資源簡介

2025年湖南省中考數(shù)學一輪復習
第九講　平面直角坐標系及函數(shù)初步 學生版
知識要點
1.點的坐標
(1)坐標:過點P分別向x軸、y軸作垂線,垂足在x軸、y軸上對應數(shù)a,b分別叫做點P的 和 .有序?qū)崝?shù)對(a,b)叫做點P的坐標.
(2)坐標與距離:P(a,b)到x軸的距離為 ,到y(tǒng)軸的距離為 ,到原點的距離為 .
對點練習
1.(1)在平面直角坐標系中,點P(1,-)到x軸的距離為( )
A.1 B. C. D.3
(2)在平面直角坐標系中,第一象限內(nèi)的點P(a+3,a)到y(tǒng)軸的距離是5,則a的值為( )
A.-8 B.2或-8 C.2 D.8
知識要點
2.平面直角坐標系中點的坐標特征
點 P(x,y) 在第一象限 x>0,y>0
在第二象限
在第三象限
在第四象限
對點練習
2.(教材再開發(fā)·湘教八下P85例2改編)點P(-2,1)在平面直角坐標系中所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
知識要點
3.與坐標軸有關的點的坐標特征
(1)若點P(a,b)在x軸上,則 =0;在y軸上,則 =0;
(2)若多個點在平行于x軸的直線上,則 相同;
(3)若多個點在平行于y軸的直線上,則 相同.
對點練習
3.若點P(m+1,m-1)在x軸上,則點P的坐標是( )
A.(2,0) B.(0,2)
C.(-2,0) D.(0,-2)
知識要點
4.對稱點的坐標特征
點P(a,b) 關于x軸對稱點P1(a,-b)
關于y軸對稱點P2(-a,b)
關于原點對稱點P3(-a,-b)
關于直線y=x的對稱點P4(b,a)
關于直線y=-x的對稱點P5(-b,-a)
對點練習
4. 已知點A(-3,2),B(3,2),則A,B兩點相距(D)
A.3個單位長度 B.5個單位長度
C.4個單位長度 D.6個單位長度
知識要點
5.點的平移規(guī)律
點P(x,y), 若a>0,b>0 向右平移a個單位,得對應點是( ,y)
向左平移a個單位,得對應點是( ,y)
向上平移b個單位,得對應點是(x, )
向下平移b個單位,得對應點是(x, )
對點練習
5.(教材再開發(fā)·湘教八下P99T1改編)在平面直角坐標系中,將點A(-2,-3)向右平移2個單位長度,再向下平移4個單位長度得到點B,則點B的坐標為(D)
A.(0,-3) B.(-4,-7)
C.(4,-3) D.(0,-7)
知識要點
6.函數(shù)及其相關概念
(1)函數(shù):一般地,如果在一個變化過程中有兩個變量x和y,并且對于變量x的每一個值,變量y都有 的值與它對應,那么我們稱 是x的函數(shù),其中x是自變量.
(2)自變量的取值范圍:使得函數(shù)有意義的自變量所能取值的范圍.
(3)函數(shù)的三種常見表示方法: 、圖象法、 .
對點練習
6.函數(shù)y=自變量x的取值范圍是( )
A.x≠3 B.x≤5
C.x≤5且x≠3 D.x<5且x≠3
考點1　坐標系中點的坐標特征
【例1】(2024·天津模擬)下列各點中,在第二象限的點是( )
A.(-4,5)　 B.(-1,-3)
C.(0,2)　 D.(7,-6)
【方法技巧】
判斷點所屬象限——看正負
橫坐標為正,屬第一或第四象限;縱坐標為負,屬第三或第四象限.
提醒:坐標軸上的點不屬于任何象限.
【變式訓練】
1.(2024·濱州中考)若點P(1-2a,a)在第二象限,那么a的取值范圍是( )
A.a>　 B.a<
C.02.(2024·貴州中考)為培養(yǎng)青少年的科學態(tài)度和科學思維,某校創(chuàng)建了“科技創(chuàng)新”社團.小紅將“科”“技”“創(chuàng)”“新”寫在如圖所示的方格紙中,若建立平面直角坐標系,使“創(chuàng)”“新”的坐標分別為(-2,0),(0,0),則“技”所在的象限為( )
A.第一象限　 B.第二象限
C.第三象限　 D.第四象限
考點2　點的坐標與位置變化
【例2】(2024·江西中考)在平面直角坐標系中,將點A(1,1)向右平移2個單位長度,再向上平移3個單位長度得到點B,則點B的坐標為 .
【方法技巧】
點的位置變化與坐標關系
1.兩個點關于坐標軸對稱:橫軸對稱橫坐標不變;縱軸對稱縱坐標不變.
2.點的平移:左右平移,橫坐標加減;上下平移,縱坐標加減.
提醒:圖形的軸對稱變化就是點的對稱變化;圖形的平移就是點的平移.
【變式訓練】
1.(2024·雅安中考)在平面直角坐標系中,將點P(1,-1)向右平移2個單位后,得到的點P1關于x軸的對稱點坐標是( )
A.(1,1)　 B.(3,1)
C.(3,-1)　 D.(1,-1)
2.(2024·成都中考)在平面直角坐標系xOy中,點P(1,-4)關于原點對稱的點的坐標是( )
A.(-1,-4)　 B.(-1,4)
C.(1,4)　 D.(1,-4)
考點3　函數(shù)自變量的取值范圍
【例3】(2024·內(nèi)江中考)在函數(shù)y=中,自變量x的取值范圍是 .
【方法技巧】
　常見函數(shù)類型自變量的取值范圍
類型 自變量的取值范圍
整式型 全體實數(shù)
分式型 使分母不為零的實數(shù)
二次根式型 使被開方數(shù)為非負數(shù)的實數(shù)
組合型 各個代數(shù)式中自變量取值范圍的公共部分
提醒:在實際問題中,自變量的取值要使實際問題有意義.
【變式訓練】
1.(2024·瀘州中考)函數(shù)y=的自變量x的取值范圍是 .
2.(2024·龍東中考)在函數(shù)y=中,自變量x的取值范圍是 .
考點4　從函數(shù)圖象中獲取信息
【例4】(教材原題·湘教版八年級下冊·P114例2)
某天7時,小明從家騎自行車上學,途中因自行車發(fā)生故障,修車耽誤了一段時間后繼續(xù)騎行,按時趕到了學校.圖中反映了他騎車的整個過程,結(jié)合圖象,回答下列問題:
(1)自行車發(fā)生故障是在什么時間 此時離家有多遠
(2)修車花了多長時間 修好車后又花了多長時間到達學校
(3)小明從家到學校的平均速度是多少
【思路點撥】根據(jù)圖象發(fā)現(xiàn)離家距離隨時間的變化關系.離家距離不變時說明此時沒有移動.
【方法技巧】
從函數(shù)圖象中獲取信息的關鍵
(1)明確“兩軸”所表示的意義;
(2)通過圖象的形狀、位置、變化趨勢來獲取信息;
(3)結(jié)合兩個變量的關系,做出合理的推斷.
【變式訓練】
1.(2024·呼倫貝爾中考)已知某同學家、體育場、圖書館在同一條直線上.下面的圖象反映的過程是:該同學從家跑步去體育場,在那里鍛煉了一陣后又步行回家吃早餐,飯后騎自行車到圖書館.圖中用x表示時間,y表示該同學離家的距離.結(jié)合圖象給出下列結(jié)論:
(1)體育場離該同學家2.5 km;
(2)該同學在體育場鍛煉了15 min;
(3)該同學跑步前平均速度是步行平均速度的2倍;
(4)若該同學騎行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍,則a的值是3.75;
其中正確結(jié)論的個數(shù)是( )
A.1　 B.2　 C.3　 D.4
2.(2024·青海中考)化學實驗小組查閱資料了解到:某種絮凝劑溶于水后能夠吸附水中懸浮物并發(fā)生沉降,從而達到凈水的目的.實驗得出加入絮凝劑的體積與凈水率之間的關系如圖所示,下列說法正確的是(D)
A.加入絮凝劑的體積越大,凈水率越高
B.未加入絮凝劑時,凈水率為0
C.絮凝劑的體積每增加0.1 mL,凈水率的增加量相等
D.加入絮凝劑的體積是0.2 mL時,凈水率達到76.54%
1.(2024·長沙中考)在平面直角坐標系中,將點P(3,5)向上平移2個單位長度后得到點P'的坐標為(D)
A.(1,5)　 B.(5,5) C.(3,3)　 D.(3,7)
2.(2022·益陽中考)已知一個函數(shù)的因變量y與自變量x的幾組對應值如表,則這個函數(shù)的表達式可以是( )
x … -1 0 1 2 …
y … -2 0 2 4 …
A.y=2x B.y=x-1
C.y= D.y=x2
3.(2022·永州中考)學校組織部分師生去烈士陵園參加“不忘初心,牢記使命”主題教育活動.師生隊伍從學校出發(fā),勻速行走30分鐘到達烈士陵園,用1小時在烈士陵園進行了祭掃和參觀學習等活動,之后隊伍按原路勻速步行45分鐘返校.設師生隊伍離學校的距離為y米,離校的時間為x分鐘,則下列圖象能大致反映y與x關系的是( )
4.(2024·湖南中考)在平面直角坐標系xOy中,對于點P(x,y),若x,y均為整數(shù),則稱點P為“整點”,特別地,當(其中xy≠0)的值為整數(shù)時,稱“整點”P為“超整點”.已知點P(2a-4,a+3)在第二象限,下列說法正確的是( )
A.a<-3
B.若點P為“整點”,則點P的個數(shù)為3個
C.若點P為“超整點”,則點P的個數(shù)為1個
D.若點P為“超整點”,則點P到兩坐標軸的距離之和大于10
5.(2023·郴州中考)第11屆中國(湖南)礦物寶石國際博覽會在我市舉行,小方一家上午9:00開車前往會展中心參觀.途中汽車發(fā)生故障,原地修車花了一段時間.車修好后,他們繼續(xù)開車趕往會展中心.以下是他們家出發(fā)后離家的距離s與時間的函數(shù)圖象.分析圖中信息,下列說法正確的是(D)
A.途中修車花了30 min
B.修車之前的平均速度是500 m/min
C.車修好后的平均速度是800 m/min
D.車修好后的平均速度是修車之前的平均速度的1.5倍
6.(2022·邵陽中考)若有意義,則x的取值范圍是 .
7.(2023·株洲中考)血壓包括收縮壓和舒張壓,分別代表心臟收縮時和舒張時的壓力.收縮壓的正常范圍是:90~140 mmHg,舒張壓的正常范圍是:60~90 mmHg.現(xiàn)有五人A,B,C,D,E的血壓測量值統(tǒng)計如下:
則這五人中收縮壓和舒張壓均在正常范圍內(nèi)的人有 個.
2025年湖南省中考數(shù)學一輪復習
第九講　平面直角坐標系及函數(shù)初步 教師版
知識要點
1.點的坐標
(1)坐標:過點P分別向x軸、y軸作垂線,垂足在x軸、y軸上對應數(shù)a,b分別叫做點P的　橫坐標　和　縱坐標　.有序?qū)崝?shù)對(a,b)叫做點P的坐標.
(2)坐標與距離:P(a,b)到x軸的距離為　|b|　,到y(tǒng)軸的距離為　|a|　,到原點的距離為 　.
對點練習
1.(1)在平面直角坐標系中,點P(1,-)到x軸的距離為(B)
A.1 B. C. D.3
(2)在平面直角坐標系中,第一象限內(nèi)的點P(a+3,a)到y(tǒng)軸的距離是5,則a的值為(C)
A.-8 B.2或-8 C.2 D.8
知識要點
2.平面直角坐標系中點的坐標特征
點 P(x,y) 在第一象限 x>0,y>0
在第二象限 　x<0,y>0　
在第三象限 　x<0,y<0　
在第四象限 　x>0,y<0　
對點練習
2.(教材再開發(fā)·湘教八下P85例2改編)點P(-2,1)在平面直角坐標系中所在的象限是(B)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
知識要點
3.與坐標軸有關的點的坐標特征
(1)若點P(a,b)在x軸上,則　b　=0;在y軸上,則　a　=0;
(2)若多個點在平行于x軸的直線上,則　縱坐標　相同;
(3)若多個點在平行于y軸的直線上,則　橫坐標　相同.
對點練習
3.若點P(m+1,m-1)在x軸上,則點P的坐標是(A)
A.(2,0) B.(0,2)
C.(-2,0) D.(0,-2)
知識要點
4.對稱點的坐標特征
點P(a,b) 關于x軸對稱點P1(a,-b)
關于y軸對稱點P2(-a,b)
關于原點對稱點P3(-a,-b)
關于直線y=x的對稱點P4(b,a)
關于直線y=-x的對稱點P5(-b,-a)
對點練習
4. 已知點A(-3,2),B(3,2),則A,B兩點相距(D)
A.3個單位長度 B.5個單位長度
C.4個單位長度 D.6個單位長度
知識要點
5.點的平移規(guī)律
點P(x,y), 若a>0,b>0 向右平移a個單位,得對應點是(　x+a　,y)
向左平移a個單位,得對應點是(　x-a　,y)
向上平移b個單位,得對應點是(x,　y+b　)
向下平移b個單位,得對應點是(x,　y-b　)
對點練習
5.(教材再開發(fā)·湘教八下P99T1改編)在平面直角坐標系中,將點A(-2,-3)向右平移2個單位長度,再向下平移4個單位長度得到點B,則點B的坐標為(D)
A.(0,-3) B.(-4,-7)
C.(4,-3) D.(0,-7)
知識要點
6.函數(shù)及其相關概念
(1)函數(shù):一般地,如果在一個變化過程中有兩個變量x和y,并且對于變量x的每一個值,變量y都有　唯一　的值與它對應,那么我們稱　y　是x的函數(shù),其中x是自變量.
(2)自變量的取值范圍:使得函數(shù)有意義的自變量所能取值的范圍.
(3)函數(shù)的三種常見表示方法:　列表法　、圖象法、　關系式法　.
對點練習
6.函數(shù)y=自變量x的取值范圍是(C)
A.x≠3 B.x≤5
C.x≤5且x≠3 D.x<5且x≠3
考點1　坐標系中點的坐標特征
【例1】(2024·天津模擬)下列各點中,在第二象限的點是(A)
A.(-4,5)　 B.(-1,-3)
C.(0,2)　 D.(7,-6)
【方法技巧】
判斷點所屬象限——看正負
橫坐標為正,屬第一或第四象限;縱坐標為負,屬第三或第四象限.
提醒:坐標軸上的點不屬于任何象限.
【變式訓練】
1.(2024·濱州中考)若點P(1-2a,a)在第二象限,那么a的取值范圍是(A)
A.a>　 B.a<
C.02.(2024·貴州中考)為培養(yǎng)青少年的科學態(tài)度和科學思維,某校創(chuàng)建了“科技創(chuàng)新”社團.小紅將“科”“技”“創(chuàng)”“新”寫在如圖所示的方格紙中,若建立平面直角坐標系,使“創(chuàng)”“新”的坐標分別為(-2,0),(0,0),則“技”所在的象限為(A)
A.第一象限　 B.第二象限
C.第三象限　 D.第四象限
考點2　點的坐標與位置變化
【例2】(2024·江西中考)在平面直角坐標系中,將點A(1,1)向右平移2個單位長度,再向上平移3個單位長度得到點B,則點B的坐標為　(3,4)　.
【方法技巧】
點的位置變化與坐標關系
1.兩個點關于坐標軸對稱:橫軸對稱橫坐標不變;縱軸對稱縱坐標不變.
2.點的平移:左右平移,橫坐標加減;上下平移,縱坐標加減.
提醒:圖形的軸對稱變化就是點的對稱變化;圖形的平移就是點的平移.
【變式訓練】
1.(2024·雅安中考)在平面直角坐標系中,將點P(1,-1)向右平移2個單位后,得到的點P1關于x軸的對稱點坐標是(B)
A.(1,1)　 B.(3,1)
C.(3,-1)　 D.(1,-1)
2.(2024·成都中考)在平面直角坐標系xOy中,點P(1,-4)關于原點對稱的點的坐標是(B)
A.(-1,-4)　 B.(-1,4)
C.(1,4)　 D.(1,-4)
考點3　函數(shù)自變量的取值范圍
【例3】(2024·內(nèi)江中考)在函數(shù)y=中,自變量x的取值范圍是　x≠0　.
【方法技巧】
　常見函數(shù)類型自變量的取值范圍
類型 自變量的取值范圍
整式型 全體實數(shù)
分式型 使分母不為零的實數(shù)
二次根式型 使被開方數(shù)為非負數(shù)的實數(shù)
組合型 各個代數(shù)式中自變量取值范圍的公共部分
提醒:在實際問題中,自變量的取值要使實際問題有意義.
【變式訓練】
1.(2024·瀘州中考)函數(shù)y=的自變量x的取值范圍是　x≥-2　.
2.(2024·龍東中考)在函數(shù)y=中,自變量x的取值范圍是　x≥3　.
考點4　從函數(shù)圖象中獲取信息
【例4】(教材原題·湘教版八年級下冊·P114例2)
某天7時,小明從家騎自行車上學,途中因自行車發(fā)生故障,修車耽誤了一段時間后繼續(xù)騎行,按時趕到了學校.圖中反映了他騎車的整個過程,結(jié)合圖象,回答下列問題:
(1)自行車發(fā)生故障是在什么時間 此時離家有多遠
(2)修車花了多長時間 修好車后又花了多長時間到達學校
(3)小明從家到學校的平均速度是多少
【思路點撥】根據(jù)圖象發(fā)現(xiàn)離家距離隨時間的變化關系.離家距離不變時說明此時沒有移動.
【自主解答】(1)從橫坐標看出,自行車發(fā)生故障的時間是7:05;從縱坐標看出,此時離家1 000 m.
(2)從橫坐標看出,小明修車花了15 min;小明修好車后又花了10 min到達學校.
(3)從縱坐標看出,小明家離學校2 100 m;從橫坐標看出,他在路上共花了30 min,因此,他從家到學校的平均速度是2 100÷30=70(m/min).
【方法技巧】
從函數(shù)圖象中獲取信息的關鍵
(1)明確“兩軸”所表示的意義;
(2)通過圖象的形狀、位置、變化趨勢來獲取信息;
(3)結(jié)合兩個變量的關系,做出合理的推斷.
【變式訓練】
1.(2024·呼倫貝爾中考)已知某同學家、體育場、圖書館在同一條直線上.下面的圖象反映的過程是:該同學從家跑步去體育場,在那里鍛煉了一陣后又步行回家吃早餐,飯后騎自行車到圖書館.圖中用x表示時間,y表示該同學離家的距離.結(jié)合圖象給出下列結(jié)論:
(1)體育場離該同學家2.5 km;
(2)該同學在體育場鍛煉了15 min;
(3)該同學跑步前平均速度是步行平均速度的2倍;
(4)若該同學騎行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍,則a的值是3.75;
其中正確結(jié)論的個數(shù)是(C)
A.1　 B.2　 C.3　 D.4
2.(2024·青海中考)化學實驗小組查閱資料了解到:某種絮凝劑溶于水后能夠吸附水中懸浮物并發(fā)生沉降,從而達到凈水的目的.實驗得出加入絮凝劑的體積與凈水率之間的關系如圖所示,下列說法正確的是(D)
A.加入絮凝劑的體積越大,凈水率越高
B.未加入絮凝劑時,凈水率為0
C.絮凝劑的體積每增加0.1 mL,凈水率的增加量相等
D.加入絮凝劑的體積是0.2 mL時,凈水率達到76.54%
1.(2024·長沙中考)在平面直角坐標系中,將點P(3,5)向上平移2個單位長度后得到點P'的坐標為(D)
A.(1,5)　 B.(5,5) C.(3,3)　 D.(3,7)
2.(2022·益陽中考)已知一個函數(shù)的因變量y與自變量x的幾組對應值如表,則這個函數(shù)的表達式可以是(A)
x … -1 0 1 2 …
y … -2 0 2 4 …
A.y=2x B.y=x-1
C.y= D.y=x2
3.(2022·永州中考)學校組織部分師生去烈士陵園參加“不忘初心,牢記使命”主題教育活動.師生隊伍從學校出發(fā),勻速行走30分鐘到達烈士陵園,用1小時在烈士陵園進行了祭掃和參觀學習等活動,之后隊伍按原路勻速步行45分鐘返校.設師生隊伍離學校的距離為y米,離校的時間為x分鐘,則下列圖象能大致反映y與x關系的是(A)
4.(2024·湖南中考)在平面直角坐標系xOy中,對于點P(x,y),若x,y均為整數(shù),則稱點P為“整點”,特別地,當(其中xy≠0)的值為整數(shù)時,稱“整點”P為“超整點”.已知點P(2a-4,a+3)在第二象限,下列說法正確的是(C)
A.a<-3
B.若點P為“整點”,則點P的個數(shù)為3個
C.若點P為“超整點”,則點P的個數(shù)為1個
D.若點P為“超整點”,則點P到兩坐標軸的距離之和大于10
5.(2023·郴州中考)第11屆中國(湖南)礦物寶石國際博覽會在我市舉行,小方一家上午9:00開車前往會展中心參觀.途中汽車發(fā)生故障,原地修車花了一段時間.車修好后,他們繼續(xù)開車趕往會展中心.以下是他們家出發(fā)后離家的距離s與時間的函數(shù)圖象.分析圖中信息,下列說法正確的是(D)
A.途中修車花了30 min
B.修車之前的平均速度是500 m/min
C.車修好后的平均速度是800 m/min
D.車修好后的平均速度是修車之前的平均速度的1.5倍
6.(2022·邵陽中考)若有意義,則x的取值范圍是　x>2　.
7.(2023·株洲中考)血壓包括收縮壓和舒張壓,分別代表心臟收縮時和舒張時的壓力.收縮壓的正常范圍是:90~140 mmHg,舒張壓的正常范圍是:60~90 mmHg.現(xiàn)有五人A,B,C,D,E的血壓測量值統(tǒng)計如下:
則這五人中收縮壓和舒張壓均在正常范圍內(nèi)的人有　3　個.
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