資源簡(jiǎn)介

1、判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)若一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列．(　×　)
(2)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的．(　√　)
(3)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)．(　×　)
(4)已知等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝3－2n，則它的公差為－2.(　√　)
2、在等差數(shù)列{an}中，若a2＝4，a4＝2，則a6等于(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．6
答案　B
解析　由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0，故選B.
3、已知等差數(shù)列{an}前9項(xiàng)的和為27，a10＝8，則a100等于(　　)
A．100 B．99 C．98 D．97
答案　C
解析　由等差數(shù)列性質(zhì)，知S9＝＝＝9a5＝27，得a5＝3，而a10＝8，因此公差d＝＝1，
∴a100＝a10＋90d＝98，故選C.
4、已知數(shù)列{an}中，a3＝3，an＋1＝an＋2，則a2＋a4＝________，an＝________.
答案　6　2n－3
解析　由已知得an＋1－an＝2，所以{an}為公差為2的等差數(shù)列，由a1＋2d＝3，得a1＝－1，
所以an＝－1＋(n－1)×2＝2n－3，a2＋a4＝2a3＝6.
5、若等差數(shù)列{an}滿足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，則當(dāng)n＝________時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和最大．
答案　8
解析　因?yàn)閿?shù)列{an}是等差數(shù)列，且a7＋a8＋a9＝3a8＞0，所以a8＞0.又a7＋a10＝a8＋a9＜0，所以a9＜0.故當(dāng)n＝8時(shí)，其前n項(xiàng)和最大.
無(wú)
題型一　等差數(shù)列基本量的運(yùn)算
例1　(1)在數(shù)列{an}中，若a1＝－2，且對(duì)任意的n∈N*有2an＋1＝1＋2an，則數(shù)列{an}前10項(xiàng)的和為(　　)
A．2 B．10 C. D.
(2)已知{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和．若a1＝6，a3＋a5＝0，則S6＝________.
答案　(1)C　(2)6
解析　(1)由2an＋1＝1＋2an得an＋1－an＝，
所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為－2，公差為的等差數(shù)列，
所以S10＝10×(－2)＋×＝.
(2)∵a3＋a5＝2a4＝0，∴a4＝0.
又a1＝6，∴a4＝a1＋3d＝0，∴d＝－2.
∴S6＝6×6＋×(－2)＝6.
【同步練習(xí)】
(1)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a2＝3，a6＝11，則S7等于(　　)
A．13 B．35
C．49 D．63
(2)已知{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和．若a1＋a＝－3，S5＝10，則a9的值是________．
答案　(1)C　(2)20
解析　(1)∵a1＋a7＝a2＋a6＝3＋11＝14，
∴S7＝＝49.
(2)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意可得
解得
則a9＝a1＋8d＝－4＋8×3＝20.
題型二　等差數(shù)列的判定與證明
例2　已知數(shù)列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，數(shù)列{bn}滿足bn＝(n∈N*)．
(1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，并說(shuō)明理由．
(1)證明　因?yàn)閍n＝2－(n≥2，n∈N*)，
bn＝(n∈N*)，
所以bn＋1－bn＝－
＝－＝－＝1.
又b1＝＝－.
所以數(shù)列{bn}是以－為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．
(2)解　由(1)知bn＝n－，
則an＝1＋＝1＋.
設(shè)f(x)＝1＋，
則f(x)在區(qū)間(－∞，)和(，＋∞)上為減函數(shù)．
所以當(dāng)n＝3時(shí)，an取得最小值－1，當(dāng)n＝4時(shí)，an取得最大值3.
引申探究
例2中，若條件變?yōu)閍1＝，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，試求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
解　由已知可得＝＋1，
即－＝1，又a1＝，
∴是以＝為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
∴＝＋(n－1)·1＝n－，
∴an＝n2－n.
【同步練習(xí)】
(1)在數(shù)列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋(n∈N*)，則該數(shù)列的通項(xiàng)為(　　)
A．a(chǎn)n＝ B．a(chǎn)n＝
C．a(chǎn)n＝ D．a(chǎn)n＝
答案　A
解析　由已知式＝＋可得
－＝－，知{}是首項(xiàng)為＝1，公差為－＝2－1＝1的等差數(shù)列，所以＝n，即an＝.
(2)數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2.
①設(shè)bn＝an＋1－an，證明{bn}是等差數(shù)列；
②求{an}的通項(xiàng)公式．
①證明　由an＋2＝2an＋1－an＋2，
得an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2，
即bn＋1＝bn＋2.
又b1＝a2－a1＝1，
所以{bn}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．
②解　由①得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，
即an＋1－an＝2n－1.
于是 (ak＋1－ak)＝ (2k－1)，
所以an＋1－a1＝n2，即an＋1＝n2＋a1.
又a1＝1，所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2－2n＋2.
1．等差數(shù)列的定義
一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示．
2．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式
如果等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，那么它的通項(xiàng)公式是an＝a1＋(n－1)d.
3．等差中項(xiàng)
由三個(gè)數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列．這時(shí)，A叫做a與b的等差中項(xiàng)．
4．等差數(shù)列的常用性質(zhì)
(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則{a2n}也是等差數(shù)列，公差為2d.
(4)若{an}，{bn}是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}也是等差數(shù)列．
(5)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列．
(6)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…構(gòu)成等差數(shù)列．
5．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式
設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，其前n項(xiàng)和Sn＝或Sn＝na1＋d.
6．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系
Sn＝n2＋n.
數(shù)列{an}是等差數(shù)列 Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))．
7．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值
在等差數(shù)列{an}中，若a1>0，d<0，則Sn存在最大值；若a1<0，d>0，則Sn存在最小值．
【知識(shí)拓展】
等差數(shù)列的四種判斷方法
(1)定義法：an＋1－an＝d(d是常數(shù)) {an}是等差數(shù)列．
(2)等差中項(xiàng)法：2an＋1＝an＋an＋2 (n∈N*) {an}是等差數(shù)列．
(3)通項(xiàng)公式：an＝pn＋q(p，q為常數(shù)) {an}是等差數(shù)列．
(4)前n項(xiàng)和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)) {an}是等差數(shù)列．
題型三　等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用
命題點(diǎn)1　等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)
例3　(1)已知{an}為等差數(shù)列，若a1＋a5＋a9＝8π，則{an}前9項(xiàng)的和S9＝______，cos(a3＋a7)的值為_(kāi)_______．
(2)已知{an}，{bn}都是等差數(shù)列，若a1＋b10＝9，a3＋b8＝15，則a5＋b6＝________.
答案　(1)24π　－　(2)21
解析　(1)由a1＋a5＋a9＝3a5＝8π，解得a5＝，所以{an}前9項(xiàng)的和S9＝＝9a5＝9×＝24π.
cos(a3＋a7)＝cos 2a5＝cos ＝cos ＝－.
(2)因?yàn)閧an}，{bn}都是等差數(shù)列，所以2a3＝a1＋a5，2b8＝b10＋b6，所以2(a3＋b8)＝(a1＋b10)＋(a5＋b6)，即2×15＝9＋(a5＋b6)，解得a5＋b6＝21.
命題點(diǎn)2　等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)
例4　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S3＝－12，S9＝45，則S12＝________.
(2)在等差數(shù)列{an}中，a1＝－2 018，其前n項(xiàng)和為Sn，若－＝2，則S2 018的值等于(　　)
A．－2 018 B．－2 016
C．－2 019 D．－2 017
答案　(1)114　(2)A
解析　(1)因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，所以S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差數(shù)列，所以2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，即2(S6＋12)＝－12＋(45－S6)，解得S6＝3.
又2(S9－S6)＝(S6－S3)＋(S12－S9)，
即2×(45－3)＝(3＋12)＋(S12－45)，解得S12＝114.
(2)由題意知，數(shù)列{}為等差數(shù)列，其公差為1，
∴＝＋(2 018－1)×1
＝－2 018＋2 017＝－1.
∴S2 018＝－2 018.
【同步練習(xí)】
(1)在等差數(shù)列{an}中，已知a4＋a8＝16，則該數(shù)列前11項(xiàng)和S11等于(　　)
A．58 B．88 C．143 D．176
(2)等差數(shù)列{an}與{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，若＝，則等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　(1)B　(2)A
解析　(1)S11＝＝
＝＝88.
(2)＝＝＝＝
＝＝.
題型四 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及其最值
例5 (1)在等差數(shù)列{an}中，2(a1＋a3＋a5)＋3(a7＋a9)＝54，則此數(shù)列前10項(xiàng)的和S10等于(　　)
A．45 B．60
C．75 D．90
(2)在等差數(shù)列{an}中，S10＝100，S100＝10，則S110＝________.
解析　(1)由題意得a3＋a8＝9，
所以S10＝＝＝＝45.
(2)方法一　設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，
則解得
所以S110＝110a1＋d＝－110.
方法二　因?yàn)镾100－S10＝＝－90，
所以a11＋a100＝－2，
所以S110＝＝＝－110.
答案　(1)A　(2)－110
例6 在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝20，前n項(xiàng)和為Sn，且S10＝S15，求當(dāng)n取何值時(shí)，Sn取得最大值，并求出它的最大值．
規(guī)范解答
解　∵a1＝20，S10＝S15，
∴10×20＋d＝15×20＋d，∴d＝－.
方法一　由an＝20＋(n－1)×＝－n＋，
得a13＝0.
即當(dāng)n≤12時(shí)，an＞0，當(dāng)n≥14時(shí)，an＜0.
∴當(dāng)n＝12或n＝13時(shí)，Sn取得最大值，
且最大值為S12＝S13＝12×20＋×＝130.
方法二　Sn＝20n＋·＝－n2＋n＝－2＋.
∵n∈N*，∴當(dāng)n＝12或n＝13時(shí)，Sn有最大值，且最大值為S12＝S13＝130.
方法三　由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0.
∴5a13＝0，即a13＝0.
∴當(dāng)n＝12或n＝13時(shí)，Sn有最大值，且最大值為S12＝S13＝130.
一、等差數(shù)列運(yùn)算問(wèn)題的通性通法
(1)等差數(shù)列運(yùn)算問(wèn)題的一般求法是設(shè)出首項(xiàng)a1和公差d，然后由通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式轉(zhuǎn)化為方程(組)求解．(2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程的思想解決問(wèn)題．
二、等差數(shù)列的四個(gè)判定方法
(1)定義法：證明對(duì)任意正整數(shù)n都有an＋1－an等于同一個(gè)常數(shù)．
(2)等差中項(xiàng)法：證明對(duì)任意正整數(shù)n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可遞推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，根據(jù)定義得出數(shù)列{an}為等差數(shù)列．
(3)通項(xiàng)公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，根據(jù)定義判定數(shù)列{an}為等差數(shù)列．
(4)前n項(xiàng)和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，根據(jù)Sn，an的關(guān)系，得出an，再使用定義法證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列．
三、等差數(shù)列的性質(zhì)
(1)項(xiàng)的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，am－an＝(m－n)d ＝d(m≠n)，其幾何意義是點(diǎn)(n，an)，(m，am)所在直線的斜率等于等差數(shù)列的公差．
(2)和的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項(xiàng)和，則
①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
②S2n－1＝(2n－1)an.
1．在數(shù)列{an}中，an＋1－an＝2，a2＝5，則{an}的前4項(xiàng)和為(　　)
A．9 B．22
C．24 D．32
答案　C
解析　由an＋1－an＝2，知{an}為等差數(shù)列且公差d＝2，∴由a2＝5，得a1＝3，a3＝7，a4＝9，∴前4項(xiàng)和為3＋5＋7＋9＝24，故選C.
2．在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，則a4＋a5＋a6等于(　　)
A．40 B．42
C．43 D．45
答案　B
解析　a1＋a2＋a3＝3a2＝15，∴a2＝5，
又a1＝2，∴d＝3，a4＋a5＋a6＝3a5＝3(a1＋4d)
＝3×14＝42.
3．已知等差數(shù)列{an}滿足a2＝3，Sn－Sn－3＝51(n>3)，Sn＝100，則n的值為(　　)
A．8 B．9
C．10 D．11
答案　C
解析　由Sn－Sn－3＝51，得an－2＋an－1＋an＝51，
所以an－1＝17，又a2＝3，
Sn＝＝100，解得n＝10.
4．各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列{an}中，若an＋1＝a－an－1(n∈N*，n≥2)，則S2 016等于(　　)
A．0 B．2 C．2 015 D．4 032
答案　D
解析　由已知可得a＝2an(n≥2)，
∵{an}各項(xiàng)均不為零，
∴an＝2(n≥2)，
又{an}為等差數(shù)列，∴an＝2，∴S2 016＝4 032.
5．已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝an－，且a1＝5，設(shè){an}的前n項(xiàng)和為Sn，則使得Sn取得最大值的序號(hào)n的值為(　　)
A．7 B．8
C．7或8 D．8或9
答案　C
解析　由題意可知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為5，公差為－的等差數(shù)列，所以an＝5－(n－1)＝，該數(shù)列前7項(xiàng)是正數(shù)項(xiàng)，第8項(xiàng)是0，從第9項(xiàng)開(kāi)始是負(fù)數(shù)項(xiàng)，所以Sn取得最大值時(shí)，n＝7或n＝8，故選C.
*6.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若為常數(shù)，則稱數(shù)列{an}為“吉祥數(shù)列”．已知等差數(shù)列{bn}的首項(xiàng)為1，公差不為0，若數(shù)列{bn}為“吉祥數(shù)列”，則數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為(　　)
A．bn＝n－1 B．bn＝2n－1
C．bn＝n＋1 D．bn＝2n＋1
答案　B
解析　設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d(d≠0)，
＝k，因?yàn)閎1＝1，
則n＋n(n－1)d＝k[2n＋×2n(2n－1)d]，
即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d，
整理得(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0.
因?yàn)閷?duì)任意的正整數(shù)n上式均成立，
所以(4k－1)d＝0，(2k－1)(2－d)＝0，
又公差d≠0，解得d＝2，k＝.
所以數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝2n－1.
7．已知數(shù)列{an}中，a1＝1且＝＋(n∈N*)，則a10＝________.
答案　
解析　由已知得＝＋(10－1)×＝1＋3＝4，
故a10＝.
8．設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－10(n∈N*)，則|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.
答案　130
解析　由an＝2n－10(n∈N*)知{an}是以－8為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，又由an＝2n－10≥0，得n≥5，∴當(dāng)n≤5時(shí)，an≤0，當(dāng)n＞5時(shí)，an＞0，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130.
9．設(shè)等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，若對(duì)任意自然數(shù)n都有＝，則＋的值為_(kāi)_______．
答案　
解析　∵{an}，{bn}為等差數(shù)列，
∴＋＝＋＝＝.
∵＝＝＝＝，
∴＋＝.
10．設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1＝1，a2＝3，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，則a20的值是________．
答案　
解析　由2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，得
nan－(n－1)an－1＝(n＋1)an＋1－nan，
又因?yàn)?×a1＝1,2×a2－1×a1＝5，
所以數(shù)列{nan}是首項(xiàng)為1，公差為5的等差數(shù)列，
則20a20＝1＋19×5，解得a20＝.
11．在等差數(shù)列{an}中，a1＝1，a3＝－3.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列{an}的前k項(xiàng)和Sk＝－35，求k的值．
解　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
則an＝a1＋(n－1)d.
由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3，解得d＝－2.
從而an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.
(2)由(1)可知an＝3－2n，
所以Sn＝＝2n－n2.
由Sk＝－35，可得2k－k2＝－35，
即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.
又k∈N*，故k＝7.
12．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.
(1)求證：成等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
(1)證明　當(dāng)n≥2時(shí)，由an＋2SnSn－1＝0，
得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2，
又＝＝2，
故是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列．
(2)解　由(1)可得＝2n，∴Sn＝.
當(dāng)n≥2時(shí)，
an＝Sn－Sn－1＝－＝＝－.
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝不適合上式．
故an＝
*13.已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為Sn，且滿足2Sn＝a＋n－4(n∈N*)．
(1)求證：數(shù)列{an}為等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
(1)證明　當(dāng)n＝1時(shí)，有2a1＝a＋1－4，
即a－2a1－3＝0，
解得a1＝3(a1＝－1舍去)．
當(dāng)n≥2時(shí)，有2Sn－1＝a＋n－5，
又2Sn＝a＋n－4，
兩式相減得2an＝a－a＋1，
即a－2an＋1＝a，也即(an－1)2＝a，
因此an－1＝an－1或an－1＝－an－1.
若an－1＝－an－1，則an＋an－1＝1.
而a1＝3，
所以a2＝－2，這與數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)相矛盾，
所以an－1＝an－1，即an－an－1＝1，
因此數(shù)列{an}是首項(xiàng)為3，公差為1的等差數(shù)列．
(2)解　由(1)知a1＝3，d＝1，
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝3＋(n－1)×1＝n＋2，
即an＝n＋2.1、判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)若一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列．(　　)
(2)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的．(　　)
(3)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)．(　　)
(4)已知等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝3－2n，則它的公差為－2.(　　)
2、在等差數(shù)列{an}中，若a2＝4，a4＝2，則a6等于(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．6
3、已知等差數(shù)列{an}前9項(xiàng)的和為27，a10＝8，則a100等于(　　)
A．100 B．99 C．98 D．97
4、已知數(shù)列{an}中，a3＝3，an＋1＝an＋2，則a2＋a4＝________，an＝________.
5、若等差數(shù)列{an}滿足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，則當(dāng)n＝________時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和最大．
無(wú)
題型一　等差數(shù)列基本量的運(yùn)算
例1　(1)在數(shù)列{an}中，若a1＝－2，且對(duì)任意的n∈N*有2an＋1＝1＋2an，則數(shù)列{an}前10項(xiàng)的和為(　　)
A．2 B．10 C. D.
(2)已知{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和．若a1＝6，a3＋a5＝0，則S6＝________.
【同步練習(xí)】
(1)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a2＝3，a6＝11，則S7等于(　　)
A．13 B．35
C．49 D．63
(2)已知{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和．若a1＋a＝－3，S5＝10，則a9的值是________．
題型二　等差數(shù)列的判定與證明
例2　已知數(shù)列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，數(shù)列{bn}滿足bn＝(n∈N*)．
(1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，并說(shuō)明理由．
引申探究
例2中，若條件變?yōu)閍1＝，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，試求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
【同步練習(xí)】
(1)在數(shù)列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋(n∈N*)，則該數(shù)列的通項(xiàng)為(　　)
A．a(chǎn)n＝ B．a(chǎn)n＝
C．a(chǎn)n＝ D．a(chǎn)n＝
(2)數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2.
①設(shè)bn＝an＋1－an，證明{bn}是等差數(shù)列；
②求{an}的通項(xiàng)公式．
1．等差數(shù)列的定義
一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示．
2．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式
如果等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，那么它的通項(xiàng)公式是an＝a1＋(n－1)d.
3．等差中項(xiàng)
由三個(gè)數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列．這時(shí)，A叫做a與b的等差中項(xiàng)．
4．等差數(shù)列的常用性質(zhì)
(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則{a2n}也是等差數(shù)列，公差為2d.
(4)若{an}，{bn}是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}也是等差數(shù)列．
(5)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列．
(6)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…構(gòu)成等差數(shù)列．
5．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式
設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，其前n項(xiàng)和Sn＝或Sn＝na1＋d.
6．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系
Sn＝n2＋n.
數(shù)列{an}是等差數(shù)列 Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))．
7．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值
在等差數(shù)列{an}中，若a1>0，d<0，則Sn存在最大值；若a1<0，d>0，則Sn存在最小值．
【知識(shí)拓展】
等差數(shù)列的四種判斷方法
(1)定義法：an＋1－an＝d(d是常數(shù)) {an}是等差數(shù)列．
(2)等差中項(xiàng)法：2an＋1＝an＋an＋2 (n∈N*) {an}是等差數(shù)列．
(3)通項(xiàng)公式：an＝pn＋q(p，q為常數(shù)) {an}是等差數(shù)列．
(4)前n項(xiàng)和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)) {an}是等差數(shù)列．
題型三　等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用
命題點(diǎn)1　等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)
例3　(1)已知{an}為等差數(shù)列，若a1＋a5＋a9＝8π，則{an}前9項(xiàng)的和S9＝______，cos(a3＋a7)的值為_(kāi)_______．
(2)已知{an}，{bn}都是等差數(shù)列，若a1＋b10＝9，a3＋b8＝15，則a5＋b6＝________.
命題點(diǎn)2　等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)
例4　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S3＝－12，S9＝45，則S12＝________.
(2)在等差數(shù)列{an}中，a1＝－2 018，其前n項(xiàng)和為Sn，若－＝2，則S2 018的值等于(　　)
A．－2 018 B．－2 016
C．－2 019 D．－2 017
【同步練習(xí)】
(1)在等差數(shù)列{an}中，已知a4＋a8＝16，則該數(shù)列前11項(xiàng)和S11等于(　　)
A．58 B．88 C．143 D．176
(2)等差數(shù)列{an}與{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，若＝，則等于(　　)
A. B.
C. D.
題型四 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及其最值
例5 (1)在等差數(shù)列{an}中，2(a1＋a3＋a5)＋3(a7＋a9)＝54，則此數(shù)列前10項(xiàng)的和S10等于(　　)
A．45 B．60
C．75 D．90
(2)在等差數(shù)列{an}中，S10＝100，S100＝10，則S110＝________.
例6 在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝20，前n項(xiàng)和為Sn，且S10＝S15，求當(dāng)n取何值時(shí)，Sn取得最大值，并求出它的最大值．
一、等差數(shù)列運(yùn)算問(wèn)題的通性通法
(1)等差數(shù)列運(yùn)算問(wèn)題的一般求法是設(shè)出首項(xiàng)a1和公差d，然后由通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式轉(zhuǎn)化為方程(組)求解．(2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程的思想解決問(wèn)題．
二、等差數(shù)列的四個(gè)判定方法
(1)定義法：證明對(duì)任意正整數(shù)n都有an＋1－an等于同一個(gè)常數(shù)．
(2)等差中項(xiàng)法：證明對(duì)任意正整數(shù)n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可遞推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，根據(jù)定義得出數(shù)列{an}為等差數(shù)列．
(3)通項(xiàng)公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，根據(jù)定義判定數(shù)列{an}為等差數(shù)列．
(4)前n項(xiàng)和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，根據(jù)Sn，an的關(guān)系，得出an，再使用定義法證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列．
三、等差數(shù)列的性質(zhì)
(1)項(xiàng)的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，am－an＝(m－n)d ＝d(m≠n)，其幾何意義是點(diǎn)(n，an)，(m，am)所在直線的斜率等于等差數(shù)列的公差．
(2)和的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項(xiàng)和，則
①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
②S2n－1＝(2n－1)an.
1．在數(shù)列{an}中，an＋1－an＝2，a2＝5，則{an}的前4項(xiàng)和為(　　)
A．9 B．22
C．24 D．32
2．在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，則a4＋a5＋a6等于(　　)
A．40 B．42
C．43 D．45
3．已知等差數(shù)列{an}滿足a2＝3，Sn－Sn－3＝51(n>3)，Sn＝100，則n的值為(　　)
A．8 B．9
C．10 D．11
4．各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列{an}中，若an＋1＝a－an－1(n∈N*，n≥2)，則S2 016等于(　　)
A．0 B．2 C．2 015 D．4 032
5．已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝an－，且a1＝5，設(shè){an}的前n項(xiàng)和為Sn，則使得Sn取得最大值的序號(hào)n的值為(　　)
A．7 B．8
C．7或8 D．8或9
*6.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若為常數(shù)，則稱數(shù)列{an}為“吉祥數(shù)列”．已知等差數(shù)列{bn}的首項(xiàng)為1，公差不為0，若數(shù)列{bn}為“吉祥數(shù)列”，則數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為(　　)
A．bn＝n－1 B．bn＝2n－1
C．bn＝n＋1 D．bn＝2n＋1
7．已知數(shù)列{an}中，a1＝1且＝＋(n∈N*)，則a10＝________.
8．設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－10(n∈N*)，則|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.
9．設(shè)等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，若對(duì)任意自然數(shù)n都有＝，則＋的值為_(kāi)_______．
10．設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1＝1，a2＝3，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，則a20的值是________．
11．在等差數(shù)列{an}中，a1＝1，a3＝－3.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列{an}的前k項(xiàng)和Sk＝－35，求k的值．
12．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.
(1)求證：成等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
*13.已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為Sn，且滿足2Sn＝a＋n－4(n∈N*)．
(1)求證：數(shù)列{an}為等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

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