資源簡介

1、判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?
(1)滿足an＋1＝qan(n∈N*，q為常數(shù))的數(shù)列{an}為等比數(shù)列．(　×　)
(2)G為a，b的等比中項(xiàng) G2＝ab.(　×　)
(3)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，bn＝a2n－1＋a2n，則數(shù)列{bn}也是等比數(shù)列．(　×　)
(4)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則數(shù)列{ln an}是等差數(shù)列．(　×　)
2、已知{an}是等比數(shù)列，a2＝2，a5＝，則公比q等于(　　)
A．－ B．－2
C．2 D.
答案　D
解析　由題意知q3＝＝，∴q＝.
3、設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S2＝3，S4＝15，則S6等于(　　)
A．31 B．32 C．63 D．64
答案　C
解析　根據(jù)題意知，等比數(shù)列{an}的公比不是－1.由等比數(shù)列的性質(zhì)，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.故選C.
4、在9與243中間插入兩個數(shù)，使它們同這兩個數(shù)成等比數(shù)列，則插入的兩個數(shù)分別為________．
答案　27,81
解析　設(shè)該數(shù)列的公比為q，由題意知，
243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3.
∴插入的兩個數(shù)分別為9×3＝27,27×3＝81.
5、設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，8a2＋a5＝0，則＝________.
答案?。?1
解析　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，
∵8a2＋a5＝0，∴8a1q＋a1q4＝0.
∴q3＋8＝0，∴q＝－2，
∴＝·
＝＝＝－11.
無
題型一　等比數(shù)列基本量的運(yùn)算
例1　(1)已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，則a2等于(　　)
A．2 B．1 C. D.
(2)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a2，a4＋2，a5成等差數(shù)列，a1＝2，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和，則S10－S4等于(　　)
A．1 008 B．2 016
C．2 032 D．4 032
答案　(1)C　(2)B
解析　(1)由{an}為等比數(shù)列，得a3a5＝a，
又a3a5＝4(a4－1)，所以a＝4(a4－1)，
解得a4＝2.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，
則由a4＝a1q3，得2＝q3，解得q＝2，
所以a2＝a1q＝.故選C.
(2)由題意知2(a4＋2)＝a2＋a5，即2(2q3＋2)＝2q＋2q4＝q(2q3＋2)，得q＝2，所以an＝2n，S10＝＝211－2＝2 046，S4＝＝25－2＝30，
所以S10－S4＝2 016.故選B.
思維升華　等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問題，數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)可迎刃而解．
【同步練習(xí)】
(1)已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，且a2，a4，a3成等差數(shù)列，則數(shù)列{an}的公比q＝________，數(shù)列{an}的前4項(xiàng)和S4＝________.
(2)設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差數(shù)列，則an＝________.
答案　(1)1或－　4或　(2)3n－1
解析　(1)由a2，a4，a3成等差數(shù)列得2a1q3＝a1q＋a1q2，
即2q3＝q＋q2，解得q＝1或q＝－.
當(dāng)q＝1時，S4＝4a1＝4，
當(dāng)q＝－時，S4＝＝.
(2)由3S1,2S2，S3成等差數(shù)列知，4S2＝3S1＋S3，
可得a3＝3a2，所以公比q＝3，
故等比數(shù)列的通項(xiàng)an＝a1qn－1＝3n－1.
題型二　等比數(shù)列的判定與證明
例2　設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.
(1)設(shè)bn＝an＋1－2an，證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
(1)證明　由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，
得a1＋a2＝S2＝4a1＋2.
∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.
又
由①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，
∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2)．
∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)，
故{bn}是首項(xiàng)b1＝3，公比為2的等比數(shù)列．
(2)解　由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，
∴－＝，
故{}是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．
∴＝＋(n－1)·＝，
故an＝(3n－1)·2n－2.
引申探究
若將例2中“Sn＋1＝4an＋2”改為“Sn＋1＝2Sn＋(n＋1)”，其他不變，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
解　由已知得n≥2時，Sn＝2Sn－1＋n.
∴Sn＋1－Sn＝2Sn－2Sn－1＋1，
∴an＋1＝2an＋1，
∴an＋1＋1＝2(an＋1)，n≥2，
又a1＝1，S2＝a1＋a2＝2a1＋2，a2＝3，
當(dāng)n＝1時上式也成立，
故{an＋1}是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
∴an＋1＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n－1.
【同步練習(xí)】
1、已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝3an＋1.
(1)證明：{an＋}是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)證明：＋＋…＋<.
證明　(1)由an＋1＝3an＋1，得an＋1＋＝3(an＋)．
又a1＋＝，
所以{an＋}是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列．
所以an＋＝，因此{(lán)an}的通項(xiàng)公式為an＝.
(2)由(1)知＝.
因?yàn)楫?dāng)n≥1時，3n－1≥2×3n－1，所以≤.
于是＋＋…＋≤1＋＋…＋
＝(1－)<，
所以＋＋…＋<.
1．等比數(shù)列的定義
一般地，如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．
2．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式
設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，則它的通項(xiàng)an＝a1·qn－1.
3．等比中項(xiàng)
如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)．
4．等比數(shù)列的常用性質(zhì)
(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．
(2)若{an}為等比數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak·al＝am·an.
(3)若{an}，{bn}(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比數(shù)列．
5．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式
等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠0)，其前n項(xiàng)和為Sn，
當(dāng)q＝1時，Sn＝na1；
當(dāng)q≠1時，Sn＝＝.
6．等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)
公比不為－1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn.
【知識拓展】
等比數(shù)列{an}的單調(diào)性
(1)滿足或時，{an}是遞增數(shù)列．
(2)滿足或時，{an}是遞減數(shù)列．
(3)當(dāng)時，{an}為常數(shù)列．
(4)當(dāng)q<0時，{an}為擺動數(shù)列．
題型三　等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用
例3?。?）若等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a10a11＋a9a12＝2e5，則ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________.
(2)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若＝，則＝________.
答案　(1)50　(2)
解析　(1)因?yàn)閍10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，
所以a10a11＝e5.
所以ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝ln(a1a2…a20)
＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]
＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11)
＝10ln e5＝50ln e＝50.
(2)方法一　∵S6∶S3＝1∶2，∴{an}的公比q≠1.
由÷＝，得q3＝－，
∴＝＝.
方法二　∵{an}是等比數(shù)列，且＝，∴公比q≠－1，
∴S3，S6－S3，S9－S6也成等比數(shù)列，即(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)，
將S6＝S3代入得＝.
【同步練習(xí)】
(1)已知在等比數(shù)列{an}中，a1a4＝10，則數(shù)列{lg an}的前4項(xiàng)和等于(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
(2)設(shè)等比數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和為Sn，已知S3＝8，S6＝7，則a7＋a8＋a9等于(　　)
A. B．－ C. D.
答案　(1)C　(2)A
解析　(1)前4項(xiàng)和S4＝lg a1＋lg a2＋lg a3＋lg a4＝lg(a1a2a3a4)，又∵等比數(shù)列{an}中，a2a3＝a1a4＝10，
∴S4＝lg 100＝2.
(2)因?yàn)閍7＋a8＋a9＝S9－S6，且公比不等于－1，在等比數(shù)列中，S3，S6－S3，S9－S6也成等比數(shù)列，即8，－1，S9－S6成等比數(shù)列，所以有8(S9－S6)＝(－1)2，S9－S6＝，即a7＋a8＋a9＝.
題型四 分類討論思想在等比數(shù)列中的應(yīng)用
典例　(15分)已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，且－2S2，S3,4S4成等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)證明：Sn＋≤(n∈N*)．
思想方法指導(dǎo)　(1)利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出等比數(shù)列的公比，寫出通項(xiàng)公式；
(2)求出前n項(xiàng)和，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明．
規(guī)范解答
(1)解　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，
因?yàn)椋?S2，S3,4S4成等差數(shù)列，
所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4，
可得2a4＝－a3，于是q＝＝－. [3分]
又a1＝，所以等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為
an＝×n－1＝(－1)n－1·. [5分]
(2)證明　由(1)知，Sn＝1－n，
Sn＋＝1－n＋
＝ [8分]
當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn＋隨n的增大而減小，
所以Sn＋≤S1＋＝. [11分]
當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn＋隨n的增大而減小，
所以Sn＋≤S2＋＝. [13分]
故對于n∈N*，有Sn＋≤（n∈N*）. [15分]
一、等比數(shù)列的證明
(1)證明一個數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項(xiàng)法，其他方法只用于選擇題、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可．(2)利用遞推關(guān)系時要注意對n＝1時的情況進(jìn)行驗(yàn)證．
二、等比數(shù)列常見性質(zhì)的應(yīng)用
等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用可以分為三類：(1)通項(xiàng)公式的變形；(2)等比中項(xiàng)的變形；(3)前n項(xiàng)和公式的變形．根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口．
1．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a3＝－1，a5＝＋1，則a＋2a2a6＋a3a7等于(　　)
A．4 B．6
C．8 D．8－4
答案　C
解析　在等比數(shù)列中，a3a7＝a，a2a6＝a3a5，所以a＋2a2a6＋a3a7＝a＋2a3a5＋a＝(a3＋a5)2＝(－1＋＋1)2＝(2)2＝8.
2．在等比數(shù)列{an}中，若a1<0，a2＝18，a4＝8，則公比q等于(　　)
A. B.
C．－ D.或－
答案　C
解析　由解得或
又a1<0，因此q＝－.
3．在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，則n等于(　　)
A．12 B．13
C．14 D．15
答案　C
解析　設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，
由a1a2a3＝4＝aq3與a4a5a6＝12＝aq12，
可得q9＝3，an－1anan＋1＝aq3n－3＝324，
因此q3n－6＝81＝34＝q36，
所以n＝14，故選C.
4．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1＝2，且a2，a4＋2，a5成等差數(shù)列，記Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S5等于(　　)
A．32 B．62 C．27 D．81
答案　B
解析　設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比為q，則q>0，
由a2，a4＋2，a5成等差數(shù)列，得a2＋a5＝2(a4＋2)，
即2q＋2q4＝2(2q3＋2)，(q－2)(1＋q3)＝0，
解得q＝2或q＝－1(舍去)，
∴S5＝＝62，故選B.
5．已知數(shù)列{an}滿足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，則的值是(　　)
A．－ B．－5
C．5 D.
答案　B
解析　由log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，
得log3an＋1－log3an＝1，即log3＝1，
解得＝3，所以數(shù)列{an}是公比為3的等比數(shù)列．
因?yàn)閍5＋a7＋a9＝(a2＋a4＋a6)q3，
所以a5＋a7＋a9＝9×33＝35.
所以＝＝－5.
6．在由正數(shù)組成的等比數(shù)列{an}中，若a3a4a5＝3π，則sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)的值為(　　)
A. B.
C．1 D．－
答案　B
解析　因?yàn)閍3a4a5＝3π＝a，所以
log3a1＋log3a2＋…＋log3a7＝log3(a1a2…a7)
＝log3a＝＝，所以sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)＝.
7．設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知3S3＝a4－2，3S2＝a3－2，則公比q＝________.
答案　4
解析　因?yàn)?br/>由①－②，得3a3＝a4－a3，即4a3＝a4，
則q＝＝4.
8．設(shè)各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}，Sn為前n項(xiàng)和且S10＝10，S30＝70，那么S40＝________.
答案　150
解析　依題意，知數(shù)列{an}的公比q≠－1，數(shù)列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比數(shù)列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(S20－10)2＝10(70－S20)，故S20＝－20或S20＝30；又S20>0，因此S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，故S40－S30＝80，S40＝150.
9．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an＋Sn＝1(n∈N*)，則通項(xiàng)an＝________.
答案　
解析　∵an＋Sn＝1， ①
∴a1＝，an－1＋Sn－1＝1(n≥2)， ②
由①－②，得an－an－1＋an＝0，即＝(n≥2)，
∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
則an＝×()n－1＝.
10．已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列且bn＝，若b10·b11＝2，則a21＝________.
答案　1 024
解析　∵b1＝＝a2，b2＝，
∴a3＝b2a2＝b1b2，∵b3＝，
∴a4＝b1b2b3，…，an＝b1b2b3·…·bn－1，
∴a21＝b1b2b3·…·b20＝(b10b11)10＝210＝1 024.
11．已知{an}是等差數(shù)列，滿足a1＝3，a4＝12，數(shù)列{bn}滿足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}是等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．
解　(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
由題意得d＝＝＝3，
所以an＝a1＋(n－1)d＝3n(n∈N*)．
設(shè)等比數(shù)列{bn－an}的公比為q，
由題意得q3＝＝＝8，解得q＝2.
所以bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1.
從而bn＝3n＋2n－1(n∈N*)．
(2)由(1)知bn＝3n＋2n－1(n∈N*)，
數(shù)列{3n}的前n項(xiàng)和為n(n＋1)，
數(shù)列{2n－1}的前n項(xiàng)和為1×＝2n－1.
所以數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為n(n＋1)＋2n－1.
12．已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通項(xiàng)公式．
解　(1)由題意，得a2＝，a3＝.
(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，得
2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．
因?yàn)閧an}的各項(xiàng)都為正數(shù)，所以＝.
故{an}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，
因此an＝.
13．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝n，記T2n為{an}的前2n項(xiàng)的和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N*.
(1)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并求出bn；
(2)求T2n.
解　(1)∵an·an＋1＝n，
∴an＋1·an＋2＝n＋1，
∴＝，即an＋2＝an.
∵bn＝a2n＋a2n－1，
∴＝＝＝，
∵a1＝1，a1·a2＝，
∴a2＝ b1＝a1＋a2＝.
∴{bn}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．
∴bn＝×n－1＝.
(2)由(1)可知，an＋2＝an，
∴a1，a3，a5，…是以a1＝1為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列；a2，a4，a6，…是以a2＝為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，
∴T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)
＝＋＝3－.1、判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?
(1)滿足an＋1＝qan(n∈N*，q為常數(shù))的數(shù)列{an}為等比數(shù)列．(　　)
(2)G為a，b的等比中項(xiàng) G2＝ab.(　　)
(3)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，bn＝a2n－1＋a2n，則數(shù)列{bn}也是等比數(shù)列．(　　)
(4)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則數(shù)列{ln an}是等差數(shù)列．(　　)
2、已知{an}是等比數(shù)列，a2＝2，a5＝，則公比q等于(　　)
A．－ B．－2
C．2 D.
3、設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S2＝3，S4＝15，則S6等于(　　)
A．31 B．32 C．63 D．64
4、在9與243中間插入兩個數(shù)，使它們同這兩個數(shù)成等比數(shù)列，則插入的兩個數(shù)分別為________．
5、設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，8a2＋a5＝0，則＝________.
無
題型一　等比數(shù)列基本量的運(yùn)算
例1　(1)已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，則a2等于(　　)
A．2 B．1 C. D.
(2)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a2，a4＋2，a5成等差數(shù)列，a1＝2，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和，則S10－S4等于(　　)
A．1 008 B．2 016
C．2 032 D．4 032
【同步練習(xí)】
(1)已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，且a2，a4，a3成等差數(shù)列，則數(shù)列{an}的公比q＝________，數(shù)列{an}的前4項(xiàng)和S4＝________.
(2)設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差數(shù)列，則an＝________.
題型二　等比數(shù)列的判定與證明
例2　設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.
(1)設(shè)bn＝an＋1－2an，證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
引申探究
若將例2中“Sn＋1＝4an＋2”改為“Sn＋1＝2Sn＋(n＋1)”，其他不變，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
【同步練習(xí)】
1、已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝3an＋1.
(1)證明：{an＋}是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)證明：＋＋…＋<.
1．等比數(shù)列的定義
一般地，如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．
2．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式
設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，則它的通項(xiàng)an＝a1·qn－1.
3．等比中項(xiàng)
如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)．
4．等比數(shù)列的常用性質(zhì)
(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．
(2)若{an}為等比數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak·al＝am·an.
(3)若{an}，{bn}(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比數(shù)列．
5．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式
等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠0)，其前n項(xiàng)和為Sn，
當(dāng)q＝1時，Sn＝na1；
當(dāng)q≠1時，Sn＝＝.
6．等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)
公比不為－1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn.
【知識拓展】
等比數(shù)列{an}的單調(diào)性
(1)滿足或時，{an}是遞增數(shù)列．
(2)滿足或時，{an}是遞減數(shù)列．
(3)當(dāng)時，{an}為常數(shù)列．
(4)當(dāng)q<0時，{an}為擺動數(shù)列．
題型三　等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用
例3?。?）若等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a10a11＋a9a12＝2e5，則ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________.
(2)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若＝，則＝________.
【同步練習(xí)】
(1)已知在等比數(shù)列{an}中，a1a4＝10，則數(shù)列{lg an}的前4項(xiàng)和等于(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
(2)設(shè)等比數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和為Sn，已知S3＝8，S6＝7，則a7＋a8＋a9等于(　　)
A. B．－ C. D.
題型四 分類討論思想在等比數(shù)列中的應(yīng)用
典例　(15分)已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，且－2S2，S3,4S4成等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)證明：Sn＋≤(n∈N*)．
一、等比數(shù)列的證明
(1)證明一個數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項(xiàng)法，其他方法只用于選擇題、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可．(2)利用遞推關(guān)系時要注意對n＝1時的情況進(jìn)行驗(yàn)證．
二、等比數(shù)列常見性質(zhì)的應(yīng)用
等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用可以分為三類：(1)通項(xiàng)公式的變形；(2)等比中項(xiàng)的變形；(3)前n項(xiàng)和公式的變形．根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口．
1．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a3＝－1，a5＝＋1，則a＋2a2a6＋a3a7等于(　　)
A．4 B．6
C．8 D．8－4
2．在等比數(shù)列{an}中，若a1<0，a2＝18，a4＝8，則公比q等于(　　)
A. B.
C．－ D.或－
3．在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，則n等于(　　)
A．12 B．13
C．14 D．15
4．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1＝2，且a2，a4＋2，a5成等差數(shù)列，記Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S5等于(　　)
A．32 B．62 C．27 D．81
5．已知數(shù)列{an}滿足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，則的值是(　　)
A．－ B．－5 C．5 D.
6．在由正數(shù)組成的等比數(shù)列{an}中，若a3a4a5＝3π，則sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)的值為(　　)
A. B.
C．1 D．－
7．設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知3S3＝a4－2，3S2＝a3－2，則公比q＝________.
8．設(shè)各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}，Sn為前n項(xiàng)和且S10＝10，S30＝70，那么S40＝________.
9．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an＋Sn＝1(n∈N*)，則通項(xiàng)an＝________.
10．已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列且bn＝，若b10·b11＝2，則a21＝________.
11．已知{an}是等差數(shù)列，滿足a1＝3，a4＝12，數(shù)列{bn}滿足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}是等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．
12．已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通項(xiàng)公式．
13．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝n，記T2n為{an}的前2n項(xiàng)的和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N*.
(1)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并求出bn；
(2)求T2n.

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