資源簡介

判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面區域一定在直線Ax＋By＋C＝0的上方．(　×　)
(2)點(x1，y1)，(x2，y2)在直線Ax＋By＋C＝0同側的充要條件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0，異側的充要條件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.(　√　)
(3)第二、四象限表示的平面區域可以用不等式xy<0表示．(　√　)
(4)線性目標函數的最優解是唯一的．(　×　)
(5)最優解指的是使目標函數取得最大值或最小值的可行解．(　√　)
(6)目標函數z＝ax＋by(b≠0)中，z的幾何意義是直線ax＋by－z＝0在y軸上的截距．(　×　)
題型一　二元一次不等式(組)表示的平面區域
命題點1　不含參數的平面區域問題
例1　(1)不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐標平面內表示的區域(用陰影部分表示)，應是下列圖形中的(　　)
(2)不等式組所表示的平面區域的面積等于(　　)
A. B. C. D.
答案　(1)C　(2)C
解析　(1)(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0
或畫出平面區域后，只有C符合題意．
(2)由題意得不等式組表示的平面區域如圖陰影部分，A(0，)，B(1,1)，C(0,4)，則△ABC的面積為×1×＝.故選C.
命題點2　含參數的平面區域問題
例2　(1)若不等式組表示的平面區域為三角形，且其面積等于，則m的值為(　　)
A．－3 B．1 C. D．3
(2)若不等式組所表示的平面區域被直線y＝kx＋分為面積相等的兩部分，則k的值是_________________．
答案　(1)B　(2)
解析　(1) 不等式組表示的平面區域如圖，則圖中A點縱坐標yA＝1＋m，B點縱坐標yB＝，
C點橫坐標xC＝－2m，
∴S△ABD＝S△ACD－S△BCD＝×(2＋2m)×(1＋m)－×(2＋2m)×＝＝，
∴m＝1或m＝－3，當m＝－3時，不滿足題意應舍去，
∴m＝1.
(2)不等式組表示的平面區域如圖所示．
由于直線y＝kx＋過定點.因此只有直線過AB中點時，直線y＝kx＋能平分平面區域．
因為A(1,1)，B(0,4)，所以AB中點D.
當y＝kx＋過點時，＝＋，
所以k＝.
思維升華　(1)求平面區域的面積：
①首先畫出不等式組表示的平面區域，若不能直接畫出，應利用題目的已知條件轉化為不等式組問題，從而再作出平面區域；
②對平面區域進行分析，若為三角形應確定底與高，若為規則的四邊形(如平行四邊形或梯形)，可利用面積公式直接求解，若為不規則四邊形，可分割成幾個三角形分別求解再求和即可．
(2)利用幾何意義求解的平面區域問題，也應作出平面圖形，利用數形結合的方法去求解．
　(1)不等式組表示的平面區域為Ω，直線y＝kx－1與區域Ω有公共點，則實數k的取值范圍為(　　)
A．(0,3] B．[－1,1]
C．(－∞，3] D．[3，＋∞)
(2)已知約束條件表示面積為1的直角三角形區域，則實數k的值為(　　)
A．1 B．－1 C．0 D．－2
答案　(1)D　(2)A
解析　(1)直線y＝kx－1過定點M(0，－1)，由圖可知，當直線y＝kx－1經過直線y＝x＋1與直線x＋y＝3的交點C(1,2)時，k最小，此時kCM＝＝3，因此k≥3，即k∈[3，＋∞)．故選D.
(2)由于x＝1與x＋y－4＝0不可能垂直，所以只可能x＋y－4＝0與kx－y＝0垂直或x＝1與kx－y＝0垂直．
①當x＋y－4＝0與kx－y＝0垂直時，k＝1，檢驗知三角形區域面積為1，即符合要求．
②當x＝1與kx－y＝0垂直時，k＝0，檢驗不符合要求．
題型二　求目標函數的最值問題
命題點1　求線性目標函數的最值
例3　(1)若x，y滿足約束條件 則z＝x＋y的最大值為________．
(2)已知實數x，y滿足：z＝|2x－2y－1|，則z的取值范圍是(　　)
A．[，5] B．[0,5]
C．[0,5) D．[，5)
答案　(1)　(2)C
解析　(1)滿足約束條件的可行域為以A(－2，－1)，B(0,1)，C為頂點的三角形內部及邊界，則y＝－x＋z過點C時Z取得最大值.
(2)由約束條件作可行域如圖，
聯立解得　∴A(2，－1)，
聯立解得∴B(，)．
令u＝2x－2y－1，則y＝x－－，由圖可知，當y＝x－－經過點A(2，－1)時，直線y＝x－－在y軸上的截距最小，u最大，最大值為2×2－2×(－1)－1＝5；當y＝x－－經過點B(，)時，直線y＝x－－在y軸上的截距最大，u最小，最小值為2×－2×－1＝－.
∴－≤u<5，∴z＝|u|∈[0,5)．
命題點2　求非線性目標函數的最值
例4　實數x，y滿足
(1)若z＝，求z的最大值和最小值，并求z的取值范圍；
(2)若z＝x2＋y2，求z的最大值與最小值，并求z的取值范圍．
解　由作出可行域，
如圖中陰影部分所示．
(1)z＝表示可行域內任一點與坐標原點連線的斜率，
因此的范圍為直線OB的斜率到直線OA的斜率(直線OA的斜率不存在，即zmax不存在)．
由得B(1,2)，
∴kOB＝＝2，即zmin＝2，
∴z的取值范圍是[2，＋∞)．
(2)z＝x2＋y2表示可行域內的任意一點與坐標原點之間距離的平方．
因此x2＋y2的最小值為OA2，最大為OB2.
由得A(0,1)，
∴OA2＝()2＝1，
∴zmax＝5，OB2＝()2＝5，
∴z的取值范圍是[1,5]．
引申探究
1．若z＝，求z的取值范圍．
解　z＝可以看作過點P(1,1)及(x，y)兩點的直線的斜率．
∴z的取值范圍是(－∞，0]．
2．若z＝x2＋y2－2x－2y＋3.求z的最大值、最小值．
解　z＝x2＋y2－2x－2y＋3
＝(x－1)2＋(y－1)2＋1，
而(x－1)2＋(y－1)2表示點P(1,1)與Q(x，y)的距離的平方PQ2，(PQ)＝(0－1)2＋(2－1)2＝2，
(PQ)＝()2＝，
∴zmax＝2＋1＝3，zmin＝＋1＝.
命題點3　求參數值或取值范圍
例5　(1)已知x，y滿足約束條件若z＝ax＋y的最大值為4，則a等于(　　)
A．3 B．2 C．－2 D．－3
(2)已知a>0，x，y滿足約束條件若z＝2x＋y的最小值為1，則a＝________.
答案　(1)B　(2)
解析　(1)不等式組表示的平面區域如圖陰影部分所示．
易知A(2,0)，
由得B(1,1)．
由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z.
∴當a＝－2或a＝－3時，z＝ax＋y在O(0,0)處取得最大值，最大值為zmax＝0，不滿足題意，排除C，D選項；當a＝2或3時，z＝ax＋y在A(2,0)處取得最大值，
∴2a＝4，∴a＝2，排除A，故選B.
(2)作出不等式組表示的可行域，如圖(陰影部分)．
易知直線z＝2x＋y過交點A時，z取最小值，
由得
∴zmin＝2－2a＝1，解得a＝.
思維升華　(1)先準確作出可行域，再借助目標函數的幾何意義求目標函數的最值．
(2)當目標函數是非線性的函數時，常利用目標函數的幾何意義來解題，常見代數式的幾何意義：
①表示點(x，y)與原點(0,0)的距離，表示點(x，y)與點(a，b)的距離；
②表示點(x，y)與原點(0,0)連線的斜率，表示點(x，y)與點(a，b)連線的斜率．
(3)當目標函數中含有參數時，要根據臨界位置確定參數所滿足的條件．
　(1)若x，y滿足約束條件則z＝x－y的最小值是(　　)
A．－3 B．0 C. D．3
(2)當實數x，y滿足時，1≤ax＋y≤4恒成立，則實數a的取值范圍是________．
答案　(1)A　(2)[1，]
解析　(1) 作出不等式組表示的可行域(如圖所示的△ABC的邊界及內部)．
平移直線z＝x－y，易知當直線z＝x－y經過點C(0,3)時，目標函數z＝x－y取得最小值，即zmin＝－3.
(2)畫可行域如圖所示，設目標函數z＝ax＋y，即y＝－ax＋z，要使1≤z≤4恒成立，則a>0，數形結合知，滿足即可，解得1≤a≤.所以a的取值范圍是[1，]．
題型三　線性規劃的實際應用問題
例6　某高科技企業生產產品A和產品B需要甲、乙兩種新型材料．生產一件產品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5個工時；生產一件產品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3個工時．生產一件產品A的利潤為2 100元，生產一件產品B的利潤為900元．該企業現有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過600個工時的條件下，生產產品A、產品B的利潤之和的最大值為________元．
答案　216 000
解析　設生產A產品x件，B產品y件，根據所耗費的材料要求、工時要求等其他限制條件，得線性約束條件為
目標函數z＝2 100x＋900y.
作出可行域為圖中的四邊形，
包括邊界，頂點為(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)，在(60,100)處取得最大值，zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．
思維升華　解線性規劃應用問題的一般步驟
(1)審題：仔細閱讀材料，抓住關鍵，準確理解題意，明確有哪些限制條件，借助表格或圖形理清變量之間的關系．
(2)設元：設問題中起關鍵作用(或關聯較多的)量為未知量x，y，并列出相應的不等式組和目標函數．
(3)作圖：準確作出可行域，平移找點(最優解)．
(4)求解：代入目標函數求解(最大值或最小值)．
(5)檢驗：根據結果，檢驗反饋．
　某校今年計劃招聘女教師a名，男教師b名，若a，b滿足不等式組設這所學校今年計劃招聘教師最多x名，則x等于(　　)
A．10 B．12 C．13 D．16
答案　C
解析　如圖所示，畫出約束條件所表示的區域，即可行域，作直線l：b＋a＝0，平移直線l，再由a，b∈N，可知當a＝6，b＝7時，xmax＝a＋b＝13.
11．二元一次不等式表示的平面區域
(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐標系中表示直線Ax＋By＋C＝0某一側所有點組成的平面區域．我們把直線畫成虛線以表示區域不包括邊界直線．當我們在坐標系中畫不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面區域時，此區域應包括邊界直線，則把邊界直線畫成實線．
(2)由于對直線Ax＋By＋C＝0同一側的所有點(x，y)，把它的坐標(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符號都相同，所以只需在此直線的同一側取一個特殊點(x0，y0)作為測試點，由Ax0＋By0＋C的符號即可判斷Ax＋By＋C>0表示的直線是Ax＋By＋C＝0哪一側的平面區域．
2．線性規劃相關概念
名稱 意義
約束條件 由變量x，y組成的一次不等式
線性約束條件 由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式組
目標函數 欲求最大值或最小值的函數
線性目標函數 關于x，y的一次解析式
可行解 滿足線性約束條件的解
可行域 所有可行解組成的集合
最優解 使目標函數取得最大值或最小值的可行解
線性規劃問題 在線性約束條件下求線性目標函數的最大值或最小值問題
【知識拓展】
1．畫二元一次不等式表示的平面區域的直線定界，特殊點定域：
(1)直線定界：不等式中無等號時直線畫成虛線，有等號時直線畫成實線；
(2)特殊點定域：若直線不過原點，特殊點常選原點；若直線過原點，則特殊點常選取(0,1)或(1,0)來驗證．
2．利用“同號上，異號下”判斷二元一次不等式表示的平面區域：
對于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，則有
(1)當B(Ax＋By＋C)>0時，區域為直線Ax＋By＋C＝0的上方；
(2)當B(Ax＋By＋C)<0時，區域為直線Ax＋By＋C＝0的下方．
3．最優解和可行解的關系：
最優解必定是可行解，但可行解不一定是最優解．最優解不一定唯一，有時唯一，有時有多個．
典例　(1)在直角坐標系xOy中，若不等式組表示一個三角形區域，則實數k的取值范圍是________．
(2)已知x，y滿足約束條件若z＝ax＋y的最大值為4，則a＝________.
錯解展示
解析　(1) 如圖，直線y＝k(x－1)－1過點(1，－1)，
作出直線y＝2x，當k<－1或02時，不等式組表示一個三角形區域．
(2)由不等式組表示的可行域，可知z＝ax＋y在點A(1,1)處取到最大值4，
∴a＋1＝4，∴a＝3.
答案　(1)(－∞，－1)∪(0,2)∪(2，＋∞)　(2)3
現場糾錯
解析　(1)直線y＝k(x－1)－1過定點(1，－1)，當這條直線的斜率為負值時，該直線與y軸的交點必須在坐標原點上方，即直線的斜率為(－∞，－1)，只有此時可構成三角形區域．
(2) 作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示．
由得A(1,1)．
z＝ax＋y等價于y＝－ax＋z，
因為z的最大值為4，
即直線y＝－ax＋z的縱截距最大為4.
若z＝ax＋y在A(1,1)處取得最大值，
則縱截距必小于2，
故只有直線y＝－ax＋z過點(2,0)且－a<0時符合題意，
∴4＝a×2＋0，即a＝2.
答案　(1)(－∞，－1)　(2)2
糾錯心得　(1)含參數的平面區域問題，要結合直線的各種情況進行分析，不能憑直覺解答．
(2)目標函數含參的線性規劃問題，要根據z的幾何意義確定最優解，切忌搞錯符號.
1．下列各點中，不在x＋y－1≤0表示的平面區域內的是(　　)
A．(0,0) B．(－1,1)
C．(－1,3) D．(2，－3)
答案　C
解析　把各點的坐標代入可得(－1,3)不適合，故選C.
2．不等式組表示的平面區域是(　　)
答案　C
解析　用特殊點代入，比如(0,0)，容易判斷為C.
3．若x，y滿足則2x＋y的最大值為(　　)
A．0 B．3 C．4 D．5
答案　C
解析　不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示．令z＝2x＋y，則y＝－2x＋z，作直線2x＋y＝0并平移，當直線過點A時，截距最大，即z取得最大值，
由得所以A點坐標為(1,2)，可得2x＋y的最大值為2×1＋2＝4.
4．設實數x，y滿足不等式組若z＝2x＋y，則z的最大值等于________，z的最小值等于________．
答案　2　0
解析　作出可行域(圖略)，由y＝－2x＋z，知當z＝2x＋y經過點(1,0)時，zmax＝2；
當z＝2x＋y經過點(0,0)時，zmin＝0.
1．已知點(－3，－1)和點(4，－6)在直線3x－2y－a＝0的兩側，則a的取值范圍為(　　)
A．(－24,7) B．(－7,24)
C．(－∞，－7)∪(24，＋∞) D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)
答案　B
解析　由[3×(－3)－2×(－1)－a]·[3×4－2×(－6)－a]<0，
得(a＋7)(a－24)<0，∴－72．已知實數x，y滿足條件則的最大值為(　　)
A．2 B．1 C. D.
答案　A
解析　可行域表示的是以(0,0)，(1,0)，(0,2)為頂點的三角形區域(含邊界).表示可行域內一點(x，y)到原點的距離，易知(0,2)到原點的最大距離為2，故選A.
3．若不等式組表示的平面區域是一個三角形，則a的取值范圍是(　　)
A. B．(0,1]
C. D．(0,1]∪
答案　D
解析　不等式組表示的平面區域如圖(陰影部分)，
求A，B兩點的坐標分別為和(1,0)，若原不等式組表示的平面區域是一個三角形，則a的取值范圍是0＜a≤1或a≥.
4．在平面上，過點P作直線l的垂線所得的垂足稱為點P在直線l上的投影．由區域 中的點在直線x＋y－2＝0上的投影構成的線段記為AB，則AB等于(　　)
A．2 B．4 C．3 D．6
答案　C
解析　已知不等式組表示的平面區域如圖中△PMQ所示．
因為直線x＋y－2＝0與直線x＋y＝0平行，所以區域內的點在直線x＋y－2＝0上的投影構成線段AB，則AB＝PQ.
由解得P(－1,1)，
由解得Q(2，－2)．
所以AB＝PQ＝＝3.
5．設變量x，y滿足約束條件則目標函數z＝2x＋5y的最小值為(　　)
A．－4 B．6 C．10 D．17
答案　B
解析　由約束條件作出可行域如圖所示，
目標函數可化為y＝－x＋z，
在圖中畫出直線y＝－x，
平移該直線，易知經過點A時z最小．
又知點A的坐標為(3,0)，
∴zmin＝2×3＋5×0＝6.故選B.
6．某公司生產甲、乙兩種桶裝產品．已知生產甲產品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生產乙產品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲產品的利潤是300元，每桶乙產品的利潤是400元．公司在生產這兩種產品的計劃中，要求每天消耗A、B原料都不超過12千克．通過合理安排生產計劃，從每天生產的甲、乙兩種產品中，公司共可獲得的最大利潤是(　　)
A．1 800元 B．2 400元
C．2 800元 D．3 100元
答案　C
解析　設每天生產甲種產品x桶，乙種產品y桶，
則根據題意得x、y滿足的約束條件為
設獲利z元，
則z＝300x＋400y.
畫出可行域如圖．
畫出直線l：300x＋400y＝0，
即3x＋4y＝0.
平移直線l，從圖中可知，當直線過點M時，
目標函數取得最大值．
由解得　即M的坐標為(4,4)，
∴zmax＝300×4＋400×4＝2 800(元)．故選C.
7．已知x，y滿足約束條件若z＝y－ax取得最大值的最優解不唯一，則實數a的值為(　　)
A.或－1 B．2或
C．2或1 D．2或－1
答案　D
解析　如圖，由y＝ax＋z知z的幾何意義是直線在y軸上的截距，
故當a>0時，要使z＝y－ax取得最大值的最優解不唯一，則a＝2；
當a<0時，要使z＝y－ax取得最大值的最優解不唯一，則a＝－1.
8．已知實數x，y滿足約束條件則ω＝的最小值是(　　)
A．－2 B．2
C．－1 D．1
答案　D
解析　作出不等式組對應的平面區域如圖，
ω＝的幾何意義是區域內的點P(x，y)與定點A(0，－1)所在直線的斜率，
由圖象可知當P位于點D(1,0)時，直線AP的斜率最小，此時ω＝的最小值為＝1.
故選D.
9．若關于x，y的不等式組表示的平面區域是等腰直角三角形，則其表示的平面區域的面積為______．
答案　或
解析　直線kx－y＋1＝0過點(0,1)，要使不等式組表示的區域為直角三角形，只有直線kx－y＋1＝0垂直于y軸(如圖(1))或與直線x＋y＝0垂直(如圖(2))時才符合題意．所以S＝×1×1＝或S＝××＝.
10．已知變量x，y滿足約束條件若目標函數z＝ax＋y(其中a>0)僅在點(3,0)處取得最大值，則a的取值范圍是__________．
答案　
解析　畫出x、y滿足約束條件的可行域如圖所示，
要使目標函數z＝ax＋y僅在點(3,0)處取得最大值，則直線y＝－ax＋z的斜率應小于直線x＋2y－3＝0的斜率，即－a<－，
∴a>.
11．設x，y滿足約束條件則的取值范圍是________．
答案　[3,11]
解析　設z＝＝＝1＋2·，
設z′＝，則z′的幾何意義為動點P(x，y)到定點D(－1，－1)的斜率．畫出可行域如圖陰影部分所示，則易得z′∈[kDA，kDB]，即z′∈[1,5]，∴z＝1＋2·z′∈[3,11]．
*12.設不等式組表示的平面區域為M，點P(x，y)是平面區域內的動點，則z＝2x－y的最大值是________，若直線l：y＝k(x＋2)上存在區域M內的點，則k的取值范圍是________．
答案　2　[，1]
解析　不等式組對應的平面區域是以點(1,1)，(1,3)和(2,2)為頂點的三角形，當z＝2x－y經過點(2,2)時取得最大值2.又k＝經過點(1,1)時取得最小值，經過點(1,3)時取得最大值1，所以k的取值范圍是[，1]．
13. 已知D是以點A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3，2)為頂點的三角形區域(包括邊界與內部)．如圖所示．
(1)寫出表示區域D的不等式組；
(2)設點B(－1，－6)，C(－3,2)在直線4x－3y－a＝0的異側，求a的取值范圍．
解　(1)直線AB，AC，BC的方程分別為7x－5y－23＝0，x＋7y－11＝0,4x＋y＋10＝0.
原點(0,0)在區域D內，故表示區域D的不等式組為
(2)根據題意有[4×(－1)－3×(－6)－a][4×(－3)－3×2－a]<0，
即(14－a)(－18－a)<0，
解得－1814．某客運公司用A、B兩種型號的車輛承擔甲、乙兩地間的長途客運業務，每輛車每天往返一次．A、B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，從甲地去乙地的營運成本分別為1 600元/輛和2 400元/輛，公司擬組建一個不超過21輛車的客運車隊，并要求B型車不多于A型車7輛．若每天運送人數不少于900，且使公司從甲地去乙地的營運成本最小，那么應配備A型車、B型車各多少輛？
解　設A型、B型車輛分別為x、y輛，相應營運成本為z元，則z＝1 600x＋2 400y.
由題意，得x，y滿足約束條件
作出可行域如圖陰影部分所示，可行域的三個頂點坐標分別為P(5，12)，Q(7,14)，R(15,6)．
由圖可知，當直線z＝1 600x＋2 400y經過可行域的點P時，直線z＝1 600x＋2 400y在y軸上的截距最小，即z取得最小值．
故應配備A型車5輛、B型車12輛，可以滿足公司從甲地去乙地的營運成本最小．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面區域一定在直線Ax＋By＋C＝0的上方．(　 　)
(2)點(x1，y1)，(x2，y2)在直線Ax＋By＋C＝0同側的充要條件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0，異側的充要條件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.(　 　)
(3)第二、四象限表示的平面區域可以用不等式xy<0表示．(　 　)
(4)線性目標函數的最優解是唯一的．(　 　)
(5)最優解指的是使目標函數取得最大值或最小值的可行解．(　 　)
(6)目標函數z＝ax＋by(b≠0)中，z的幾何意義是直線ax＋by－z＝0在y軸上的截距．(　 　)
題型一　二元一次不等式(組)表示的平面區域
命題點1　不含參數的平面區域問題
例1　(1)不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐標平面內表示的區域(用陰影部分表示)，應是下列圖形中的(　　)
(2)不等式組所表示的平面區域的面積等于(　　)
A. B. C. D.
命題點2　含參數的平面區域問題
例2　(1)若不等式組表示的平面區域為三角形，且其面積等于，則m的值為(　　)
A．－3 B．1 C. D．3
(2)若不等式組所表示的平面區域被直線y＝kx＋分為面積相等的兩部分，則k的值是_________________．
　(1)不等式組表示的平面區域為Ω，直線y＝kx－1與區域Ω有公共點，則實數k的取值范圍為(　　)
A．(0,3] B．[－1,1]
C．(－∞，3] D．[3，＋∞)
(2)已知約束條件表示面積為1的直角三角形區域，則實數k的值為(　　)
A．1 B．－1 C．0 D．－2
題型二　求目標函數的最值問題
命題點1　求線性目標函數的最值
例3　(1)若x，y滿足約束條件 則z＝x＋y的最大值為________．
(2)已知實數x，y滿足：z＝|2x－2y－1|，則z的取值范圍是(　　)
A．[，5] B．[0,5]
C．[0,5) D．[，5)
命題點2　求非線性目標函數的最值
例4　實數x，y滿足
(1)若z＝，求z的最大值和最小值，并求z的取值范圍；
(2)若z＝x2＋y2，求z的最大值與最小值，并求z的取值范圍．
引申探究
1．若z＝，求z的取值范圍．
2．若z＝x2＋y2－2x－2y＋3.求z的最大值、最小值．
命題點3　求參數值或取值范圍
例5　(1)已知x，y滿足約束條件若z＝ax＋y的最大值為4，則a等于(　　)
A．3 B．2 C．－2 D．－3
(2)已知a>0，x，y滿足約束條件若z＝2x＋y的最小值為1，則a＝________.
　(1)若x，y滿足約束條件則z＝x－y的最小值是(　　)
A．－3 B．0 C. D．3
(2)當實數x，y滿足時，1≤ax＋y≤4恒成立，則實數a的取值范圍是________．
題型三　線性規劃的實際應用問題
某高科技企業生產產品A和產品B需要甲、乙兩種新型材料．生產一件產品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5個工時；生產一件產品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3個工時．生產一件產品A的利潤為2 100元，生產一件產品B的利潤為900元．該企業現有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過600個工時的條件下，生產產品A、產品B的利潤之和的最大值為________元．
　某校今年計劃招聘女教師a名，男教師b名，若a，b滿足不等式組設這所學校今年計劃招聘教師最多x名，則x等于(　　)
A．10 B．12 C．13 D．16
11．二元一次不等式表示的平面區域
(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐標系中表示直線Ax＋By＋C＝0某一側所有點組成的平面區域．我們把直線畫成虛線以表示區域不包括邊界直線．當我們在坐標系中畫不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面區域時，此區域應包括邊界直線，則把邊界直線畫成實線．
(2)由于對直線Ax＋By＋C＝0同一側的所有點(x，y)，把它的坐標(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符號都相同，所以只需在此直線的同一側取一個特殊點(x0，y0)作為測試點，由Ax0＋By0＋C的符號即可判斷Ax＋By＋C>0表示的直線是Ax＋By＋C＝0哪一側的平面區域．
2．線性規劃相關概念
名稱 意義
約束條件 由變量x，y組成的一次不等式
線性約束條件 由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式組
目標函數 欲求最大值或最小值的函數
線性目標函數 關于x，y的一次解析式
可行解 滿足線性約束條件的解
可行域 所有可行解組成的集合
最優解 使目標函數取得最大值或最小值的可行解
線性規劃問題 在線性約束條件下求線性目標函數的最大值或最小值問題
【知識拓展】
1．畫二元一次不等式表示的平面區域的直線定界，特殊點定域：
(1)直線定界：不等式中無等號時直線畫成虛線，有等號時直線畫成實線；
(2)特殊點定域：若直線不過原點，特殊點常選原點；若直線過原點，則特殊點常選取(0,1)或(1,0)來驗證．
2．利用“同號上，異號下”判斷二元一次不等式表示的平面區域：
對于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，則有
(1)當B(Ax＋By＋C)>0時，區域為直線Ax＋By＋C＝0的上方；
(2)當B(Ax＋By＋C)<0時，區域為直線Ax＋By＋C＝0的下方．
3．最優解和可行解的關系：
最優解必定是可行解，但可行解不一定是最優解．最優解不一定唯一，有時唯一，有時有多個．
典例　(1)在直角坐標系xOy中，若不等式組表示一個三角形區域，則實數k的取值范圍是________．
(2)已知x，y滿足約束條件若z＝ax＋y的最大值為4，則a＝________.
1．下列各點中，不在x＋y－1≤0表示的平面區域內的是(　　)
A．(0,0) B．(－1,1)
C．(－1,3) D．(2，－3)
2．不等式組表示的平面區域是(　　)
3．若x，y滿足則2x＋y的最大值為(　　)
4．設實數x，y滿足不等式組若z＝2x＋y，則z的最大值等于________，z的最小值等于________．
1．已知點(－3，－1)和點(4，－6)在直線3x－2y－a＝0的兩側，則a的取值范圍為(　　)
A．(－24,7) B．(－7,24)
C．(－∞，－7)∪(24，＋∞) D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)
2．已知實數x，y滿足條件則的最大值為(　　)
A．2 B．1 C. D.
3．若不等式組表示的平面區域是一個三角形，則a的取值范圍是(　　)
A. B．(0,1]
C. D．(0,1]∪
4．在平面上，過點P作直線l的垂線所得的垂足稱為點P在直線l上的投影．由區域 中的點在直線x＋y－2＝0上的投影構成的線段記為AB，則AB等于(　　)
A．2 B．4 C．3 D．6
5．設變量x，y滿足約束條件則目標函數z＝2x＋5y的最小值為(　　)
A．－4 B．6 C．10 D．17
6．某公司生產甲、乙兩種桶裝產品．已知生產甲產品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生產乙產品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲產品的利潤是300元，每桶乙產品的利潤是400元．公司在生產這兩種產品的計劃中，要求每天消耗A、B原料都不超過12千克．通過合理安排生產計劃，從每天生產的甲、乙兩種產品中，公司共可獲得的最大利潤是(　　)
A．1 800元 B．2 400元
C．2 800元 D．3 100元
7．已知x，y滿足約束條件若z＝y－ax取得最大值的最優解不唯一，則實數a的值為(　　)
A.或－1 B．2或
C．2或1 D．2或－1
8．已知實數x，y滿足約束條件則ω＝的最小值是(　　)
A．－2 B．2
C．－1 D．1
9．若關于x，y的不等式組表示的平面區域是等腰直角三角形，則其表示的平面區域的面積為______．
10．已知變量x，y滿足約束條件若目標函數z＝ax＋y(其中a>0)僅在點(3,0)處取得最大值，則a的取值范圍是__________．
11．設x，y滿足約束條件則的取值范圍是________．
*12.設不等式組表示的平面區域為M，點P(x，y)是平面區域內的動點，則z＝2x－y的最大值是________，若直線l：y＝k(x＋2)上存在區域M內的點，則k的取值范圍是________．
13. 已知D是以點A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3，2)為頂點的三角形區域(包括邊界與內部)．如圖所示．
(1)寫出表示區域D的不等式組；
(2)設點B(－1，－6)，C(－3,2)在直線4x－3y－a＝0的異側，求a的取值范圍．
14．某客運公司用A、B兩種型號的車輛承擔甲、乙兩地間的長途客運業務，每輛車每天往返一次．A、B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，從甲地去乙地的營運成本分別為1 600元/輛和2 400元/輛，公司擬組建一個不超過21輛車的客運車隊，并要求B型車不多于A型車7輛．若每天運送人數不少于900，且使公司從甲地去乙地的營運成本最小，那么應配備A型車、B型車各多少輛？

展開更多......

收起↑