資源簡介

1、判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)如果數列{an}為等比數列，且公比不等于1，則其前n項和Sn＝.(　√　)
(2)當n≥2時，＝(－)．(　√　)
(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和時，只要把上式等號兩邊同時乘以a即可根據錯位相減法求得．(　×　)
(4)數列{＋2n－1}的前n項和為n2＋.(　×　)
(5)推導等差數列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.(　√　)
2、設{an}是公差不為0的等差數列，a1＝2，且a1，a3，a6成等比數列，則{an}的前n項和Sn等于(　　)
A. B.
C. D．n2＋n
答案　A
解析　設等差數列的公差為d，則a1＝2，
a3＝2＋2d，a6＝2＋5d.
又∵a1，a3，a6成等比數列，∴a＝a1·a6.
即(2＋2d)2＝2(2＋5d)，整理得2d2－d＝0.
∵d≠0，∴d＝.
∴Sn＝na1＋d＝＋n.
3、數列{an}中，an＝，若{an}的前n項和Sn＝，則n等于(　　)
A．2 016 B．2 017
C．2 018 D．2 019
答案　B
解析　an＝＝－，
Sn＝a1＋a2＋…＋an
＝(1－＋－＋…＋－)
＝1－＝.
令＝，得n＝2 017.
4、數列{an}的通項公式為an＝(－1)n－1·(4n－3)，則它的前100項之和S100等于(　　)
A．200 B．－200 C．400 D．－400
答案　B
解析　S100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.
5、數列{an}的通項公式為an＝ncos ，其前n項和為Sn，則S2 017＝________.
答案　1 008
解析　因為數列an＝ncos 呈周期性變化，觀察此數列規律如下：a1＝0，a2＝－2，a3＝0，a4＝4.
故S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝2.
a5＝0，a6＝－6，a7＝0，a8＝8，
故a5＋a6＋a7＋a8＝2，∴周期T＝4.
∴S2 017＝S2 016＋a2 017
＝×2＋2 017·cos π
＝1 008.
無
題型一　分組轉化法求和
例1　已知數列{an}的前n項和Sn＝，n∈N*.
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)設bn＝2an＋(－1)nan，求數列{bn}的前2n項和．
解　(1)當n＝1時，a1＝S1＝1；
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.
a1也滿足an＝n，
故數列{an}的通項公式為an＝n.
(2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.
記數列{bn}的前2n項和為T2n，則T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．
記A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，
則A＝＝22n＋1－2，
B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.
故數列{bn}的前2n項和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.
引申探究
例1(2)中，求數列{bn}的前n項和Tn.
解　由(1)知bn＝2n＋(－1)n·n.
當n為偶數時，
Tn＝(21＋22＋…＋2n)＋[－1＋2－3＋4－…－(n－1)＋n]
＝＋＝2n＋1＋－2；
當n為奇數時，Tn＝(21＋22＋…＋2n)＋[－1＋2－3＋4－…－(n－2)＋(n－1)－n]
＝2n＋1－2＋－n＝2n＋1－－.
∴Tn＝
【同步練習】
1、已知數列{an}的通項公式是an＝2·3n－1＋(－1)n·(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3，求其前n項和Sn.
解　Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln 3，
所以當n為偶數時，
Sn＝2×＋ln 3＝3n＋ln 3－1；
當n為奇數時，
Sn＝2×－(ln 2－ln 3)＋(－n)ln 3
＝3n－ln 3－ln 2－1.
綜上所述，Sn＝
題型二　錯位相減法求和
例2　已知數列{an}的前n項和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差數列，且an＝bn＋bn＋1.
(1)求數列{bn}的通項公式；
(2)令cn＝，求數列{cn}的前n項和Tn.
解　(1)由題意知，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5，
當n＝1時，a1＝S1＝11，滿足上式，所以an＝6n＋5.
設數列{bn}的公差為d.由
即可解得所以bn＝3n＋1.
(2)由(1)知，cn＝＝3(n＋1)·2n＋1，
又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，
得Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]，
2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]．
兩式作差，得－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]
＝3×
＝－3n·2n＋2，
所以Tn＝3n·2n＋2.
【同步練習】
1、設等差數列{an}的公差為d，前n項和為Sn，等比數列{bn}的公比為q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.
(1) 求數列{an}，{bn}的通項公式；
(2) 當d>1時，記cn＝，求數列{cn}的前n項和Tn.
解　(1)由題意得
解得或
故或
(2)由d>1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝，于是
Tn＝1＋＋＋＋＋…＋， ①
Tn＝＋＋＋＋＋…＋. ②
①－②可得
Tn＝2＋＋＋…＋－＝3－，
故Tn＝6－.
1．等差數列的前n項和公式
Sn＝＝na1＋d.
2．等比數列的前n項和公式
Sn＝
3．一些常見數列的前n項和公式
(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝.
(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2.
(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n(n＋1)．
(4)12＋22＋…＋n2＝.
【知識拓展】
數列求和的常用方法
(1)公式法
等差、等比數列或可化為等差、等比數列的可直接使用公式求和．
(2)分組轉化法
把數列的每一項分成兩項或幾項，使其轉化為幾個等差、等比數列，再求解．
(3)裂項相消法
把數列的通項拆成兩項之差求和，正負相消剩下首尾若干項．
常見的裂項公式
①＝－；
②＝；
③＝－.
(4)倒序相加法
把數列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數列求和公式的推導過程的推廣．
(5)錯位相減法
主要用于一個等差數列與一個等比數列對應項相乘所得的數列的求和，即等比數列求和公式的推導過程的推廣．
(6)并項求和法
一個數列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解．
題型三　裂項相消法求和
命題點1　形如an＝型
例3　Sn為數列{an}的前n項和．已知an>0，a＋2an＝4Sn＋3.
(1)求{an}的通項公式；
(2)設bn＝，求數列{bn}的前n項和．
解　(1)由a＋2an＝4Sn＋3，
可知a＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.
兩式相減，得a－a＋2(an＋1－an)＝4an＋1，
即2(an＋1＋an)＝a－a＝(an＋1＋an)(an＋1－an)．
由an>0，可得an＋1－an＝2.
又a＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3.
所以{an}是首項為3，公差為2的等差數列，通項公式為an＝2n＋1.
(2)由an＝2n＋1可知
bn＝＝＝.
設數列{bn}的前n項和為Tn，則
Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝＝.
命題點2　形如an＝型
例4　已知函數f(x)＝xa的圖象過點(4,2)，令an＝，n∈N*.記數列{an}的前n項和為Sn，則S2 017＝________.
答案　－1
解析　由f(4)＝2，可得4a＝2，解得a＝，
則f(x)＝
∴an＝＝＝－，
S2 017＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 017＝(－1)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)＝－1.
思維升華　(1)用裂項相消法求和時，要對通項進行變換，如：＝(－)，＝(－)，裂項后可以產生連續相互抵消的項．(2)抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項．
【同步練習】
1、在數列{an}中，a1＝1，當n≥2時，其前n項和Sn滿足S＝an.
(1)求Sn的表達式；
(2)設bn＝，求{bn}的前n項和Tn.
解　(1)∵S＝an，
an＝Sn－Sn－1 (n≥2)，
∴S＝(Sn－Sn－1)，
即2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn，①
由題意得Sn－1·Sn≠0，
①式兩邊同除以Sn－1·Sn，得－＝2，
∴數列是首項為＝＝1，公差為2的等差數列．
∴＝1＋2(n－1)＝2n－1，∴Sn＝.
(2)∵bn＝＝＝，
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝＝.
題型四　數列求和的綜合應用
例5　正項數列{an}的前n項和Sn滿足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.
(1)求數列{an}的通項公式an；
(2)令bn＝，數列{bn}的前n項和為Tn，證明：對于任意的n∈N*，都有Tn<.
(1)解　由S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，得
[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0，
由于{an}是正項數列，所以Sn＋1>0.
所以Sn＝n2＋n(n∈N*)．
n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n，
n＝1時，a1＝S1＝2適合上式．
所以an＝2n(n∈N*)．
(2)證明　由an＝2n(n∈N*)，得
bn＝＝＝，
則Tn＝
＝<＝(n∈N*)．
即對于任意的n∈N*，都有Tn<.
【同步練習】1、在數列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝.
(1)若t＝0，求數列{an}的通項公式；
(2)若t＝1，求證：≤＋＋＋…＋<.
(1)解　因為t＝0，所以an＋1＝.
又a1＝1，所以an>0，
從而ln an＋1＝2ln an－ln 2，
所以ln an＋1－ln 2＝2(ln an－ln 2)，
即ln ＝2ln ，
所以數列{ln }是以ln 為首項，2為公比的等比數列，
所以ln ＝(ln )2n－1＝
所以＝即an＝
(2)證明　當t＝1時，an＋1＝.
由a1＝1，an＋1＝，得an>0，
所以an＋1－an＝<0，
所以{an}為遞減數列．
因為＝＝1－≤1－＝，
所以an＋1≤an，
所以an≤a1()n－1＝()n－1.
又因為＝an－an＋1 (n∈N*)，
所以＋＋＋…＋
＝(a1－a2)＋2(a2－a3)＋3(a3－a4)＋…＋n(an－an＋1)
＝a1＋a2＋a3＋…＋an－nan＋1
<1＋＋()2＋…＋()n－1＝<.
又因為＋＋＋…＋≥＝，
所以命題得證．
題型五 四審結構定方案
例6 已知數列{an}的前n項和Sn＝－n2＋kn(其中k∈N*)，且Sn的最大值為8.
(1)確定常數k，并求an；
(2)設數列的前n項和為Tn，求證：Tn<4.
(1)
(2)
―→
規范解答
(1)解　當n＝k∈N*時，Sn＝－n2＋kn取得最大值，
即8＝Sk＝－k2＋k2＝k2，故k2＝16，k＝4.
當n＝1時，a1＝S1＝－＋4＝， [4分]
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－n.
當n＝1時，上式也成立．
綜上，an＝－n. [8分]
(2)證明　∵＝，
∴Tn＝1＋＋＋…＋＋， ①
2Tn＝2＋2＋＋…＋＋. ②
[9分]
②－①，得
2Tn－Tn＝2＋1＋＋…＋－
＝4－－＝4－. [13分]
∴Tn＝4－.
∴Tn<4. [14分]
一、分組轉化法求和的常見類型
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數列，可采用分組求和法求{an}的前n項和．
(2)通項公式為an＝的數列，其中數列{bn}，{cn}是等比數列或等差數列，可采用分組求和法求和．
二、錯位相減法求和時的注意點
(1)要善于識別題目類型，特別是等比數列公比為負數的情形；
(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“Sn－qSn”的表達式；
(3)在應用錯位相減法求和時，若等比數列的公比為參數，應分公比等于1和不等于1兩種情況求解．
三、數列和其他知識的綜合，可先確定數列項的遞推關系，求出數列通項或前n項和；也可通過放縮法適當變形后再求和，進而證明一些不等式．
1．數列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n項和Sn的值等于(　　)
A．n2＋1－ B．2n2－n＋1－
C．n2＋1－ D．n2－n＋1－
答案　A
解析　該數列的通項公式為an＝(2n－1)＋，
則Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋(＋＋…＋)＝n2＋1－.
2．設等比數列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝2 016，且an＋2an＋1＋an＋2＝0(n∈N*)，則S2 016等于(　　)
A．0 B．2 016
C．2 015 D．2 014
答案　A
解析　∵an＋2an＋1＋an＋2＝0(n∈N*)，
∴an＋2anq＋anq2＝0，q為等比數列{an}的公比，
即q2＋2q＋1＝0，∴q＝－1.∴an＝(－1)n－1·2 016，
∴S2 016＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2 015＋a2 016)＝0.
3．等差數列{an}的通項公式為an＝2n＋1，其前n項和為Sn，則數列的前10項的和為(　　)
A．120 B．70
C．75 D．100
答案　C
解析　因為＝n＋2，所以的前10項和為10×3＋＝75.
4．在數列{an}中，若an＋1＋(－1)nan＝2n－1，則數列{an}的前12項和等于(　　)
A．76 B．78
C．80 D．82
答案　B
解析　由已知an＋1＋(－1)nan＝2n－1，得an＋2＋(－1)n＋1·an＋1＝2n＋1，得an＋2＋an＝(－1)n(2n－1)＋(2n＋1)，取n＝1,5,9及n＝2,6,10，結果相加可得S12＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a11＋a12＝78.故選B.
5．已知函數f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，則a1＋a2＋a3＋…＋a100等于(　　)
A．0 B．100
C．－100 D．10 200
答案　B
解析　由題意，得a1＋a2＋a3＋…＋a100
＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012
＝－(1＋2)＋(3＋2)－(4＋3)＋…－(99＋100)＋(101＋100)
＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)
＝－50×101＋50×103＝100.故選B.
6．設數列{an}的通項公式為an＝2n－7，則|a1|＋|a2|＋…＋|a15|等于(　　)
A．153 B．210
C．135 D．120
答案　A
解析　令an＝2n－7≥0，解得n≥.
∴從第4項開始大于0，
∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－a1－a2－a3＋a4＋a5＋…＋a15＝5＋3＋1＋1＋3＋…＋(2×15－7)＝9＋＝153.
7．已知數列{an}的通項公式為an＝，若前n項和為10，則項數n為________．
答案　120
解析　∵an＝＝－，
∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1.
令－1＝10，得n＝120.
8．在等差數列{an}中，a1＞0，a10·a11＜0，若此數列的前10項和S10＝36，前18項和S18＝12，則數列{|an|}的前18項和T18的值是________．
答案　60
解析　由a1＞0，a10·a11＜0可知d＜0，a10＞0，a11＜0，
∴T18＝a1＋…＋a10－a11－…－a18
＝S10－(S18－S10)＝60.
9．若已知數列的前四項是，，，，則數列的前n項和為__________．
答案　－
解析　由前四項知數列{an}的通項公式為an＝，
由＝(－)知，
Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an
＝[1－＋－＋－＋…＋(－)＋(－)＋(－)]
＝[1＋－－]
＝－.
*10.已知正項數列{an}的前n項和為Sn，任意n∈N*,2Sn＝a＋an.令bn＝，設{bn}的前n項和為Tn，則在T1，T2，T3，…，T100中有理數的個數為________．
答案　9
解析　∵2Sn＝a＋an， ①
∴2Sn＋1＝a＋an＋1， ②
②－①，得2an＋1＝a＋an＋1－a－an，
a－a－an＋1－an＝0，(an＋1＋an)(an＋1－an－1)＝0.
又∵{an}為正項數列，∴an＋1－an－1＝0，
即an＋1－an＝1.
在2Sn＝a＋an中，令n＝1，可得a1＝1.
∴數列{an}是以1為首項，1為公差的等差數列．
∴an＝n，
∴bn＝
＝
＝＝－，
∴Tn＝1－，
∴T1，T2，T3，…，T100中有理數的個數為9.
11．已知數列{an}中，a1＝3，a2＝5，且{an－1}是等比數列．
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)若bn＝nan，求數列{bn}的前n項和Tn.
解　(1)∵{an－1}是等比數列且a1－1＝2，
a2－1＝4，＝2，
∴an－1＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n＋1.
(2)bn＝nan＝n·2n＋n，
故Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n)＋(1＋2＋3＋…＋n)．
令T＝2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，
則2T＝22＋2×23＋3×24＋…＋n·2n＋1.
兩式相減，得－T＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1
＝－n·2n＋1，
∴T＝2(1－2n)＋n·2n＋1＝2＋(n－1)·2n＋1.
∵1＋2＋3＋…＋n＝，
∴Tn＝(n－1)·2n＋1＋.
12．已知{an}是等比數列，前n項和為Sn(n∈N*)，且－＝，S6＝63.
(1)求{an}的通項公式；
(2)若對任意的n∈N*，bn是log2an和log2an＋1的等差中項，求數列{(－1)nb}的前2n項和．
解　(1)設數列{an}的公比為q.
由已知，有－＝，
解得q＝2或q＝－1.
又由S6＝a1·＝63，知q≠－1，
所以a1·＝63，得a1＝1.
所以an＝2n－1.
(2)由題意，得bn＝(log2an＋log2an＋1)
＝(log22n－1＋log22n)＝n－，
即{bn}是首項為，公差為1的等差數列．
設數列{(－1)nb}的前n項和為Tn，則
T2n＝(－b＋b)＋(－b＋b)＋…＋(－b＋b)
＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n
＝＝2n2.
*13.若數列{an}的前n項和為Sn，點(an，Sn)在y＝－x的圖象上(n∈N*)．
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)若c1＝0，且對任意正整數n都有cn＋1－cn＝求證：對任意正整數n≥2，
總有≤＋＋＋…＋＜.
(1)解　∵Sn＝－an，
∴當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝an－1－an，
∴an＝an－1.
又∵S1＝a1＝－a1，∴a1＝，
∴an＝n－1＝2n＋1.
(2)證明　由cn＋1－cn＝＝2n＋1，
得當n≥2時，cn＝c1＋(c2－c1)＋(c3－c2)＋…＋(cn－cn－1)＝0＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2－1＝(n＋1)(n－1)，
＝＝(－)，
∴＋＋＋…＋
＝×
＝
＝－＜.
又∵＋＋＋…＋≥＝，
∴原式得證．1、判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)如果數列{an}為等比數列，且公比不等于1，則其前n項和Sn＝.(　　)
(2)當n≥2時，＝(－)．(　　)
(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和時，只要把上式等號兩邊同時乘以a即可根據錯位相減法求得．(　　)
(4)數列{＋2n－1}的前n項和為n2＋.(　　)
(5)推導等差數列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.(　　)
2、設{an}是公差不為0的等差數列，a1＝2，且a1，a3，a6成等比數列，則{an}的前n項和Sn等于(　　)
A. B.
C. D．n2＋n
3、數列{an}中，an＝，若{an}的前n項和Sn＝，則n等于(　　)
A．2 016 B．2 017
C．2 018 D．2 019
4、數列{an}的通項公式為an＝(－1)n－1·(4n－3)，則它的前100項之和S100等于(　　)
A．200 B．－200 C．400 D．－400
數列{an}的通項公式為an＝ncos ，其前n項和為Sn，則S2 017＝________.
題型一　分組轉化法求和
例1　已知數列{an}的前n項和Sn＝，n∈N*.
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)設bn＝2an＋(－1)nan，求數列{bn}的前2n項和．
引申探究
例1(2)中，求數列{bn}的前n項和Tn.
【同步練習】
1、已知數列{an}的通項公式是an＝2·3n－1＋(－1)n·(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3，求其前n項和Sn.
題型二　錯位相減法求和
例2　已知數列{an}的前n項和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差數列，且an＝bn＋bn＋1.
(1)求數列{bn}的通項公式；
(2)令cn＝，求數列{cn}的前n項和Tn.
【同步練習】
1、設等差數列{an}的公差為d，前n項和為Sn，等比數列{bn}的公比為q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.
(1) 求數列{an}，{bn}的通項公式；
(2) 當d>1時，記cn＝，求數列{cn}的前n項和Tn.
1．等差數列的前n項和公式
Sn＝＝na1＋d.
2．等比數列的前n項和公式
Sn＝
3．一些常見數列的前n項和公式
(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝.
(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2.
(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n(n＋1)．
(4)12＋22＋…＋n2＝.
【知識拓展】
數列求和的常用方法
(1)公式法
等差、等比數列或可化為等差、等比數列的可直接使用公式求和．
(2)分組轉化法
把數列的每一項分成兩項或幾項，使其轉化為幾個等差、等比數列，再求解．
(3)裂項相消法
把數列的通項拆成兩項之差求和，正負相消剩下首尾若干項．
常見的裂項公式
①＝－；
②＝；
③＝－.
(4)倒序相加法
把數列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數列求和公式的推導過程的推廣．
(5)錯位相減法
主要用于一個等差數列與一個等比數列對應項相乘所得的數列的求和，即等比數列求和公式的推導過程的推廣．
(6)并項求和法
一個數列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解．
題型三　裂項相消法求和
命題點1　形如an＝型
例3　Sn為數列{an}的前n項和．已知an>0，a＋2an＝4Sn＋3.
(1)求{an}的通項公式；
(2)設bn＝，求數列{bn}的前n項和．
例4　已知函數f(x)＝xa的圖象過點(4,2)，令an＝，n∈N*.記數列{an}的前n項和為Sn，則S2 017＝________.
【同步練習】
1、在數列{an}中，a1＝1，當n≥2時，其前n項和Sn滿足S＝an.
(1)求Sn的表達式；
(2)設bn＝，求{bn}的前n項和Tn.
題型四　數列求和的綜合應用
例5　正項數列{an}的前n項和Sn滿足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.
(1)求數列{an}的通項公式an；
(2)令bn＝，數列{bn}的前n項和為Tn，證明：對于任意的n∈N*，都有Tn<.
【同步練習】1、在數列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝.
(1)若t＝0，求數列{an}的通項公式；
(2)若t＝1，求證：≤＋＋＋…＋<.
題型五 四審結構定方案
例6 已知數列{an}的前n項和Sn＝－n2＋kn(其中k∈N*)，且Sn的最大值為8.
(1)確定常數k，并求an；
(2)設數列的前n項和為Tn，求證：Tn<4.
一、分組轉化法求和的常見類型
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數列，可采用分組求和法求{an}的前n項和．
(2)通項公式為an＝的數列，其中數列{bn}，{cn}是等比數列或等差數列，可采用分組求和法求和．
二、錯位相減法求和時的注意點
(1)要善于識別題目類型，特別是等比數列公比為負數的情形；
(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“Sn－qSn”的表達式；
(3)在應用錯位相減法求和時，若等比數列的公比為參數，應分公比等于1和不等于1兩種情況求解．
三、數列和其他知識的綜合，可先確定數列項的遞推關系，求出數列通項或前n項和；也可通過放縮法適當變形后再求和，進而證明一些不等式．
1．數列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n項和Sn的值等于(　　)
A．n2＋1－ B．2n2－n＋1－
C．n2＋1－ D．n2－n＋1－
2．設等比數列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝2 016，且an＋2an＋1＋an＋2＝0(n∈N*)，則S2 016等于(　　)
A．0 B．2 016
C．2 015 D．2 014
3．等差數列{an}的通項公式為an＝2n＋1，其前n項和為Sn，則數列的前10項的和為(　　)
A．120 B．70
C．75 D．100
4．在數列{an}中，若an＋1＋(－1)nan＝2n－1，則數列{an}的前12項和等于(　　)
A．76 B．78
C．80 D．82
5．已知函數f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，則a1＋a2＋a3＋…＋a100等于(　　)
A．0 B．100
C．－100 D．10 200
6．設數列{an}的通項公式為an＝2n－7，則|a1|＋|a2|＋…＋|a15|等于(　　)
A．153 B．210
C．135 D．120
7．已知數列{an}的通項公式為an＝，若前n項和為10，則項數n為________．
8．在等差數列{an}中，a1＞0，a10·a11＜0，若此數列的前10項和S10＝36，前18項和S18＝12，則數列{|an|}的前18項和T18的值是________．
9．若已知數列的前四項是，，，，則數列的前n項和為__________．
*10.已知正項數列{an}的前n項和為Sn，任意n∈N*,2Sn＝a＋an.令bn＝，設{bn}的前n項和為Tn，則在T1，T2，T3，…，T100中有理數的個數為________．
11．已知數列{an}中，a1＝3，a2＝5，且{an－1}是等比數列．
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)若bn＝nan，求數列{bn}的前n項和Tn.
12．已知{an}是等比數列，前n項和為Sn(n∈N*)，且－＝，S6＝63.
(1)求{an}的通項公式；
(2)若對任意的n∈N*，bn是log2an和log2an＋1的等差中項，求數列{(－1)nb}的前2n項和．
*13.若數列{an}的前n項和為Sn，點(an，Sn)在y＝－x的圖象上(n∈N*)．
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)若c1＝0，且對任意正整數n都有cn＋1－cn＝求證：對任意正整數n≥2，
總有≤＋＋＋…＋＜.

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