資源簡介

2025年湖南省中考數學一輪復習
第二十八講　相似形 學生版
知識要點 對點練習
1.比例線段 (1)比例的性質 ①基本性質:如果=,那么 ; ②合比性質:如果=,那么= ; ③等比性質:如果==…=(b+d+…+m≠0), 那么 . (2)平行線分線段成比例 兩條直線被一組平行線所截,所得的對應線段 . (3)黃金分割 點C把線段AB分成兩條線段AC和BC,如果= ,那么稱線段AB被點C黃金分割,點C叫做線段AB的黃金分割點. 1.(1)(教材再開發·湘教九上P102T2改編)下列各組線段中,能成比例的是( ) A.1 cm,3 cm,4 cm,6 cm B.1 cm,3 cm,4 cm,12 cm C.1 cm,2 cm,3 cm,4 cm D.2 cm,3 cm,4 cm,5 cm (2)若=,則= . (3)如圖,a∥b∥c,若=,DF=12,則BD的長為 . (4)已知點P是線段AB的黃金分割點(AP>PB),若線段AB=1,則線段AP的長是( ) A. B.3- C.-1 D.2-
2.相似三角形的性質 性質1:相似三角形的對應角 ,對應邊的比 . 性質2:相似三角形周長的比等于 . 性質3:相似三角形對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比等于 . 性質4:相似三角形的面積的比等于相似比的 . 2.(1)已知△ABC∽△A'B'C',BD和B'D'是它們的對應中線,若=,則=( ) A. B. C. D. (2)如果兩個相似三角形的周長比為1∶6,那么這兩個三角形的面積比為 .
續表
知識要點 對點練習
3.相似三角形的判定 判定1:平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交,所構成的三角形與原 相似(相似三角形的預備定理). 判定2:三邊 的兩個三角形相似. 判定3:兩邊 且 的兩個三角形相似. 判定4:兩角分別 的兩個三角形相似. 3.(1)如圖,不能判定△AOB和△DOC相似的條件是( ) A.OA·CD=AB·OD 　　　 B.= C.∠A=∠D 　　　 D.∠B=∠C (2)如圖,已知△ABC與△DEF,下列條件一定能推得它們相似的是( ) A.∠A=∠D,∠B=∠E 　　 B.∠A=∠D且= C.∠A=∠B,∠D=∠E 　　 D.∠A=∠E且=
4.位似 (1)定義: 位似的圖形不僅相似,而且它們的對應點的連線 ,這個點是位似中心. (2)性質: 如果兩個圖形位似,那么任意一組對應點到位似中心的距離之比都等于 ,任意一組對應邊都互相 (或在同一條直線上). 4.(1)(教材再開發·湘教九上P100習題T1改編)下列各選項的兩個圖形中,是位似圖形的有( ) A.2個 B.3個 C.4個 D.1個 (2)如圖,以點O為位似中心,把△ABC放大為原圖形的2倍得到△DEF,以下說法中錯誤的是( ) A.△ABC∽△DEF B.AB∥DE C.OA∶OD=1∶2 D.EF=4BC (3)如圖,△ABC與△DEF位似,點O為位似中心,OC∶OF=2∶3.若△ABC的周長為14,則△DEF的周長是 .
考點1　平行線分線段成比例
【例1】如圖,在△ABC中,AB=4,BC=5,點D,E分別在BC,AC上,CD=2BD,CE=2AE,BE交AD于點F,則△AFE面積的最大值是 .
【思路點撥】
【方法技巧】
應用平行線分線段成比例解決問題的技巧
(1)若已知條件中有平行線,求兩條線段的比,可直接應用平行線分線段成比例定理求解.
(2)若已知條件中無平行線,但已知線段的比,可先通過作平行線創造應用定理的條件.
【變式訓練】
1.(2023·仙桃中考)如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,點D在邊AC上,且BD平分△ABC的周長,則BD的長是( )
A. B. C. D.
2.(2022·金華中考)如圖是一張矩形紙片ABCD,點E為AD中點,點F在BC上,把該紙片沿EF折疊,點A,B的對應點分別為A',B',A'E與BC相交于點G,B'A'的延長線過點C.若=,則的值為( )
A.2 B. C. D.
3.如圖,在△ABC中,點D是AB邊上的一點,且AD=3BD,連接CD并取CD的中點E,連接BE,若∠ACD=∠BED=45°,且CD=6,則AB的長為 .
考點2　相似三角形的判定與性質
【例2】(2023·湘潭中考)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜邊BC上的高.
(1)證明:△ABD∽△CBA;
(2)若AB=6,BC=10,求BD的長.
【方法技巧】
常見相似三角形的判定思路
已知條件 尋找關系
等角 另外一對角相等或夾邊對應成比例
兩邊對應成比例 夾角相等
平行線 平行線分線段成比例,平行線得同位角相等,找等角
直角三角形 斜邊的高線,根據等角(同角)的余角相等,得相似直角三角形
注意:若題目中只是說兩個三角形相似,而不是說“相似于(∽)”,則根據邊的對應關系需分情況討論.
【變式訓練】
(2023·上海中考)如圖,在梯形ABCD中AD∥BC,點F,E分別在線段BC,AC上,且∠FAC=∠ADE,AC=AD.
(1)求證:DE=AF;
(2)若∠ABC=∠CDE,求證:AF2=BF·CE.
考點3　位似
【例3】 (2024·浙江中考)如圖,在平面直角坐標系中,△ABC與△A'B'C'是位似圖形,位似中心為點O.若點A(-3,1)的對應點為A'(-6,2),則點B(-2,4)的對應點B'的坐標為( )
A.(-4,8)　 B.(8,-4)
C.(-8,4)　 D.(4,-8)
【方法技巧】
位似圖形的性質
(1)注意位似和相似的關系:位似圖形一定是相似圖形,但相似圖形不一定是位似圖形.
(2)注意位似中心的位置:位似中心可能在圖形外,也可能在圖形內或圖形上.
(3)注意關于原點的位似:在平面直角坐標系中,一個圖形關于原點的位似圖形有兩個,一個同象限,一個異象限.
【變式訓練】
1.(2024·涼山州中考)如圖,一塊面積為60 cm2的三角形硬紙板(記為△ABC)平行于投影面時,在點光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1,若OB∶BB1=2∶3,則△A1B1C1的面積是( )
A.90 cm2　 B.135 cm2
C.150 cm2　 D.375 cm2
2.(2023·長沙岳麓模擬)如圖所示,△ABC與△DEF是位似圖形,點O為位似中心.若AD=3OA,△ABC的周長為5,則△DEF的周長為( )
A.10 B.15 C.25 D.125
3. (2023·岳陽一模)如圖,圖形甲與圖形乙是位似圖形,O是位似中心,位似比為2∶3,點A,B的對應點分別為點A',B'.若AB=6,則A'B'的長為 .
考點4　三角形內置四邊形
【例4】(教材原題·湘教版九年級上冊·P90T9)如圖, △ABC為銳角三角形, AD是邊 BC上的高,正方形EFGH的一邊 EF在 BC上, 頂點 G, H分別在 AC, AB上. 已知BC=30 cm, AD=20 cm,求這個正方形的邊長.
【方法技巧】
三角形內置正方形(矩形)
三角形內置正方形或矩形,或有多個正方形,只要考慮到相似三角形對應高的比等于相似比,就可以輕松解決問題.
【變式訓練】
1.(2023·濟南二模)如圖,△ABC中,AB=AC=12,BC=8.正方形DEFG的頂點E,F在△ABC內,頂點D,G分別在AB,AC上,AD=AG,DG=4.則點F到BC的距離為( )
A.1 B.2
C.4-4 D.8-4
2.如圖,將△ABC的AB邊與刻度尺的邊緣重合,點A,D,B分別對應刻度尺上的整數刻度.已知DE∥AC,EF∥AB,AF=1.8,下列結論不一定正確的是( )
A.AC=3　 B.CE=3
C.DE=1.8　 D.EF=4
1.(2024·湖南中考)如圖,在△ABC中,點D,E分別為邊AB,AC的中點.下列結論中,錯誤的是( )
A.DE∥BC　
B.△ADE∽△ABC
C.BC=2DE　
D.S△ADE=S△ABC
2.(2023·婁底中考)如圖,AB,CD相交于點E,且AC∥EF∥DB,點C,F,B在同一條直線上.已知AC=p,EF=r,DB=q,則p,q,r之間滿足的數量關系式是( )
A.+= B.+=
C.+= D.+=
3.(2024·長沙中考)如圖,在菱形ABCD中,AB=6,∠B=30°,點E是BC邊上的動點,連接AE,DE,過點A作AF⊥DE于點F.設DE=x,AF=y,則y與x之間的函數表達式為(不考慮自變量x的取值范圍)( )
A.y= B.y=
C.y= D.y=
4.(2023·長沙中考)將矩形紙片ABCD(AB①△ABE和△ECF一定相似;②△ABE和△ECF不可能全等;③△ABE和△AEF不可能全等;④△ABE和△AEF有可能相似.
5.(2023·邵陽中考)如圖,CA⊥AD,ED⊥AD,點B是線段AD上的一點,且CB⊥BE.已知AB=8,AC=6,DE=4.
(1)證明:△ABC∽△DEB.
(2)求線段BD的長.
2025年湖南省中考數學一輪復習
第二十八講　相似形 教師版
知識要點 對點練習
1.比例線段 (1)比例的性質 ①基本性質:如果=,那么　ad=bc　; ②合比性質:如果=,那么= 　; ③等比性質:如果==…=(b+d+…+m≠0), 那么 =　. (2)平行線分線段成比例 兩條直線被一組平行線所截,所得的對應線段　成比例　. (3)黃金分割 點C把線段AB分成兩條線段AC和BC,如果= 　,那么稱線段AB被點C黃金分割,點C叫做線段AB的黃金分割點. 1.(1)(教材再開發·湘教九上P102T2改編)下列各組線段中,能成比例的是(B) A.1 cm,3 cm,4 cm,6 cm B.1 cm,3 cm,4 cm,12 cm C.1 cm,2 cm,3 cm,4 cm D.2 cm,3 cm,4 cm,5 cm (2)若=,則= 　. (3)如圖,a∥b∥c,若=,DF=12,則BD的長為　6　. (4)已知點P是線段AB的黃金分割點(AP>PB),若線段AB=1,則線段AP的長是(A) A. B.3- C.-1 D.2-
2.相似三角形的性質 性質1:相似三角形的對應角　相等　,對應邊的比　相等　. 性質2:相似三角形周長的比等于　相似比　. 性質3:相似三角形對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比等于　相似比　. 性質4:相似三角形的面積的比等于相似比的　平方　. 2.(1)已知△ABC∽△A'B'C',BD和B'D'是它們的對應中線,若=,則=(C) A. B. C. D. (2)如果兩個相似三角形的周長比為1∶6,那么這兩個三角形的面積比為　1∶36　.
續表
知識要點 對點練習
3.相似三角形的判定 判定1:平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交,所構成的三角形與原　三角形　相似(相似三角形的預備定理). 判定2:三邊　成比例　的兩個三角形相似. 判定3:兩邊　成比例　且　夾角相等　的兩個三角形相似. 判定4:兩角分別　相等　的兩個三角形相似. 3.(1)如圖,不能判定△AOB和△DOC相似的條件是(A) A.OA·CD=AB·OD 　　　 B.= C.∠A=∠D 　　　 D.∠B=∠C (2)如圖,已知△ABC與△DEF,下列條件一定能推得它們相似的是(A) A.∠A=∠D,∠B=∠E 　　 B.∠A=∠D且= C.∠A=∠B,∠D=∠E 　　 D.∠A=∠E且=
4.位似 (1)定義: 位似的圖形不僅相似,而且它們的對應點的連線　相交于一點　,這個點是位似中心. (2)性質: 如果兩個圖形位似,那么任意一組對應點到位似中心的距離之比都等于　相似比　,任意一組對應邊都互相　平行　(或在同一條直線上). 4.(1)(教材再開發·湘教九上P100習題T1改編)下列各選項的兩個圖形中,是位似圖形的有(B) A.2個 B.3個 C.4個 D.1個 (2)如圖,以點O為位似中心,把△ABC放大為原圖形的2倍得到△DEF,以下說法中錯誤的是(D) A.△ABC∽△DEF B.AB∥DE C.OA∶OD=1∶2 D.EF=4BC (3)如圖,△ABC與△DEF位似,點O為位似中心,OC∶OF=2∶3.若△ABC的周長為14,則△DEF的周長是　21　.
考點1　平行線分線段成比例
【例1】如圖,在△ABC中,AB=4,BC=5,點D,E分別在BC,AC上,CD=2BD,CE=2AE,BE交AD于點F,則△AFE面積的最大值是 　.
【思路點撥】
【方法技巧】
應用平行線分線段成比例解決問題的技巧
(1)若已知條件中有平行線,求兩條線段的比,可直接應用平行線分線段成比例定理求解.
(2)若已知條件中無平行線,但已知線段的比,可先通過作平行線創造應用定理的條件.
【變式訓練】
1.(2023·仙桃中考)如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,點D在邊AC上,且BD平分△ABC的周長,則BD的長是(C)
A. B. C. D.
2.(2022·金華中考)如圖是一張矩形紙片ABCD,點E為AD中點,點F在BC上,把該紙片沿EF折疊,點A,B的對應點分別為A',B',A'E與BC相交于點G,B'A'的延長線過點C.若=,則的值為(A)
A.2 B. C. D.
3.如圖,在△ABC中,點D是AB邊上的一點,且AD=3BD,連接CD并取CD的中點E,連接BE,若∠ACD=∠BED=45°,且CD=6,則AB的長為　4　.
考點2　相似三角形的判定與性質
【例2】(2023·湘潭中考)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜邊BC上的高.
(1)證明:△ABD∽△CBA;
(2)若AB=6,BC=10,求BD的長.
【自主解答】(1)∵AD是斜邊BC上的高,
∴∠BDA=90°,
∵∠BAC=90°,
∴∠BDA=∠BAC,
又∵∠B為公共角,
∴△ABD∽△CBA;
(2)由(1)知△ABD∽△CBA,
∴=,∴=,
∴BD=3.6.
【方法技巧】
常見相似三角形的判定思路
已知條件 尋找關系
等角 另外一對角相等或夾邊對應成比例
兩邊對應成比例 夾角相等
平行線 平行線分線段成比例,平行線得同位角相等,找等角
直角 三角形 斜邊的高線,根據等角(同角)的余角相等,得相似直角三角形
注意:若題目中只是說兩個三角形相似,而不是說“相似于(∽)”,則根據邊的對應關系需分情況討論.
【變式訓練】
(2023·上海中考)如圖,在梯形ABCD中AD∥BC,點F,E分別在線段BC,AC上,且∠FAC=∠ADE,AC=AD.
(1)求證:DE=AF;
(2)若∠ABC=∠CDE,求證:AF2=BF·CE.
【證明】(1)∵AD∥BC,
∴∠ACF=∠DAC,
∵∠FAC=∠ADE,AC=AD,
∴△ACF≌△DAE(ASA),
∴AF=DE;
(2)∵△ACF≌△DAE,
∴∠AFC=∠DEA,
∴∠AFB=∠DEC,
∵∠ABC=∠CDE,
∴△ABF∽△CDE,
∴=,
∴AF·DE=BF·CE,
∵AF=DE,∴AF2=BF·CE.
考點3　位似
【例3】 (2024·浙江中考)如圖,在平面直角坐標系中,△ABC與△A'B'C'是位似圖形,位似中心為點O.若點A(-3,1)的對應點為A'(-6,2),則點B(-2,4)的對應點B'的坐標為(A)
A.(-4,8)　 B.(8,-4)
C.(-8,4)　 D.(4,-8)
【方法技巧】
位似圖形的性質
(1)注意位似和相似的關系:位似圖形一定是相似圖形,但相似圖形不一定是位似圖形.
(2)注意位似中心的位置:位似中心可能在圖形外,也可能在圖形內或圖形上.
(3)注意關于原點的位似:在平面直角坐標系中,一個圖形關于原點的位似圖形有兩個,一個同象限,一個異象限.
【變式訓練】
1.(2024·涼山州中考)如圖,一塊面積為60 cm2的三角形硬紙板(記為△ABC)平行于投影面時,在點光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1,若OB∶BB1=2∶3,則△A1B1C1的面積是(D)
A.90 cm2　 B.135 cm2
C.150 cm2　 D.375 cm2
2.(2023·長沙岳麓模擬)如圖所示,△ABC與△DEF是位似圖形,點O為位似中心.若AD=3OA,△ABC的周長為5,則△DEF的周長為(A)
A.10 B.15 C.25 D.125
3. (2023·岳陽一模)如圖,圖形甲與圖形乙是位似圖形,O是位似中心,位似比為2∶3,點A,B的對應點分別為點A',B'.若AB=6,則A'B'的長為　9　.
考點4　三角形內置四邊形
【例4】(教材原題·湘教版九年級上冊·P90T9)如圖, △ABC為銳角三角形, AD是邊 BC上的高,正方形EFGH的一邊 EF在 BC上, 頂點 G, H分別在 AC, AB上. 已知BC=30 cm, AD=20 cm,求這個正方形的邊長.
【自主解答】如圖,
∵四邊形EFGH為正方形,∴HG∥BC,
∴△AHG∽△ABC,∴=,
設正方形的邊長為x, 則AK=20-x, HG=x,
∴=,解得x = 12,
即正方形EFGH的邊長為12 cm.
【方法技巧】
三角形內置正方形(矩形)
三角形內置正方形或矩形,或有多個正方形,只要考慮到相似三角形對應高的比等于相似比,就可以輕松解決問題.
【變式訓練】
1.(2023·濟南二模)如圖,△ABC中,AB=AC=12,BC=8.正方形DEFG的頂點E,F在△ABC內,頂點D,G分別在AB,AC上,AD=AG,DG=4.則點F到BC的距離為(C)
A.1 B.2
C.4-4 D.8-4
2.如圖,將△ABC的AB邊與刻度尺的邊緣重合,點A,D,B分別對應刻度尺上的整數刻度.已知DE∥AC,EF∥AB,AF=1.8,下列結論不一定正確的是(B)
A.AC=3　 B.CE=3
C.DE=1.8　 D.EF=4
1.(2024·湖南中考)如圖,在△ABC中,點D,E分別為邊AB,AC的中點.下列結論中,錯誤的是(D)
A.DE∥BC　
B.△ADE∽△ABC
C.BC=2DE　
D.S△ADE=S△ABC
2.(2023·婁底中考)如圖,AB,CD相交于點E,且AC∥EF∥DB,點C,F,B在同一條直線上.已知AC=p,EF=r,DB=q,則p,q,r之間滿足的數量關系式是(C)
A.+= B.+=
C.+= D.+=
3.(2024·長沙中考)如圖,在菱形ABCD中,AB=6,∠B=30°,點E是BC邊上的動點,連接AE,DE,過點A作AF⊥DE于點F.設DE=x,AF=y,則y與x之間的函數表達式為(不考慮自變量x的取值范圍)(C)
A.y= B.y=
C.y= D.y=
4.(2023·長沙中考)將矩形紙片ABCD(AB①△ABE和△ECF一定相似;②△ABE和△ECF不可能全等;③△ABE和△AEF不可能全等;④△ABE和△AEF有可能相似.
5.(2023·邵陽中考)如圖,CA⊥AD,ED⊥AD,點B是線段AD上的一點,且CB⊥BE.已知AB=8,AC=6,DE=4.
(1)證明:△ABC∽△DEB.
(2)求線段BD的長.
【解析】(1)∵CA⊥AD,ED⊥AD,CB⊥BE,
∴∠A=∠D=∠CBE=90°,
∴∠C+∠CBA=90°,∠CBA+∠DBE=90°,
∴∠C=∠DBE,∴△ABC∽△DEB;
(2)∵△ABC∽△DEB,
∴=,∴=,∴BD=3.
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