資源簡介

2025年湖南省中考數學一輪復習
第二十六講　尺規作圖 學生版
知識要點 對點練習
一、五種基本尺規作圖 1.作一條線段等于已知線段 作圖步驟圖示(1)作射線OP; (2)以點O為圓心,a為半徑作弧,交OP于點A,OA即為所求線段
2.作一個角等于已知角 作圖步驟圖示(1)以點O為圓心,適當長為半徑畫弧,分別交∠α的兩邊于點P,Q; (2)作射線O 'A; (3)以點O '為圓心,OP長為半徑畫弧,交O 'A于點M; (4)以點M為圓心,PQ長為半徑畫弧,交步驟(3)中的弧于點N; (5)過點N作射線O'B,∠AO'B即為所求角
3.作已知角的平分線 作圖步驟圖示(1)以點O為圓心,適當長為半徑畫弧,分別交OA,OB于點N,M; (2)分別以點M,N為圓心,大于MN長為半徑畫弧,兩弧在∠AOB內部相交于點P; (3)作射線OP,OP即為所求角的平分線
1.(教材再開發·湘教七上P122T4改編)已知:線段a,b.求作:線段AB,使得AB=a+2b. 小明給出了四個步驟: ①在射線AM上畫線段AP=a; ②則線段AB=a+2b; ③在射線PM上畫PQ=b,QB=b; ④畫射線AM.你認為順序正確的是( ） A.①②③④ B.④①③② C.④③①② D.④②①③ 2.如圖,在用尺規作一個角等于已知角時,小明進行了以下5個步驟,將這5個步驟按正確的順序排列為( ） A.Ⅰ-Ⅱ-V-Ⅲ-Ⅳ B.Ⅰ-Ⅱ-Ⅲ-V-Ⅳ C.Ⅳ-Ⅰ-V-Ⅱ-Ⅲ D.Ⅰ-Ⅳ-Ⅱ-V-Ⅲ 3.用尺規作一個角的平分線的示意圖如圖,能說明∠AOC=∠BOC的依據是( ） A.SSS B.SAS C.AAS D.角平分線上的點到角兩邊的距離相等
續表
知識要點 對點練習
4.作線段的垂直平分線 作圖步驟圖示(1)分別以點A,B為圓心,大于AB長為半徑,在AB兩側畫弧,弧分別交于點M,N; (2)過點M,N作直線,MN即為所求線段的垂直平分線
5.過一點作已知直線的垂線 (1)點在直線上 作圖步驟圖示①以點O為圓心,適當長為半徑在點O兩側畫弧,交直線于A,B兩點; ②分別以點A,B為圓心,大于AB長為半徑在直線兩側畫弧,兩弧分別交于點M,N; ③過點M,N作直線,MN即為所求垂線
(2)點在直線外 作圖步驟圖示①在直線另一側取點M; ②以點P為圓心,PM長為半徑畫弧,交直線于A,B兩點; ③分別以點A,B為圓心,大于AB長為半徑畫弧,交點M同側于點N; ④過點P,N作直線,PN即為所求垂線
4.已知線段AB,用尺規作它的垂直平分線.步驟如下: 第一步:分別以A和B為圓心,以a的長度為半徑作弧,兩弧相交于點C和點D; 第二步:作直線CD. 直線CD就是線段AB的垂直平分線. 下列說法正確的是( ） A.a無限制 B.a>AB C.a續表
知識要點 對點練習
二、其他作圖 1.利用基本作圖作三角形 (1)已知三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形; (2)已知底邊及底邊上的高線作等腰三角形; (3)已知一直角邊和斜邊作直角三角形 2.利用基本作圖完成圓及相關圖形 (1)過不在同一直線上的三點作圓; (2)作三角形的外接圓、內切圓; (3)作圓的內接正方形和正六邊形 6.下列關于用尺規作圖的結論錯誤的是( ） A.已知一個三角形的兩角與一邊,那么這個三角形一定可以作出 B.已知一個三角形的兩邊與一角,那么這個三角形一定可以作出 C.已知一個直角三角形的兩條直角邊,那么這個三角形一定可以作出 D.已知一個三角形的三條邊,那么這個三角形一定可以作出
考點1　基本尺規作圖
【例1】(2024·無錫中考)如圖,在△ABC中,AB>AC.
(1)尺規作圖:作∠BAC的平分線,在角平分線上確定點D,使得DB=DC;(不寫作法,保留痕跡)
(2)在(1)的條件下,若∠BAC=90°,AB=7,AC=5,則AD的長是多少 (請直接寫出AD的值)
【方法技巧】
基本尺規作圖
1.觀察作圖痕跡,找準作圖意圖.
2.注重與圖形性質的聯系,如垂直平分線、角平分線的性質和判定.
【變式訓練】
1.(2024·深圳中考)在如圖的三個圖形中,根據尺規作圖的痕跡,能判斷射線AD平分∠BAC的是( ）
A.①②　 B.①③
C.②③　 D.只有①
2.(2024·呼倫貝爾、興安盟中考)如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以點A為圓心,適當長為半徑畫弧分別交AB,AC于點M和點N,再分別以點M,N為圓心,大于MN的長為半徑畫弧,兩弧交于點P,連接AP并延長交BC于點D.若△ACD的面積為8,則△ABD的面積是( ）
A.8　 B.16　 C.12　 D.24
3. (2024·陜西中考)如圖,已知直線l和l外一點A,請用尺規作圖法,求作一個等腰直角△ABC,使得頂點B和頂點C都在直線l上.(作出符合題意的一個等腰直角三角形即可,保留作圖痕跡,不寫作法)
考點2　復雜作圖
【例2】(2024·綏化中考)已知:△ABC.
(1)尺規作圖:畫出△ABC的重心G.(保留作圖痕跡,不要求寫作法和證明)
(2)在(1)的條件下,連接AG,BG.已知△ABG的面積等于5 cm2,則△ABC的面積是
　　　　　　cm2.
【變式訓練】
(2024·武漢中考)如圖是由小正方形組成的3×4網格,每個小正方形的頂點叫做格點.△ABC三個頂點都是格點.僅用無刻度的直尺在給定網格中完成四個畫圖任務,每個任務的畫線不得超過三條.
(1)在圖(1)中,畫射線AD交BC于點D,使AD平分△ABC的面積;
(2)在(1)的基礎上,在射線AD上畫點E,使∠ECB=∠ACB;
(3)在圖(2)中,先畫點F,使點A繞點F順時針旋轉90°到點C,再畫射線AF交BC于點G;
(4)在(3)的基礎上,將線段AB繞點G旋轉180°,畫對應線段MN(點A與點M對應,點B與點N對應).
1.(2023·岳陽中考)如圖,①在OA,OB上分別截取線段OD,OE,使OD=OE;②分別以D,E為圓心,以大于DE的長為半徑畫弧,在∠AOB內兩弧交于點C;③作射線OC.若∠AOB=60°,則∠AOC=　30　°.
2.(2023·永州中考)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,以B為圓心,任意長為半徑畫弧,分別交AB,BC于點M,N,再分別以M,N為圓心,大于MN的定長為半徑畫弧,兩弧交于點P,作射線BP交AC于點D,作DE⊥AB,垂足為E,則下列結論不正確的是( ）
A.BC=BE
B.CD=DE
C.BD=AD
D.BD一定經過△ABC的內心
3.(2023·湘潭中考)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,按以下步驟作圖:①以點A為圓心,以小于AC長為半徑作弧,分別交AC,AB于點M,N;②分別以M,N為圓心,以大于MN的長為半徑作弧,在∠BAC內兩弧交于點O;③作射線AO,交BC于點D.若點D到AB的距離為1,則CD的長為　1　.
4.(2022·郴州中考)如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC.以點A為圓心,以任意長為半徑作弧交AB,AC于D,E兩點;分別以點D,E為圓心,以大于DE長為半徑作弧,在∠BAC內兩弧相交于點P;作射線AP交BC于點F,過點F作FG⊥AB,垂足為G.若AB=8 cm,則△BFG的周長等于　8　cm.
5.(2023·郴州中考)如圖,四邊形ABCD是平行四邊形.
(1)尺規作圖:作對角線AC的垂直平分線MN(保留作圖痕跡);
(2)若直線MN分別交AD,BC于E,F兩點,求證:四邊形AFCE是菱形.
2025年湖南省中考數學一輪復習
第二十六講　尺規作圖 教師版
知識要點 對點練習
一、五種基本尺規作圖 1.作一條線段等于已知線段 作圖步驟圖示(1)作射線OP; (2)以點O為圓心,a為半徑作弧,交OP于點A,OA即為所求線段
2.作一個角等于已知角 作圖步驟圖示(1)以點O為圓心,適當長為半徑畫弧,分別交∠α的兩邊于點P,Q; (2)作射線O 'A; (3)以點O '為圓心,OP長為半徑畫弧,交O 'A于點M; (4)以點M為圓心,PQ長為半徑畫弧,交步驟(3)中的弧于點N; (5)過點N作射線O'B,∠AO'B即為所求角
3.作已知角的平分線 作圖步驟圖示(1)以點O為圓心,適當長為半徑畫弧,分別交OA,OB于點N,M; (2)分別以點M,N為圓心,大于MN長為半徑畫弧,兩弧在∠AOB內部相交于點P; (3)作射線OP,OP即為所求角的平分線
1.(教材再開發·湘教七上P122T4改編)已知:線段a,b.求作:線段AB,使得AB=a+2b. 小明給出了四個步驟: ①在射線AM上畫線段AP=a; ②則線段AB=a+2b; ③在射線PM上畫PQ=b,QB=b; ④畫射線AM.你認為順序正確的是(B) A.①②③④ B.④①③② C.④③①② D.④②①③ 2.如圖,在用尺規作一個角等于已知角時,小明進行了以下5個步驟,將這5個步驟按正確的順序排列為(D) A.Ⅰ-Ⅱ-V-Ⅲ-Ⅳ B.Ⅰ-Ⅱ-Ⅲ-V-Ⅳ C.Ⅳ-Ⅰ-V-Ⅱ-Ⅲ D.Ⅰ-Ⅳ-Ⅱ-V-Ⅲ 3.用尺規作一個角的平分線的示意圖如圖,能說明∠AOC=∠BOC的依據是(A) A.SSS B.SAS C.AAS D.角平分線上的點到角兩邊的距離相等
續表
知識要點 對點練習
4.作線段的垂直平分線 作圖步驟圖示(1)分別以點A,B為圓心,大于AB長為半徑,在AB兩側畫弧,弧分別交于點M,N; (2)過點M,N作直線,MN即為所求線段的垂直平分線
5.過一點作已知直線的垂線 (1)點在直線上 作圖步驟圖示①以點O為圓心,適當長為半徑在點O兩側畫弧,交直線于A,B兩點; ②分別以點A,B為圓心,大于AB長為半徑在直線兩側畫弧,兩弧分別交于點M,N; ③過點M,N作直線,MN即為所求垂線
(2)點在直線外 作圖步驟圖示①在直線另一側取點M; ②以點P為圓心,PM長為半徑畫弧,交直線于A,B兩點; ③分別以點A,B為圓心,大于AB長為半徑畫弧,交點M同側于點N; ④過點P,N作直線,PN即為所求垂線
4.已知線段AB,用尺規作它的垂直平分線.步驟如下: 第一步:分別以A和B為圓心,以a的長度為半徑作弧,兩弧相交于點C和點D; 第二步:作直線CD. 直線CD就是線段AB的垂直平分線. 下列說法正確的是(B) A.a無限制 B.a>AB C.a續表
知識要點 對點練習
二、其他作圖 1.利用基本作圖作三角形 (1)已知三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形; (2)已知底邊及底邊上的高線作等腰三角形; (3)已知一直角邊和斜邊作直角三角形 2.利用基本作圖完成圓及相關圖形 (1)過不在同一直線上的三點作圓; (2)作三角形的外接圓、內切圓; (3)作圓的內接正方形和正六邊形 6.下列關于用尺規作圖的結論錯誤的是(B) A.已知一個三角形的兩角與一邊,那么這個三角形一定可以作出 B.已知一個三角形的兩邊與一角,那么這個三角形一定可以作出 C.已知一個直角三角形的兩條直角邊,那么這個三角形一定可以作出 D.已知一個三角形的三條邊,那么這個三角形一定可以作出
考點1　基本尺規作圖
【例1】(2024·無錫中考)如圖,在△ABC中,AB>AC.
(1)尺規作圖:作∠BAC的平分線,在角平分線上確定點D,使得DB=DC;(不寫作法,保留痕跡)
(2)在(1)的條件下,若∠BAC=90°,AB=7,AC=5,則AD的長是多少 (請直接寫出AD的值)
【自主解答】(1)如圖,AD即為所求.
(2)過點D作DE⊥AB交AB于點E,過點D作DF⊥AC交AC于點F,
則∠AED=∠AFD=90°,
又∵∠BAC=90°
∴四邊形AEDF為矩形,
∵AD是∠BAC的平分線,∴DE=DF,
∴四邊形AEDF為正方形,
∴AE=AF=DE=DF,
設AE=AF=DE=DF=x,
∴BE=AB-AE=7-x,FC=AC-AF=5-x,
在Rt△BED中,DB2=ED2+BE2=x2+(7-x)2,
在Rt△CFD中,DC2=DF2+FC2=x2+(5-x)2,
∵DB=DC,∴DB2=DC2,
∴x2+(7-x)2=x2+(5-x)2,
解得:x=6,
∴AD===6.
【方法技巧】
基本尺規作圖
1.觀察作圖痕跡,找準作圖意圖.
2.注重與圖形性質的聯系,如垂直平分線、角平分線的性質和判定.
【變式訓練】
1.(2024·深圳中考)在如圖的三個圖形中,根據尺規作圖的痕跡,能判斷射線AD平分∠BAC的是(B)
A.①②　 B.①③
C.②③　 D.只有①
2.(2024·呼倫貝爾、興安盟中考)如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以點A為圓心,適當長為半徑畫弧分別交AB,AC于點M和點N,再分別以點M,N為圓心,大于MN的長為半徑畫弧,兩弧交于點P,連接AP并延長交BC于點D.若△ACD的面積為8,則△ABD的面積是(B)
A.8　 B.16　 C.12　 D.24
3. (2024·陜西中考)如圖,已知直線l和l外一點A,請用尺規作圖法,求作一個等腰直角△ABC,使得頂點B和頂點C都在直線l上.(作出符合題意的一個等腰直角三角形即可,保留作圖痕跡,不寫作法)
【解析】如圖△ABC即為所求作的三角形.
考點2　復雜作圖
【例2】(2024·綏化中考)已知:△ABC.
(1)尺規作圖:畫出△ABC的重心G.(保留作圖痕跡,不要求寫作法和證明)
(2)在(1)的條件下,連接AG,BG.已知△ABG的面積等于5 cm2,則△ABC的面積是
　　　　　　cm2.
【自主解答】(1)分別作出AB邊和BC邊的垂直平分線,與AB和BC邊分別交于點N和點M,連接AM和CN,交點為G.
如圖所示,點G即為所求作的點.
(2)∵點G是△ABC的重心,∴AG=2MG,
∵△ABG的面積等于5 cm2,
∴△BMG的面積等于2.5 cm2,
∴△ABM的面積等于7.5 cm2.
又∵AM是△ABC的中線,
∴△ABC的面積等于15 cm2.
答案:15
【變式訓練】
(2024·武漢中考)如圖是由小正方形組成的3×4網格,每個小正方形的頂點叫做格點.△ABC三個頂點都是格點.僅用無刻度的直尺在給定網格中完成四個畫圖任務,每個任務的畫線不得超過三條.
(1)在圖(1)中,畫射線AD交BC于點D,使AD平分△ABC的面積;
(2)在(1)的基礎上,在射線AD上畫點E,使∠ECB=∠ACB;
(3)在圖(2)中,先畫點F,使點A繞點F順時針旋轉90°到點C,再畫射線AF交BC于點G;
(4)在(3)的基礎上,將線段AB繞點G旋轉180°,畫對應線段MN(點A與點M對應,點B與點N對應).
【解析】(1)如圖(1)中,線段AD即為所求;
(2)如圖(1)中,點E即為所求;
(3)如圖(2)中,點F,射線AF,點G即為所求;
(4)如圖(2)中,線段MN即為所求.
1.(2023·岳陽中考)如圖,①在OA,OB上分別截取線段OD,OE,使OD=OE;②分別以D,E為圓心,以大于DE的長為半徑畫弧,在∠AOB內兩弧交于點C;③作射線OC.若∠AOB=60°,則∠AOC=　30　°.
2.(2023·永州中考)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,以B為圓心,任意長為半徑畫弧,分別交AB,BC于點M,N,再分別以M,N為圓心,大于MN的定長為半徑畫弧,兩弧交于點P,作射線BP交AC于點D,作DE⊥AB,垂足為E,則下列結論不正確的是(C)
A.BC=BE
B.CD=DE
C.BD=AD
D.BD一定經過△ABC的內心
3.(2023·湘潭中考)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,按以下步驟作圖:①以點A為圓心,以小于AC長為半徑作弧,分別交AC,AB于點M,N;②分別以M,N為圓心,以大于MN的長為半徑作弧,在∠BAC內兩弧交于點O;③作射線AO,交BC于點D.若點D到AB的距離為1,則CD的長為　1　.
4.(2022·郴州中考)如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC.以點A為圓心,以任意長為半徑作弧交AB,AC于D,E兩點;分別以點D,E為圓心,以大于DE長為半徑作弧,在∠BAC內兩弧相交于點P;作射線AP交BC于點F,過點F作FG⊥AB,垂足為G.若AB=8 cm,則△BFG的周長等于　8　cm.
5.(2023·郴州中考)如圖,四邊形ABCD是平行四邊形.
(1)尺規作圖:作對角線AC的垂直平分線MN(保留作圖痕跡);
(2)若直線MN分別交AD,BC于E,F兩點,求證:四邊形AFCE是菱形.
【解析】(1)如圖,直線MN即為所求;
(2)設AC與EF交于點O.由作圖可知,EF垂直平分線段AC,∴OA=OC,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AE∥CF,
∴∠OAE=∠OCF,
∵∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF(ASA),
∴AE=CF,
∴四邊形AFCE是平行四邊形,
∵AC⊥EF,
∴四邊形AFCE是菱形.
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