資源簡介

2025年湖南省中考數學一輪復習
第十講　函數的圖象與性質 學生版
知識要點 對點練習
1.函數的圖象 (1)定義: 把一個函數自變量的每一個值與對應的函數值分別作為點的 坐標和 坐標,在直角坐標系內描出相應的點,所有這些點組成的圖形. (2)畫函數圖象的一般步驟: 列表、 、 . 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.如果某函數的圖象如圖所示,那么y隨x的增大而( ) A.增大 B.減小 C.不變 D.有時增大有時減小
2.一次函數的圖象與性質 名稱一次函數正比例函數概念形如y=kx+b(k,b為常數,k≠0)的函數形如y=kx(k≠0)的函數圖象 形狀過點(0,b)且平行于y=kx的一條直線過原點的一條直線作圖 方法過點(0,0),(1,k)作直線.性質k>0,圖象必過第 象限,y隨x的增大而 ; k<0,圖象必過第二、四象限,y隨x的增大而 .
2.(教材再開發·湘教八下P125例3改編)一次函數y=-2x+1的圖象大致是( )
3.反比例函數的圖象與性質 概念圖象 ,它有兩個分支且關于 對稱. 所在 象限k>0,在第 象限 k<0,在第 象限 性質k>0,在每一象限內,y隨x的增大而 k<0,在每一象限內,y隨x的增大而
3.已知反比例函數y=-,下列說法正確的是( ) A.圖象經過點(-3,-1) B.y隨x的增大而增大 C.若點P(-1,y1)和點Q(2,y2)在函數圖象上,則y1續表
知識要點 對點練習
4.二次函數的圖象與性質 概念形如y= +c(a,b,c是常數,a≠0)的函數 對稱軸頂點a的符號a>0a<0開口方向開口向上開口向下最值最低(高)點有最低點有最高點增減性在對稱軸左側,y隨x的增大而 ; 在對稱軸右側,y隨x的增大而 在對稱軸左側,y隨x的增大而 ; 在對稱軸右側,y隨x的增大而
4.(1)已知二次函數y=-x2+2x+4,則下列關于這個函數圖象和性質的說法,正確的是( ) A.圖象的開口向下 B.圖象的頂點坐標是(1,3) C.當x<1時,y隨x的增大而減小 D.圖象與x軸有唯一交點 (2)(教材再開發·湘教九下P12T1改編)已知拋物線y=2(x-3)2+1,下列結論錯誤的是( ) A.拋物線開口向上 B.拋物線的對稱軸為直線x=3 C.拋物線的頂點坐標為(3,1) D.當x<3時,y隨x的增大而增大 (3)拋物線y=x2-4x-6的對稱軸是 .
考點1　一次函數的圖象
【例1】 (2024·德陽中考)正比例函數y=kx(k≠0)的圖象如圖所示,則k的值可能是( )
A.　 B.-　 C.-1　 D.-
【方法技巧】
一次函數圖象的判定方法
k k>0,過一、三象限;k<0,過二、四象限.
b b>0,過一、二象限;b<0,過三、四象限.
特殊點 y=kx必過原點; y=kx-k必過(1,0); y=kx+k必過(-1,0)
【變式訓練】
1.(2024·臨夏州中考)一次函數y=kx-1(k≠0)的函數值y隨x的增大而減小,它的圖象不經過的象限是( )
A.第一象限　 B.第二象限
C.第三象限　 D.第四象限
2. (2024·青海中考)如圖,一次函數y=2x-3的圖象與x軸相交于點A,則點A關于y軸的對稱點是( )
A. (-,0)　 B. (,0)
C.(0,3)　 D.(0,-3)
考點2　反比例函數的圖象與性質
【例2】(2024·廣西中考)已知點M(x1,y1),N(x2,y2)在反比例函數y=的圖象上,若x1<0A.y1<0C.y1【方法技巧】
反比例函數圖象上多點函數值的大小判斷
1.求值法:
(1)k值已知,將各個點的橫坐標代入,求值后再比較大小.
(2)賦值法:k值未知,可根據k的正負,取定一個k值,再代入各個點的橫坐標求值比較.
2.圖象法:
根據k的正負,畫出反比例函數的草圖.結合各個點的橫坐標描出各個點,直觀確定函數值的大小.
提醒:不能忽略反比例函數增減性前提是在各自象限內,直接根據k的正負比較.
【變式訓練】
1.(2024·天津中考)若點A(x1,-1),B(x2,1),C(x3,5)都在反比例函數y=的圖象上,則x1,x2,x3的大小關系是( )
A.x1C.x32.(2024·重慶中考A卷)已知點(-3,2)在反比例函數y=(k≠0)的圖象上,則k的值為( )
A.-3　 B.3　 C.-6　 D.6
考點3　二次函數的圖象與性質
【例3】(2024·遂寧中考)如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c為常數,且a≠0)的對稱軸為直線x=-1,且該拋物線與x軸交于點A(1,0),與y軸的交點B在(0,-2),(0,-3)之間(不含端點),則下列結論正確的有多少個( )
①abc>0;
②9a-3b+c>0;
③④若方程ax2+bx+c=x+1兩根為m,n(mA.1　 B.2　 C.3　 D.4
【方法技巧】
二次函數圖象與a,b,c的關系
項目 符號 圖象的特征
a a>0 開口向上
a<0 開口向下
b b=0 對稱軸為y軸
ab>0(a與b同號) 對稱軸在y軸左側
ab<0(a與b異號) 對稱軸在y軸右側
c c=0 經過原點
c>0 與y軸正半軸相交
c<0 與y軸負半軸相交
【變式訓練】
1.(2024·湛江模擬)函數y=-x2+1的圖象大致為( )
2. (2024·貴州中考)如圖,二次函數y=ax2+bx+c的部分圖象與x軸的一個交點的橫坐標是-3,頂點坐標為(-1,4),則下列說法正確的是( )
A.二次函數圖象的對稱軸是直線x=1
B.二次函數圖象與x軸的另一個交點的橫坐標是2
C.當x<-1時,y隨x的增大而減小
D.二次函數圖象與y軸的交點的縱坐標是3
考點4　一次函數性質的綜合應用
【例4】(教材原題·湘教版八年級下冊·P128T6)
正比例函數y=kx(k≠0)的函數值y隨x的增大而增大,則一次函數y=x+k的圖象大致是( )
【方法技巧】
一次函數y=kx+b的性質與k,b的關系
1.一次函數y=kx+b與y軸交于點(0,b),b的正負決定一次函數與y軸交點的位置.
2.對一次函數y=kx+b,k>0,圖象過第一、三象限,y隨x的增大而增大;k<0,圖象過第二、四象限,y隨x的增大而減小.
提醒:若一次函數y1=k1x+b1,y2=k2x+b2的圖象垂直(或y1是由y2旋轉90°得到的),則k1·k2=-1.
【變式訓練】
(2024·湛江模擬)已知一次函數y=-x+2,下列說法不正確的是( )
A.圖象與x軸的交點坐標是(0,2)
B.圖象經過第一、二、四象限
C.y隨x的增大而減小
D.圖象與兩坐標軸圍成的三角形面積為2
1.(2022·株洲中考)在平面直角坐標系中,一次函數y=5x+1的圖象與y軸的交點的坐標為( )
A.(0,-1) B. (-,0)
C. (,0) D.(0,1)
2.(2024·長沙中考)對于一次函數y=2x-1,下列結論正確的是( )
A.它的圖象與y軸交于點(0,-1)
B.y隨x的增大而減小
C.當x>時,y<0
D.它的圖象經過第一、二、三象限
3.(2021·株洲中考)點A(x1,y1),B(x1+1,y2)是反比例函數y=圖象上的兩點,滿足:當x1>0時,均有y14.(2022·株洲中考)如圖所示,在平面直角坐標系xOy中,點A,B分別在函數y1=(x<0),y2=(x>0,k>0)的圖象上,點C在第二象限內,AC⊥x軸于點P,BC⊥y軸于點Q,連接AB,PQ,已知點A的縱坐標為-2.
(1)求點A的橫坐標;
(2)記四邊形APQB的面積為S,若點B的橫坐標為2,試用含k的代數式表示S.
2025年湖南省中考數學一輪復習
第十講　函數的圖象與性質 教師版
知識要點 對點練習
1.函數的圖象 (1)定義: 把一個函數自變量的每一個值與對應的函數值分別作為點的　橫　坐標和　縱　坐標,在直角坐標系內描出相應的點,所有這些點組成的圖形. (2)畫函數圖象的一般步驟: 列表、　描點　、　連線　. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.如果某函數的圖象如圖所示,那么y隨x的增大而(B) A.增大 B.減小 C.不變 D.有時增大有時減小
2.一次函數的圖象與性質 名稱一次函數正比例函數概念形如y=kx+b(k,b為常數,k≠0)的函數形如y=kx(k≠0)的函數圖象 形狀過點(0,b)且平行于y=kx的一條直線過原點的一條直線作圖 方法過點(0,0),(1,k)作直線.性質k>0,圖象必過第　一、三　象限,y隨x的增大而　增大　; k<0,圖象必過第二、四象限,y隨x的增大而　減小　.
2.(教材再開發·湘教八下P125例3改編)一次函數y=-2x+1的圖象大致是(C)
3.反比例函數的圖象與性質 概念圖象　是雙曲線　,它有兩個分支且關于　原點　對稱. 所在 象限k>0,在第　一、三　象限 k<0,在第　二、四　象限 性質k>0,在每一象限內,y隨x的增大而　減小　 k<0,在每一象限內,y隨x的增大而　增大　
3.已知反比例函數y=-,下列說法正確的是(D) A.圖象經過點(-3,-1) B.y隨x的增大而增大 C.若點P(-1,y1)和點Q(2,y2)在函數圖象上,則y1續表
知識要點 對點練習
4.二次函數的圖象與性質 概念形如y=　ax2+bx　+c(a,b,c是常數,a≠0)的函數 對稱軸頂點a的符號a>0a<0開口方向開口向上開口向下最值最低(高)點有最低點有最高點增減性在對稱軸左側,y隨x的增大而　減小　; 在對稱軸右側,y隨x的增大而　增大　 在對稱軸左側,y隨x的增大而　增大　; 在對稱軸右側,y隨x的增大而　減小　
4.(1)已知二次函數y=-x2+2x+4,則下列關于這個函數圖象和性質的說法,正確的是(A) A.圖象的開口向下 B.圖象的頂點坐標是(1,3) C.當x<1時,y隨x的增大而減小 D.圖象與x軸有唯一交點 (2)(教材再開發·湘教九下P12T1改編)已知拋物線y=2(x-3)2+1,下列結論錯誤的是(D) A.拋物線開口向上 B.拋物線的對稱軸為直線x=3 C.拋物線的頂點坐標為(3,1) D.當x<3時,y隨x的增大而增大 (3)拋物線y=x2-4x-6的對稱軸是　直線x=2　.
考點1　一次函數的圖象
【例1】 (2024·德陽中考)正比例函數y=kx(k≠0)的圖象如圖所示,則k的值可能是(A)
A.　 B.-　 C.-1　 D.-
【方法技巧】
一次函數圖象的判定方法
k k>0,過一、三象限;k<0,過二、四象限.
b b>0,過一、二象限;b<0,過三、四象限.
特殊點 y=kx必過原點; y=kx-k必過(1,0); y=kx+k必過(-1,0)
【變式訓練】
1.(2024·臨夏州中考)一次函數y=kx-1(k≠0)的函數值y隨x的增大而減小,它的圖象不經過的象限是(A)
A.第一象限　 B.第二象限
C.第三象限　 D.第四象限
2. (2024·青海中考)如圖,一次函數y=2x-3的圖象與x軸相交于點A,則點A關于y軸的對稱點是(A)
A. (-,0)　 B. (,0)
C.(0,3)　 D.(0,-3)
考點2　反比例函數的圖象與性質
【例2】(2024·廣西中考)已知點M(x1,y1),N(x2,y2)在反比例函數y=的圖象上,若x1<0A.y1<0C.y1【方法技巧】
反比例函數圖象上多點函數值的大小判斷
1.求值法:
(1)k值已知,將各個點的橫坐標代入,求值后再比較大小.
(2)賦值法:k值未知,可根據k的正負,取定一個k值,再代入各個點的橫坐標求值比較.
2.圖象法:
根據k的正負,畫出反比例函數的草圖.結合各個點的橫坐標描出各個點,直觀確定函數值的大小.
提醒:不能忽略反比例函數增減性前提是在各自象限內,直接根據k的正負比較.
【變式訓練】
1.(2024·天津中考)若點A(x1,-1),B(x2,1),C(x3,5)都在反比例函數y=的圖象上,則x1,x2,x3的大小關系是(B)
A.x1C.x32.(2024·重慶中考A卷)已知點(-3,2)在反比例函數y=(k≠0)的圖象上,則k的值為(C)
A.-3　 B.3　 C.-6　 D.6
考點3　二次函數的圖象與性質
【例3】(2024·遂寧中考)如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c為常數,且a≠0)的對稱軸為直線x=-1,且該拋物線與x軸交于點A(1,0),與y軸的交點B在(0,-2),(0,-3)之間(不含端點),則下列結論正確的有多少個(B)
①abc>0;
②9a-3b+c>0;
③④若方程ax2+bx+c=x+1兩根為m,n(mA.1　 B.2　 C.3　 D.4
【方法技巧】
二次函數圖象與a,b,c的關系
項目 符號 圖象的特征
a a>0 開口向上
a<0 開口向下
b b=0 對稱軸為y軸
ab>0(a與b同號) 對稱軸在y軸左側
ab<0(a與b異號) 對稱軸在y軸右側
c c=0 經過原點
c>0 與y軸正半軸相交
c<0 與y軸負半軸相交
【變式訓練】
1.(2024·湛江模擬)函數y=-x2+1的圖象大致為(B)
2. (2024·貴州中考)如圖,二次函數y=ax2+bx+c的部分圖象與x軸的一個交點的橫坐標是-3,頂點坐標為(-1,4),則下列說法正確的是(D)
A.二次函數圖象的對稱軸是直線x=1
B.二次函數圖象與x軸的另一個交點的橫坐標是2
C.當x<-1時,y隨x的增大而減小
D.二次函數圖象與y軸的交點的縱坐標是3
考點4　一次函數性質的綜合應用
【例4】(教材原題·湘教版八年級下冊·P128T6)
正比例函數y=kx(k≠0)的函數值y隨x的增大而增大,則一次函數y=x+k的圖象大致是(A)
【方法技巧】
一次函數y=kx+b的性質與k,b的關系
1.一次函數y=kx+b與y軸交于點(0,b),b的正負決定一次函數與y軸交點的位置.
2.對一次函數y=kx+b,k>0,圖象過第一、三象限,y隨x的增大而增大;k<0,圖象過第二、四象限,y隨x的增大而減小.
提醒:若一次函數y1=k1x+b1,y2=k2x+b2的圖象垂直(或y1是由y2旋轉90°得到的),則k1·k2=-1.
【變式訓練】
(2024·湛江模擬)已知一次函數y=-x+2,下列說法不正確的是(A)
A.圖象與x軸的交點坐標是(0,2)
B.圖象經過第一、二、四象限
C.y隨x的增大而減小
D.圖象與兩坐標軸圍成的三角形面積為2
1.(2022·株洲中考)在平面直角坐標系中,一次函數y=5x+1的圖象與y軸的交點的坐標為(D)
A.(0,-1) B. (-,0)
C. (,0) D.(0,1)
2.(2024·長沙中考)對于一次函數y=2x-1,下列結論正確的是(A)
A.它的圖象與y軸交于點(0,-1)
B.y隨x的增大而減小
C.當x>時,y<0
D.它的圖象經過第一、二、三象限
3.(2021·株洲中考)點A(x1,y1),B(x1+1,y2)是反比例函數y=圖象上的兩點,滿足:當x1>0時,均有y14.(2022·株洲中考)如圖所示,在平面直角坐標系xOy中,點A,B分別在函數y1=(x<0),y2=(x>0,k>0)的圖象上,點C在第二象限內,AC⊥x軸于點P,BC⊥y軸于點Q,連接AB,PQ,已知點A的縱坐標為-2.
(1)求點A的橫坐標;
(2)記四邊形APQB的面積為S,若點B的橫坐標為2,試用含k的代數式表示S.
【解析】(1)∵點A在函數y1=(x<0)的圖象上,點A的縱坐標為-2,∴-2=,解得x=-1,∴點A的橫坐標為-1;
(2)∵點B在函數y2=(x>0,k>0)的圖象上,點B的橫坐標為2,
∴B(2,),∴PC=OQ=,BQ=2,
∵A(-1,-2),∴OP=CQ=1,AP=2,
∴AC=2+,BC=1+2=3,
∴S=S△ABC-S△PQC
=BC·AC-PC·CQ
=×3×(2+)-××1=3+.
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