資源簡介

2025年湖南省中考數學一輪復習
第十九講　等腰三角形與直角三角形 學生版
知識要點
1.等腰三角形的性質與判定
等腰三角形 性質 等腰三角形的 相等
等邊對等角:等腰三角形的兩底角
三線合一:等腰三角形的頂角平分線,底邊上的中線,底邊上的高
等腰三角形是軸對稱圖形,只有 對稱軸
判定 有 邊相等的三角形是等腰三角形
等角對等邊:有 角相等的三角形是等腰三角形
等邊三角形 性質 等邊三角形的三邊
等邊三角形的三個角相等,且都等于
等邊三角形是軸對稱圖形,有三條對稱軸,即三邊的
判定 邊都相等的三角形是等邊三角形
角都相等的三角形是等邊三角形
有一個角是 的等腰三角形是等邊三角形
對點練習
1.(1)如圖,∠B,∠C的平分線相交于F,過點F作DE∥BC,交AB于D,交AC于E,那么下列結論正確的是( )
①△BDF,△CEF都是等腰三角形;
②DE=BD+CE;
③△ADE的周長為AB+AC;
④BD=CE.
A.③④ B.①②
C.①②③ D.②③④
(2)已知在△ABC中,AB=AC=4,∠A=60°,則△ABC的周長為 .
知識要點
2.線段垂直平分線(中垂線)的性質與判定
(1)性質:線段垂直平分線上的點到這條線段 的距離相等;
(2)判定:到線段 距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.
對點練習
2.(教材再開發·湘教八上P72習題T1改編)在△ABC中,∠C=31°,∠ABC的平分線BD交AC于點D,如果DE垂直平分BC,那么∠A的度數為( )
A.31° B.62° C.87° D.93°
知識要點
3.直角三角形的性質與判定
性質 直角三角形的兩個銳角
30°角所對的直角邊等于 的一半
直角三角形斜邊上的中線等于 的一半
勾股定理:直角三角形中兩直角邊的 等于斜邊的平方
判定 兩個銳角 的三角形是直角三角形
勾股定理的逆定理:若三角形三邊長a,b,c滿足 ,則這個三角形是直角三角形
對點練習
3.(1)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=5,CD是AB邊上的中線,則CD的長是( )
A.20 B.10 C.5 D.
(2)直角三角形兩條直角邊的長分別為8和6,則斜邊上的高為 .
知識要點
4.命題與定理
(1)真命題:題設成立,結論 的命題;
(2)假命題:題設成立,不能保證結論 的命題;
(3)互逆命題:一個命題的題設和結論分別是另一個命題的 ,這兩個命題稱為互逆命題;
(4)互逆定理:若一個定理的逆命題是 的,那么它就是這個定理的逆定理,這兩個定理為互逆定理.
對點練習
4.(教材再開發·湘教八上P52T3改編)下列命題中,逆命題是真命題的是( )
A.等腰三角形的兩邊長是3和7,則其周長為17
B.直角三角形三條邊的比是3∶4∶5
C.全等三角形的面積相等
D.若x=1,則x2=1
考點1　等腰三角形的性質與判定
【例1】(2024·長沙模擬)如圖,在△ABC中,點E在AB上,點D在BC上,BD=BE,∠BAD=∠BCE,AD與CE相交于點F.
(1)證明:BA=BC;
(2)求證:△AFC為等腰三角形.
【變式訓練】
1.(2024·運城一模)木工師傅將一個等腰直角三角尺和一個鉛錘如圖放置(斜邊與水平面平行,直角頂點在橫梁上),就能檢查一根橫梁是否水平,能解釋這一現象的數學知識是( )
A.垂線段最短
B.等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相重合
C.角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等
D.線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等
2.(2024·海淀二模)如圖,l1∥l2,點A在l1上,以點A為圓心,適當長度為半徑畫弧,分別交l1,l2于點B,C,連接AC,BC.若∠1=40°,則∠ABC的大小為( )
A.80°　 B.75°　 C.70°　 D.65°
考點2　線段垂直平分線的性質與判定
【例2】(2022·衡陽中考)如圖,在△ABC中,分別以點A和點B為圓心,大于AB的長為半徑作圓弧,兩弧相交于點M和點N,作直線MN交CB于點D,連接AD.若AC=8,BC=15,則△ACD的周長為 .
【方法技巧】
線段垂直平分線的應用技巧
(1)兩組相等的線段:
①線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等;
②被垂直平分的線段,被分成兩條相等的線段.
(2)一個常用輔助線:證題時,連接垂直平分線上的點和線段的端點,可以得到等腰三角形.
(3)在尺規作圖中的應用:利用尺規作出線段的垂直平分線,可以得到一條直線的垂線或一個線段的中點.
【變式訓練】
(2023·婁底婁星區一模)在等腰△ABC中,AB=AC=4,按如圖所示的痕跡進行尺規作圖得到直線DE,交AC于點D,交AB于點E,連接CE,已知CE=BC,取BE的中點F,連接DF,則DF= .
考點3　等邊三角形的性質與判定
【例3】(2023·益陽市赫山區模擬)如圖,已知P是等邊△ABC中BC邊上一點.
(1)過點P作PE∥AC,求證:△BPE為等邊三角形;
(2)連接AP,以P為頂點作∠APQ=60°,PQ交∠C的外角平分線于點Q,連接AQ,那么△APQ是什么三角形 證明你的結論.
【思路點撥】(1)由△ABC是等邊三角形得∠B=∠BAC=∠BCA=60°,再由PE∥AC得∠BPE=∠BCA=60°,即可證明結論成立;
(2)證明△AEP≌△PCQ,得AP=PQ,再由∠APQ=60°,即可證明△APQ為等邊三角形.
【方法技巧】
等邊三角形性質與判定的總結
(1)等邊三角形中蘊含的“三”:
三邊相等,三角相等,有三條對稱軸,三線合一,連接三邊中點可以把等邊三角形分成四個全等的小等邊三角形等.
(2)判定等邊三角形的三種思路:
①證三角形的三條邊相等;
②證三角形的三個角相等;
③先證三角形的一個角為60°,再證兩條邊相等.
【變式訓練】
1.(2023·永州道縣一模)一個等邊三角形,一個直角三角形以及一個等腰三角形如圖放置,等腰三角形的底角∠3=80°,則∠1+∠2= .
2.(2024·濰坊中考)如圖,在直角坐標系中,等邊三角形ABC的頂點A的坐標為(0,4),點B,C均在x軸上.將△ABC繞頂點A逆時針旋轉30°得到△AB'C',則點C'的坐標為 ( ) .
考點4　命題與定理
【例4】(2024·無錫中考)命題“若a>b,則a-3【方法技巧】
判斷命題真假的方法
對于命題真假(正誤)的判斷問題,一般只需根據熟記的定義、公式、性質、判定定理等相關內容直接作出判斷即可,有的則需要經過必要的推理與計算才能進一步確定真假.
【變式訓練】
下列命題是真命題的是( )
A.相等的兩個角是對頂角
B.相等的圓周角所對的弧相等
C.若aD.在一個不透明的箱子里放有1個白球和2個紅球,它們除顏色外其余都相同,從箱子里任意摸出1個球,摸到白球的概率是
考點5　直角三角形的性質與判定(一題多設問)
【例5】已知Rt△ABC中,∠ACB=90°.
(1)若∠A=4∠B,則∠A的度數為 .
(2)如圖,若∠B=30°,AD是△ABC的角平分線,求證:BD=2CD.
(3)如圖,CD是AB邊的中線,CE是BD邊的中線,當DE=2時,則CD的長為 .
(4)如圖,若CA=BD=CB=2,AD=2.
①求AB的長;
②求△ABD的面積.
【滿分技法】
1.直角三角形性質的四個應用:
(1)可利用直角三角形兩銳角互余;
(2)在直角三角形中,有30°銳角可考慮其所對直角邊等于斜邊的一半;
(3)在直角三角形中,若有斜邊中點,可考慮直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半;
(4)在一個題目中,若直角三角形較多,可考慮利用等面積的方法求線段的長度.
2.勾股定理常見應用與技巧:
(1)已知直角三角形的任意兩個邊長,可直接利用勾股定理求得第三條邊長.
(2)已知三角形的三邊長,可運用勾股定理的逆定理確定此三角形是否為直角三角形.
(3)立體圖形表面的最短路徑問題,可將立體圖形展開,構造直角三角形后利用勾股定理求解.
1.(2024·湖南中考)下列命題中,正確的是( )
A.兩點之間,線段最短
B.菱形的對角線相等
C.正五邊形的外角和為720°
D.直角三角形是軸對稱圖形
2.(2022·永州中考)如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠C=60°,點D為邊AC的中點,BD=2,則BC的長為( )
A. B.2 C.2 D.4
3.(2021·益陽中考)如圖,AB∥CD,△ACE為等邊三角形,∠DCE=40°,則∠EAB等于( )
A.40° B.30° C.20° D.15°
4.(2022·永州中考)我國古代數學家趙爽創制了一幅“趙爽弦圖”,極富創新意識地給出了勾股定理的證明.如圖所示,“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形.若大正方形的面積是25,小正方形的面積是1,則AE= .
5.(2024·長沙中考)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=2,AC=2,分別以點A,B為圓心,大于AB的長為半徑畫弧,兩弧分別交于點M和N,作直線MN分別交AB,BC于點D,E,連接CD,AE.
(1)求CD的長;
(2)求△ACE的周長.
2025年湖南省中考數學一輪復習
第十九講　等腰三角形與直角三角形 教師版
知識要點
1.等腰三角形的性質與判定
等腰三角形 性質 等腰三角形的　兩腰　相等
等邊對等角:等腰三角形的兩底角　相等　
三線合一:等腰三角形的頂角平分線,底邊上的中線,底邊上的高　相互重合　
等腰三角形是軸對稱圖形,只有　一條　對稱軸
判定 有　兩條　邊相等的三角形是等腰三角形
等角對等邊:有　兩個　角相等的三角形是等腰三角形
等邊三角形 性質 等邊三角形的三邊　相等　
等邊三角形的三個角相等,且都等于　60°　
等邊三角形是軸對稱圖形,有三條對稱軸,即三邊的　垂直平分線　
判定 　三條　邊都相等的三角形是等邊三角形
　三個　角都相等的三角形是等邊三角形
有一個角是　60°　的等腰三角形是等邊三角形
對點練習
1.(1)如圖,∠B,∠C的平分線相交于F,過點F作DE∥BC,交AB于D,交AC于E,那么下列結論正確的是(C)
①△BDF,△CEF都是等腰三角形;
②DE=BD+CE;
③△ADE的周長為AB+AC;
④BD=CE.
A.③④ B.①②
C.①②③ D.②③④
(2)已知在△ABC中,AB=AC=4,∠A=60°,則△ABC的周長為　12　.
知識要點
2.線段垂直平分線(中垂線)的性質與判定
(1)性質:線段垂直平分線上的點到這條線段　兩個端點　的距離相等;
(2)判定:到線段　兩個端點　距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.
對點練習
2.(教材再開發·湘教八上P72習題T1改編)在△ABC中,∠C=31°,∠ABC的平分線BD交AC于點D,如果DE垂直平分BC,那么∠A的度數為(C)
A.31° B.62° C.87° D.93°
知識要點
3.直角三角形的性質與判定
性質 直角三角形的兩個銳角　互余　
30°角所對的直角邊等于　斜邊　的一半
直角三角形斜邊上的中線等于　斜邊　的一半
勾股定理:直角三角形中兩直角邊的　平方和　等于斜邊的平方
判定 兩個銳角　互余　的三角形是直角三角形
勾股定理的逆定理:若三角形三邊長a,b,c滿足　a2+b2=c2　,則這個三角形是直角三角形
對點練習
3.(1)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=5,CD是AB邊上的中線,則CD的長是(C)
A.20 B.10 C.5 D.
(2)直角三角形兩條直角邊的長分別為8和6,則斜邊上的高為　4.8　.
知識要點
4.命題與定理
(1)真命題:題設成立,結論　一定成立　的命題;
(2)假命題:題設成立,不能保證結論　一定成立　的命題;
(3)互逆命題:一個命題的題設和結論分別是另一個命題的　結論和題設　,這兩個命題稱為互逆命題;
(4)互逆定理:若一個定理的逆命題是　正確　的,那么它就是這個定理的逆定理,這兩個定理為互逆定理.
對點練習
4.(教材再開發·湘教八上P52T3改編)下列命題中,逆命題是真命題的是(B)
A.等腰三角形的兩邊長是3和7,則其周長為17
B.直角三角形三條邊的比是3∶4∶5
C.全等三角形的面積相等
D.若x=1,則x2=1
考點1　等腰三角形的性質與判定
【例1】(2024·長沙模擬)如圖,在△ABC中,點E在AB上,點D在BC上,BD=BE,∠BAD=∠BCE,AD與CE相交于點F.
(1)證明:BA=BC;
(2)求證:△AFC為等腰三角形.
【證明】(1)在△ABD和△CBE中,
,
∴△ABD≌△CBE(AAS),
∴BA=BC;
(2)∵BA=BC,
∴∠BAC=∠BCA,
∵∠BAD=∠BCE,
∴∠FAC=∠FCA,
∴FA=FC,
∴△AFC為等腰三角形.
【變式訓練】
1.(2024·運城一模)木工師傅將一個等腰直角三角尺和一個鉛錘如圖放置(斜邊與水平面平行,直角頂點在橫梁上),就能檢查一根橫梁是否水平,能解釋這一現象的數學知識是(B)
A.垂線段最短
B.等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相重合
C.角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等
D.線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等
2.(2024·海淀二模)如圖,l1∥l2,點A在l1上,以點A為圓心,適當長度為半徑畫弧,分別交l1,l2于點B,C,連接AC,BC.若∠1=40°,則∠ABC的大小為(C)
A.80°　 B.75°　 C.70°　 D.65°
考點2　線段垂直平分線的性質與判定
【例2】(2022·衡陽中考)如圖,在△ABC中,分別以點A和點B為圓心,大于AB的長為半徑作圓弧,兩弧相交于點M和點N,作直線MN交CB于點D,連接AD.若AC=8,BC=15,則△ACD的周長為　23　.
【方法技巧】
線段垂直平分線的應用技巧
(1)兩組相等的線段:
①線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等;
②被垂直平分的線段,被分成兩條相等的線段.
(2)一個常用輔助線:證題時,連接垂直平分線上的點和線段的端點,可以得到等腰三角形.
(3)在尺規作圖中的應用:利用尺規作出線段的垂直平分線,可以得到一條直線的垂線或一個線段的中點.
【變式訓練】
(2023·婁底婁星區一模)在等腰△ABC中,AB=AC=4,按如圖所示的痕跡進行尺規作圖得到直線DE,交AC于點D,交AB于點E,連接CE,已知CE=BC,取BE的中點F,連接DF,則DF=　2　.
考點3　等邊三角形的性質與判定
【例3】(2023·益陽市赫山區模擬)如圖,已知P是等邊△ABC中BC邊上一點.
(1)過點P作PE∥AC,求證:△BPE為等邊三角形;
(2)連接AP,以P為頂點作∠APQ=60°,PQ交∠C的外角平分線于點Q,連接AQ,那么△APQ是什么三角形 證明你的結論.
【思路點撥】(1)由△ABC是等邊三角形得∠B=∠BAC=∠BCA=60°,再由PE∥AC得∠BPE=∠BCA=60°,即可證明結論成立;
(2)證明△AEP≌△PCQ,得AP=PQ,再由∠APQ=60°,即可證明△APQ為等邊三角形.
【自主解答】(1)∵△ABC是等邊三角形,
∴∠B=∠BAC=∠BCA=60°,
∵PE∥AC,∴∠BPE=∠BCA=60°,
∴∠B=∠BPE=∠BEP=60°,
∴△BPE為等邊三角形;
(2)△APQ是等邊三角形,證明如下:
∵△ABC是等邊三角形,△BPE為等邊三角形,∴AB=BC,BP=PE=BE,∠BEP=∠ACB=60°,∴AE=AB-BE,PC=BC-BP,∴AE=PC,∵∠BEP=∠ACB=60°,∠BEP+∠AEP=180°,CQ平分∠ACB的補角,∴∠AEP=120°=60°+60°=60°+=∠PCQ,
∵∠BAP+∠APE=60°,∠CPQ+∠APE=180°-60°-60°=60°,∴∠BAP=∠CPQ,
∴△AEP≌△PCQ(ASA),∴AP=PQ,
∵∠APQ=60°,∴△APQ為等邊三角形.
【方法技巧】
等邊三角形性質與判定的總結
(1)等邊三角形中蘊含的“三”:
三邊相等,三角相等,有三條對稱軸,三線合一,連接三邊中點可以把等邊三角形分成四個全等的小等邊三角形等.
(2)判定等邊三角形的三種思路:
①證三角形的三條邊相等;
②證三角形的三個角相等;
③先證三角形的一個角為60°,再證兩條邊相等.
【變式訓練】
1.(2023·永州道縣一模)一個等邊三角形,一個直角三角形以及一個等腰三角形如圖放置,等腰三角形的底角∠3=80°,則∠1+∠2=　130°　.
2.(2024·濰坊中考)如圖,在直角坐標系中,等邊三角形ABC的頂點A的坐標為(0,4),點B,C均在x軸上.將△ABC繞頂點A逆時針旋轉30°得到△AB'C',則點C'的坐標為 (4,4-)　.
考點4　命題與定理
【例4】(2024·無錫中考)命題“若a>b,則a-3【方法技巧】
判斷命題真假的方法
對于命題真假(正誤)的判斷問題,一般只需根據熟記的定義、公式、性質、判定定理等相關內容直接作出判斷即可,有的則需要經過必要的推理與計算才能進一步確定真假.
【變式訓練】
下列命題是真命題的是(D)
A.相等的兩個角是對頂角
B.相等的圓周角所對的弧相等
C.若aD.在一個不透明的箱子里放有1個白球和2個紅球,它們除顏色外其余都相同,從箱子里任意摸出1個球,摸到白球的概率是
考點5　直角三角形的性質與判定(一題多設問)
【例5】已知Rt△ABC中,∠ACB=90°.
(1)若∠A=4∠B,則∠A的度數為　72°　.
(2)如圖,若∠B=30°,AD是△ABC的角平分線,求證:BD=2CD.
【自主解答】△ABC中,∵∠C=90°,∠B=30°,
∴∠BAC=90°-30°=60°,
∵AD是△ABC的角平分線,∴∠BAD=∠CAD=×60°=30°,
∴∠BAD=∠B,∴BD=AD,
在Rt△ACD中,∵∠CAD=30°,
∴AD=2CD,∴BD=2CD.
(3)如圖,CD是AB邊的中線,CE是BD邊的中線,當DE=2時,則CD的長為　4　.
(4)如圖,若CA=BD=CB=2,AD=2.
①求AB的長;
②求△ABD的面積.
【自主解答】①∵∠C=90°,AC=BC=2,
∴AB===2,
∴AB的長為2;
②∵AB2+BD2=(2)2+22=12,AD2=(2)2=12,
∴AB2+BD2=AD2,
∴△ABD是直角三角形,∠ABD=90°,
∴△ABD的面積=AB·BD
=×2×2
=2.
【滿分技法】
1.直角三角形性質的四個應用:
(1)可利用直角三角形兩銳角互余;
(2)在直角三角形中,有30°銳角可考慮其所對直角邊等于斜邊的一半;
(3)在直角三角形中,若有斜邊中點,可考慮直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半;
(4)在一個題目中,若直角三角形較多,可考慮利用等面積的方法求線段的長度.
2.勾股定理常見應用與技巧:
(1)已知直角三角形的任意兩個邊長,可直接利用勾股定理求得第三條邊長.
(2)已知三角形的三邊長,可運用勾股定理的逆定理確定此三角形是否為直角三角形.
(3)立體圖形表面的最短路徑問題,可將立體圖形展開,構造直角三角形后利用勾股定理求解.
1.(2024·湖南中考)下列命題中,正確的是(A)
A.兩點之間,線段最短
B.菱形的對角線相等
C.正五邊形的外角和為720°
D.直角三角形是軸對稱圖形
2.(2022·永州中考)如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠C=60°,點D為邊AC的中點,BD=2,則BC的長為(C)
A. B.2 C.2 D.4
3.(2021·益陽中考)如圖,AB∥CD,△ACE為等邊三角形,∠DCE=40°,則∠EAB等于(C)
A.40° B.30° C.20° D.15°
4.(2022·永州中考)我國古代數學家趙爽創制了一幅“趙爽弦圖”,極富創新意識地給出了勾股定理的證明.如圖所示,“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形.若大正方形的面積是25,小正方形的面積是1,則AE=　3　.
5.(2024·長沙中考)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=2,AC=2,分別以點A,B為圓心,大于AB的長為半徑畫弧,兩弧分別交于點M和N,作直線MN分別交AB,BC于點D,E,連接CD,AE.
(1)求CD的長;
(2)求△ACE的周長.
【解析】(1)由作圖過程可知,直線MN為線段AB的垂直平分線,
∴點D為AB的中點,
∴CD=AB=.
(2)在Rt△ABC中,由勾股定理得,BC===4.
∵直線MN為線段AB的垂直平分線,
∴EA=EB.
∴△ACE的周長為AC+CE+EA=AC+CE+EB=AC+BC=2+4=6.
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