資源簡介

2025年湖南省中考數學一輪復習
第二十五講　圓的有關計算 學生版
知識要點 對點練習
1.正多邊形和圓 (1)定義:各邊 ,各角也都 的多邊形是正多邊形. (2)正多邊形和圓的關系,把一個圓 ,依次連接 可作出圓的內接正n邊形. (3)相關概念及公式 正多邊形的外接圓的半徑叫做正多邊形的 ;正多邊形的內切圓的半徑叫做正多邊形的 ;正多邊形每一條邊所對的外接圓的圓心角叫做正多邊形的 . 1.(1)圓的內接正多邊形中,正多邊形的一條邊所對的圓心角是72°,則正多邊形的邊數是( ) A.4 B.5 C.6 D.8 (2)正八邊形的中心角的度數為( ) A.36° B.45° C.60° D.72° (3)已知圓內接正六邊形的半徑為2,則該內接正六邊形的邊心距為( ) A. B.2 C.3 D.
2.弧長和扇形面積 (1)半徑為R的圓中,n°的圓心角所對的弧長l的計算公式為l= . (2)扇形面積:①半徑為R的圓中,圓心角為n°的扇形面積為S扇形= . ②半徑為R,弧長為l的扇形面積為S扇形= . 2.(1)一個扇形的半徑為6,弧長等于5π,則扇形的圓心角度數為( ) A.30° B.60° C.150° D.210° (2)(教材再開發·湘教九下P79例3改編)若扇形的圓心角為120°,半徑為6,則扇形的面積為( ) A.2π B.4π C.12π D.24π
3.圓柱和圓錐 (1)設圓柱的高為l,底面半徑為R,則有: ①S圓柱側= ; ②S圓柱全= ; ③V圓柱= . (2)設圓錐的母線長為l,底面半徑為R,高為h,則有: ①S圓錐側= ; ②S圓錐全= ; ③V圓錐=πR2h. 3.(1)(教材再開發·湘教九下P104T4改編)如果圓錐的母線長為5 cm,底面半徑為3 cm,那么圓錐的側面積為( ) A.15π cm2 B.20π cm2 C.9π cm2 D.25π cm2 (2)已知一個圓錐的母線長為30,底面半徑為10,則這個圓錐的側面展開圖的圓心角等于( ) A.90° B.100° C.120° D.150°
考點1　弧長與面積的相關計算(一題多設問)
【例1】如圖,已知半徑為1的☉O上有三點A,B,C,OC與AB交于點D,∠ADO= 85°, ∠CAB=20°. 　問題1　求劣弧的長度. 　問題2　求扇形AOC的面積. 問題3　求弓形ACB的面積. 問題4　用大于半圓的扇形AOB圍成一個圓錐,求圓錐底面圓的半徑. 　問題5　問題4中圍成的圓錐的側面積是 . 　問題6　問題4中圍成的圓錐的高是 . 【滿分技法】 1.弧長公式 求出圓心角的度數后,直接應用弧長公式 2.扇形面積公式 求出圓心角的度數后,直接應用扇形面積公式 3.弓形面積 弓形面積=扇形面積-三角形面積 4.圓錐底面圓 圓錐底面圓的周長=圓錐側面展開圖扇形的弧長=2πr 5.圓錐的側面積 方法一:S=πrl 其中,r是圓錐底面圓的半徑,l是圓錐的母線長,也是圓錐側面展開圖扇形的半徑 方法二:圓錐的側面積=大于半圓的扇形的面積 6.圓錐的高 圓錐的高h,圓錐的母線長l,圓錐底面圓的半徑r滿足:l2=h2+r2 提醒:(1)圓錐的母線長等于其側面展開圖扇形的半徑; (2)α為圓錐側面展開圖扇形的圓心角,l既為圓錐母線長,又為圓錐側面展開圖扇形的半徑,r為圓錐底面圓的半徑,則α=×360°.
考點2　圓柱和圓錐在生活中的應用
【例2】(教材原題·湘教版九年級下冊·P103例2)
如圖,小剛用一張半徑為24 cm的扇形紙板做一個圓錐形帽子(接縫忽略不計),如果做成的圓錐形帽子的底面半徑為10 cm,那么這張扇形紙板的面積S是多少
【自主解答】扇形的弧長(即底面圓周長)為l=2×π×10=20π(cm).
所以扇形紙板的面積S=×20π×24=240π(cm2).
【方法技巧】
圓柱和圓錐的表面積與側面積
1.圓柱的側面展開圖是矩形,圓柱的底面圓的周長等于矩形的長(寬),圓柱的高等于矩形的寬(長).
2.圓錐的側面展開圖是扇形,圓錐的底面圓的周長等于扇形的弧長,圓錐的母線長等于扇形的半徑.
【變式訓練】
(2021·永州中考)某同學在數學實踐活動中,制作了一個側面積為60π,底面半徑為6的圓錐模型(如圖所示),則此圓錐的母線長為 .
1.(2021·湘西州中考)如圖,面積為18的正方形ABCD內接于☉O,則的長度為( )
　　　　　　　　　　　　　　　
A.9π B.π C.π D.π
2.(2024·長沙中考)半徑為4,圓心角為90°的扇形的面積為 (結果保留π).
3.(2023·永州中考)已知扇形的半徑為6,面積為6π,則扇形圓心角的度數為 °.
4.(2022·郴州中考)如圖,圓錐的母線長AB=12 cm,底面圓的直徑BC=10 cm,則該圓錐的側面積等于 cm2.(結果用含π的式子表示)
5.(2023·郴州中考)如圖,在☉O中,AB是直徑,點C是圓上一點.在AB的延長線上取一點D,連接CD,使∠BCD=∠A.
(1)求證:直線CD是☉O的切線;
(2)若∠ACD=120°,CD=2,求圖中陰影部分的面積(結果用含π的式子表示).
2025年湖南省中考數學一輪復習
第二十五講　圓的有關計算 教師版
知識要點 對點練習
1.正多邊形和圓 (1)定義:各邊　相等　,各角也都　相等　的多邊形是正多邊形. (2)正多邊形和圓的關系,把一個圓　分成n等份　,依次連接　這n個分點　可作出圓的內接正n邊形. (3)相關概念及公式 正多邊形的外接圓的半徑叫做正多邊形的　半徑　;正多邊形的內切圓的半徑叫做正多邊形的　邊心距　;正多邊形每一條邊所對的外接圓的圓心角叫做正多邊形的　中心角　. 1.(1)圓的內接正多邊形中,正多邊形的一條邊所對的圓心角是72°,則正多邊形的邊數是(B) A.4 B.5 C.6 D.8 (2)正八邊形的中心角的度數為(B) A.36° B.45° C.60° D.72° (3)已知圓內接正六邊形的半徑為2,則該內接正六邊形的邊心距為(C) A. B.2 C.3 D.
2.弧長和扇形面積 (1)半徑為R的圓中,n°的圓心角所對的弧長l的計算公式為l= 　. (2)扇形面積:①半徑為R的圓中,圓心角為n°的扇形面積為S扇形= 　. ②半徑為R,弧長為l的扇形面積為S扇形= lR　. 2.(1)一個扇形的半徑為6,弧長等于5π,則扇形的圓心角度數為(C) A.30° B.60° C.150° D.210° (2)(教材再開發·湘教九下P79例3改編)若扇形的圓心角為120°,半徑為6,則扇形的面積為(C) A.2π B.4π C.12π D.24π
3.圓柱和圓錐 (1)設圓柱的高為l,底面半徑為R,則有: ①S圓柱側=　2πRl　; ②S圓柱全=　2πRl+2πR2　; ③V圓柱=　πR2l　. (2)設圓錐的母線長為l,底面半徑為R,高為h,則有: ①S圓錐側=　πRl　; ②S圓錐全=　πRl+πR2　; ③V圓錐=πR2h. 3.(1)(教材再開發·湘教九下P104T4改編)如果圓錐的母線長為5 cm,底面半徑為3 cm,那么圓錐的側面積為(A) A.15π cm2 B.20π cm2 C.9π cm2 D.25π cm2 (2)已知一個圓錐的母線長為30,底面半徑為10,則這個圓錐的側面展開圖的圓心角等于(C) A.90° B.100° C.120° D.150°
考點1　弧長與面積的相關計算(一題多設問)
【例1】如圖,已知半徑為1的☉O上有三點A,B,C,OC與AB交于點D,∠ADO= 85°, ∠CAB=20°. 　問題1　求劣弧的長度. 【解析】∵∠CAB=20°. ∴∠BOC=2∠CAB=40°, ∵☉O的半徑為1, ∴劣弧的長為=. 　問題2　求扇形AOC的面積. 【解析】∵∠ADO=85°,由問題1知∠BOC=40°, ∴∠OBA=∠ADO-∠BOC=45°. ∵OA=OB,∴∠OAB=45°,∴∠AOB=90°, ∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=50°, ∴S扇形AOC==. 問題3　求弓形ACB的面積. 【解析】由問題2得∠AOB=90°. ∴△AOB為等腰直角三角形. ∴S弓形ACB=S扇形AOB-S△AOB=-×1×1=-. 問題4　用大于半圓的扇形AOB圍成一個圓錐,求圓錐底面圓的半徑. 【解析】設圓錐底面圓的半徑為r, 由問題2可得∠AOB=90°, 則優弧的長為=. 則2πr=,解得r=. 　問題5　問題4中圍成的圓錐的側面積是 π　. 　問題6　問題4中圍成的圓錐的高是 　. 【滿分技法】 1.弧長公式 求出圓心角的度數后,直接應用弧長公式 2.扇形面積公式 求出圓心角的度數后,直接應用扇形面積公式 3.弓形面積 弓形面積=扇形面積-三角形面積 4.圓錐底面圓 圓錐底面圓的周長=圓錐側面展開圖扇形的弧長=2πr 5.圓錐的側面積 方法一:S=πrl 其中,r是圓錐底面圓的半徑,l是圓錐的母線長,也是圓錐側面展開圖扇形的半徑 方法二:圓錐的側面積=大于半圓的扇形的面積 6.圓錐的高 圓錐的高h,圓錐的母線長l,圓錐底面圓的半徑r滿足:l2=h2+r2 提醒:(1)圓錐的母線長等于其側面展開圖扇形的半徑; (2)α為圓錐側面展開圖扇形的圓心角,l既為圓錐母線長,又為圓錐側面展開圖扇形的半徑,r為圓錐底面圓的半徑,則α=×360°.
考點2　圓柱和圓錐在生活中的應用
【例2】(教材原題·湘教版九年級下冊·P103例2)
如圖,小剛用一張半徑為24 cm的扇形紙板做一個圓錐形帽子(接縫忽略不計),如果做成的圓錐形帽子的底面半徑為10 cm,那么這張扇形紙板的面積S是多少
【自主解答】扇形的弧長(即底面圓周長)為l=2×π×10=20π(cm).
所以扇形紙板的面積S=×20π×24=240π(cm2).
【方法技巧】
圓柱和圓錐的表面積與側面積
1.圓柱的側面展開圖是矩形,圓柱的底面圓的周長等于矩形的長(寬),圓柱的高等于矩形的寬(長).
2.圓錐的側面展開圖是扇形,圓錐的底面圓的周長等于扇形的弧長,圓錐的母線長等于扇形的半徑.
【變式訓練】
(2021·永州中考)某同學在數學實踐活動中,制作了一個側面積為60π,底面半徑為6的圓錐模型(如圖所示),則此圓錐的母線長為　10　.
1.(2021·湘西州中考)如圖,面積為18的正方形ABCD內接于☉O,則的長度為(C)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.9π B.π C.π D.π
2.(2024·長沙中考)半徑為4,圓心角為90°的扇形的面積為　4π　(結果保留π).
3.(2023·永州中考)已知扇形的半徑為6,面積為6π,則扇形圓心角的度數為　60　°.
4.(2022·郴州中考)如圖,圓錐的母線長AB=12 cm,底面圓的直徑BC=10 cm,則該圓錐的側面積等于　60π　cm2.(結果用含π的式子表示)
5.(2023·郴州中考)如圖,在☉O中,AB是直徑,點C是圓上一點.在AB的延長線上取一點D,連接CD,使∠BCD=∠A.
(1)求證:直線CD是☉O的切線;
(2)若∠ACD=120°,CD=2,求圖中陰影部分的面積(結果用含π的式子表示).
【解析】(1)連接OC,
∵AB是直徑,∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=90°,
∵OA=OC,∠BCD=∠A,∴∠OCA=∠A=∠BCD,∴∠BCD+∠OCB=∠OCD=90°,
∴OC⊥CD,∵OC是☉O的半徑,
∴直線CD是☉O的切線;
(2)∵∠ACD=120°,∠ACB=90°,
∴∠A=∠BCD=120°-90°=30°,
∴∠BOC=2∠A=60°,
在Rt△OCD中,tan∠BOC==tan 60°,CD=2,∴=,解得OC=2,
∴S陰=S△OCD-S扇形BOC=×2×2-=2-.
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