資源簡介

2025年湖南省中考數(shù)學一輪復(fù)習
第十四講　函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系 學生版
知識要點 對點練習
1.一次函數(shù)與方程(組)的關(guān)系 (1)一次函數(shù)y=kx+b的表達式是一個 方程. (2)一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x軸的交點的橫坐標是方程 的根. (3)一次函數(shù)y=k1x+b1與一次函數(shù)y=k2x+b2的圖象的 坐標就是方程組的解. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(1)如圖,直線y=ax+b(a≠0)與x軸交點的橫坐標為1,則關(guān)于x的方程ax+b=0的解為( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2 (2)如圖,直線y=2x與y=kx+b相交于點P(1,2),則關(guān)于x的方程kx+b=2x的解是 .
2.一次函數(shù)與不等式的關(guān)系 (1)直線y=kx+b在x軸上方的點的橫坐標就是不等式 的解集. (2)直線y=kx+b在x軸下方的點的橫坐標就是不等式 的解集. (3)直線l1:y1=k1x+b1,l2:y2=k2x+b2, 當直線l1在直線l2上方時,y1 y2; 當直線l1在直線l2下方時,y1 y2. 　　　　　　　　　　　　　　　　 2.如圖,一次函數(shù)y=x+1的圖象與一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象交于點A(m,2),則關(guān)于字母x的不等式kx+b≥x+1的解集為 .
3.反比例函數(shù)與不等式 反比例函數(shù)y1=與一次函數(shù)y2=k2x+b有兩個交點. (1)y1>y2或>k2x+b的解集: ; (2)y1y2時,x的取值范圍是( ) A.x<-1或x>2 B.x<-1或02
續(xù)表
知識要點 對點練習
4.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)與方程的關(guān)系 (1)當y=0時,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解是拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交點的 坐標. (2)①b2-4ac>0 拋物線與x軸有 個交點; ②b2-4ac=0 拋物線與x軸有且只有 個交點; ③b2-4ac<0 拋物線與x軸有 個交點. 4.(1)若二次函數(shù)y=x2-(m-1)x的圖象經(jīng)過點(4,0),則關(guān)于x的一元二次方程x2-(m-1)x=0的根為 . (2)函數(shù)y=kx2+x+1(k為常數(shù))的圖象與坐標軸有兩個交點,則k的值為 .
5.二次函數(shù)與含a,b,c不等式的關(guān)系 (1)不等式ax2+bx+c>0的解集 拋物線位于 上方對應(yīng)的點的橫坐標的取值范圍. (2)不等式ax2+bx+c<0的解集 拋物線位于 下方對應(yīng)的點的橫坐標的取值范圍. (3)二次函數(shù)y=ax2+bx+c與一次函數(shù)y=kx+m相交: ①ax2+bx+ckx+m 二次函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象 . 5.如圖,二次函數(shù)y1=x2+bx+c與一次函數(shù)y2=mx+n的圖象相交于A,B兩點,則不等式x2+bx+c考點1　一次函數(shù)與方程、不等式
【例1】(2024·廣東中考)已知不等式kx+b<0的解集是x<2,則一次函數(shù)y=kx+b的圖象大致是( )
【變式訓練】
1.(2024·揚州中考)如圖,已知一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象分別與x,y軸交于A,B兩點,若OA=2,OB=1,則關(guān)于x的方程kx+b=0的解為 .
2.(2024·呼倫貝爾中考)點P(x,y)在直線y=-x+4上,坐標(x,y)是二元一次方程5x-6y=33的解,則點P的位置在( )
A.第一象限　 B.第二象限
C.第三象限　 D.第四象限
考點2　反比例函數(shù)與一次函數(shù)的不等式
【例2】(2023·內(nèi)蒙古中考)如圖,直線y=ax+b(a≠0)與雙曲線y=(k≠0)交于點A(-2,4)和點B(m,-2),則不等式0A.-2B.-2C.x<-2或0D.-24
【方法技巧】
反比例函數(shù)與一次函數(shù)的不等式解集確定方法
1.確定反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點的橫坐標是解題關(guān)鍵.
2.圖象在上方的函數(shù)值大.
3.兩個交點所在的直線x=x1和x=x2(與y軸),將圖象分為幾部分,根據(jù)劃分區(qū)域,寫出解集范圍.
提醒:有時不等式組的解集有兩部分,容易漏寫其一;同時兩個解集應(yīng)用“或”字連接,而非“且”.
【變式訓練】
(2024·威海中考)如圖,在平面直角坐標系中,直線y1=ax+b(a≠0)與雙曲線y2=(k≠0)交于點A(-1,m),B(2,-1).則滿足y1≤y2的x的取值范圍 .
考點3　二次函數(shù)與方程、不等式
【例3】(2023·湘潭三模)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,下列結(jié)論正確的有( )
A.2a+b>0 B.abc>0
C.4a-2b+c>0 D.a+c>0
【思路點撥】利用拋物線開口方向得a<0,利用對稱軸方程得00,再根據(jù)當x=-2時,y<0等可以判斷出答案.
【方法技巧】
二次函數(shù)的圖象與方程、不等式的關(guān)系
1.ax2+bx+c=m(a≠0) 二次函數(shù)y=ax2+bx+c在函數(shù)值y=m時對應(yīng)的x的值.
2.ax2+bx+c>m(a≠0) 拋物線y=ax2+bx+c在直線y=m上方對應(yīng)的x的取值范圍.
3.ax2+bx+c4.二次函數(shù)與系數(shù)a,b,c相關(guān)的不等式.
【變式訓練】
1.(2024·福建模擬)如圖是二次函數(shù)y=-x2+2x+4的圖象,使y≥1成立的x的取值范圍是( )
A.-1≤x≤3　 B.x≥-1
C.x≥1　 D.x≤-1或x≥3
2.(2024·德陽中考)如圖,拋物線y=ax2+bx+c的頂點A的坐標為(-,n),與x軸的一個交點位于0和1之間,則以下結(jié)論:①abc>0;②5b+2c<0;③若拋物線經(jīng)過點(-6,y1),(5,y2),則y1>y2;④若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=4無實數(shù)根,則n<4.其中正確結(jié)論是 (請?zhí)顚懶蛱?.
考點4　二次函數(shù)與x軸交點的個數(shù)
【例4】(教材原題·湘教版九年級下冊·P28T4)
當t取什么值時,拋物線y=5x2+4tx+t2-1與x軸有一個交點
【思路點撥】當拋物線y=5x2+4tx+t2-1與x軸有一個交點時,則Δ=b2-4ac=0,即可求解.
【方法技巧】
拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點個數(shù)關(guān)系
1.由Δ=b2-4ac與0的大小關(guān)系,可判斷拋物線與x軸交點的個數(shù).
2.由拋物線與x軸交點個數(shù),可得相關(guān)字母系數(shù)的不等式.
【變式訓練】
1.拋物線y=x2-2x+1與坐標軸的交點個數(shù)為( )
A.無交點　　　B.1　　　C.2　　　D.3
2.(2024·遼寧中考)如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx+3與x軸相交于點A,B,點B的坐標為(3,0),若點C(2,3)在拋物線上,則AB的長為 .
1.(2023·衡陽中考)已知m>n>0,若關(guān)于x的方程x2+2x-3-m=0的解為x1,x2(x1A.x3C.x12.(2023·郴州中考)已知拋物線y=x2-6x+m與x軸有且只有一個交點,則m= .
3.(2022·岳陽中考)如圖,反比例函數(shù)y=(k≠0)與正比例函數(shù)y=mx(m≠0)的圖象交于點A(-1,2)和點B,點C是點A關(guān)于y軸的對稱點,連接AC,BC.
(1)求該反比例函數(shù)的表達式;
(2)求△ABC的面積;
(3)請結(jié)合函數(shù)圖象,直接寫出不等式4.(2024·長沙中考)已知四個不同的點A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)都在關(guān)于x的函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)的圖象上.
(1)當A,B兩點的坐標分別為(-1,-4),(3,4)時,求代數(shù)式2 024a+1 012b+的值;
(2)當A,B兩點的坐標滿足a2+2(y1+y2)a+4y1y2=0時,請你判斷此函數(shù)圖象與x軸的公共點的個數(shù),并說明理由;
(3)當a>0時,該函數(shù)圖象與x軸交于E,F兩點,且A,B,C,D四點的坐標滿足:2a2+2(y1+y2)a++=0,2a2-2(y3+y4)a++=0.請問是否存在實數(shù)m(m>1),使得AB,CD,m·EF這三條線段組成一個三角形,且該三角形的三個內(nèi)角的大小之比為1∶2∶3 若存在,求出m的值和此時函數(shù)的最小值;若不存在,請說明理由(注:m·EF表示一條長度等于EF的m倍的線段).
2025年湖南省中考數(shù)學一輪復(fù)習
第十四講　函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系 教師版
知識要點 對點練習
1.一次函數(shù)與方程(組)的關(guān)系 (1)一次函數(shù)y=kx+b的表達式是一個　二元一次　方程. (2)一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x軸的交點的橫坐標是方程　kx+b=0　的根. (3)一次函數(shù)y=k1x+b1與一次函數(shù)y=k2x+b2的圖象的　交點　坐標就是方程組的解. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(1)如圖,直線y=ax+b(a≠0)與x軸交點的橫坐標為1,則關(guān)于x的方程ax+b=0的解為(A) A.1 B.-1 C.2 D.-2 (2)如圖,直線y=2x與y=kx+b相交于點P(1,2),則關(guān)于x的方程kx+b=2x的解是　x=1　.
2.一次函數(shù)與不等式的關(guān)系 (1)直線y=kx+b在x軸上方的點的橫坐標就是不等式　kx+b>0　的解集. (2)直線y=kx+b在x軸下方的點的橫坐標就是不等式　kx+b<0　的解集. (3)直線l1:y1=k1x+b1,l2:y2=k2x+b2, 當直線l1在直線l2上方時,y1　>　y2; 當直線l1在直線l2下方時,y1　<　y2. 　　　　　　　　　　　　　　　　 2.如圖,一次函數(shù)y=x+1的圖象與一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象交于點A(m,2),則關(guān)于字母x的不等式kx+b≥x+1的解集為　x≤1　.
3.反比例函數(shù)與不等式 反比例函數(shù)y1=與一次函數(shù)y2=k2x+b有兩個交點. (1)y1>y2或>k2x+b的解集:　xm　. 　　　　　　　　　　　　　　　　 3.如圖,一次函數(shù)y1=x-1的圖象與反比例函數(shù)y2=的圖象交于點A(2,m),B(n,-2),當y1>y2時,x的取值范圍是(D) A.x<-1或x>2 B.x<-1或02
續(xù)表
知識要點 對點練習
4.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)與方程的關(guān)系 (1)當y=0時,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解是拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交點的　橫　坐標. (2)①b2-4ac>0 拋物線與x軸有　2　個交點; ②b2-4ac=0 拋物線與x軸有且只有　1　個交點; ③b2-4ac<0 拋物線與x軸有　0　個交點. 4.(1)若二次函數(shù)y=x2-(m-1)x的圖象經(jīng)過點(4,0),則關(guān)于x的一元二次方程x2-(m-1)x=0的根為　0或4　. (2)函數(shù)y=kx2+x+1(k為常數(shù))的圖象與坐標軸有兩個交點,則k的值為　0或　.
5.二次函數(shù)與含a,b,c不等式的關(guān)系 (1)不等式ax2+bx+c>0的解集 拋物線位于　x軸　上方對應(yīng)的點的橫坐標的取值范圍. (2)不等式ax2+bx+c<0的解集 拋物線位于　x軸　下方對應(yīng)的點的橫坐標的取值范圍. (3)二次函數(shù)y=ax2+bx+c與一次函數(shù)y=kx+m相交: ①ax2+bx+ckx+m 二次函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象　上方　. 5.如圖,二次函數(shù)y1=x2+bx+c與一次函數(shù)y2=mx+n的圖象相交于A,B兩點,則不等式x2+bx+c考點1　一次函數(shù)與方程、不等式
【例1】(2024·廣東中考)已知不等式kx+b<0的解集是x<2,則一次函數(shù)y=kx+b的圖象大致是(B)
【變式訓練】
1.(2024·揚州中考)如圖,已知一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象分別與x,y軸交于A,B兩點,若OA=2,OB=1,則關(guān)于x的方程kx+b=0的解為　x=-2　.
2.(2024·呼倫貝爾中考)點P(x,y)在直線y=-x+4上,坐標(x,y)是二元一次方程5x-6y=33的解,則點P的位置在(D)
A.第一象限　 B.第二象限
C.第三象限　 D.第四象限
考點2　反比例函數(shù)與一次函數(shù)的不等式
【例2】(2023·內(nèi)蒙古中考)如圖,直線y=ax+b(a≠0)與雙曲線y=(k≠0)交于點A(-2,4)和點B(m,-2),則不等式0A.-2B.-2C.x<-2或0D.-24
【方法技巧】
反比例函數(shù)與一次函數(shù)的不等式解集確定方法
1.確定反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點的橫坐標是解題關(guān)鍵.
2.圖象在上方的函數(shù)值大.
3.兩個交點所在的直線x=x1和x=x2(與y軸),將圖象分為幾部分,根據(jù)劃分區(qū)域,寫出解集范圍.
提醒:有時不等式組的解集有兩部分,容易漏寫其一;同時兩個解集應(yīng)用“或”字連接,而非“且”.
【變式訓練】
(2024·威海中考)如圖,在平面直角坐標系中,直線y1=ax+b(a≠0)與雙曲線y2=(k≠0)交于點A(-1,m),B(2,-1).則滿足y1≤y2的x的取值范圍　-1≤x<0或x≥2　.
考點3　二次函數(shù)與方程、不等式
【例3】(2023·湘潭三模)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,下列結(jié)論正確的有(D)
A.2a+b>0 B.abc>0
C.4a-2b+c>0 D.a+c>0
【思路點撥】利用拋物線開口方向得a<0,利用對稱軸方程得00,再根據(jù)當x=-2時,y<0等可以判斷出答案.
【方法技巧】
二次函數(shù)的圖象與方程、不等式的關(guān)系
1.ax2+bx+c=m(a≠0) 二次函數(shù)y=ax2+bx+c在函數(shù)值y=m時對應(yīng)的x的值.
2.ax2+bx+c>m(a≠0) 拋物線y=ax2+bx+c在直線y=m上方對應(yīng)的x的取值范圍.
3.ax2+bx+c4.二次函數(shù)與系數(shù)a,b,c相關(guān)的不等式.
【變式訓練】
1.(2024·福建模擬)如圖是二次函數(shù)y=-x2+2x+4的圖象,使y≥1成立的x的取值范圍是(A)
A.-1≤x≤3　 B.x≥-1
C.x≥1　 D.x≤-1或x≥3
2.(2024·德陽中考)如圖,拋物線y=ax2+bx+c的頂點A的坐標為(-,n),與x軸的一個交點位于0和1之間,則以下結(jié)論:①abc>0;②5b+2c<0;③若拋物線經(jīng)過點(-6,y1),(5,y2),則y1>y2;④若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=4無實數(shù)根,則n<4.其中正確結(jié)論是　①②④　(請?zhí)顚懶蛱?.
考點4　二次函數(shù)與x軸交點的個數(shù)
【例4】(教材原題·湘教版九年級下冊·P28T4)
當t取什么值時,拋物線y=5x2+4tx+t2-1與x軸有一個交點
【思路點撥】當拋物線y=5x2+4tx+t2-1與x軸有一個交點時,則Δ=b2-4ac=0,即可求解.
【自主解答】由題意得:Δ=b2-4ac=(4t)2-4×5×(t2-1)=0,解得t=±,
∴t=-或時,拋物線y=5x2+4tx+t2-1與x軸有一個交點.
【方法技巧】
拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點個數(shù)關(guān)系
1.由Δ=b2-4ac與0的大小關(guān)系,可判斷拋物線與x軸交點的個數(shù).
2.由拋物線與x軸交點個數(shù),可得相關(guān)字母系數(shù)的不等式.
【變式訓練】
1.拋物線y=x2-2x+1與坐標軸的交點個數(shù)為(C)
A.無交點　　　B.1　　　C.2　　　D.3
2.(2024·遼寧中考)如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx+3與x軸相交于點A,B,點B的坐標為(3,0),若點C(2,3)在拋物線上,則AB的長為　4　.
1.(2023·衡陽中考)已知m>n>0,若關(guān)于x的方程x2+2x-3-m=0的解為x1,x2(x1A.x3C.x12.(2023·郴州中考)已知拋物線y=x2-6x+m與x軸有且只有一個交點,則m=　9　.
3.(2022·岳陽中考)如圖,反比例函數(shù)y=(k≠0)與正比例函數(shù)y=mx(m≠0)的圖象交于點A(-1,2)和點B,點C是點A關(guān)于y軸的對稱點,連接AC,BC.
(1)求該反比例函數(shù)的表達式;
(2)求△ABC的面積;
(3)請結(jié)合函數(shù)圖象,直接寫出不等式【解析】(1)把點A(-1,2)代入y=(k≠0)得2=,∴k=-2,
∴反比例函數(shù)的表達式為y=-;
(2)∵反比例函數(shù)y=(k≠0)與正比例函數(shù)y=mx(m≠0)的圖象交于點A(-1,2)和點B,∴B(1,-2),∵點C是點A關(guān)于y軸的對稱點,∴C(1,2),∴AC=2,
∴S△ABC=×2×(2+2)=4.
(3)根據(jù)圖象得:不等式4.(2024·長沙中考)已知四個不同的點A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)都在關(guān)于x的函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)的圖象上.
(1)當A,B兩點的坐標分別為(-1,-4),(3,4)時,求代數(shù)式2 024a+1 012b+的值;
(2)當A,B兩點的坐標滿足a2+2(y1+y2)a+4y1y2=0時,請你判斷此函數(shù)圖象與x軸的公共點的個數(shù),并說明理由;
(3)當a>0時,該函數(shù)圖象與x軸交于E,F兩點,且A,B,C,D四點的坐標滿足:2a2+2(y1+y2)a++=0,2a2-2(y3+y4)a++=0.請問是否存在實數(shù)m(m>1),使得AB,CD,m·EF這三條線段組成一個三角形,且該三角形的三個內(nèi)角的大小之比為1∶2∶3 若存在,求出m的值和此時函數(shù)的最小值;若不存在,請說明理由(注:m·EF表示一條長度等于EF的m倍的線段).
【解析】(1)將A(-1,-4),B(3,4)代入y=ax2+bx+c得,
②-①得8a+4b=8,即2a+b=2.
所以2 024a+1 012b+=1 012(2a+b)+=2 024.
(2)此函數(shù)圖象與x軸的公共點有兩個.
方法1:由a2+2(y1+y2)a+4y1y2=0,得(a+2y1)(a+2y2)=0.可得y1=-或y2=-.
當a>0時,-<0,此拋物線開口向上,而A,B兩點之中至少有一個點在x軸的下方,此時該函數(shù)圖象與x軸有兩個公共點;
當a<0時,->0,此拋物線開口向下,而A,B兩點之中至少有一個點在x軸的上方,此時該函數(shù)圖象與x軸也有兩個公共點.
綜上所述,此函數(shù)圖象與x軸必有兩個公共點.
方法2:由a2+2(y1+y2)a+4y1y2=0,得(a+2y1)(a+2y2)=0.可得y1=-或y2=-.
所以拋物線上存在縱坐標為-的點,即一元二次方程ax2+bx+c=-有解.
所以該方程根的判別式Δ=b2-4a(c+)≥0,即b2-4ac≥2a2.因為a≠0,所以b2-4ac>0.
所以原函數(shù)圖象與x軸必有兩個公共點.
方法3:由a2+2(y1+y2)a+4y1y2=0,可得y1=-或y2=-.
當y1=-時,有a+bx1+c=-,即a+bx1+=-c,
所以Δ=b2-4ac=b2+4a(a+bx1+)=2a2+(2ax1+b)2>0.
此時該函數(shù)圖象與x軸有兩個公共點.
當y2=-時,同理可得Δ>0,此時該函數(shù)圖象與x軸也有兩個公共點.
綜上所述,該函數(shù)圖象與x軸必有兩個公共點.
(3)因為a>0,所以該函數(shù)圖象開口向上.
由2a2+2(y1+y2)a++=0,得(a+y1)2+(a+y2)2=0,可得y1=y2=-a.
由2a2-2(y3+y4)a++=0,得(a-y3)2+(a-y4)2=0,可得y3=y4=a.
所以直線AB,CD均與x軸平行.
由(2)可知該函數(shù)圖象與x軸必有兩個公共點,設(shè)E(x5,0),F(x6,0).
由圖象可知-a>,即b2-4ac>4a2.
所以ax2+bx+c=-a的兩根為x1,x2,可得AB=|x1-x2|=.
同理ax2+bx+c=a的兩根為x3,x4,可得CD=|x3-x4|=.
同理ax2+bx+c=0的兩根為x5,x6,可得m·EF=m·|x5-x6|=m·.
由于m>1,結(jié)合圖象與計算可得AB若存在實數(shù)m(m>1),使得AB,CD,m·EF這三條線段組成一個三角形,且該三角形的三個內(nèi)角的大小之比為1∶2∶3,則此三角形必定為兩銳角分別為30°,60°的直角三角形,所以線段AB不可能是該直角三角形的斜邊.
①當以線段CD為斜邊,且兩銳角分別為30°,60°時,因為m·EF>AB,
所以必須同時滿足:AB2+(m·EF)2=CD2,m·EF=AB.
將上述各式代入化簡可得m2=<=2,且m2=,
聯(lián)立,解得b2-4ac=,m2==<2,解得m=>1符合要求.
所以m=,此時該函數(shù)的最小值為==-.
②當以線段m·EF為斜邊時,必有AB2+CD2=(m·EF)2,同理代入化簡可得
2(b2-4ac)=m2(b2-4ac),解得m=.
因為以線段EF為斜邊,且有一個內(nèi)角為60°,而CD>AB,
所以CD=AB·tan 60°,即=·,
化簡得b2-4ac=8a2>4a2符合要求.
所以m=,此時該函數(shù)的最小值為==-2a.
綜上所述,存在兩個m的值符合題意;
當m=時,此時該函數(shù)的最小值為-;
當m=時,此時該函數(shù)的最小值為-2a.
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