資源簡介

2025年湖南省中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)
第十一講　函數(shù)的表達(dá)式 學(xué)生版
知識要點(diǎn) 對點(diǎn)練習(xí)
1.一次函數(shù)表達(dá)式 (1)確定正比例函數(shù)表達(dá)式:將正比例函數(shù)圖象上原點(diǎn)外的一點(diǎn)坐標(biāo)(m,n)代入y=kx,可得k= ,則y= . (2)確定一次函數(shù)表達(dá)式 ①設(shè):設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式為y=kx+b. ②代:將兩點(diǎn)坐標(biāo)A(m,n),B(c,d)代入表達(dá)式中,得到含k,b的方程組. ③解:解方程組,求得k,b的值. ④還原:將k,b的值代回表達(dá)式中,從而得出函數(shù)表達(dá)式. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.已知y是x的一次函數(shù),下表列出了部分對應(yīng)值: x…-213…y…7-2-8…
則y與x的函數(shù)表達(dá)式為( ) A.y=-2x+1 B.y=2x-3 C.y=3x-1 D.y=-3x+1
2.反比例函數(shù)表達(dá)式 (1)反比例函數(shù)表達(dá)式的三種形式(k≠0): y=,y=kx-1, =k. (2)將反比例函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)坐標(biāo)代入y=,可得k=xy,即可確定其表達(dá)式. 　　　　　　　　　　　　　　　　 2.(1) (教材再開發(fā)·湘教九上P3T1改編)下列關(guān)系式中,y是x的反比例函數(shù)的是( ) A.y= B.y= C.y= D.-2xy=1 (2) 若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(3,-2),則該反比例函數(shù)的表達(dá)式為( ) A.y= B.y=- C.y= D.y=-
3.二次函數(shù)表達(dá)式 (1)二次函數(shù)表達(dá)式的三種形式 ①一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0). ②頂點(diǎn)式:y=a( )2+k(a,h,k為常數(shù),a≠0),頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h,k). ③交點(diǎn)式:y=a(x-x1)( ),其中x1,x2是二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),a≠0. (2)確定二次函數(shù)的表達(dá)式 ①根據(jù)已知條件選擇相應(yīng)的表達(dá)式;②將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入表達(dá)式,得方程組;③解方程組;④回代表達(dá)式. 3.(1) (教材再開發(fā)·湘教九下P15T3改編)已知二次函數(shù)的最小值為-3,這個函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,-2),且對稱軸為x=2,則這個二次函數(shù)的表達(dá)式為 . (2) 拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)(-1,0),且對稱軸是直線x=1,該拋物線的表達(dá)式是 .
考點(diǎn)1　確定一次函數(shù)表達(dá)式
【例1】(2024·北京中考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,函數(shù)y=kx+b(k≠0)與y=-kx+3的圖象交于點(diǎn)(2,1).
(1)求k,b的值;
(2)當(dāng)x>2時,對于x的每一個值,函數(shù)y=mx(m≠0)的值既大于函數(shù)y=kx+b的值,也大于函數(shù)y=-kx+3的值,直接寫出m的取值范圍.
【方法技巧】
確定一次函數(shù)表達(dá)式的方法
1.“公式”確定法:結(jié)合具體問題中各個量滿足的公式,列一次函數(shù)表達(dá)式,如根據(jù)圖象的面積公式.
2.待定系數(shù)法:設(shè)出對應(yīng)表達(dá)式,將圖象上的點(diǎn)代入求解.
【變式訓(xùn)練】
1.(2024·山西中考)生物學(xué)研究表明,某種蛇在一定生長階段,其體長y(cm)是尾長x(cm)的一次函數(shù),部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示,則y與x之間的關(guān)系式為( )
尾長(cm) 6 8 10
體長y(cm) 45.5 60.5 75.5
A.y=7.5x+0.5　 B.y=7.5x-0.5
C.y=15x 　 D.y=15x+45.5
2.(2024·欽州模擬)一次函數(shù)y=kx+b經(jīng)過點(diǎn)A(3,4),B(4,5),則表達(dá)式為 .
考點(diǎn)2　確定反比例函數(shù)表達(dá)式
【例2】 (2022·株洲中考)如圖所示,矩形ABCD頂點(diǎn)A,D在y軸上,頂點(diǎn)C在第一象限,x軸為該矩形的一條對稱軸,且矩形ABCD的面積為6,若反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點(diǎn)C,則k的值為 .
【方法技巧】
確定反比例函數(shù)的表達(dá)式
1.一點(diǎn)法:將反比例函數(shù)圖象上任一點(diǎn)代入y=,即可求得.
2.k的幾何意義法:反比例函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積為S,則k=S或-S.
【變式訓(xùn)練】
1. (2024·齊齊哈爾中考)如圖,反比例函數(shù)y=(x<0)的圖象經(jīng)過平行四邊形ABCO的頂點(diǎn)A,OC在x軸上,若點(diǎn)B(-1,3),S ABCO=3,則實(shí)數(shù)k的值為 .
2.(2024·鹽城中考)小明在草稿紙上畫了某反比例函數(shù)在第二象限內(nèi)的圖象,并把矩形直尺放在上面,如圖.請根據(jù)圖中信息,求:
(1)反比例函數(shù)表達(dá)式;(2)點(diǎn)C坐標(biāo).
考點(diǎn)3　求二次函數(shù)表達(dá)式
【例3】(教材原題·湘教版九年級下冊·P23T1)
已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過三點(diǎn)A(-1,0),B(0,2),C(2,0),求這個二次函數(shù)的表達(dá)式.
【思路點(diǎn)撥】設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x+1)(x-2),然后把B點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a即可.
【方法技巧】
求二次函數(shù)表達(dá)式的方法
已知條件 選用表達(dá)式的形式
已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo) y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)
已知拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸與最大(小)值 y=a(x-h)2+k(a≠0), (h,k)為二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)
已知拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo) y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2為拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)
【變式訓(xùn)練】
1.(2024·臨夏州中考)在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,作直線BC.求拋物線的表達(dá)式.
2.(2024·甘肅中考)如圖,拋物線y=a(x-h)2+k交x軸于O,A(4,0)兩點(diǎn),
頂點(diǎn)為B(2,2),點(diǎn)C為OB的中點(diǎn).求拋物線y=a(x-h)2+k的表達(dá)式.
考點(diǎn)4　二次函數(shù)最值
【例4】當(dāng)火箭豎直向上發(fā)射時,它的高度h(m)與時間t(s)的關(guān)系可以用公式h=-5t2+150t+10表示.經(jīng)過多長時間,火箭到達(dá)它的最高點(diǎn) 最高點(diǎn)的高度是多少
【變式訓(xùn)練】
1.若拋物線y=x2-2x+m的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為n,則m-n的值是( )
A.-1　 B.0　 C.1　 D.2
2.(2024·樂山中考)已知二次函數(shù)y=x2-2x(-1≤x≤t-1),當(dāng)x=-1時,函數(shù)取得最大值;當(dāng)x=1時,函數(shù)取得最小值,則t的取值范圍是( )
A.0C.2≤t≤4　 D.t≥2
1.(2023·永州中考)已知點(diǎn)M(2,a)在反比例函數(shù)y=的圖象上,其中a,k為常數(shù),且k>0,則點(diǎn)M一定在( )
A.第一象限　 B.第二象限
C.第三象限　 D.第四象限
2.(2023·邵陽中考)如圖,矩形OABC的頂點(diǎn)B和正方形ADEF的頂點(diǎn)E都在反比例函數(shù)y=(k≠0)的圖象上,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,4),則點(diǎn)E的坐標(biāo)為( )
A.(4,4)　 B.(2,2) C.(2,4)　 D.(4,2)
3.(2024·湖南中考)在一定條件下,樂器中弦振動的頻率f與弦長l成反比例關(guān)系,即f=(k為常數(shù),k≠0).若某樂器的弦長l為0.9米,振動頻率f為200赫茲,則k的值為 .
4.(2023·湘潭中考)如圖,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-3,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)是(0,4),點(diǎn)C為OB中點(diǎn).將△ABC繞著點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'BC'.
(1)反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點(diǎn)C',求該反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)一次函數(shù)圖象經(jīng)過A,A'兩點(diǎn),求該一次函數(shù)的表達(dá)式.
5.(2024·湖南中考)已知二次函數(shù)y=-x2+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(-2,5),點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2)是此二次函數(shù)的圖象上的兩個動點(diǎn).
(1)求此二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)如圖1,此二次函數(shù)的圖象與x軸的正半軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)P在直線AB的上方,過點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C,交AB于點(diǎn)D,連接AC,DQ,PQ.若x2=x1+3,求證:的值為定值;
(3)如圖2,點(diǎn)P在第二象限,x2=-2x1,若點(diǎn)M在直線PQ上,且橫坐標(biāo)為x1-1,過點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N,求線段MN長度的最大值.
2025年湖南省中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)
第十一講　函數(shù)的表達(dá)式 教師版
知識要點(diǎn) 對點(diǎn)練習(xí)
1.一次函數(shù)表達(dá)式 (1)確定正比例函數(shù)表達(dá)式:將正比例函數(shù)圖象上原點(diǎn)外的一點(diǎn)坐標(biāo)(m,n)代入y=kx,可得k= 　,則y= x　. (2)確定一次函數(shù)表達(dá)式 ①設(shè):設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式為y=kx+b. ②代:將兩點(diǎn)坐標(biāo)A(m,n),B(c,d)代入表達(dá)式中,得到含k,b的方程組. ③解:解方程組,求得k,b的值. ④還原:將k,b的值代回表達(dá)式中,從而得出函數(shù)表達(dá)式. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.已知y是x的一次函數(shù),下表列出了部分對應(yīng)值: x…-213…y…7-2-8…
則y與x的函數(shù)表達(dá)式為(D) A.y=-2x+1 B.y=2x-3 C.y=3x-1 D.y=-3x+1
2.反比例函數(shù)表達(dá)式 (1)反比例函數(shù)表達(dá)式的三種形式(k≠0): y=,y=kx-1,　xy　=k. (2)將反比例函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)坐標(biāo)代入y=,可得k=xy,即可確定其表達(dá)式. 　　　　　　　　　　　　　　　　 2.(1) (教材再開發(fā)·湘教九上P3T1改編)下列關(guān)系式中,y是x的反比例函數(shù)的是(D) A.y= B.y= C.y= D.-2xy=1 (2) 若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(3,-2),則該反比例函數(shù)的表達(dá)式為(B) A.y= B.y=- C.y= D.y=-
3.二次函數(shù)表達(dá)式 (1)二次函數(shù)表達(dá)式的三種形式 ①一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0). ②頂點(diǎn)式:y=a(　x-h　)2+k(a,h,k為常數(shù),a≠0),頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h,k). ③交點(diǎn)式:y=a(x-x1)(　x-x2　),其中x1,x2是二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),a≠0. (2)確定二次函數(shù)的表達(dá)式 ①根據(jù)已知條件選擇相應(yīng)的表達(dá)式;②將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入表達(dá)式,得方程組;③解方程組;④回代表達(dá)式. 3.(1) (教材再開發(fā)·湘教九下P15T3改編)已知二次函數(shù)的最小值為-3,這個函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,-2),且對稱軸為x=2,則這個二次函數(shù)的表達(dá)式為　y=(x-2)2-3　. (2) 拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)(-1,0),且對稱軸是直線x=1,該拋物線的表達(dá)式是　y=-x2+2x+3　.
考點(diǎn)1　確定一次函數(shù)表達(dá)式
【例1】(2024·北京中考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,函數(shù)y=kx+b(k≠0)與y=-kx+3的圖象交于點(diǎn)(2,1).
(1)求k,b的值;
(2)當(dāng)x>2時,對于x的每一個值,函數(shù)y=mx(m≠0)的值既大于函數(shù)y=kx+b的值,也大于函數(shù)y=-kx+3的值,直接寫出m的取值范圍.
【自主解答】(1)由題意得將(2,1)代入y=-kx+3,得-2k+3=1,解得k=1.將k=1,(2,1),代入函數(shù)y=kx+b(k≠0)中,得,解得,∴k=1,b=-1.
(2)根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想解決,將問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)x>2時,對于x的每一個值,直線y=mx(m≠0)的圖象在直線y=x-1和直線y=-x+3的上方,畫出臨界狀態(tài)圖象分析即可.
∵k=1,b=-1,∴兩個一次函數(shù)的解析式分別為y=x-1,y=-x+3,
當(dāng)x>2時,對于x的每一個值,函數(shù)y=mx(m≠0)的值既大于函數(shù)y=x-1的值,也大于函數(shù)y=-x+3的值,
即當(dāng)x>2時,對于x的每一個值,直線y=mx(m≠0)的圖象在直線y=x-1和直線y=-x+3的上方,則畫出圖象如下.
由圖象,得當(dāng)直線y=mx(m≠0)與直線y=x-1平行時符合題意或者當(dāng)y=mx(m≠0)與x軸的夾角大于直線y=mx(m≠0)與直線y=x-1平行時的夾角也符合題意,
∴當(dāng)直線y=mx(m≠0)與直線y=x-1平行時,m=1,∴當(dāng)x>2時,對于x的每一個值,直線y=mx(m≠0)的圖象在直線y=x-1和直線y=-x+3的上方時,m≥1,
∴m的取值范圍為m≥1.
【方法技巧】
確定一次函數(shù)表達(dá)式的方法
1.“公式”確定法:結(jié)合具體問題中各個量滿足的公式,列一次函數(shù)表達(dá)式,如根據(jù)圖象的面積公式.
2.待定系數(shù)法:設(shè)出對應(yīng)表達(dá)式,將圖象上的點(diǎn)代入求解.
【變式訓(xùn)練】
1.(2024·山西中考)生物學(xué)研究表明,某種蛇在一定生長階段,其體長y(cm)是尾長x(cm)的一次函數(shù),部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示,則y與x之間的關(guān)系式為(A)
尾長(cm) 6 8 10
體長y(cm) 45.5 60.5 75.5
A.y=7.5x+0.5　 B.y=7.5x-0.5
C.y=15x 　 D.y=15x+45.5
2.(2024·欽州模擬)一次函數(shù)y=kx+b經(jīng)過點(diǎn)A(3,4),B(4,5),則表達(dá)式為　y=x+1　.
考點(diǎn)2　確定反比例函數(shù)表達(dá)式
【例2】 (2022·株洲中考)如圖所示,矩形ABCD頂點(diǎn)A,D在y軸上,頂點(diǎn)C在第一象限,x軸為該矩形的一條對稱軸,且矩形ABCD的面積為6,若反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點(diǎn)C,則k的值為　3　.
【方法技巧】
確定反比例函數(shù)的表達(dá)式
1.一點(diǎn)法:將反比例函數(shù)圖象上任一點(diǎn)代入y=,即可求得.
2.k的幾何意義法:反比例函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積為S,則k=S或-S.
【變式訓(xùn)練】
1. (2024·齊齊哈爾中考)如圖,反比例函數(shù)y=(x<0)的圖象經(jīng)過平行四邊形ABCO的頂點(diǎn)A,OC在x軸上,若點(diǎn)B(-1,3),S ABCO=3,則實(shí)數(shù)k的值為　-6　.
2.(2024·鹽城中考)小明在草稿紙上畫了某反比例函數(shù)在第二象限內(nèi)的圖象,并把矩形直尺放在上面,如圖.請根據(jù)圖中信息,求:
(1)反比例函數(shù)表達(dá)式;(2)點(diǎn)C坐標(biāo).
【解析】(1)由題圖可知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-3,2),
設(shè)反比例函數(shù)表達(dá)式為y=,
將(-3,2)代入,得2=,解得k=-6,
因此反比例函數(shù)表達(dá)式為y=-;
(2)∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-3,2),
∴設(shè)直線OA的表達(dá)式為y=mx,
則2=-3m,
∴m=-,
∴直線OA的表達(dá)式為y=-x,
由題中圖象可知,直線OA向上平移三個單位長度得到直線BC的表達(dá)式為y=-x+3,
聯(lián)立方程組,
解得,(舍去),
∴C(-,4).
考點(diǎn)3　求二次函數(shù)表達(dá)式
【例3】(教材原題·湘教版九年級下冊·P23T1)
已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過三點(diǎn)A(-1,0),B(0,2),C(2,0),求這個二次函數(shù)的表達(dá)式.
【思路點(diǎn)撥】設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x+1)(x-2),然后把B點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a即可.
【自主解答】設(shè)拋物線表達(dá)式為y=a(x+1)(x-2),把(0,2)代入得a(0+1)(0-2)=2,解得a=-1,
所以拋物線的表達(dá)式為y=-(x+1)(x-2)=-x2+x+2.
【方法技巧】
求二次函數(shù)表達(dá)式的方法
已知條件 選用表達(dá)式的形式
已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo) y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)
已知拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸與最大(小)值 y=a(x-h)2+k(a≠0), (h,k)為二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)
已知拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo) y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2為拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)
【變式訓(xùn)練】
1.(2024·臨夏州中考)在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,作直線BC.求拋物線的表達(dá)式.
【解析】∵拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn),
∴,解得,
∴拋物線的表達(dá)式為y=-x2+2x+3.
2.(2024·甘肅中考)如圖,拋物線y=a(x-h)2+k交x軸于O,A(4,0)兩點(diǎn),
頂點(diǎn)為B(2,2),點(diǎn)C為OB的中點(diǎn).求拋物線y=a(x-h)2+k的表達(dá)式.
【解析】由題意得:y=a(x-2)2+2,
將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上式得:0=a×(4-2)2+2,
解得:a=-,
拋物線y=a(x-h)2+k的表達(dá)式為y=+2x.
考點(diǎn)4　二次函數(shù)最值
【例4】當(dāng)火箭豎直向上發(fā)射時,它的高度h(m)與時間t(s)的關(guān)系可以用公式h=-5t2+150t+10表示.經(jīng)過多長時間,火箭到達(dá)它的最高點(diǎn) 最高點(diǎn)的高度是多少
【自主解答】h=-5t2+150t+10,
化為h=-5(t-15)2+1 135.
經(jīng)過15 s,火箭達(dá)到最大高度,最大高度為1 135 m.
【變式訓(xùn)練】
1.若拋物線y=x2-2x+m的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為n,則m-n的值是(C)
A.-1　 B.0　 C.1　 D.2
2.(2024·樂山中考)已知二次函數(shù)y=x2-2x(-1≤x≤t-1),當(dāng)x=-1時,函數(shù)取得最大值;當(dāng)x=1時,函數(shù)取得最小值,則t的取值范圍是(C)
A.0C.2≤t≤4　 D.t≥2
1.(2023·永州中考)已知點(diǎn)M(2,a)在反比例函數(shù)y=的圖象上,其中a,k為常數(shù),且k>0,則點(diǎn)M一定在(A)
A.第一象限　 B.第二象限
C.第三象限　 D.第四象限
2.(2023·邵陽中考)如圖,矩形OABC的頂點(diǎn)B和正方形ADEF的頂點(diǎn)E都在反比例函數(shù)y=(k≠0)的圖象上,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,4),則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(D)
A.(4,4)　 B.(2,2) C.(2,4)　 D.(4,2)
3.(2024·湖南中考)在一定條件下,樂器中弦振動的頻率f與弦長l成反比例關(guān)系,即f=(k為常數(shù),k≠0).若某樂器的弦長l為0.9米,振動頻率f為200赫茲,則k的值為　180　.
4.(2023·湘潭中考)如圖,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-3,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)是(0,4),點(diǎn)C為OB中點(diǎn).將△ABC繞著點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'BC'.
(1)反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點(diǎn)C',求該反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)一次函數(shù)圖象經(jīng)過A,A'兩點(diǎn),求該一次函數(shù)的表達(dá)式.
【解析】(1)∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-3,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)是(0,4),點(diǎn)C為OB中點(diǎn),
∴OA=3,OB=4,BC=2,
將△ABC繞著點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'BC',
∴C'(2,4),
∵反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點(diǎn)C',
∴k=2×4=8,
∴該反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=;
(2)作A'H⊥y軸于H.
∵∠AOB=∠A'HB=∠ABA'=90°,
∴∠ABO+∠A'BH=90°,
∠ABO+∠BAO=90°,
∴∠BAO=∠A'BH,
∵BA=BA',
∴△AOB≌△BHA'(AAS),
∴OA=BH,OB=A'H,
∵OA=3,OB=4,
∴BH=OA=3,A'H=OB=4,∴OH=1,
∴A'(4,1),
設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式為y=ax+b,
把A(-3,0),A'(4,1)代入得,,
解得,
∴該一次函數(shù)的表達(dá)式為y=x+.
5.(2024·湖南中考)已知二次函數(shù)y=-x2+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(-2,5),點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2)是此二次函數(shù)的圖象上的兩個動點(diǎn).
(1)求此二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)如圖1,此二次函數(shù)的圖象與x軸的正半軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)P在直線AB的上方,過點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C,交AB于點(diǎn)D,連接AC,DQ,PQ.若x2=x1+3,求證:的值為定值;
(3)如圖2,點(diǎn)P在第二象限,x2=-2x1,若點(diǎn)M在直線PQ上,且橫坐標(biāo)為x1-1,過點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N,求線段MN長度的最大值.
【解析】(1)將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得:5=-4+c,則c=9,
即拋物線的表達(dá)式為y=-x2+9;
(2)為定值,理由:
令y=-x2+9=0,則x=±3,則點(diǎn)B(3,0),
由點(diǎn)A,B的坐標(biāo)得,直線AB的表達(dá)式為y=-x+3,
設(shè)點(diǎn)P,Q,D的坐標(biāo)分別為(x1,-+9),(x2,-+9),(x1,-x1+3),
則S△PDQ=×PD×(xQ-xP)=×(-+9+x1-3)(x2-x1)=(-+x1+6),
同理可得:S△ADC=×CD×(xD-xA)
=(-+x1+6),
則=3為定值;
(3)點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)分別為(x1,-+9),(-2x1,-4+9),
由點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)得,直線PQ的表達(dá)式為y=x1(x-x1)-+9=xx1-2+9,
則MN=yM=(x1-1)x1-2+9=-(x1+)2+≤,故MN的最大值為.
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