資源簡介

2025年湖南省中考數(shù)學一輪復習
第十五講　函數(shù)的實際應用 學生版
知識要點 對點練習
1.一次函數(shù)中的折線圖象應用 (1)先確定 的坐標; (2)求出對應線段的 ; (3)根據(jù)表達式求相關(guān)點的坐標(如交點坐標). 2.應用一次函數(shù)求最值問題 (1)根據(jù)題中數(shù)量的等量關(guān)系來列 表達式. (2)由一元一次不等式求出自變量的取值范圍; (3)由一次函數(shù)的 確定最值. 1.現(xiàn)代物流的高速發(fā)展,為鄉(xiāng)村振興提供了良好條件.某物流公司的汽車行駛30 km后進入高速路,在高速路上勻速行駛一段時間后,再在鄉(xiāng)村道路上行駛1 h到達目的地.汽車行駛的時間x(單位:h)與行駛的路程y(單位:km)之間的關(guān)系如圖所示.請結(jié)合圖象,判斷以下說法正確的是( ) A.汽車在高速路上行駛了2.5 h B.汽車在高速路上行駛的路程是180 km C.汽車在高速路上行駛的平均速度是72 km/h D.汽車在鄉(xiāng)村道路上行駛的平均速度是40 km/h
3.反比例函數(shù)的實際應用 根據(jù)圖象或表格確定 函數(shù)表達式,再解決實際問題. 2.(教材再開發(fā)·湘教九上P15例題改編)收音機刻度盤上的頻率f(kHz)是波長λ(m)的反比例函數(shù),其函數(shù)圖象如圖所示,當λ=1 000 m時,該頻道的頻率為 kHz.
4.應用二次函數(shù)解決實際問題的方法 (1)根據(jù)題意得出二次函數(shù) 及自變量的取值范圍; (2)根據(jù)表達式確定頂點坐標,確定最值;或根據(jù)對稱軸及增減性求取值范圍內(nèi)的最值. 3.某種商品每件的進價為30元,在某段時間內(nèi)若以每件x元出售,可賣出(100-x)件,當出售價格是 元時,才能使利潤最大.
考點1　一次函數(shù)在行程問題中的應用
【例1】(2024·牡丹江中考)一條公路上依次有A,B,C三地,甲車從A地出發(fā),沿公路經(jīng)B地到C地,乙車從C地出發(fā),沿公路駛向B地.甲、乙兩車同時出發(fā),勻速行駛,乙車比甲車早小時到達目的地.甲、乙兩車之間的路程y km與兩車行駛時間x h的函數(shù)關(guān)系如圖所示,請結(jié)合圖象信息,解答下列問題:
(1)甲車行駛的速度是 km/h,并在圖中括號內(nèi)填上正確的數(shù);
(2)求圖中線段EF所在直線的函數(shù)表達式(不要求寫出自變量的取值范圍);
(3)請直接寫出兩車出發(fā)多少小時,乙車距B地的路程是甲車距B地路程的3倍.
【方法技巧】
一次函數(shù)求解行程問題的關(guān)鍵
關(guān)鍵1:弄清各個點的含義,求出相應坐標;
關(guān)鍵2:求出相關(guān)線段對應的一次函數(shù)表達式,借助一次函數(shù)表達式求關(guān)鍵點.
【變式訓練】
1.(2024·廣州模擬)隨著“互聯(lián)網(wǎng)+”時代的到來,一種新型的打車方式受到大眾歡迎.打車總費用y(單位:元)與行駛里程x(單位:千米)的函數(shù)關(guān)系如圖所示.如果小明某次打車行駛里程為22千米,則他的打車費用為( )
A.33元　 B.36元　 C.40元　 D.42元
2.(2024·龍東中考)甲、乙兩貨車分別從相距225 km的A,B兩地同時出發(fā),甲貨車從A地出發(fā)途經(jīng)配貨站時,停下來卸貨,半小時后繼續(xù)駛往B地,乙貨車沿同一條公路從B地駛往A地,但乙貨車到達配貨站時接到緊急任務立即原路原速返回B地,結(jié)果比甲貨車晚半小時到達B地.如圖是甲、乙兩貨車距A地的距離y(km)與行駛時間x(h)之間的函數(shù)圖象,結(jié)合圖象回答下列問題:
(1)甲貨車到達配貨站之前的速度是 km/h,乙貨車的速度是 km/h;
(2)求甲貨車在配貨站卸貨后駛往B地的過程中,甲貨車距A地的距離y(km)與行駛時間x(h)之間的函數(shù)表達式;
(3)直接寫出甲、乙兩貨車在行駛的過程中,出發(fā)多長時間甲、乙兩貨車與配貨站的距離相等.
考點2　應用一次函數(shù)的性質(zhì)解最優(yōu)化問題
【例2】(2024·眉山中考)眉山是“三蘇”故里,文化底蘊深厚.近年來眉山市旅游產(chǎn)業(yè)蓬勃發(fā)展,促進了文創(chuàng)產(chǎn)品的銷售,某商店用960元購進的A款文創(chuàng)產(chǎn)品和用780元購進的B款文創(chuàng)產(chǎn)品數(shù)量相同.每件A款文創(chuàng)產(chǎn)品進價比B款文創(chuàng)產(chǎn)品進價多15元.
(1)求A,B兩款文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進價各是多少元.
(2)已知A款文創(chuàng)產(chǎn)品每件售價為100元,B款文創(chuàng)產(chǎn)品每件售價為80元,根據(jù)市場需求,商店計劃再用不超過7 400元的總費用購進這兩款文創(chuàng)產(chǎn)品共100件進行銷售,問:怎樣進貨才能使銷售完后獲得的利潤最大,最大利潤是多少元
【方法技巧】
用一次函數(shù)的性質(zhì)解決方案問題
1.最優(yōu)化問題就是利用一次函數(shù)的性質(zhì)解決如何購買費用最少、如何出售利潤最大等問題.
2.構(gòu)建一次函數(shù),并確定其增減變化,根據(jù)自變量的范圍,作出最優(yōu)化判斷.
【變式訓練】
(2024·廣安中考)某小區(qū)物管中心計劃采購A,B兩種花卉用于美化環(huán)境.已知購買2株A種花卉和3株B種花卉共需要21元;購買4株A種花卉和5株B種花卉共需要37元.
(1)求A,B兩種花卉的單價.
(2)該物管中心計劃采購A,B兩種花卉共計10 000株,其中采購A種花卉的株數(shù)不超過B種花卉株數(shù)的4倍,當A,B兩種花卉分別采購多少株時,總費用最少 并求出最少總費用.
考點3　反比例函數(shù)圖象的實際應用
【例3】(2024·吉林中考)已知蓄電池的電壓為定值,使用蓄電池時,電流I(單位:A)與電阻R(單位:Ω)是反比例函數(shù)關(guān)系,它的圖象如圖所示.
(1)求這個反比例函數(shù)的表達式(不要求寫出自變量R的取值范圍).
(2)當電阻R為3 Ω時,求此時的電流I.
【方法技巧】
反比例函數(shù)實際應用的兩大特點
1.已知一個點的坐標,求表達式;
2.應用表達式求另一個點的坐標解決問題.
【變式訓練】
某蔬菜生產(chǎn)基地用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種新品,如圖是某天恒溫系統(tǒng)從開始到關(guān)閉及關(guān)閉后,大棚里溫度y(℃)隨時間x(h)變化的函數(shù)圖象,其中AB段是恒溫階段,BC段是雙曲線y=的一部分,請根據(jù)圖中信息解答下列問題:
(1)求k的值;
(2)恒溫系統(tǒng)在一天內(nèi)保持大棚內(nèi)溫度不低于15 ℃的時間有多少小時
考點4　應用二次函數(shù)解決面積最大問題
【例4】(2024·湖北中考)如圖,某校勞動實踐基地用總長為80 m的柵欄,圍成一塊一邊靠墻的矩形實驗田,墻長為42 m,柵欄在安裝過程中不重疊、無損耗,設矩形實驗田與墻垂直的一邊長為x(單位:m),與墻平行的一邊長為y(單位:m),面積為S(單位:m2).
(1)直接寫出y與x,S與x之間的函數(shù)表達式(不要求寫x的取值范圍);
(2)矩形實驗田的面積S能達到750 m2嗎 如果能,求x的值;如果不能,請說明理由;
(3)當x的值是多少時,矩形實驗田的面積S最大 最大面積是多少
【方法技巧】
應用二次函數(shù)解決面積最大問題的思路
1.根據(jù)圖形面積公式,列出二次函數(shù)表達式.
2.由配方法或頂點法,求得最大值.
提醒:注意最大值不一定是頂點的縱坐標,需注意自變量的取值范圍.
【變式訓練】
如圖,用一段長為16 m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形圍欄(墻足夠長),則這個圍欄的最大面積為 m2.
考點5　應用二次函數(shù)解決利潤問題
【例5】(教材原題·湘教版九年級下冊·P32T3)
某工藝廠設計了一款成本為10元/件的產(chǎn)品,并投放市場進行試銷.經(jīng)過調(diào)查,發(fā)現(xiàn)每天的銷售量y(件)與銷售單價x(元)存在一次函數(shù)關(guān)系y=-10x+700.
(1)銷售單價定為多少時,該廠每天獲取的利潤最大 最大利潤為多少
(2)若物價部門規(guī)定,該產(chǎn)品的最高銷售單價不得超過35元,那么銷售單價如何定位才能獲取最大利潤
【思路點撥】(1)根據(jù)題意,可以寫出利潤與銷售單價之間的函數(shù)關(guān)系式,然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),即可得到銷售單價定為多少時,該廠每天獲取的利潤最大,最大利潤為多少;
(2)根據(jù)(1)中利潤與單價之間的函數(shù)關(guān)系式和物價部門規(guī)定,該產(chǎn)品的最高銷售單價不得超過35元,可以得到當單價為多少時,才能獲得最大利潤.
【方法技巧】
應用二次函數(shù)解決利潤問題
1.列出此類二次函數(shù)的依據(jù):
利潤=單件利潤×銷售數(shù)量或利潤=總售價-總成本.
2.有時根據(jù)函數(shù)圖象所求的一次函數(shù)表達式就是銷售數(shù)量, 而此類問題也與一次函數(shù)有關(guān).
【變式訓練】
(2024·新疆中考)某公司銷售一批產(chǎn)品,經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn),當銷售量在0.4噸至3.5噸之間時,銷售額y1(萬元)與銷售量x(噸)的函數(shù)表達式為:y1=5x;成本y2(萬元)與銷售量x(噸)的函數(shù)圖象是如圖所示的拋物線的一部分,其中(,)是其頂點.
(1)求出成本y2關(guān)于銷售量x的函數(shù)表達式;
(2)當成本最低時,銷售產(chǎn)品所獲利潤是多少
(3)當銷售量是多少噸時,可獲得最大利潤 最大利潤是多少
(注:利潤=銷售額-成本)
考點6　應用二次函數(shù)解決拋物線形問題
【例6】(2024·成都一模)為了美化校園,某校準備在校園廣場中心安裝一個圓形噴水池,噴水池中央設置一柱形噴水裝置OA高2米,點A處的噴頭向外噴水,水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下.O位于圓形噴水池中心的水面處,按照如圖所示建立直角坐標系,該設計水流與OA的水平距離為1米處時,噴出的水柱可以達到最大高度3米.
(1)求出該拋物線的函數(shù)表達式;
(2)為了使噴出的水流不至于濺落在圓形噴水池外,需要在水流落回水面處的外側(cè)預留1米距離,則該圓形噴水池的半徑至少設計為多少米合理
【方法技巧】
1.已知拋物線表達式或給定可求解的表達式.
2.結(jié)合給定的拋物線表達式,確定拋物線的頂點坐標或拋物線與x軸、y軸交點等解決實際問題.
【變式訓練】
(2024·商洛二模)根據(jù)以下素材,探索解決下列問題.
素材1:圖①中有一個大棚苗木種植基地及其截面圖,其下半部分是一個長為20 m,寬為1 m的矩形,其上半部分是一條拋物線,現(xiàn)測得,大棚頂部的最高點距離地面5 m.以矩形長的中點為原點O,豎直方向為y軸,水平方向為x軸,建立如圖②所示的平面直角坐標系,大棚頂部的最高點為P.
素材2:為了讓苗木更好生長需要在大棚內(nèi)安裝補光燈,補光燈采用吊裝模式懸掛在頂部,已知補光燈在距離地面3.5 m時補光效果最好.
(1)求大棚上半部分形狀所在拋物線的函數(shù)表達式;
(2)若在距離B處水平距離7.5 m的地方掛補光燈,為了使補光效果最好,求補光燈
1.(2022·郴州中考)科技小組為了驗證某電路的電壓U(V)、電流I( )、電阻R(Ω)三者之間的關(guān)系:I=,測得數(shù)據(jù)如下:
R(Ω) 100 200 220 400
I( ) 2.2 1.1 1 0.55
那么,當電阻R=55 Ω時,電流I= A.
2.冰墩墩(BingDwenDwen)、雪容融(ShueyRhonRhon)分別是2022年北京冬奧會、冬殘奧會的吉祥物.冬奧會舉辦后,冰墩墩、雪容融玩偶暢銷全國.小雅在某網(wǎng)店選中兩種玩偶.決定從該網(wǎng)店進貨并銷售.第一次小雅用1 400元購進了冰墩墩玩偶15個和雪容融玩偶5個,已知購進1個冰墩墩玩偶和1個雪容融玩偶共需136元,銷售時每個冰墩墩玩偶可獲利28元,每個雪容融玩偶可獲利20元.
(1)求兩種玩偶的進貨價分別是多少;
(2)第二次小雅進貨時,網(wǎng)店規(guī)定冰墩墩玩偶進貨數(shù)量不得超過雪容融玩偶進貨數(shù)量的1.5倍.小雅計劃購進兩種玩偶共40個,應如何設計進貨方案才能獲得最大利潤,最大利潤是多少元
3.為落實國家《關(guān)于全面加強新時代大中小學勞動教育的意見》,某校準備在校園里利用圍墻(墻長12 m)和21 m長的籬笆墻,圍成Ⅰ,Ⅱ兩塊矩形勞動實踐基地.某數(shù)學興趣小組設計了兩種方案(除圍墻外,實線部分為籬笆墻,且不浪費籬笆墻),請根據(jù)設計方案回答下列問題:
(1)方案一:如圖①,全部利用圍墻的長度,但要在Ⅰ區(qū)中留一個寬度AE=1 m的水池,且需保證總種植面積為32 m2,試分別確定CG,DG的長;
(2)方案二:如圖②,使圍成的兩塊矩形總種植面積最大,請問BC應設計為多長 此時最大面積為多少
2025年湖南省中考數(shù)學一輪復習
第十五講　函數(shù)的實際應用 教師版
知識要點 對點練習
1.一次函數(shù)中的折線圖象應用 (1)先確定　拐點　的坐標; (2)求出對應線段的　一次函數(shù)表達式　; (3)根據(jù)表達式求相關(guān)點的坐標(如交點坐標). 2.應用一次函數(shù)求最值問題 (1)根據(jù)題中數(shù)量的等量關(guān)系來列　一次函數(shù)　表達式. (2)由一元一次不等式求出自變量的取值范圍; (3)由一次函數(shù)的　增減性　確定最值. 1.現(xiàn)代物流的高速發(fā)展,為鄉(xiāng)村振興提供了良好條件.某物流公司的汽車行駛30 km后進入高速路,在高速路上勻速行駛一段時間后,再在鄉(xiāng)村道路上行駛1 h到達目的地.汽車行駛的時間x(單位:h)與行駛的路程y(單位:km)之間的關(guān)系如圖所示.請結(jié)合圖象,判斷以下說法正確的是(D) A.汽車在高速路上行駛了2.5 h B.汽車在高速路上行駛的路程是180 km C.汽車在高速路上行駛的平均速度是72 km/h D.汽車在鄉(xiāng)村道路上行駛的平均速度是40 km/h
3.反比例函數(shù)的實際應用 根據(jù)圖象或表格確定　反比例　函數(shù)表達式,再解決實際問題. 2.(教材再開發(fā)·湘教九上P15例題改編)收音機刻度盤上的頻率f(kHz)是波長λ(m)的反比例函數(shù),其函數(shù)圖象如圖所示,當λ=1 000 m時,該頻道的頻率為　300　kHz.
4.應用二次函數(shù)解決實際問題的方法 (1)根據(jù)題意得出二次函數(shù)　表達式　及自變量的取值范圍; (2)根據(jù)表達式確定頂點坐標,確定最值;或根據(jù)對稱軸及增減性求取值范圍內(nèi)的最值. 3.某種商品每件的進價為30元,在某段時間內(nèi)若以每件x元出售,可賣出(100-x)件,當出售價格是　65　元時,才能使利潤最大.
考點1　一次函數(shù)在行程問題中的應用
【例1】(2024·牡丹江中考)一條公路上依次有A,B,C三地,甲車從A地出發(fā),沿公路經(jīng)B地到C地,乙車從C地出發(fā),沿公路駛向B地.甲、乙兩車同時出發(fā),勻速行駛,乙車比甲車早小時到達目的地.甲、乙兩車之間的路程y km與兩車行駛時間x h的函數(shù)關(guān)系如圖所示,請結(jié)合圖象信息,解答下列問題:
(1)甲車行駛的速度是　　　　　km/h,并在圖中括號內(nèi)填上正確的數(shù);
(2)求圖中線段EF所在直線的函數(shù)表達式(不要求寫出自變量的取值范圍);
(3)請直接寫出兩車出發(fā)多少小時,乙車距B地的路程是甲車距B地路程的3倍.
【自主解答】(1)由圖可知,甲車小時行駛的路程為(200-180)km,
∴甲車行駛的速度是(200-180)÷=70(km/h),70×(4+)=300(km),
填圖如下:
答案:70
(2)由圖可知E,F的坐標分別為(,0),(4,180),
設線段EF所在直線的函數(shù)表達式為y=kx+b,則,解得,
∴線段EF所在直線的函數(shù)表達式為y=120x-300;
(3)由題意知,A,C兩地的距離為(4+)×70=300(km),
乙車行駛的速度為300÷-70=50(km/h),C,B兩地的距離為50×4=200(km),
A,B兩地的距離為300-200=100(km),
設兩車出發(fā)x小時,乙車距B地的路程是甲車距B地路程的3倍,
分兩種情況,當甲、乙相遇前時,200-50x=3(100-70x),解得x=;
當甲、乙相遇后時,200-50x=3(70x-100),解得x=;
綜上可知,兩車出發(fā) h或 h時,乙車距B地的路程是甲車距B地路程的3倍.
【方法技巧】
一次函數(shù)求解行程問題的關(guān)鍵
關(guān)鍵1:弄清各個點的含義,求出相應坐標;
關(guān)鍵2:求出相關(guān)線段對應的一次函數(shù)表達式,借助一次函數(shù)表達式求關(guān)鍵點.
【變式訓練】
1.(2024·廣州模擬)隨著“互聯(lián)網(wǎng)+”時代的到來,一種新型的打車方式受到大眾歡迎.打車總費用y(單位:元)與行駛里程x(單位:千米)的函數(shù)關(guān)系如圖所示.如果小明某次打車行駛里程為22千米,則他的打車費用為(C)
A.33元　 B.36元　 C.40元　 D.42元
2.(2024·龍東中考)甲、乙兩貨車分別從相距225 km的A,B兩地同時出發(fā),甲貨車從A地出發(fā)途經(jīng)配貨站時,停下來卸貨,半小時后繼續(xù)駛往B地,乙貨車沿同一條公路從B地駛往A地,但乙貨車到達配貨站時接到緊急任務立即原路原速返回B地,結(jié)果比甲貨車晚半小時到達B地.如圖是甲、乙兩貨車距A地的距離y(km)與行駛時間x(h)之間的函數(shù)圖象,結(jié)合圖象回答下列問題:
(1)甲貨車到達配貨站之前的速度是　　km/h,乙貨車的速度是　　　　　km/h;
(2)求甲貨車在配貨站卸貨后駛往B地的過程中,甲貨車距A地的距離y(km)與行駛時間x(h)之間的函數(shù)表達式;
(3)直接寫出甲、乙兩貨車在行駛的過程中,出發(fā)多長時間甲、乙兩貨車與配貨站的距離相等.
【解析】(1)甲貨車到達配貨站之前的速度是105÷3.5=30(km/h);乙貨車的速度是(225-105)×2÷6=40(km/h).
答案:30　40
(2)∵3.5+0.5=4(h),6-0.5=5.5(h),∴點E(4,105),F(5.5,225).
設線段EF對應的函數(shù)表達式為y=kx+b(k,b為常數(shù),且k≠0).
將坐標E(4,105)和F(5.5,225)分別代入y=kx+b,得,
解得,
∴甲貨車在配貨站卸貨后駛往B地的過程中,甲貨車距A地的距離y與行駛時間x之間的函數(shù)表達式為y=80x-215(4≤x≤5.5).
(3)線段CM對應的函數(shù)表達式為y=225-40x=-40x+225(0≤x≤3),線段MN對應的函數(shù)表達式為y=105+40(x-3)=40x-15(3當0≤x≤3時,甲貨車離配貨站的距離為(105-30x)km,乙貨車離配貨站的距離為-40x+225-105=(-40x+120)km,
根據(jù)“甲、乙兩貨車與配貨站的距離相等”,得105-30x=-40x+120,解得x=;
當3根據(jù)“甲、乙兩貨車與配貨站的距離相等”,得105-30x=40x-120,解得x=;
當乙貨車返回B地過程中與甲貨車相遇時,兩車與配貨站的距離相等,根據(jù)“相遇時兩車與A地距離相等”,80x-215=40x-15,解得x=5;
∴出發(fā) h或 h或5 h,甲、乙兩貨車與配貨站的距離相等.
考點2　應用一次函數(shù)的性質(zhì)解最優(yōu)化問題
【例2】(2024·眉山中考)眉山是“三蘇”故里,文化底蘊深厚.近年來眉山市旅游產(chǎn)業(yè)蓬勃發(fā)展,促進了文創(chuàng)產(chǎn)品的銷售,某商店用960元購進的A款文創(chuàng)產(chǎn)品和用780元購進的B款文創(chuàng)產(chǎn)品數(shù)量相同.每件A款文創(chuàng)產(chǎn)品進價比B款文創(chuàng)產(chǎn)品進價多15元.
(1)求A,B兩款文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進價各是多少元.
(2)已知A款文創(chuàng)產(chǎn)品每件售價為100元,B款文創(chuàng)產(chǎn)品每件售價為80元,根據(jù)市場需求,商店計劃再用不超過7 400元的總費用購進這兩款文創(chuàng)產(chǎn)品共100件進行銷售,問:怎樣進貨才能使銷售完后獲得的利潤最大,最大利潤是多少元
【自主解答】(1)設A款文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進價a元,則B款文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進價是(a-15)元,根據(jù)題意得:=,解得:a=80,經(jīng)檢驗,a=80是原分式方程的解,
80-15=65(元).
答:A款文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進價80元,則B款文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進價是65元.
(2)設購進A款文創(chuàng)產(chǎn)品x件,則購進B款文創(chuàng)產(chǎn)品(100-x)件,總利潤為w,根據(jù)題意得:80x+65(100-x)≤7 400,解得:x≤60,∴w=(100-80)x+(80-65)(100-x)=5x+1 500,
∵k=5>0,w隨x的增大而增大,∴當x=60時,利潤最大,w最大=5×60+1 500=1 800.
答:購進A款文創(chuàng)產(chǎn)品60件,購進B款文創(chuàng)產(chǎn)品40件,才能使銷售完后獲得的利潤最大,最大利潤是1 800元.
【方法技巧】
用一次函數(shù)的性質(zhì)解決方案問題
1.最優(yōu)化問題就是利用一次函數(shù)的性質(zhì)解決如何購買費用最少、如何出售利潤最大等問題.
2.構(gòu)建一次函數(shù),并確定其增減變化,根據(jù)自變量的范圍,作出最優(yōu)化判斷.
【變式訓練】
(2024·廣安中考)某小區(qū)物管中心計劃采購A,B兩種花卉用于美化環(huán)境.已知購買2株A種花卉和3株B種花卉共需要21元;購買4株A種花卉和5株B種花卉共需要37元.
(1)求A,B兩種花卉的單價.
(2)該物管中心計劃采購A,B兩種花卉共計10 000株,其中采購A種花卉的株數(shù)不超過B種花卉株數(shù)的4倍,當A,B兩種花卉分別采購多少株時,總費用最少 并求出最少總費用.
【解析】(1)設A種花卉的單價為x元,B種花卉的單價為y元.
由題意得:,解得:,
答:A種花卉的單價為3元,B種花卉的單價為5元;
(2)設采購A種花卉m株,則B種花卉(10 000-m)株,總費用為w元.
由題意得:w=3m+5(10 000-m)=-2m+50 000,∵m≤4(10 000-m),解得:m≤8 000,
在w=-2m+50 000中,∵-2<0,∴w隨m的增大而減小,
∴當m=8 000時w的值最小,w=-2×8 000+50 000=34 000,
此時10 000-m=2 000,
答:當購進A種花卉8 000株,B種花卉2 000株時,總費用最少,最少費用為34 000元.
考點3　反比例函數(shù)圖象的實際應用
【例3】(2024·吉林中考)已知蓄電池的電壓為定值,使用蓄電池時,電流I(單位:A)與電阻R(單位:Ω)是反比例函數(shù)關(guān)系,它的圖象如圖所示.
(1)求這個反比例函數(shù)的表達式(不要求寫出自變量R的取值范圍).
(2)當電阻R為3 Ω時,求此時的電流I.
【自主解答】(1)設這個反比例函數(shù)的表達式為I=(U≠0),
把(9,4)代入I=(U≠0)中得4=(U≠0),解得U=36,
∴這個反比例函數(shù)的表達式為I=;
(2)在I=中,當R=3 Ω時,I==12 A,
∴此時的電流I為12 A.
【方法技巧】
反比例函數(shù)實際應用的兩大特點
1.已知一個點的坐標,求表達式;
2.應用表達式求另一個點的坐標解決問題.
【變式訓練】
某蔬菜生產(chǎn)基地用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種新品,如圖是某天恒溫系統(tǒng)從開始到關(guān)閉及關(guān)閉后,大棚里溫度y(℃)隨時間x(h)變化的函數(shù)圖象,其中AB段是恒溫階段,BC段是雙曲線y=的一部分,請根據(jù)圖中信息解答下列問題:
(1)求k的值;
(2)恒溫系統(tǒng)在一天內(nèi)保持大棚內(nèi)溫度不低于15 ℃的時間有多少小時
【解析】(1)把B(12,20)代入y=中得:k=12×20=240;
(2)設AD的表達式為y=mx+n.
把(0,10),(2,20)代入y=mx+n中得:,
解得,∴AD的表達式為y=5x+10,
當y=15時,15=5x+10,x=1.
15=,解得x=16,16-1=15.
答:恒溫系統(tǒng)在一天內(nèi)保持大棚內(nèi)溫度不低于15 ℃的時間有15小時.
考點4　應用二次函數(shù)解決面積最大問題
【例4】(2024·湖北中考)如圖,某校勞動實踐基地用總長為80 m的柵欄,圍成一塊一邊靠墻的矩形實驗田,墻長為42 m,柵欄在安裝過程中不重疊、無損耗,設矩形實驗田與墻垂直的一邊長為x(單位:m),與墻平行的一邊長為y(單位:m),面積為S(單位:m2).
(1)直接寫出y與x,S與x之間的函數(shù)表達式(不要求寫x的取值范圍);
(2)矩形實驗田的面積S能達到750 m2嗎 如果能,求x的值;如果不能,請說明理由;
(3)當x的值是多少時,矩形實驗田的面積S最大 最大面積是多少
【自主解答】(1)∵2x+y=80,∴y=-2x+80,∵S=xy,∴S=x(-2x+80)=-2x2+80x;
(2)∵y≤42,∴-2x+80≤42,∴x≥19,∴19≤x<40,
當S=750時,-2x2+80x=750,x2-40x+375=0,(x-25)(x-15)=0,
∴x=25,∴當x=25 m時,矩形實驗田的面積S能達到750 m2;
(3)∵S=-2x2+80x=-2(x2-40x)=-2(x2-40x+400-400)=-2(x-20)2+800,∴當x=20時,S有最大值,最大值是800 m2.
【方法技巧】
應用二次函數(shù)解決面積最大問題的思路
1.根據(jù)圖形面積公式,列出二次函數(shù)表達式.
2.由配方法或頂點法,求得最大值.
提醒:注意最大值不一定是頂點的縱坐標,需注意自變量的取值范圍.
【變式訓練】
如圖,用一段長為16 m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形圍欄(墻足夠長),則這個圍欄的最大面積為　32　m2.
考點5　應用二次函數(shù)解決利潤問題
【例5】(教材原題·湘教版九年級下冊·P32T3)
某工藝廠設計了一款成本為10元/件的產(chǎn)品,并投放市場進行試銷.經(jīng)過調(diào)查,發(fā)現(xiàn)每天的銷售量y(件)與銷售單價x(元)存在一次函數(shù)關(guān)系y=-10x+700.
(1)銷售單價定為多少時,該廠每天獲取的利潤最大 最大利潤為多少
(2)若物價部門規(guī)定,該產(chǎn)品的最高銷售單價不得超過35元,那么銷售單價如何定位才能獲取最大利潤
【思路點撥】(1)根據(jù)題意,可以寫出利潤與銷售單價之間的函數(shù)關(guān)系式,然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),即可得到銷售單價定為多少時,該廠每天獲取的利潤最大,最大利潤為多少;
(2)根據(jù)(1)中利潤與單價之間的函數(shù)關(guān)系式和物價部門規(guī)定,該產(chǎn)品的最高銷售單價不得超過35元,可以得到當單價為多少時,才能獲得最大利潤.
【自主解答】(1)設銷售利潤為w元,
w=(x-10)(-10x+700)=-10(x-40)2+9 000,∴當x=40時,
w取得最大值,此時w=9 000,
答:銷售單價定為40元時,該廠每天獲取的利潤最大,最大利潤為9 000元;
(2)∵w=-10(x-40)2+9 000,x≤35,
∴當x=35時,w取得最大值,此時w=8 750,
答:銷售單價為35元時,才能獲取最大利潤.
【方法技巧】
應用二次函數(shù)解決利潤問題
1.列出此類二次函數(shù)的依據(jù):
利潤=單件利潤×銷售數(shù)量或利潤=總售價-總成本.
2.有時根據(jù)函數(shù)圖象所求的一次函數(shù)表達式就是銷售數(shù)量, 而此類問題也與一次函數(shù)有關(guān).
【變式訓練】
(2024·新疆中考)某公司銷售一批產(chǎn)品,經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn),當銷售量在0.4噸至3.5噸之間時,銷售額y1(萬元)與銷售量x(噸)的函數(shù)表達式為:y1=5x;成本y2(萬元)與銷售量x(噸)的函數(shù)圖象是如圖所示的拋物線的一部分,其中(,)是其頂點.
(1)求出成本y2關(guān)于銷售量x的函數(shù)表達式;
(2)當成本最低時,銷售產(chǎn)品所獲利潤是多少
(3)當銷售量是多少噸時,可獲得最大利潤 最大利潤是多少
(注:利潤=銷售額-成本)
【解析】(1)由題意,∵頂點為(,),
∴可設拋物線為y2=a(x-)2+.
又拋物線過(2,4),∴a×+=4.∴a=1.∴y2=(x-)2+.
(2)由題意,當銷售量x=時,成本最低為y2=,又銷售量在0.4噸至3.5噸之間時,銷售額y1(萬元)與銷售量x(噸)的函數(shù)表達式為y1=5x,
∴當x=時,銷售額為y1=5x=5×=2.5.∴此時利潤為2.5-=0.75(萬元).
答:當成本最低時,銷售產(chǎn)品所獲利潤是0.75萬元.
(3)由題意,利潤=y1-y2
=5x-(x-)2-
=-x2+6x-2
=-(x-3)2+7.
∵-1<0,
∴當x=3時,利潤取最大值,最大值為7.
答:當銷售量是3噸時,可獲得最大利潤,最大利潤是7萬元.
考點6　應用二次函數(shù)解決拋物線形問題
【例6】(2024·成都一模)為了美化校園,某校準備在校園廣場中心安裝一個圓形噴水池,噴水池中央設置一柱形噴水裝置OA高2米,點A處的噴頭向外噴水,水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下.O位于圓形噴水池中心的水面處,按照如圖所示建立直角坐標系,該設計水流與OA的水平距離為1米處時,噴出的水柱可以達到最大高度3米.
(1)求出該拋物線的函數(shù)表達式;
(2)為了使噴出的水流不至于濺落在圓形噴水池外,需要在水流落回水面處的外側(cè)預留1米距離,則該圓形噴水池的半徑至少設計為多少米合理
【自主解答】(1)∵噴出的水流距OA 1米處時達到最大高度3米,
∴拋物線的頂點坐標為(1,3),設水流所在拋物線表達式為y=a(x-1)2+3,
∵OA=2米,∴A(0,2),將A(0,2)代入y=a(x-1)2+3得:a×(0-1)2+3=2,解得:a=-1,∴水流所在拋物線表達式為y=-(x-1)2+3;
(2)當y=0時,-(x-1)2+3=0,解得:x1=+1,x2=-+1(不符合題意,舍去),
+1+1=+2.
答:該圓形噴水池的半徑至少設計為(+2)米合理.
【方法技巧】
1.已知拋物線表達式或給定可求解的表達式.
2.結(jié)合給定的拋物線表達式,確定拋物線的頂點坐標或拋物線與x軸、y軸交點等解決實際問題.
【變式訓練】
(2024·商洛二模)根據(jù)以下素材,探索解決下列問題.
素材1:圖①中有一個大棚苗木種植基地及其截面圖,其下半部分是一個長為20 m,寬為1 m的矩形,其上半部分是一條拋物線,現(xiàn)測得,大棚頂部的最高點距離地面5 m.以矩形長的中點為原點O,豎直方向為y軸,水平方向為x軸,建立如圖②所示的平面直角坐標系,大棚頂部的最高點為P.
素材2:為了讓苗木更好生長需要在大棚內(nèi)安裝補光燈,補光燈采用吊裝模式懸掛在頂部,已知補光燈在距離地面3.5 m時補光效果最好.
(1)求大棚上半部分形狀所在拋物線的函數(shù)表達式;
(2)若在距離B處水平距離7.5 m的地方掛補光燈,為了使補光效果最好,求補光燈懸掛部分的長度.(燈的大小忽略不計)
【解析】(1)根據(jù)題圖中的坐標系以及題意可得,點P的坐標為(0,5),點B的坐標為(10,1),∵拋物線的頂點坐標為點P(0,5),∴可設拋物線的函數(shù)表達式為y=ax2+5,
把點B(10,1)代入,得100a+5=1,解得a=-.∴拋物線的函數(shù)表達式為y=-x2+5.
(2)10-7.5=2.5(m),當x=2.5時,y=-×2.52+5=4.75,
∵4.75-3.5=1.25(m),∴補光燈懸掛部分的長度應是1.25 m.
1.(2022·郴州中考)科技小組為了驗證某電路的電壓U(V)、電流I(A)、電阻R(Ω)三者之間的關(guān)系:I=,測得數(shù)據(jù)如下:
R(Ω) 100 200 220 400
I(A) 2.2 1.1 1 0.55
那么,當電阻R=55 Ω時,電流I=　4　A.
2.(2022·衡陽中考)冰墩墩(BingDwenDwen)、雪容融(ShueyRhonRhon)分別是2022年北京冬奧會、冬殘奧會的吉祥物.冬奧會舉辦后,冰墩墩、雪容融玩偶暢銷全國.小雅在某網(wǎng)店選中兩種玩偶.決定從該網(wǎng)店進貨并銷售.第一次小雅用1 400元購進了冰墩墩玩偶15個和雪容融玩偶5個,已知購進1個冰墩墩玩偶和1個雪容融玩偶共需136元,銷售時每個冰墩墩玩偶可獲利28元,每個雪容融玩偶可獲利20元.
(1)求兩種玩偶的進貨價分別是多少;
(2)第二次小雅進貨時,網(wǎng)店規(guī)定冰墩墩玩偶進貨數(shù)量不得超過雪容融玩偶進貨數(shù)量的1.5倍.小雅計劃購進兩種玩偶共40個,應如何設計進貨方案才能獲得最大利潤,最大利潤是多少元
【解析】(1)設冰墩墩的進價為x元/個,雪容融的進價為y元/個,
由題意可得:解得
答:冰墩墩的進價為72元/個,雪容融的進價為64元/個;
(2)設冰墩墩購進a個,則雪容融購進(40-a)個,利潤為w元,
由題意可得:w=28a+20(40-a)=8a+800,∴w隨a的增大而增大,
∵網(wǎng)店規(guī)定冰墩墩玩偶進貨數(shù)量不得超過雪容融玩偶進貨數(shù)量的1.5倍,
∴a≤1.5(40-a),解得a≤24,∴當a=24時,w取得最大值,此時w=992,40-a=16,
答:冰墩墩購進24個,雪容融購進16個時才能獲得最大利潤,最大利潤是992元.
3.(2022·湘潭中考)為落實國家《關(guān)于全面加強新時代大中小學勞動教育的意見》,某校準備在校園里利用圍墻(墻長12 m)和21 m長的籬笆墻,圍成Ⅰ,Ⅱ兩塊矩形勞動實踐基地.某數(shù)學興趣小組設計了兩種方案(除圍墻外,實線部分為籬笆墻,且不浪費籬笆墻),請根據(jù)設計方案回答下列問題:
(1)方案一:如圖①,全部利用圍墻的長度,但要在Ⅰ區(qū)中留一個寬度AE=1 m的水池,且需保證總種植面積為32 m2,試分別確定CG,DG的長;
(2)方案二:如圖②,使圍成的兩塊矩形總種植面積最大,請問BC應設計為多長 此時最大面積為多少
【解析】(1)∵(21-12)÷3=3(m),∴Ⅰ,Ⅱ兩塊矩形的面積為12×3=36(m2),
設水池長為a m,則水池的面積為a×1=a(m2),∴36-a=32,解得a=4,∴DG=4 m,
∴CG=CD-DG=12-4=8(m),即CG的長為8 m,DG的長為4 m;
(2)設BC長為x m,則CD長度為21-3x,
∴總種植面積為(21-3x)·x=-3(x2-7x)=-3(x-)2+,∵-3<0,
∴當x=時,總種植面積有最大值為 m2,
答:BC應設計為 m,此時總種植面積最大,最大面積為 m2.
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