資源簡介

1、判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)用數(shù)學歸納法證明問題時，第一步是驗證當n＝1時結論成立．(　×　)
(2)所有與正整數(shù)有關的數(shù)學命題都必須用數(shù)學歸納法證明．(　×　)
(3)用數(shù)學歸納法證明問題時，歸納假設可以不用．(　×　)
(4)不論是等式還是不等式，用數(shù)學歸納法證明時，由n＝k到n＝k＋1時，項數(shù)都增加了一項．(　×　)
(5)用數(shù)學歸納法證明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，驗證n＝1時，左邊式子應為1＋2＋22＋23.(　√　)
(6)用數(shù)學歸納法證明凸n邊形的內(nèi)角和公式時，n0＝3.(　√　)
2、用數(shù)學歸納法證明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝ (a≠1，n∈N*)，在驗證n＝1時，等式左邊的項是(　　)
A．1 B．1＋a
C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3
答案　C
解析　當n＝1時，n＋1＝2，
∴左邊＝1＋a1＋a2＝1＋a＋a2.
3、已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學歸納法證明1－＋－＋…－＝2(＋＋…＋)時，若已假設n＝k(k≥2且k為偶數(shù))時命題為真，則還需要用歸納假設再證(　　)
A．n＝k＋1時等式成立
B．n＝k＋2時等式成立
C．n＝2k＋2時等式成立
D．n＝2(k＋2)時等式成立
答案　B
解析　因為n為正偶數(shù)，n＝k時等式成立，
即n為第k個偶數(shù)時命題成立，
所以需假設n為下一個偶數(shù)，即n＝k＋2時等式成立．
4、在應用數(shù)學歸納法證明凸n邊形的對角線為n(n－3)條時，第一步檢驗n等于(　　)
A．1 B．2
C．3 D．0
答案　C
解析　凸n邊形邊數(shù)最小時是三角形，
故第一步檢驗n＝3.
5、已知{an}滿足an＋1＝a－nan＋1，n∈N*，且a1＝2，則a2＝________，a3＝________，a4＝________，猜想an＝________.
答案　3　4　5　n＋1
無
題型一　用數(shù)學歸納法證明等式
例1　設f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)．求證：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．
證明　①當n＝2時，左邊＝f(1)＝1，
右邊＝2(1＋－1)＝1，
左邊＝右邊，等式成立．
②假設n＝k(k≥2，k∈N*)時，結論成立，即
f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，
那么，當n＝k＋1時，
f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)
＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k
＝(k＋1)[f(k＋1)－]－k
＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，
∴當n＝k＋1時結論成立．
由①②可知當n∈N*時，f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．
【同步練習】
1、用數(shù)學歸納法證明：
＋＋…＋＝(n∈N*)．
證明　①當n＝1時，左邊＝＝，
右邊＝＝，
左邊＝右邊，等式成立．
②假設n＝k(k≥1，k∈N*)時，等式成立．
即＋＋…＋＝，
當n＝k＋1時，
左邊＝＋＋…＋＋
＝＋
＝
＝
＝，
右邊＝
＝，
左邊＝右邊，等式成立．
即對所有n∈N*，原式都成立．
題型二　用數(shù)學歸納法證明不等式
例2　等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知對任意的n∈N*，點(n，Sn)均在函數(shù)y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均為常數(shù))的圖象上．
(1)求r的值；
(2)當b＝2時，記bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，證明：對任意的n∈N*，不等式··…·>成立．
(1)解　由題意，Sn＝bn＋r，
當n≥2時，Sn－1＝bn－1＋r.
所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)．
由于b>0且b≠1，
所以n≥2時，{an}是以b為公比的等比數(shù)列．
又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，
所以＝b，即＝b，解得r＝－1.
(2)證明　由(1)及b＝2知an＝2n－1.
因此bn＝2n(n∈N*)，
所證不等式為··…·>.
①當n＝1時，左式＝，右式＝，
左式>右式，所以結論成立．
②假設n＝k(k≥1，k∈N*)時結論成立，
即··…·>，
則當n＝k＋1時，
··…··>·＝，
要證當n＝k＋1時結論成立，
只需證≥，
即證≥，
由基本不等式得＝≥成立，
故≥成立，
所以當n＝k＋1時，結論成立．
由①②可知，當n∈N*時，不等式··…·>成立．
【同步練習】
1、若函數(shù)f(x)＝x2－2x－3，定義數(shù)列{xn}如下：x1＝2，xn＋1是過點P(4,5)、Qn(xn，f(xn))的直線PQn與x軸的交點的橫坐標，試運用數(shù)學歸納法證明：2≤xn證明　①當n＝1時，x1＝2，f(x1)＝－3，Q1(2，－3)．
所以直線PQ1的方程為y＝4x－11，
令y＝0，得x2＝，因此2≤x1即n＝1時結論成立．
②假設當n＝k時，結論成立，即2≤xk當n＝k＋1時，直線PQk＋1的方程為y－5＝·(x－4)．
又f(xk＋1)＝x－2xk＋1－3，
代入上式，令y＝0，
得xk＋2＝＝4－，
由歸納假設，2xk＋2－xk＋1＝>0，
即xk＋1所以2≤xk＋1即當n＝k＋1時，結論成立．
由①②知對任意的正整數(shù)n,2≤xn數(shù)學歸納法
一般地，證明一個與正整數(shù)n有關的命題，可按下列步驟進行：
(1)(歸納奠基)證明當n取第一個值n0(n0∈N*)時命題成立；
(2)(歸納遞推)假設n＝k(k≥n0，k∈N*)時命題成立，證明當n＝k＋1時命題也成立．
只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立．
題型三　歸納—猜想—證明
命題點1　與函數(shù)有關的證明問題
例3　已知數(shù)列{xn}滿足x1＝，xn＋1＝，n∈N*.猜想數(shù)列{x2n}的單調(diào)性，并證明你的結論．
解　由x1＝及xn＋1＝，
得x2＝，x4＝，x6＝，
由x2>x4>x6，猜想：數(shù)列{x2n}是遞減數(shù)列．
下面用數(shù)學歸納法證明：
①當n＝1時，已證命題成立．
②假設當n＝k時命題成立，即x2k>x2k＋2，
易知xk>0，那么
x2k＋2－x2k＋4＝－
＝
＝
＝>0，
即x2(k＋1)>x2(k＋1)＋2.
所以當n＝k＋1時命題也成立．
結合①②知，對于任何n∈N*命題成立．
命題點2　與數(shù)列有關的證明問題
例4　在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N*，λ>0)．
(1)求a2，a3，a4；
(2)猜想{an }的通項公式，并加以證明．
解　(1)a2＝2λ＋λ2＋2(2－λ)＝λ2＋22，
a3＝λ(λ2＋22)＋λ3＋(2－λ)22＝2λ3＋23，
a4＝λ(2λ3＋23)＋λ4＋(2－λ)23＝3λ4＋24.
(2)由(1)可猜想數(shù)列通項公式為：
an＝(n－1)λn＋2n.
下面用數(shù)學歸納法證明：
①當n＝1,2,3,4時，等式顯然成立，
②假設當n＝k(k≥4，k∈N*)時等式成立，
即ak＝(k－1)λk＋2k，
那么當n＝k＋1時，
ak＋1＝λak＋λk＋1＋(2－λ)2k
＝λ(k－1)λk＋λ2k＋λk＋1＋2k＋1－λ2k
＝(k－1)λk＋1＋λk＋1＋2k＋1
＝[(k＋1)－1]λk＋1＋2k＋1，
所以當n＝k＋1時，ak＋1＝[(k＋1)－1]λk＋1＋2k＋1，猜想成立，
由①②知數(shù)列的通項公式為an＝(n－1)λn＋2n(n∈N*，λ>0)．
命題點3　存在性問題的證明
例5　設a1＝1，an＋1＝＋b(n∈N*)．
(1)若b＝1，求a2，a3及數(shù)列{an}的通項公式；
(2)若b＝－1，問：是否存在實數(shù)c使得a2n解　(1)方法一　a2＝2，a3＝＋1.
再由題設條件知(an＋1－1)2－(an－1)2＝1.
從而{(an－1)2}是首項為0，公差為1的等差數(shù)列，
故(an－1)2＝n－1，即an＝＋1(n∈N*)．
方法二　a2＝2，a3＝＋1.
可寫為a1＝＋1，a2＝＋1，a3＝＋1.
因此猜想an＝＋1.
下面用數(shù)學歸納法證明上式：
當n＝1時結論顯然成立．
假設n＝k時結論成立，即ak＝＋1，
則ak＋1＝＋1＝＋1
＝＋1.
所以當n＝k＋1時結論成立．
所以an＝＋1(n∈N*)．
(2)方法一　設f(x)＝－1，
則an＋1＝f(an)．
令c＝f(c)，即c＝－1，
解得c＝.
下面用數(shù)學歸納法證明加強命題：
a2n當n＝1時，a2＝f(1)＝0，a3＝f(a2)＝f(0)＝－1，
所以a2<假設n＝k時結論成立，即a2k易知f(x)在(－∞，1]上為減函數(shù)，從而c＝f(c)>f(a2k＋1)>f(1)＝a2，即1>c>a2k＋2>a2.
再由f(x)在(－∞，1]上為減函數(shù)，得c＝f(c)因此a2(k＋1)這就是說，當n＝k＋1時結論成立．
綜上，符合條件的c存在，其中一個值為c＝.
方法二　設f(x)＝－1，
則an＋1＝f(an)．
先證：0≤an≤1(n∈N*)． ①
當n＝1時，結論顯然成立．
假設n＝k時結論成立，即0≤ak≤1.
易知f(x)在(－∞，1]上為減函數(shù)，從而
0＝f(1)≤f(ak)≤f(0)＝－1<1，
即0≤ak＋1≤1.
這就是說，當n＝k＋1時結論成立．
故①成立．
再證：a2n當n＝1時，a2＝f(1)＝0，a3＝f(a2)＝f(0)＝－1，
有a2假設n＝k時，結論成立，即a2k由①及f(x)在(－∞，1]上為減函數(shù)，得
a2k＋1＝f(a2k)>f(a2k＋1)＝a2k＋2，
a2(k＋1)＝f(a2k＋1)這就是說，當n＝k＋1時②成立，
所以②對一切n∈N*成立．
由②得a2n<－1，
即(a2n＋1)2因此a2n<. ③
又由①②及f(x)在(－∞，1]上為減函數(shù)，
得f(a2n)>f(a2n＋1)，即a2n＋1>a2n＋2，
所以a2n＋1>－1.
解得a2n＋1>. ④
綜上，由②③④知存在c＝使得a2n【同步練習】
1、已知集合X＝{1,2,3}，Yn＝{1,2,3，…，n}(n∈N*)，設Sn＝{(a，b)|a整除b或b整除a，a∈X，b∈Yn}，令f(n)表示集合Sn所含元素的個數(shù)．
(1)寫出f(6)的值；
(2)當n≥6時，寫出f(n)的表達式，并用數(shù)學歸納法證明．
解　(1)Y6＝{1,2,3,4,5,6}，S6中的元素(a，b)滿足：
若a＝1，則b＝1,2,3,4,5,6；若a＝2，則b＝1,2,4,6；
若a＝3，則b＝1,3,6.所以f(6)＝13.
(2)當n≥6時，
f(n)＝(t∈N*)．
下面用數(shù)學歸納法證明：
①當n＝6時，f(6)＝6＋2＋＋＝13，結論成立；
②假設n＝k(k≥6)時結論成立，那么n＝k＋1時，Sk＋1在Sk的基礎上新增加的元素在(1，k＋1)，(2，k＋1)，(3，k＋1)中產(chǎn)生，分以下情形討論：
(ⅰ)若k＋1＝6t，則k＝6(t－1)＋5，此時有
f(k＋1)＝f(k)＋3＝k＋2＋＋＋3
＝(k＋1)＋2＋＋，結論成立；
(ⅱ)若k＋1＝6t＋1，則k＝6t，此時有
f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋＋＋1
＝(k＋1)＋2＋＋，結論成立；
(ⅲ)若k＋1＝6t＋2，則k＝6t＋1，此時有
f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋＋＋2
＝(k＋1)＋2＋＋，結論成立；
(ⅳ)若k＋1＝6t＋3，則k＝6t＋2，此時有
f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋＋＋2
＝(k＋1)＋2＋＋，結論成立；
(ⅴ)若k＋1＝6t＋4，則k＝6t＋3，此時有
f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋＋＋2
＝(k＋1)＋2＋＋，結論成立；
(ⅵ)若k＋1＝6t＋5，則k＝6t＋4，此時有
f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋＋＋1
＝(k＋1)＋2＋＋，結論成立．
綜上所述，結論對滿足n≥6的自然數(shù)n均成立．
例6 數(shù)列{an}滿足Sn＝2n－an(n∈N*)．
(1)計算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通項公式an；
(2)證明(1)中的猜想．
思維點撥　(1)由S1＝a1算出a1；由an＝Sn－Sn－1算出a2，a3，a4，觀察所得數(shù)值的特征猜出通項公式．
(2)用數(shù)學歸納法證明．
規(guī)范解答
(1)解　當n＝1時，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1；
當n＝2時，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝；
當n＝3時，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝；
當n＝4時，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4，
∴a4＝. [3分]
由此猜想an＝(n∈N*)． [5分]
(2)證明　①當n＝1時，a1＝1，結論成立． [6分]
②假設n＝k(k≥1且k∈N*)時，結論成立，
即ak＝，
那么n＝k＋1時， [9分]
ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak
＝2＋ak－ak＋1，
∴2ak＋1＝2＋ak. [11分]
∴ak＋1＝＝＝.
∴當n＝k＋1時，結論成立． [13分]
由①②知猜想an＝(n∈N*)成立． [14分]
一、用數(shù)學歸納法證明恒等式應注意
(1)明確初始值n0的取值并驗證n＝n0時等式成立．
(2)由n＝k證明n＝k＋1時，弄清左邊增加的項，且明確變形目標．
(3)掌握恒等變形常用的方法：①因式分解；②添拆項；③配方法．
二、數(shù)學歸納法證明不等式的適用范圍及關鍵
(1)適用范圍：當遇到與正整數(shù)n有關的不等式證明時，若用其他辦法不容易證，則可考慮應用數(shù)學歸納法．
(2)關鍵：由n＝k時命題成立證n＝k＋1時命題也成立，在歸納假設使用后可運用比較法、綜合法、分析法、放縮法等來加以證明，充分應用基本不等式、不等式的性質等放縮技巧，使問題得以簡化．
三、思歸納—猜想—證明問題的一般步驟
第一步：計算數(shù)列前幾項或特殊情況，觀察規(guī)律猜測數(shù)列的通項或一般結論；
第二步：驗證一般結論對第一個值n0(n0∈N*)成立；
第三步：假設n＝k(k≥n0，k∈N*)時結論成立，證明當n＝k＋1時結論也成立；
第四步：下結論，由上可知結論對任意n≥n0，n∈N*成立.
1．如果命題p(n)對n＝k(k∈N*)成立，則它對n＝k＋2也成立．若p(n)對n＝2也成立，則下列結論正確的是(　　)
A．p(n)對所有正整數(shù)n都成立
B．p(n)對所有正偶數(shù)n都成立
C．p(n)對所有正奇數(shù)n都成立
D．p(n)對所有自然數(shù)n都成立
答案　B
解析　n＝2時，n＝k，n＝k＋2成立，
n為2,4,6，…，故n為所有正偶數(shù)．
2．用數(shù)學歸納法證明命題“當n是正奇數(shù)時，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步時，正確的證法是(　　)
A．假設n＝k(k∈N*)，證明n＝k＋1時命題成立
B．假設n＝k(k是正奇數(shù))，證明n＝k＋1時命題成立
C．假設n＝2k＋1(k∈N*)，證明n＝k＋1時命題成立
D．假設n＝k(k是正奇數(shù))，證明n＝k＋2時命題成立
答案　D
解析　相鄰兩個正奇數(shù)相差2，故D選項正確．
3．設f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：當f(k)≥k＋1成立時，總能推出f(k＋1)≥k＋2成立，那么下列命題總成立的是(　　)
A．若f(1)<2成立，則f(10)<11成立
B．若f(3)≥4成立，則當k≥1時，均有f(k)≥k＋1成立
C．若f(2)<3成立，則f(1)≥2成立
D．若f(4)≥5成立，則當k≥4時，均有f(k)≥k＋1成立
答案　D
解析　當f(k)≥k＋1成立時，總能推出f(k＋1)≥k＋2成立，說明如果當k＝n時，f(n)≥n＋1成立，那么當k＝n＋1時，f(n＋1)≥n＋2也成立，所以如果當k＝4時，f(4)≥5成立，那么當k≥4時，f(k)≥k＋1也成立．
4．在數(shù)列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通過求a2，a3，a4，猜想an的表達式為(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　當n＝2時，＋a2＝(2×3)a2，∴a2＝.
當n＝3時，＋＋a3＝(3×5)a3，∴a3＝.
當n＝4時，＋＋＋a4＝(4×7)a4，a4＝.
故猜想an＝.
5．利用數(shù)學歸納法證明“(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)，n∈N*”時，從“n＝k”變到“n＝k＋1”時，左邊應增乘的因式是(　　)
A．2k＋1 B．2(2k＋1)
C. D.
答案　B
解析　當n＝k(k∈N*)時，
左式為(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)；
當n＝k＋1時，左式為(k＋1＋1)·(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k－1)·(k＋1＋k)·(k＋1＋k＋1)，
則左邊應增乘的式子是＝2(2k＋1)．
6．設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且對任意的自然數(shù)n都有(Sn－1)2＝anSn，通過計算S1，S2，S3，猜想Sn＝____________________.
答案　
解析　由(S1－1)2＝S1·S1，得S1＝，
由(S2－1)2＝(S2－S1)S2，得S2＝，
依次得S3＝，S4＝，猜想Sn＝.
7．設S1＝12，S2＝12＋22＋12，…，Sn＝12＋22＋32＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12，用數(shù)學歸納法證明Sn＝時，第二步從“k”到“k＋1”應添加的項為________．
答案　(k＋1)2＋k2
解析　由S1，S2，…，Sn可以發(fā)現(xiàn)由n＝k到n＝k＋1時，中間增加了兩項(k＋1)2＋k2(n，k∈N*)．
8．設平面內(nèi)有n條直線(n≥3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點．若用f(n)表示這n條直線交點的個數(shù)，則f(4)＝________；當n>4時，f(n)＝________.(用n表示)
答案　5　(n＋1)(n－2)
解析　f(3)＝2，f(4)＝f(3)＋3＝2＋3＝5，
f(n)＝f(3)＋3＋4＋…＋(n－1)
＝2＋3＋4＋…＋(n－1)
＝(n＋1)(n－2)．
9．在數(shù)列{bn}中，b1＝2，bn＋1＝(n∈N*)．求b2，b3，試判定bn與的大小，并加以證明．
解　由b1＝2，bn＋1＝，
得b2＝＝，b3＝.
經(jīng)比較有b1>，b2>，b3>.
猜想bn>(n∈N*)．
下面利用數(shù)學歸納法證明．
①當n＝1時，∵b1＝2，∴ ②假設當n＝k(k≥1，k∈N*)時，結論成立，
即 0.
當n＝k＋1時，bk＋1－＝－
＝
＝>0.
∴bk＋1> ，也就是說，當n＝k＋1時，結論也成立．
根據(jù)①②知bn>(n∈N*)．
10．數(shù)列{xn}滿足x1＝0，xn＋1＝－x＋xn＋c(n∈N*)．
(1)證明：{xn}是遞減數(shù)列的充要條件是c<0；
(2)若0證明　(1)充分性：
若c<0，由于xn＋1＝－x＋xn＋c≤xn＋c所以數(shù)列{xn}是遞減數(shù)列．
必要性：若{xn}是遞減數(shù)列，則x2又x2＝－x＋x1＋c＝c，所以c<0.
故{xn}是遞減數(shù)列的充要條件是c<0.
(2)若0即xn＋1>xn，即xx＋1－xn＝－x＋c>0，也就是證明xn< .
下面用數(shù)學歸納法證明當0①當n＝1時，x1＝0< ≤，結論成立．
②假設當n＝k(k∈N*)時結論成立，即xk< .
因為函數(shù)f(x)＝－x2＋x＋c在區(qū)間(－∞，]內(nèi)單調(diào)遞增，
所以xk＋1＝f(xk)這就是說當n＝k＋1時，結論也成立．
故xn< 對任意n≥1，n∈N*都成立．
因此，xn＋1＝xn－x＋c>xn，即{xn}是遞增數(shù)列．
11．已知函數(shù)f0(x)＝(x>0)，設fn(x)為fn－1(x)的導數(shù)，n∈N*.
(1)求2f1()＋f2()的值；
(2)證明：對任意的n∈N*，等式
|nfn－1()＋fn()|＝都成立．
(1)解　由已知，得
f1(x)＝f′0(x)＝()′＝－，
于是f2(x)＝f′1(x)＝()′－()′
＝－－＋，
所以f1()＝－，f2()＝－＋，
故2f1()＋f2()＝－1.
(2)證明　由已知，得xf0(x)＝sin x，等式兩邊分別對x求導，
得f0(x)＋xf′0(x)＝cos x，
即f0(x)＋xf1(x)＝cos x＝sin(x＋)，類似可得
2f1(x)＋xf2(x)＝－sin x＝sin(x＋π)，
3f2(x)＋xf3(x)＝－cos x＝sin(x＋)，
4f3(x)＋xf4(x)＝sin x＝sin(x＋2π)．
下面用數(shù)學歸納法證明等式nfn－1(x)＋xfn(x)＝sin(x＋)對所有的x∈N*都成立．
①當n＝1時，由上可知等式成立．
②假設當n＝k時，等式成立，即kfk－1(x)＋xfk(x)＝sin(x＋)．
因為[kfk－1(x)＋xfk(x)]′＝kf′k－1(x)＋fk(x)＋xf′k(x)＝(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)，
[sin(x＋)]′＝cos(x＋)·(x＋)′
＝sin[x＋]，
所以(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)＝sin[x＋]．
因此當n＝k＋1時，等式也成立．
綜合①②可知等式nfn－1(x)＋xfn(x)＝sin(x＋)對所有的n∈N*都成立．
令x＝，可得nfn－1()＋fn()
＝sin(＋)(n∈N*)，
所以|nfn－1()＋fn()|＝(n∈N*)．
*12.設函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的導函數(shù)．
(1)令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N*，求gn(x)的表達式；
(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
(3)設n∈N*，比較g(1)＋g(2)＋…＋g(n)與n－f(n)的大小，并加以證明．
解　由題設得，g(x)＝(x≥0)．
(1)由已知，g1(x)＝，g2(x)＝g(g1(x))＝＝，g3(x)＝，…，可猜想gn(x)＝.
下面用數(shù)學歸納法證明．
①當n＝1時，g1(x)＝，結論成立．
②假設n＝k時結論成立，
即gk(x)＝.
那么，當n＝k＋1時，gk＋1(x)＝g(gk(x))
＝＝＝，即結論成立．
由①②可知，結論對n∈N*成立．
(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立，即ln(1＋x)≥恒成立．
設φ(x)＝ln(1＋x)－(x≥0)，
則φ′(x)＝－＝，
當a≤1時，φ′(x)≥0(僅當x＝0，a＝1時等號成立)，
∴φ(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增．
又φ(0)＝0，
∴φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，
∴a≤1時，ln(1＋x)≥恒成立(僅當x＝0時等號成立)．
當a>1時，對x∈(0，a－1]有φ′(x)≤0，
∴φ(x)在(0，a－1]上單調(diào)遞減，
∴φ(a－1)<φ(0)＝0.
即a>1時，存在x>0，使φ(x)<0，
∴l(xiāng)n(1＋x)≥不恒成立，
綜上可知，a的取值范圍是(－∞，1]．
(3)由題設知g(1)＋g(2)＋…＋g(n)＝＋＋…＋，n－f(n)＝n－ln(n＋1)，
比較結果為g(1)＋g(2)＋…＋g(n)>n－ln(n＋1)．
證明如下：上述不等式等價于＋＋…＋在(2)中取a＝1，可得ln(1＋x)>，x>0.
令x＝，n∈N*，則下面用數(shù)學歸納法證明．
①當n＝1時，②假設當n＝k時結論成立，即＋＋…＋那么，當n＝k＋1時，＋＋…＋＋由①②可知，結論對n∈N*成立．1、判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)用數(shù)學歸納法證明問題時，第一步是驗證當n＝1時結論成立．(　　)
(2)所有與正整數(shù)有關的數(shù)學命題都必須用數(shù)學歸納法證明．(　　)
(3)用數(shù)學歸納法證明問題時，歸納假設可以不用．(　　)
(4)不論是等式還是不等式，用數(shù)學歸納法證明時，由n＝k到n＝k＋1時，項數(shù)都增加了一項．(　　)
(5)用數(shù)學歸納法證明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，驗證n＝1時，左邊式子應為1＋2＋22＋23.(　　)
(6)用數(shù)學歸納法證明凸n邊形的內(nèi)角和公式時，n0＝3.(　　)
2、用數(shù)學歸納法證明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝ (a≠1，n∈N*)，在驗證n＝1時，等式左邊的項是(　　)
A．1 B．1＋a
C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3
3、已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學歸納法證明1－＋－＋…－＝2(＋＋…＋)時，若已假設n＝k(k≥2且k為偶數(shù))時命題為真，則還需要用歸納假設再證(　　)
A．n＝k＋1時等式成立
B．n＝k＋2時等式成立
C．n＝2k＋2時等式成立
D．n＝2(k＋2)時等式成立
4、在應用數(shù)學歸納法證明凸n邊形的對角線為n(n－3)條時，第一步檢驗n等于(　　)
A．1 B．2
C．3 D．0
5、已知{an}滿足an＋1＝a－nan＋1，n∈N*，且a1＝2，則a2＝________，a3＝________，a4＝________，猜想an＝________.
無
題型一　用數(shù)學歸納法證明等式
例1　設f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)．求證：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．
【同步練習】
1、用數(shù)學歸納法證明：
＋＋…＋＝(n∈N*)．
題型二　用數(shù)學歸納法證明不等式
例2　等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知對任意的n∈N*，點(n，Sn)均在函數(shù)y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均為常數(shù))的圖象上．
(1)求r的值；
(2)當b＝2時，記bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，證明：對任意的n∈N*，不等式··…·>成立．
【同步練習】
1、若函數(shù)f(x)＝x2－2x－3，定義數(shù)列{xn}如下：x1＝2，xn＋1是過點P(4,5)、Qn(xn，f(xn))的直線PQn與x軸的交點的橫坐標，試運用數(shù)學歸納法證明：2≤xn數(shù)學歸納法
一般地，證明一個與正整數(shù)n有關的命題，可按下列步驟進行：
(1)(歸納奠基)證明當n取第一個值n0(n0∈N*)時命題成立；
(2)(歸納遞推)假設n＝k(k≥n0，k∈N*)時命題成立，證明當n＝k＋1時命題也成立．
只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立．
題型三　歸納—猜想—證明
命題點1　與函數(shù)有關的證明問題
例3　已知數(shù)列{xn}滿足x1＝，xn＋1＝，n∈N*.猜想數(shù)列{x2n}的單調(diào)性，并證明你的結論．
命題點2　與數(shù)列有關的證明問題
例4　在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N*，λ>0)．
(1)求a2，a3，a4；
(2)猜想{an }的通項公式，并加以證明．
命題點3　存在性問題的證明
例5　設a1＝1，an＋1＝＋b(n∈N*)．
(1)若b＝1，求a2，a3及數(shù)列{an}的通項公式；
(2)若b＝－1，問：是否存在實數(shù)c使得a2n【同步練習】
1、已知集合X＝{1,2,3}，Yn＝{1,2,3，…，n}(n∈N*)，設Sn＝{(a，b)|a整除b或b整除a，a∈X，b∈Yn}，令f(n)表示集合Sn所含元素的個數(shù)．
(1)寫出f(6)的值；
(2)當n≥6時，寫出f(n)的表達式，并用數(shù)學歸納法證明．
例6 數(shù)列{an}滿足Sn＝2n－an(n∈N*)．
(1)計算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通項公式an；
(2)證明(1)中的猜想．
一、用數(shù)學歸納法證明恒等式應注意
(1)明確初始值n0的取值并驗證n＝n0時等式成立．
(2)由n＝k證明n＝k＋1時，弄清左邊增加的項，且明確變形目標．
(3)掌握恒等變形常用的方法：①因式分解；②添拆項；③配方法．
二、數(shù)學歸納法證明不等式的適用范圍及關鍵
(1)適用范圍：當遇到與正整數(shù)n有關的不等式證明時，若用其他辦法不容易證，則可考慮應用數(shù)學歸納法．
(2)關鍵：由n＝k時命題成立證n＝k＋1時命題也成立，在歸納假設使用后可運用比較法、綜合法、分析法、放縮法等來加以證明，充分應用基本不等式、不等式的性質等放縮技巧，使問題得以簡化．
三、思歸納—猜想—證明問題的一般步驟
第一步：計算數(shù)列前幾項或特殊情況，觀察規(guī)律猜測數(shù)列的通項或一般結論；
第二步：驗證一般結論對第一個值n0(n0∈N*)成立；
第三步：假設n＝k(k≥n0，k∈N*)時結論成立，證明當n＝k＋1時結論也成立；
第四步：下結論，由上可知結論對任意n≥n0，n∈N*成立.
1．如果命題p(n)對n＝k(k∈N*)成立，則它對n＝k＋2也成立．若p(n)對n＝2也成立，則下列結論正確的是(　　)
A．p(n)對所有正整數(shù)n都成立
B．p(n)對所有正偶數(shù)n都成立
C．p(n)對所有正奇數(shù)n都成立
D．p(n)對所有自然數(shù)n都成立
2．用數(shù)學歸納法證明命題“當n是正奇數(shù)時，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步時，正確的證法是(　　)
A．假設n＝k(k∈N*)，證明n＝k＋1時命題成立
B．假設n＝k(k是正奇數(shù))，證明n＝k＋1時命題成立
C．假設n＝2k＋1(k∈N*)，證明n＝k＋1時命題成立
D．假設n＝k(k是正奇數(shù))，證明n＝k＋2時命題成立
3．設f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：當f(k)≥k＋1成立時，總能推出f(k＋1)≥k＋2成立，那么下列命題總成立的是(　　)
A．若f(1)<2成立，則f(10)<11成立
B．若f(3)≥4成立，則當k≥1時，均有f(k)≥k＋1成立
C．若f(2)<3成立，則f(1)≥2成立
D．若f(4)≥5成立，則當k≥4時，均有f(k)≥k＋1成立
4．在數(shù)列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通過求a2，a3，a4，猜想an的表達式為(　　)
A. B.
C. D.
5．利用數(shù)學歸納法證明“(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)，n∈N*”時，從“n＝k”變到“n＝k＋1”時，左邊應增乘的因式是(　　)
A．2k＋1 B．2(2k＋1)
C. D.
6．設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且對任意的自然數(shù)n都有(Sn－1)2＝anSn，通過計算S1，S2，S3，猜想Sn＝____________________.
7．設S1＝12，S2＝12＋22＋12，…，Sn＝12＋22＋32＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12，用數(shù)學歸納法證明Sn＝時，第二步從“k”到“k＋1”應添加的項為________．
8．設平面內(nèi)有n條直線(n≥3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點．若用f(n)表示這n條直線交點的個數(shù)，則f(4)＝________；當n>4時，f(n)＝________.(用n表示)
9．在數(shù)列{bn}中，b1＝2，bn＋1＝(n∈N*)．求b2，b3，試判定bn與的大小，并加以證明．
10．數(shù)列{xn}滿足x1＝0，xn＋1＝－x＋xn＋c(n∈N*)．
(1)證明：{xn}是遞減數(shù)列的充要條件是c<0；
(2)若011．已知函數(shù)f0(x)＝(x>0)，設fn(x)為fn－1(x)的導數(shù)，n∈N*.
(1)求2f1()＋f2()的值；
(2)證明：對任意的n∈N*，等式
*12.設函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的導函數(shù)．
(1)令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N*，求gn(x)的表達式；
(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
(3)設n∈N*，比較g(1)＋g(2)＋…＋g(n)與n－f(n)的大小，并加以證明．

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