資源簡介

2025年湖南省中考數學一輪復習
第二十二講　矩形、菱形、正方形 學生版
知識要點 對點練習
1.矩形的性質與判定 性質除具有平行四邊形的性質外,還有: (1)矩形的四個角都是 . (2)矩形的對角線 . (3)既是 圖形,又是軸對稱圖形. 判定(1)有一個角是 的平行四邊形. (2)對角線 的平行四邊形. (3)有三個角是 的四邊形.
1.(1)如圖,AC,BD是矩形ABCD的對角線,∠AOB=40°,則∠ACD的度數為( ) A.50° B.55° C.65° D.70° (2)下列條件能使平行四邊形ABCD是矩形的為 . ①AC⊥BD;②∠BAD=90°; ③AB=BC;④AC=BD.
2.菱形的性質與判定 性 質除具有平行四邊形的性質外,還有: (1)菱形的四條邊都 . (2)菱形的兩條對角線互相 ,并且每一條對角線平分 . (3)菱形的面積等于兩條對角線乘積的 . (4)既是 圖形,又是軸對稱圖形. 判 定(1)有一組鄰邊 的平行四邊形. (2)對角線互相 的平行四邊形. (3)四條邊 的四邊形.
2.(1)如圖,在菱形ABCD中,對角線AC,BD交于點O,下列說法錯誤的是( ) A.AB∥DC B.AB=BD C.AC⊥BD D.OA=OC (2)下列條件中,能判定四邊形是菱形的是( ) A.對角線相等的平行四邊形 B.對角線互相垂直且相等的四邊形 C.對角線互相平分且垂直的四邊形 D.對角線互相垂直的四邊形
3.正方形的性質與判定 性 質(1)正方形的四條邊都 . (2)正方形的四個角都是 . (3)正方形的兩條對角線 且互相 ,每一條對角線平分一組對角. (4)既是 圖形,又是軸對稱圖形. 判 定(1)有一組鄰邊 并且有一個角是 的平行四邊形. (2)有一組鄰邊 的矩形. (3)有一個角是 的菱形. (4)對角線相等且垂直的平行四邊形.
3.(1)如圖,在正方形ABCD中,E為對角線BD上一點,連接AE,CE, ∠BCE=70°,則∠EAD為( ) A.10° B.15° C.20° D.30° (2)(教材再開發·湘教八下P74練習T2改編)已知四邊形ABCD中, ∠A=∠B=∠C=90°,若添加一個條件即可判定該四邊形是正方形,那么這個條件可以是 .
考點1　矩形的性質與判定
【例1】(2024·甘肅中考)如圖,在矩形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,
∠ABD=60°,AB=2,則AC的長為( )
A.6　 B.5　 C.4　 D.3
【變式訓練】
1.(2024·成都中考)如圖,在矩形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,則下列結論一定正確的是( )
A.AB=AD　 B.AC⊥BD
C.AC=BD　 D.∠ACB=∠ACD
2.(2024·貴州中考)如圖,四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點O,AD∥BC,∠ABC=90°,有下列條件:
①AB∥CD,②AD=BC.
(1)請從以上①②中任選1個作為條件,求證:四邊形ABCD是矩形;
(2)在(1)的條件下,若AB=3,AC=5,求四邊形ABCD的面積.
考點2　菱形的性質與判定
【例2】(2024·呼倫貝爾中考)如圖,在平行四邊形ABCD中,點F在邊AD上,AB=AF,連接BF,點O為BF的中點,AO的延長線交邊BC于點E,連接EF.
(1)求證:四邊形ABEF是菱形;
(2)若平行四邊形ABCD的周長為22,CE=1,∠BAD=120°,求AE的長.
【方法技巧】
解決菱形有關問題的技巧
1.根據菱形性質轉化為三角形:菱形的一條對角線將菱形分為兩個全等的等腰三角形,兩條對角線將菱形分為四個全等的直角三角形;
2.菱形判定方法的選擇:若易得四邊形為平行四邊形,則再證一組鄰邊相等或對角線互相垂直;若相等的邊較多,則可證四條邊相等.
提醒:菱形的面積有兩種求法,可以底乘高,也可以對角線相乘再除以2.
【變式訓練】
1.(2024·自貢中考)如圖,以點A為圓心,適當的長為半徑畫弧,交∠A兩邊于點M,N,再分別以M,N為圓心,AM的長為半徑畫弧,兩弧交于點B,連接MB,NB.若∠A=40°,則∠MBN=( )
A.40°　 B.50°　 C.60°　 D.140°
2.(2024·廣安中考)如圖,菱形ABCD中,點E,F分別是AB,BC邊上的點,BE=BF,求證:∠DEF=∠DFE.
考點3　正方形的性質與判定
【例3】(教材原題·湘教版八年級下冊·P73例2)
如圖,已知點A',B',C',D'分別是正方形ABCD四條邊上的點,并且AA'=BB'=CC'=DD'.
求證:四邊形A'B'C'D'是正方形.
【思路點撥】根據正方形的性質及全等三角形的判定SAS判定△AA'D'≌△BB'A'≌△CC'B'≌△DD'C',從而得出四邊形A'B'C'D'是菱形,利用互余得出一個角為90°,再根據有一個角是90°的菱形是正方形,判定四邊形A'B'C'D'是正方形.
【變式訓練】
如圖,在矩形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,試添加一個條件: ,使得矩形ABCD為正方形.
1.(2023·湘潭中考)如圖,菱形ABCD中,連接AC,BD,若∠1=20°,則∠2的度數為( )
A.20° B.60° C.70° D.80°
2.(2022·株洲中考)如圖所示,在菱形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,過點C作CE∥BD交AB的延長線于點E,下列結論不一定正確的是( )
A.OB=CE
B.△ACE是直角三角形
C.BC=AE
D.BE=CE
3.(2023·常德中考)如圖,在正方形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,E,F分別為AO,DO上的一點,且EF∥AD,連接AF,DE.若∠FAC=15°,則∠AED的度數為( )
A.80° B.90° C.105° D.115°
4.(2023·懷化中考)如圖,點P是正方形ABCD的對角線AC上的一點,PE⊥AD于點E,PE=3.則點P到直線AB的距離為 .
5.(2024·長沙中考)如圖,在平行四邊形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,
∠ABC=90°.
(1)求證:AC=BD;
(2)點E在BC邊上,滿足∠CEO=∠COE.若AB=6,BC=8,求CE的長及tan∠CEO的值.
2025年湖南省中考數學一輪復習
第二十二講　矩形、菱形、正方形 教師版
知識要點 對點練習
1.矩形的性質與判定 性質除具有平行四邊形的性質外,還有: (1)矩形的四個角都是　直角　. (2)矩形的對角線　相等　. (3)既是　中心對稱　圖形,又是軸對稱圖形. 判定(1)有一個角是　直角　的平行四邊形. (2)對角線　相等　的平行四邊形. (3)有三個角是　直角　的四邊形.
1.(1)如圖,AC,BD是矩形ABCD的對角線,∠AOB=40°,則∠ACD的度數為(D) A.50° B.55° C.65° D.70° (2)下列條件能使平行四邊形ABCD是矩形的為　②④　. ①AC⊥BD;②∠BAD=90°; ③AB=BC;④AC=BD.
2.菱形的性質與判定 性 質除具有平行四邊形的性質外,還有: (1)菱形的四條邊都　相等　. (2)菱形的兩條對角線互相　垂直　,并且每一條對角線平分　一組對角　. (3)菱形的面積等于兩條對角線乘積的　一半　. (4)既是　中心對稱　圖形,又是軸對稱圖形. 判 定(1)有一組鄰邊　相等　的平行四邊形. (2)對角線互相　垂直　的平行四邊形. (3)四條邊　相等　的四邊形.
2.(1)如圖,在菱形ABCD中,對角線AC,BD交于點O,下列說法錯誤的是(B) A.AB∥DC B.AB=BD C.AC⊥BD D.OA=OC (2)下列條件中,能判定四邊形是菱形的是(C) A.對角線相等的平行四邊形 B.對角線互相垂直且相等的四邊形 C.對角線互相平分且垂直的四邊形 D.對角線互相垂直的四邊形
3.正方形的性質與判定 性 質(1)正方形的四條邊都　相等　. (2)正方形的四個角都是　直角　. (3)正方形的兩條對角線　相等　且互相　垂直平分　,每一條對角線平分一組對角. (4)既是　中心對稱　圖形,又是軸對稱圖形. 判 定(1)有一組鄰邊　相等　并且有一個角是　直角　的平行四邊形. (2)有一組鄰邊　相等　的矩形. (3)有一個角是　直角　的菱形. (4)對角線相等且垂直的平行四邊形.
3.(1)如圖,在正方形ABCD中,E為對角線BD上一點,連接AE,CE, ∠BCE=70°,則∠EAD為(C) A.10° B.15° C.20° D.30° (2)(教材再開發·湘教八下P74練習T2改編)已知四邊形ABCD中, ∠A=∠B=∠C=90°,若添加一個條件即可判定該四邊形是正方形,那么這個條件可以是　AB=AD或AC⊥BD等　.
考點1　矩形的性質與判定
【例1】(2024·甘肅中考)如圖,在矩形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,
∠ABD=60°,AB=2,則AC的長為(C)
A.6　 B.5　 C.4　 D.3
【變式訓練】
1.(2024·成都中考)如圖,在矩形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,則下列結論一定正確的是(C)
A.AB=AD　 B.AC⊥BD
C.AC=BD　 D.∠ACB=∠ACD
2.(2024·貴州中考)如圖,四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點O,AD∥BC,∠ABC=90°,有下列條件:
①AB∥CD,②AD=BC.
(1)請從以上①②中任選1個作為條件,求證:四邊形ABCD是矩形;
(2)在(1)的條件下,若AB=3,AC=5,求四邊形ABCD的面積.
【解析】(1)選擇①,∵AD∥BC,AB∥CD,
∴四邊形ABCD是平行四邊形,
∵∠ABC=90°,∴四邊形ABCD是矩形;
選擇②,∵AD∥BC,AD=BC,
∴四邊形ABCD是平行四邊形,
∵∠ABC=90°,∴四邊形ABCD是矩形;
(2)∵AB=3,AC=5,∠ABC=90°,
∴BC==4,
∴四邊形ABCD的面積=AB·BC=3×4=12.
考點2　菱形的性質與判定
【例2】(2024·呼倫貝爾中考)如圖,在平行四邊形ABCD中,點F在邊AD上,AB=AF,連接BF,點O為BF的中點,AO的延長線交邊BC于點E,連接EF.
(1)求證:四邊形ABEF是菱形;
(2)若平行四邊形ABCD的周長為22,CE=1,∠BAD=120°,求AE的長.
【自主解答】(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC,即AF∥BE,
∴∠AFB=∠EBF,∠FAE=∠BEA,
∵O為BF的中點,∴BO=FO,
∴△AOF≌△EOB(AAS),∴BE=FA,
∵AF∥BE,∴四邊形ABEF是平行四邊形,
又AB=AF,∴四邊形ABEF是菱形;
(2)∵AD=BC,AF=BE,∴DF=CE=1,
∵平行四邊形ABCD的周長為22,
∴菱形ABEF的周長為22-2=20,
∴AB=20÷4=5,∵四邊形ABEF是菱形,
∴∠BAE=∠BAD=×120°=60°,
又AB=AE,∴△ABE是等邊三角形,
∴AE=AB=5.
【方法技巧】
解決菱形有關問題的技巧
1.根據菱形性質轉化為三角形:菱形的一條對角線將菱形分為兩個全等的等腰三角形,兩條對角線將菱形分為四個全等的直角三角形;
2.菱形判定方法的選擇:若易得四邊形為平行四邊形,則再證一組鄰邊相等或對角線互相垂直;若相等的邊較多,則可證四條邊相等.
提醒:菱形的面積有兩種求法,可以底乘高,也可以對角線相乘再除以2.
【變式訓練】
1.(2024·自貢中考)如圖,以點A為圓心,適當的長為半徑畫弧,交∠A兩邊于點M,N,再分別以M,N為圓心,AM的長為半徑畫弧,兩弧交于點B,連接MB,NB.若∠A=40°,則∠MBN=(A)
A.40°　 B.50°　 C.60°　 D.140°
2.(2024·廣安中考)如圖,菱形ABCD中,點E,F分別是AB,BC邊上的點,BE=BF,求證:∠DEF=∠DFE.
【證明】∵四邊形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,∠A=∠C,
∵BE=BF,∴AE=CF,
在△DAE和△DCF中,
,∴△DAE≌△DCF(SAS),
∴DE=DF,∴∠DEF=∠DFE.
考點3　正方形的性質與判定
【例3】(教材原題·湘教版八年級下冊·P73例2)
如圖,已知點A',B',C',D'分別是正方形ABCD四條邊上的點,并且AA'=BB'=CC'=DD'.
求證:四邊形A'B'C'D'是正方形.
【思路點撥】根據正方形的性質及全等三角形的判定SAS判定△AA'D'≌△BB'A'≌△CC'B'≌△DD'C',從而得出四邊形A'B'C'D'是菱形,利用互余得出一個角為90°,再根據有一個角是90°的菱形是正方形,判定四邊形A'B'C'D'是正方形.
【證明】∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=DA.
又∵AA'=BB'=CC'=DD',
∴D'A=A'B=B'C=C'D.
又∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°,
∴△AA'D'≌△BB'A'≌△CC'B'≌△DD'C'(SAS).
∴A'D'=B'A'=C'B'=D'C',
∴四邊形A'B'C'D'是菱形.
又∵∠1=∠3,∠1+∠2=90°,
∴∠2+∠3=90°,∴∠D'A'B'=90°,
∴四邊形A'B'C'D'是正方形.
【變式訓練】
如圖,在矩形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,試添加一個條件:　答案不唯一,AC⊥BD或者AB=AD　,使得矩形ABCD為正方形.
1.(2023·湘潭中考)如圖,菱形ABCD中,連接AC,BD,若∠1=20°,則∠2的度數為(C)
A.20° B.60° C.70° D.80°
2.(2022·株洲中考)如圖所示,在菱形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,過點C作CE∥BD交AB的延長線于點E,下列結論不一定正確的是(D)
A.OB=CE
B.△ACE是直角三角形
C.BC=AE
D.BE=CE
3.(2023·常德中考)如圖,在正方形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,E,F分別為AO,DO上的一點,且EF∥AD,連接AF,DE.若∠FAC=15°,則∠AED的度數為(C)
A.80° B.90° C.105° D.115°
4.(2023·懷化中考)如圖,點P是正方形ABCD的對角線AC上的一點,PE⊥AD于點E,PE=3.則點P到直線AB的距離為　3　.
5.(2024·長沙中考)如圖,在平行四邊形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,
∠ABC=90°.
(1)求證:AC=BD;
(2)點E在BC邊上,滿足∠CEO=∠COE.若AB=6,BC=8,求CE的長及tan∠CEO的值.
【解析】(1)因為四邊形ABCD是平行四邊形,且∠ABC=90°,所以四邊形ABCD是矩形,所以AC=BD;
(2)在Rt△ABC中,AB=6,BC=8,
所以AC===10,
因為四邊形ABCD是矩形,
所以CO=AC=5,OB=OC.
因為∠CEO=∠COE,
所以CE=CO=5.過點O作OF⊥BC于點F,則CF=BC=4,
所以EF=CE-CF=5-4=1,
在Rt△COF中,OF===3,
所以tan∠CEO==3.
跟蹤診斷,請使用“高效提分作業”
- 11 -

展開更多......

收起↑