資源簡介

2025年湖南省中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)
第十三講　函數(shù)圖象的平移、軸對稱變換 學(xué)生版
知識要點(diǎn) 對點(diǎn)練習(xí)
1.一次函數(shù)圖象的平移 (1)左右平移: y=kx+b向左平移a個單位長度:y= k +b, 向右平移a個單位長度:y=k +b; (2)上下平移: y=kx+b向上平移a個單位長度:y=kx+ ,向下平移a個單位長度:y=kx+ . 1.(1)將直線y=5x向下平移2個單位長度,所得直線的表達(dá)式為( ) A.y=5x-2 B.y=5x+2 C.y=5(x+2) D.y=5(x-2) (2)在平面直角坐標(biāo)系中,將直線y=2x+b沿y軸向下平移2個單位后恰好經(jīng)過原點(diǎn),則b的值為( ) A.-2 B.2 C.4 D-4
2.函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)軸的對稱 函數(shù)y=kx+by=ax2+bx+c關(guān)于x軸 對稱y= y= 關(guān)于y軸 對稱y= y= 關(guān)于原點(diǎn) 對稱y=kx-by=
　　　　　　　　　　　　　　　　 2.(1)直線y=-x+1關(guān)于x軸對稱的直線的函數(shù)表達(dá)式是 . (2)(教材再開發(fā)·湘教九下P37T3改編)在平面直角坐標(biāo)系中,將拋物線y=x2+2x-1先繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,再向下平移5個單位,所得到的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 .
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3.(1)在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi),將拋物線y=(x-1)2+3先向左平移1個單位長度,再向下平移3個單位長度后所得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為( ) A.(2,0) B.(2,6) C.(0,6) D.(0,0) (2)在平面直角坐標(biāo)系中,將二次函數(shù)y=(x-1)2+1的圖象先向左平移1個單位長度,再向下平移2個單位長度,所得函數(shù)的表達(dá)式為( ) A.y=(x-2)2-1 B.y=(x-2)2+3 C.y=x2+1 D.y=x2-1 (3)拋物線y=x2-2x+3向右平移2個單位長度,再向上平移3個單位長度,得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 .
考點(diǎn)1　一次函數(shù)圖象的平移
【例1】(2024·許昌模擬)在平面直角坐標(biāo)系中,要得到函數(shù)y=2x-1的圖象,只需要將函數(shù)y=2x的圖象( )
A.向上平移1個單位長度
B.向下平移1個單位長度
C.向左平移1個單位長度
D.向右平移1個單位長度
【方法技巧】
一次函數(shù)圖象平移規(guī)律
左加右減,給x加減;上加下減,給函數(shù)整體加減.
提醒:若一次函數(shù)y1=k1x+b1,y2=k2x+b2的圖象平行,則k1=k2.
【變式訓(xùn)練】
(2024·鞍山模擬)把直線y=-x+3向上平移m個單位后,與直線y=2x+4的交點(diǎn)在第一象限,則m的取值范圍是( )
A.1C.m>1　 D.m<4
考點(diǎn)2　二次函數(shù)的平移
【例2】(2024·山東中考改編)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P(2,-3)在二次函數(shù)y=ax2+bx-3(a>0)的圖象上,記該二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=m.
(1)求m的值;
(2)若點(diǎn)Q(m,-4)在y=ax2+bx-3的圖象上,將該二次函數(shù)的圖象向上平移5個單位長度,得到新的二次函數(shù)的圖象.求新的二次函數(shù)的表達(dá)式.
【方法技巧】
二次函數(shù)圖象平移變化的關(guān)鍵
1.頂點(diǎn)變換法:先確定原二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo),然后確定平移后的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo),最后用頂點(diǎn)式確定函數(shù)的表達(dá)式.
2.左加右減,上加下減:左右平移是對x加減;上下平移是直接在表達(dá)式后面加減.
【變式訓(xùn)練】
1.(2023·西藏中考)將拋物線y=(x-1)2+5通過平移后,得到拋物線的表達(dá)式為y=x2+2x+3,則平移的方向和距離是( )
A.向右平移2個單位長度,再向上平移3個單位長度
B.向右平移2個單位長度,再向下平移3個單位長度
C.向左平移2個單位長度,再向上平移3個單位長度
D.向左平移2個單位長度,再向下平移3個單位長度
2.(2024·包頭中考)將拋物線y=x2+2x向下平移2個單位后,所得新拋物線的頂點(diǎn)式為( )
A.y=(x+1)2-3　 B.y=(x+1)2-2
C.y=(x-1)2-3　 D.y=(x-1)2-2
考點(diǎn)3　函數(shù)圖象的軸對稱
【例3】(2022·湘西州中考)已知二次函數(shù)y=-x2+4x+5及一次函數(shù)y=-x+b,將該二次函數(shù)在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方,圖象的其余部分不變,得到一個新圖象(如圖所示),當(dāng)直線y=-x+b與新圖象有4個交點(diǎn)時,b的取值范圍是 .
【方法技巧】
關(guān)于函數(shù)圖象軸對稱問題的解題思路
1.分清對稱軸,關(guān)于x軸和y軸對稱,所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式不同.
2.分清函數(shù)圖象對稱是全體,還是部分.
3.關(guān)鍵是確定對稱前后的表達(dá)式,畫出草圖分析判斷.
【變式訓(xùn)練】
1.已知二次函數(shù)y=x2-2tx+t2+t,將其圖象在直線x=1左側(cè)部分沿x軸翻折,其余部分保持不變,組成圖形G.在圖形G上任取一點(diǎn)M,點(diǎn)M的縱坐標(biāo)y的取值滿足y≥m或yn.令s=m-n,則s的取值范圍是( )
A.s≤0 B.0≤s≤2
C.s≤2 D.s≥2
2. (2023·株洲淥口區(qū)一模)把二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象作關(guān)于x軸的對稱變換,所得圖象的表達(dá)式為y=-a(x-1)2+2a,a+c= ,若(m-1)a+b+c≤0,則m的最大值是 .
1.(2022·婁底中考)將直線y=2x+1向上平移2個單位,相當(dāng)于( )
A.向左平移2個單位
B.向左平移1個單位
C.向右平移2個單位
D.向右平移1個單位
2.(2023·婁底中考)將直線y=2x+1向右平移2個單位所得直線的表達(dá)式為( )
A.y=2x-1　
B.y=2x-3
C.y=2x+3　
D.y=2x+5
3.(2021·郴州中考)將拋物線y=ax2(a≠0)向左平移1個單位,再向上平移4個單位后,得到拋物線H:y=a(x-h)2+k.拋物線H與x軸交于點(diǎn)A,B,與y軸交于點(diǎn)C.已知A(-3,0),點(diǎn)P是拋物線H上的一個動點(diǎn).
(1)求拋物線H的表達(dá)式;
(2)如圖,點(diǎn)P在線段AC上方的拋物線H上運(yùn)動(不與A,C重合),過點(diǎn)P作PD⊥AB,垂足為D,PD交AC于點(diǎn)E.作PF⊥AC,垂足為F,求△PEF的面積的最大值.
4.(2023·衡陽中考)如圖,已知拋物線y=ax2-2ax+3與x軸交于點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C,連接AC,過B,C兩點(diǎn)作直線.
(1)求a的值.
(2)將直線BC向下平移m(m>0)個單位長度,交拋物線于B',C'兩點(diǎn).在直線B'C'上方的拋物線上是否存在定點(diǎn)D,無論m取何值時,都是點(diǎn)D到直線B'C'的距離最大 若存在,請求出點(diǎn)D的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
(3)拋物線上是否存在點(diǎn)P,使∠PBC+∠ACO=45° 若存在,請求出直線BP的表達(dá)式;若不存在,請說明理由.
2025年湖南省中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)
第十三講　函數(shù)圖象的平移、軸對稱變換 教師版
知識要點(diǎn) 對點(diǎn)練習(xí)
1.一次函數(shù)圖象的平移 (1)左右平移: y=kx+b向左平移a個單位長度:y= k　(x+a)　+b, 向右平移a個單位長度:y=k　(x-a)　+b; (2)上下平移: y=kx+b向上平移a個單位長度:y=kx+　b+a　,向下平移a個單位長度:y=kx+　b-a　. 1.(1)將直線y=5x向下平移2個單位長度,所得直線的表達(dá)式為(A) A.y=5x-2 B.y=5x+2 C.y=5(x+2) D.y=5(x-2) (2)在平面直角坐標(biāo)系中,將直線y=2x+b沿y軸向下平移2個單位后恰好經(jīng)過原點(diǎn),則b的值為(B) A.-2 B.2 C.4 D-4
2.函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)軸的對稱 函數(shù)y=kx+by=ax2+bx+c關(guān)于x軸 對稱y=　-kx-b　 y=　-ax2-bx-c　 關(guān)于y軸 對稱y=　-kx+b　 y=　ax2-bx+c　 關(guān)于原點(diǎn) 對稱y=kx-by=　-ax2+bx-c　
　　　　　　　　　　　　　　　　 2.(1)直線y=-x+1關(guān)于x軸對稱的直線的函數(shù)表達(dá)式是　y=x-1　. (2)(教材再開發(fā)·湘教九下P37T3改編)在平面直角坐標(biāo)系中,將拋物線y=x2+2x-1先繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,再向下平移5個單位,所得到的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是　(1,-3)　.
3.將拋物線y=ax2的頂點(diǎn)平移到(h,k)處,平移方法如下: 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3.(1)在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi),將拋物線y=(x-1)2+3先向左平移1個單位長度,再向下平移3個單位長度后所得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(D) A.(2,0) B.(2,6) C.(0,6) D.(0,0) (2)在平面直角坐標(biāo)系中,將二次函數(shù)y=(x-1)2+1的圖象先向左平移1個單位長度,再向下平移2個單位長度,所得函數(shù)的表達(dá)式為(D) A.y=(x-2)2-1 B.y=(x-2)2+3 C.y=x2+1 D.y=x2-1 (3)拋物線y=x2-2x+3向右平移2個單位長度,再向上平移3個單位長度,得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是　(3,5)　.
考點(diǎn)1　一次函數(shù)圖象的平移
【例1】(2024·許昌模擬)在平面直角坐標(biāo)系中,要得到函數(shù)y=2x-1的圖象,只需要將函數(shù)y=2x的圖象(B)
A.向上平移1個單位長度
B.向下平移1個單位長度
C.向左平移1個單位長度
D.向右平移1個單位長度
【方法技巧】
一次函數(shù)圖象平移規(guī)律
左加右減,給x加減;上加下減,給函數(shù)整體加減.
提醒:若一次函數(shù)y1=k1x+b1,y2=k2x+b2的圖象平行,則k1=k2.
【變式訓(xùn)練】
(2024·鞍山模擬)把直線y=-x+3向上平移m個單位后,與直線y=2x+4的交點(diǎn)在第一象限,則m的取值范圍是(C)
A.1C.m>1　 D.m<4
考點(diǎn)2　二次函數(shù)的平移
【例2】(2024·山東中考改編)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P(2,-3)在二次函數(shù)y=ax2+bx-3(a>0)的圖象上,記該二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=m.
(1)求m的值;
(2)若點(diǎn)Q(m,-4)在y=ax2+bx-3的圖象上,將該二次函數(shù)的圖象向上平移5個單位長度,得到新的二次函數(shù)的圖象.求新的二次函數(shù)的表達(dá)式.
【自主解答】(1)∵點(diǎn)P(2,-3)在二次函數(shù)y=ax2+bx-3(a>0)的圖象上,
∴4a+2b-3=-3,解得:b=-2a,∴拋物線為y=ax2-2ax-3,
∴拋物線的對稱軸為直線x=-=1,∴m=1;
(2)∵點(diǎn)Q(1,-4)在y=ax2-2ax-3的圖象上,
∴a-2a-3=-4,解得:a=1,∴拋物線為y=x2-2x-3=(x-1)2-4,
將該二次函數(shù)的圖象向上平移5個單位長度,得到新的二次函數(shù)為y=(x-1)2-4+5=(x-1)2+1.
【方法技巧】
二次函數(shù)圖象平移變化的關(guān)鍵
1.頂點(diǎn)變換法:先確定原二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo),然后確定平移后的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo),最后用頂點(diǎn)式確定函數(shù)的表達(dá)式.
2.左加右減,上加下減:左右平移是對x加減;上下平移是直接在表達(dá)式后面加減.
【變式訓(xùn)練】
1.(2023·西藏中考)將拋物線y=(x-1)2+5通過平移后,得到拋物線的表達(dá)式為y=x2+2x+3,則平移的方向和距離是(D)
A.向右平移2個單位長度,再向上平移3個單位長度
B.向右平移2個單位長度,再向下平移3個單位長度
C.向左平移2個單位長度,再向上平移3個單位長度
D.向左平移2個單位長度,再向下平移3個單位長度
2.(2024·包頭中考)將拋物線y=x2+2x向下平移2個單位后,所得新拋物線的頂點(diǎn)式為(A)
A.y=(x+1)2-3　 B.y=(x+1)2-2
C.y=(x-1)2-3　 D.y=(x-1)2-2
考點(diǎn)3　函數(shù)圖象的軸對稱
【例3】(2022·湘西州中考)已知二次函數(shù)y=-x2+4x+5及一次函數(shù)y=-x+b,將該二次函數(shù)在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方,圖象的其余部分不變,得到一個新圖象(如圖所示),當(dāng)直線y=-x+b與新圖象有4個交點(diǎn)時,b的取值范圍是　-【方法技巧】
關(guān)于函數(shù)圖象軸對稱問題的解題思路
1.分清對稱軸,關(guān)于x軸和y軸對稱,所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式不同.
2.分清函數(shù)圖象對稱是全體,還是部分.
3.關(guān)鍵是確定對稱前后的表達(dá)式,畫出草圖分析判斷.
【變式訓(xùn)練】
1.已知二次函數(shù)y=x2-2tx+t2+t,將其圖象在直線x=1左側(cè)部分沿x軸翻折,其余部分保持不變,組成圖形G.在圖形G上任取一點(diǎn)M,點(diǎn)M的縱坐標(biāo)y的取值滿足y≥m或yn.令s=m-n,則s的取值范圍是(D)
A.s≤0 B.0≤s≤2
C.s≤2 D.s≥2
2. (2023·株洲淥口區(qū)一模)把二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象作關(guān)于x軸的對稱變換,所得圖象的表達(dá)式為y=-a(x-1)2+2a,a+c=　0　,若(m-1)a+b+c≤0,則m的最大值是　4　.
1.(2022·婁底中考)將直線y=2x+1向上平移2個單位,相當(dāng)于(B)
A.向左平移2個單位
B.向左平移1個單位
C.向右平移2個單位
D.向右平移1個單位
2.(2023·婁底中考)將直線y=2x+1向右平移2個單位所得直線的表達(dá)式為(B)
A.y=2x-1　
B.y=2x-3
C.y=2x+3　
D.y=2x+5
3.(2021·郴州中考)將拋物線y=ax2(a≠0)向左平移1個單位,再向上平移4個單位后,得到拋物線H:y=a(x-h)2+k.拋物線H與x軸交于點(diǎn)A,B,與y軸交于點(diǎn)C.已知A(-3,0),點(diǎn)P是拋物線H上的一個動點(diǎn).
(1)求拋物線H的表達(dá)式;
(2)如圖,點(diǎn)P在線段AC上方的拋物線H上運(yùn)動(不與A,C重合),過點(diǎn)P作PD⊥AB,垂足為D,PD交AC于點(diǎn)E.作PF⊥AC,垂足為F,求△PEF的面積的最大值.
【解析】(1)由題意得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,4),
∴拋物線H:y=a(x+1)2+4,將A(-3,0)代入,得a(-3+1)2+4=0,解得a=-1,
∴拋物線H的表達(dá)式為y=-(x+1)2+4;
(2)由(1)知:y=-x2-2x+3,令x=0,得y=3,∴C(0,3),
設(shè)直線AC的表達(dá)式為y=mx+n,∵A(-3,0),C(0,3),
∴,解得,∴直線AC的表達(dá)式為y=x+3,
設(shè)P(m,-m2-2m+3),則E(m,m+3),∴PE=-m2-2m+3-(m+3)=-m2-3m=-+,
∵-1<0,∴當(dāng)m=-時,PE有最大值,∵OA=OC=3,∠AOC=90°,
∴△AOC是等腰直角三角形,∴∠ACO=45°,∵PD⊥AB,∴∠ADP=90°,
∴∠ADP=∠AOC,∴PD∥OC,∴∠PEF=∠ACO=45°,
∵PF⊥AC,∴△PEF是等腰直角三角形,∴PF=EF=PE,
∴S△PEF=PF·EF=PE2,∴當(dāng)m=-時,S△PEF最大值=×=.
4.(2023·衡陽中考)如圖,已知拋物線y=ax2-2ax+3與x軸交于點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C,連接AC,過B,C兩點(diǎn)作直線.
(1)求a的值.
(2)將直線BC向下平移m(m>0)個單位長度,交拋物線于B',C'兩點(diǎn).在直線B'C'上方的拋物線上是否存在定點(diǎn)D,無論m取何值時,都是點(diǎn)D到直線B'C'的距離最大 若存在,請求出點(diǎn)D的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
(3)拋物線上是否存在點(diǎn)P,使∠PBC+∠ACO=45° 若存在,請求出直線BP的表達(dá)式;若不存在,請說明理由.
【解析】 (1)∵拋物線y=ax2-2ax+3與x軸交于點(diǎn)A(-1,0),
∴a+2a+3=0,∴a=-1.
(2)存在定點(diǎn)D,無論m取何值時,都是點(diǎn)D到直線B'C'的距離最大.
∵y=-x2+2x+3,
當(dāng)x=0時,y=3,∴C(0,3),當(dāng)y=0時,-x2+2x+3=0,
解得:x1=-1,x2=3,∴B(3,0),設(shè)直線BC的表達(dá)式為y=kx+b,
則,解得,∴直線BC的表達(dá)式為y=-x+3,
∵將直線BC向下平移m(m>0)個單位長度,交拋物線于B',C'兩點(diǎn),
∴直線B'C'的表達(dá)式為y=-x+3-m,設(shè)D(t,-t2+2t+3),
過點(diǎn)D作DE∥y軸,交B'C'于點(diǎn)E,作DF⊥B'C'于點(diǎn)F,設(shè)直線B'C'交y軸于點(diǎn)G,如圖,
∴E(t,-t+3-m),∴DE=-t2+2t+3-(-t+3-m)=-t2+3t+m,
∵OB=OC=3,∠BOC=90°,∴∠BCO=∠CBO=45°,
∵B'C'∥BC,∴∠B'GO=∠BCO=45°,∵DE∥y軸,
∴∠DEF=∠B'GO=45°,∵∠DFE=90°,∴△DEF是等腰直角三角形,
∴DF=DE=(-t2+3t+m)=-+(+m),∵-<0,
∴當(dāng)t=時,DF取得最大值(+m),此時點(diǎn)D的坐標(biāo)為(,).
(3)存在.當(dāng)∠PBC在BC的下方時,在y軸正半軸上取點(diǎn)M(0,1),連接BM交拋物線于點(diǎn)P,如圖,
∵A(-1,0),B(3,0),C(0,3),M(0,1),
∴OB=OC=3,OM=OA=1,∠BOM=∠COA=90°,∴△BOM≌△COA(SAS),
∴∠MBO=∠ACO,∵∠CBO=45°,∴∠CBP+∠MBO=45°,
∴∠CBP+∠ACO=45°,
設(shè)直線BM的表達(dá)式為y=k'x+b',則,解得,
∴直線BM的表達(dá)式為y=-x+1;
當(dāng)∠PBC在BC的上方時,作點(diǎn)M關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)M',如圖,連接MM',CM',直線BM'交拋物線于P,
由對稱得:MM'⊥BC,CM'=CM=2,∠BCM'=∠BCM=45°,∴∠MCM'=90°,
∴M'(2,3),則直線BM'的表達(dá)式為y=-3x+9;
綜上所述,拋物線上存在點(diǎn)P,使∠PBC+∠ACO=45°,直線BP的表達(dá)式為y=-x+1或y=-3x+9.
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