形，于是MN∥AT.
因為AT 平面PAB，MN 平面PAB，所以MN∥平面PAB.
(2)解　取BC的中點E，連接AE.
由AB＝AC得AE⊥BC，
從而AE⊥AD，AE＝＝＝.
以A為坐標原點，的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz.
由題意知，P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(，2,0)，N，＝(0,2，－4)，＝，＝.
設n＝(x，y，z)為平面PMN的法向量，則
即可取n＝(0,2,1)．
于是|cos〈n，〉|＝＝.
設AN與平面PMN所成的角為θ，則sin θ＝，
∴直線AN與平面PMN所成角的正弦值為.
2、如圖1所示，正△ABC的邊長為4，CD是AB邊上的高，E，F分別是AC和BC邊的中點，現將△ABC沿CD翻折成直二面角A－DC－B，如圖2所示．
(1)試判斷直線AB與平面DEF的位置關系，并說明理由；
(2)求二面角E－DF－C的余弦值；
(3)在線段BC上是否存在一點P，使AP⊥DE？證明你的結論．
規范解答
解　(1)AB∥平面DEF，理由如下：
在△ABC中，由E，F分別是AC，BC中點，得EF∥AB.
又AB 平面DEF，EF 平面DEF，
∴AB∥平面DEF.[2分]
(2)以D為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0,2，0)，E(0，，1)，F(1，，0)，[3分]
易知平面CDF的法向量為＝(0,0,2)，
設平面EDF的法向量為n＝(x，y，z)，
則即取n＝(3，－，3)，
cos〈，n〉＝＝，
∴二面角E－DF－C的余弦值為.[8分]
(3)設P(x，y,0)，則·＝y－2＝0，
∴y＝.
又＝(x－2，y,0)，＝(－x,2－y,0)，
∵∥，∴(x－2)(2－y)＝－xy，
∴x＋y＝2.[10分]
把y＝代入上式得x＝，∴P(，，0)，
∴＝，
∴在線段BC上存在點P(，，0)，使AP⊥DE.[14分]
一、證明垂直問題的方法
(1)利用已知的線面垂直關系構建空間直角坐標系，準確寫出相關點的坐標，從而將幾何證明轉化為向量運算．其中靈活建系是解題的關鍵．
(2)其一證明直線與直線垂直，只需要證明兩條直線的方向向量垂直；其二證明線面垂直，只需證明直線的方向向量與平面內不共線的兩個向量垂直即可，當然 ，也可證直線的方向向量與平面的法向量平行；其三證明面面垂直：①證明兩平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能證明一個平面內的一條直線的方向向量為另一個平面的法向量即可．
二、利用向量法求空間角的方法
(1)先求出直線的方向向量和平面的法向量，將求空間角轉化為求兩個向量的夾角．
(2)利用數量積求向量的夾角，然后根據和所求角的關系得到空間角，但要注意所求角的大小．
1．若平面α，β的法向量分別是n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，則(　　)
A．α∥β B．α⊥β
C．α，β相交但不垂直 D．以上答案均不正確
答案　C
解析　∵n1·n2＝2×(－3)＋(－3)×1＋5×(－4)≠0，
∴n1與n2不垂直，且不共線．
∴α與β相交但不垂直．
2．已知平面α內有一點M(1，－1,2)，平面α的一個法向量為n＝(6，－3,6)，則下列點P中，在平面α內的是(　　)
A．P(2,3,3) B．P(－2,0,1)
C．P(－4,4,0) D．P(3，－3,4)
答案　A
解析　逐一驗證法，對于選項A，＝(1,4,1)，
∴·n＝6－12＋6＝0，∴⊥n，∴點P在平面α內，同理可驗證其他三個點不在平面α內．
3．若＝λ＋μ，則直線AB與平面CDE的位置關系是(　　)
A．相交 B．平行
C．在平面內 D．平行或在平面內
答案　D
解析　∵＝λ＋μ，∴、、共面，
∴AB與平面CDE平行或在平面CDE內．
4．設u＝(－2,2，t)，v＝(6，－4,4)分別是平面α，β的法向量．若α⊥β，則t等于(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
答案　C
解析　∵α⊥β，則u·v＝－2×6＋2×(－4)＋4t＝0，∴t＝5.
5．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長為a，M，N分別為A1B和AC上的點，A1M＝AN＝，則MN與平面BB1C1C的位置關系是(　　)
A．斜交 B．平行
C．垂直 D．MN在平面BB1C1C內
答案　B
解析　建立如圖所示的空間直角坐標系，
由于A1M＝AN＝，
則M(a，，)，N(，，a)，＝(－，0，)．
又C1D1⊥平面BB1C1C，
所以＝(0，a,0)為平面BB1C1C的一個法向量．
因為·＝0，
所以⊥，又MN 平面BB1C1C，
所以MN∥平面BB1C1C.
6．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點E為BB1的中點，則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz，
設棱長為1，則A1(0,0,1)，E(1,0，)，D(0,1,0)，
∴＝(0,1，－1)，＝(1,0，－)．
設平面A1ED的一個法向量為n1＝(1，y，z)，
則有
即∴即n1＝(1,2,2)．
∵平面ABCD的一個法向量為n2＝(0,0,1)，
∴cos〈n1，n2〉＝＝，
即所成的銳二面角的余弦值為.
7．已知平面α內的三點A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一個法向量n＝(－1，－1，－1)，則不重合的兩個平面α與β的位置關系是_______________．
答案　α∥β
解析　設平面α的法向量為m＝(x，y，z)，
由m·＝0，得x·0＋y－z＝0 y＝z，
由m·＝0，得x－z＝0 x＝z，取x＝1，
∴m＝(1,1,1)，m＝－n，
∴m∥n，∴α∥β.
8．已知點P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．對于結論：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正確的是________．
答案　①②③
解析　∵·＝0，·＝0，
∴AB⊥AP，AD⊥AP，則①②正確．
又與不平行，
∴是平面ABCD的法向量，則③正確．
∵＝－＝(2,3,4)，＝(－1,2，－1)，∴與不平行，故④錯誤．
9.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E，F分別是棱BC，DD1上的點，如果B1E⊥平面ABF，則CE與DF的和的值為________．
答案　1
解析　以D1為原點，D1A1，D1C1，D1D所在直線分別為
x，y，z軸建立空間直角坐標系，設CE＝x，DF＝y，
則易知E(x,1,1)，B1(1,1,0)，F(0,0,1－y)，B(1,1,1)，
∴＝(x－1,0,1)，∴＝(1,1，y)，∵B1E⊥平面ABF，
∴·＝(1,1，y)·(x－1，0,1)＝0 x＋y＝1.
*10.如圖，圓錐的軸截面SAB是邊長為2的等邊三角形，O為底面中心，M為SO中點，動點P在圓錐底面內(包括圓周)．若AM⊥MP，則點P形成的軌跡長度為________．
答案　
解析　由題意可知，建立空間直角坐標系，如圖所示．
則A(0，－1,0)，B(0,1,0)，S(0,0，)，M(0,0，)，設P(x，y,0)，
∴＝(0,1，)，＝(x，y，－)，即y＝，
∴點P的軌跡方程為y＝.
根據圓的弦長公式，可得點P形成的軌跡長度為2 ＝.
11．如圖所示，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F分別為B1A，C1C，BC的中點．求證：
(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF.
證明　(1)以A為坐標原點，AB，AC，AA1所在直線為
x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系Axyz，
令AB＝AA1＝4，
則A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)．
取AB中點為N，連接CN，
則N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)，
∴＝(－2,4,0)，＝(－2,4,0)，
∴＝，∴DE∥NC，
又∵NC 平面ABC，DE 平面ABC.
故DE∥平面ABC.
(2)＝(－2,2，－4)，＝(2，－2，－2)，＝(2,2,0)．
·＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0，
·＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0.
∴⊥，⊥，即B1F⊥EF，B1F⊥AF，
又∵AF∩EF＝F，AF 平面AEF，EF 平面AEF，
∴B1F⊥平面AEF.
12．在平面四邊形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.將△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如圖所示．
(1)求證：AB⊥CD；(2)若M為AD中點，求直線AD與平面MBC所成角的正弦值．
(1)證明　∵平面ABD⊥平面BCD，
平面ABD∩平面BCD＝BD，
AB 平面ABD，AB⊥BD，
∴AB⊥平面BCD.
又CD 平面BCD，∴AB⊥CD.
(2)解　過點B在平面BCD內作BE⊥BD，如圖所示．
由(1)知AB⊥平面BCD，BE 平面BCD，BD 平面BCD.
∴AB⊥BE，AB⊥BD.
以B為坐標原點，分別以，，的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系．
依題意，得B(0,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A(0,0,1)，M(0，，)，
則＝(1,1,0)，＝(0，，)，＝(0,1，－1)．
設平面MBC的法向量n＝(x0，y0，z0)，
則即
取z0＝1，得平面MBC的一個法向量n＝(1，－1,1)．
設直線AD與平面MBC所成角為θ，
則sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝，
即直線AD與平面MBC所成角的正弦值為.
*13.如圖，長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝CC1＝1，點P是CD上的一點，PC＝λPD.
(1)若A1C⊥平面PBC1，求λ的值；
(2)設λ1＝1，λ2＝3所對應的點P為P1，P2，二面角P1—BC1—P2的大小為θ，求cos θ的值．
解　方法一　(1)∵A1C⊥BC1，
若A1C⊥PB，則A1C⊥平面PBC1，只需A1C⊥PB即可，
在矩形ABCD中，＝，解得CP＝，PD＝，λ＝.
(2)過點C作CH⊥BC1交BC1于點H，連接P1H，P2H(圖略)，則∠P1HP2就是所求二面角的一個平面角θ.
∵P1C＝1，P2C＝，CH＝，
∴tan∠P1HC＝，tan∠P2HC＝，
tan θ＝tan(∠P2HC－∠P1HC)＝，
所求余弦值為.
方法二　(1)建立如圖所示空間直角坐標系Oxyz，
則B(1,2,0)，C1(0,2,1)，A1(1,0,1)，C(0,2,0)，
設P(0，，0)，
則＝(－1,2，－1)，＝(－1,0,1)，
＝(－1，－2,0)，
若A1C⊥平面PBC1，
則即
解得λ＝.
(2)由P1(0,1,0)，P2(0，，0)，
得＝(－1，－1,0)，＝(－1,0,1)，
＝(－1，－，0)．
設平面BC1P1與平面BC1P2的法向量分別是n1，n2，
由得n1＝(1，－1,1)，
由得n2＝(3，－2,3)，
∴cos θ＝＝＝.1、判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)平面的單位法向量是唯一確定的．(　　)
(2)若兩平面的法向量平行，則兩平面平行．(　　)
(3)若兩直線的方向向量不平行，則兩直線不平行．(　　)
(4)直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角．(　　)
(5)兩異面直線夾角的范圍是(0，]，直線與平面所成角的范圍是[0，]，二面角的范圍是[0，π]．(　　)
(6)若二面角α－a－β的兩個半平面α，β的法向量n1，n2所成角為θ，則二面角α－a－β的大小是π－θ.(　　)
2、已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，則下列向量是平面ABC法向量的是(　　)
A．(－1,1,1) B．(1，－1,1)
C．(－，－，－) D．(，，－)
3、如圖，在空間直角坐標系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，則直線BC1與直線AB1所成角的余弦值為(　　)
A. B.
C. D.
4、設u，v分別是平面α，β的法向量，u＝(－2,2,5)，當v＝(3，－2,2)時，α與β的位置關系為________；當v＝(4，－4，－10)時，α與β的位置關系為________．
5、如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點，N是A1B1的中點，則直線ON，AM的位置關系是________．
題型一　利用空間向量證明平行問題
例1 如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分別是線段PA，PD，CD的中點．求證：PB∥平面EFG.
引申探究
本例中條件不變，證明平面EFG∥平面PBC.
【同步練習】
1、正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是C1C，B1C1的中點．求證：MN∥平面A1BD.
題型二　利用空間向量證明垂直問題
例2　如圖，在多面體ABC－A1B1C1中，四邊形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC＝AB，B1C1綊BC，二面角A1－AB－C是直二面角．求證：
(1)A1B1⊥平面AA1C；
(2)AB1∥平面A1C1C.
【同步練習】
1、如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形，側面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD，設E，F分別為PC，BD的中點．
(1)求證：EF∥平面PAD；
(2)求證：平面PAB⊥平面PDC.
1．直線的方向向量與平面的法向量的確定
(1)直線的方向向量：在直線上任取一非零向量作為它的方向向量．
(2)平面的法向量可利用方程組求出：設a，b是平面α內兩不共線向量，n為平面α的法向量，則求法向量的方程組為
2．用向量證明空間中的平行關系
(1)設直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1∥l2(或l1與l2重合) v1∥v2.
(2)設直線l的方向向量為v，與平面α共面的兩個不共線向量v1和v2，則l∥α或l α 存在兩個實數x，y，使v＝xv1＋yv2.
(3)設直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l∥α或l α v⊥u.
(4)設平面α和β的法向量分別為u1，u2，則α∥β u1 ∥u2.
3．用向量證明空間中的垂直關系
(1)設直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1⊥l2 v1⊥v2 v1·v2＝0.
(2)設直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l⊥α v∥u.
(3)設平面α和β的法向量分別為u1和u2，則α⊥β u1⊥u2 u1·u2＝0.
4．兩條異面直線所成角的求法
設a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則
l1與l2所成的角θ a與b的夾角β
范圍 (0，] [0，π]
求法 cos θ＝ cos β＝
5.直線與平面所成角的求法
設直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為θ，a與n的夾角為β，則sin θ＝|cos β|＝.
6．求二面角的大小
(1)如圖①，AB，CD分別是二面角α－l－β的兩個面內與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝〈，〉．
(2)如圖②③，n1，n2分別是二面角α－l－β的兩個半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補角)．
題型三　利用空間向量求空間角
命題點1　求直線和平面所成的角
例3　如圖1，在Rt△ACB中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分別是AC，AB上的點，且DE∥BC，DE＝2，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如圖2.
(1)求證：A1C⊥平面BCDE；
(2)若M是A1D上的點，試確定點M的位置，使得直線CM與平面A1BE所成角的正弦值為.
命題點2　求二面角
例4　已知點E，F分別在正方體ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，則平面AEF與平面ABCD所成的二面角的正切值為________．
【同步練習】
1、如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M為線段AD上一點，AM＝2MD，N為PC的中點．
(1)證明MN∥平面PAB；
(2)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值．
2、如圖1所示，正△ABC的邊長為4，CD是AB邊上的高，E，F分別是AC和BC邊的中點，現將△ABC沿CD翻折成直二面角A－DC－B，如圖2所示．
(1)試判斷直線AB與平面DEF的位置關系，并說明理由；
(2)求二面角E－DF－C的余弦值；
(3)在線段BC上是否存在一點P，使AP⊥DE？證明你的結論．
一、證明垂直問題的方法
(1)利用已知的線面垂直關系構建空間直角坐標系，準確寫出相關點的坐標，從而將幾何證明轉化為向量運算．其中靈活建系是解題的關鍵．
(2)其一證明直線與直線垂直，只需要證明兩條直線的方向向量垂直；其二證明線面垂直，只需證明直線的方向向量與平面內不共線的兩個向量垂直即可，當然 ，也可證直線的方向向量與平面的法向量平行；其三證明面面垂直：①證明兩平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能證明一個平面內的一條直線的方向向量為另一個平面的法向量即可．
二、利用向量法求空間角的方法
(1)先求出直線的方向向量和平面的法向量，將求空間角轉化為求兩個向量的夾角．
(2)利用數量積求向量的夾角，然后根據和所求角的關系得到空間角，但要注意所求角的大小．
1．若平面α，β的法向量分別是n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，則(　　)
A．α∥β B．α⊥β
C．α，β相交但不垂直 D．以上答案均不正確
2．已知平面α內有一點M(1，－1,2)，平面α的一個法向量為n＝(6，－3,6)，則下列點P中，在平面α內的是(　　)
A．P(2,3,3) B．P(－2,0,1)
C．P(－4,4,0) D．P(3，－3,4)
3．若＝λ＋μ，則直線AB與平面CDE的位置關系是(　　)
A．相交 B．平行
C．在平面內 D．平行或在平面內
4．設u＝(－2,2，t)，v＝(6，－4,4)分別是平面α，β的法向量．若α⊥β，則t等于(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
5．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長為a，M，N分別為A1B和AC上的點，A1M＝AN＝，則MN與平面BB1C1C的位置關系是(　　)
A．斜交 B．平行 C．垂直 D．MN在平面BB1C1C內
6．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點E為BB1的中點，則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為(　　)
A. B. C. D.
7．已知平面α內的三點A(0，0，1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一個法向量n＝(－1，－1，－1)，則不重合的兩個平面α與β的位置關系是_______________．
8．已知點P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．對于結論：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正確的是________．
9.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E，F分別是棱BC，DD1上的點，如果B1E⊥平面ABF，則CE與DF的和的值為________．
*10.如圖，圓錐的軸截面SAB是邊長為2的等邊三角形，O為底面中心，M為SO中點，動點P在圓錐底面內(包括圓周)．若AM⊥MP，則點P形成的軌跡長度為________．
如圖所示，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且
AB＝AA1，D，E，F分別為B1A，C1C，BC的中點．求證：
(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF.
12．在平面四邊形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.將△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如圖所示．
(1)求證：AB⊥CD；(2)若M為AD中點，求直線AD與平面MBC所成角的正弦值．
*13.如圖，長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝CC1＝1，點P是CD上的一點，PC＝λPD.
(1)若A1C⊥平面PBC1，求λ的值；
(2)設λ1＝1，λ2＝3所對應的點P為P1，P2，二面角P1—BC1—P2的大小為θ，求cos θ的值．

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