資源簡介

2025年湖南省中考數學一輪復習
第二十四講　與圓有關的位置關系 學生版
知識要點 對點練習
1.點與圓的位置關系 (1)設圓O的半徑為r,點P到圓心的距離為OP=d.則: 點P在圓外 ;點P在圓上 ; 點P在圓內 . (2)確定圓的條件:不在同一直線上的三個點確定 圓. (3)三角形的外心:三角形外接圓的圓心,三角形三邊的 的交點. 1.(1)平面直角坐標系內的三個點A(1,0),B(0,-3),C(2,-3) 確定一個圓(填“能”或“不能”). (2)已知☉O的半徑為5,當線段OA=6時,則點A與☉O的位置關系是( )　　　　　　　　　 A.在圓上 B.在圓外 C.在圓內 D.不能確定
2.直線與圓的位置關系 (1)設圓O的半徑為r,圓心到直線的距離為OP=d.則:直線與圓相離 ;直線與圓相切 ;直線與圓相交 ; (2)切線的定義、性質與判定: ①定義:和圓有 公共點的直線. ②性質:圓的切線 過切點的直徑. ③判定:經過半徑的外端,并且 于這條半徑的直線是圓的切線. (3)切線長定理:從圓外一點可以引圓的兩條切線,它們的切線長 ,這一點和圓心的連線 兩條切線的夾角. 2.(1)(教材再開發·湘教九下P65練習T1改編)已知☉O的半徑r=5,圓心O到直線l的距離d=3,則直線l與☉O的位置關系為( )　　　　　　　 A.相交 B.相切 C.相離 D.相交或相切 (2)如圖,PA,PB切☉O于點A,B,直線FG切☉O于點E,交PA于F,交PB于點G,若PA=8 cm,則△PFG的周長是( ) A.8 cm B.12 cm C.16 cm D.20 cm
3.三角形的內切圓 (1)定義:與三角形各邊都 的圓. (2)三角形的內心:三角形 的圓心,是三角形三條 的交點. (3)性質:三角形的內心到三角形的 的距離相等. (4)半徑:r= .特別地,直角三角形內切圓的半徑為r= . 3.兩直角邊分別為6,8,那么Rt△ABC的內切圓的半徑為 .
考點1　點、線與圓的位置關系
【例1】如圖,已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=3 cm,BC=4 cm.O為AB的中點.
問題1　以C為圓心,2.5 cm為半徑作☉C,則O與☉C的位置關系為( )
　　　　　　　　　　　　　　　
A.O在☉C內 B.O在☉C上
C.O在☉C外 D.無法確定
問題2　以B為圓心,R為半徑作圓,使得點C在圓內,點A在圓外,則R的值可以是( )
A.4 B.4.6 C.5 D.5.6
問題3　以C為圓心,2 cm為半徑作☉C,直線AB與☉C位置關系是 .
問題4　以C為圓心,以r為半徑作圓.若此圓與線段AB只有一個交點,則r的取值范圍為 .
【方法技巧】
“一找二求三比”定位置關系
第一步,找到半徑;
第二步,求出距離(圓心到點的距離或圓心到線的距離);
第三步,比較大小得結論.
提醒:直線與圓交點的個數對應直線與圓的位置關系.
【變式訓練】
1.已知☉O的半徑是4,OA=3,則點A與☉O的位置關系是　( )
A.點A在圓內　 B.點A在圓上
C.點A在圓外　 D.無法確定
2.已知☉O的半徑等于5,圓心O到直線l的距離是3,則直線l與☉O公共交點的個數是( )
A.0　 B.1
C.2　 D.無法確定
考點2　切線的性質
【例2】(2024·鹽城中考)如圖,點C在以AB為直徑的☉O上,過點C作☉O的切線l,過點A作AD⊥l,垂足為D,連接AC,BC.
(1)求證:△ABC∽△ACD;
(2)若AC=5,CD=4,求☉O的半徑.
【方法技巧】
見切線,連半徑
題目中如果出現切線,連接圓心和切點,得到垂直,再根據直角三角形和等腰三角形的結論,利用勾股定理、銳角三角函數等求出邊長和角的度數.
【變式訓練】
(2024·臨夏州中考)如圖,直線l與☉O相切于點D,AB為☉O的直徑,過點A作AE⊥l于點E,延長AB交直線l于點C.
(1)求證:AD平分∠CAE;
(2)如果BC=1,DC=3,求☉O的半徑.
考點3　切線的判定
【例3】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D為邊AC上的點,以AD為直徑作☉O,連接BD并延長交☉O于點E,連接CE,CE=BC.
(1)求證:CE是☉O的切線;
(2)若CD=2,BC=4,求AC的長.
切線判定的兩種方法
1.直線與圓有公共點時,連半徑,證垂直.常用的方法有:
(1)利用等角轉換證垂直;
(2)利用三角形全等證垂直;
(3)利用平行證垂直.
2.沒有給出直線與圓的公共點,作垂直,證半徑.常用的方法有:
(1)當有角平分線時,可利用角平分線的性質,來證明所作垂線等于半徑;
(2)當存在線段相等、角相等等條件時,通過構造直角三角形,利用全等三角形的性質,來證明所作垂線等于半徑.
【變式訓練】
(2024·內江中考)如圖,AB是☉O的直徑,C是的中點,過點C作AD的垂線,垂足為點E.
(1)求證:△ACE∽△ABC;
(2)求證:CE是☉O的切線;
(3)若AD=2CE,OA=,求陰影部分的面積.
【例4】(教材原題·湘教版九年級下冊·P74例6)
如圖2-51,☉O是△ABC的內切圓,∠A=70°,求∠BOC的度數.
【思路點撥】由O是內心,可得角平分線,再利用三角形內角和定理即可解得.
【方法技巧】
三角形內切圓有關性質
1.三角形的內心是三條角平分線的交點;
2.如圖1:∠BOC=90°+∠A,
S△ABC=(a+b+c)r;
3.如圖2:r=(a+b-c).
【變式訓練】
1.(2024·長沙模擬)如圖,△ABC的內切圓☉O分別與AB,BC,AC相切于點D,E,F,且AD=3,BE=2,CF=4,則△ABC的周長為( )
A.18　 B.17　 C.16　 D.15
2.(2024·濱州中考)劉徽(今山東濱州人)是魏晉時期我國偉大的數學家,中國古典數學理論的奠基者之一,被譽為“世界古代數學泰斗”.劉徽在注釋《九章算術》時十分重視一題多解,其中最典型的是勾股容方和勾股容圓公式的推導,他給出了內切圓直徑的多種表達形式.如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,AB,BC,CA的長分別為c,a,b.則可以用含c,a,b的式子表示出△ABC的內切圓直徑d,下列表達式錯誤的是( )
A.d=a+b-c B.d=
C.d= D.d=|(a-b)(c-b)|
3.《九章算術》中記載:“今有勾八步,股一十五步.問勾中容圓,徑幾何 ”譯文:現在有一個直角三角形,短直角邊的長為8步,長直角邊的長為15步.問這個直角三角形內切圓的直徑是多少 書中給出的算法譯文如下:如圖,根據短直角邊的長和長直角邊的長,求得斜邊的長.用直角三角形三條邊的長相加作為除數,用兩條直角邊相乘的積再乘2作為被除數,計算所得的商就是這個直角三角形內切圓的直徑.根據以上方法,求得該直徑等于 步.(注:“步”為長度單位)
1.(2023·邵陽中考)如圖,AD是☉O的直徑,AB是☉O的弦,BC與☉O相切于點B,連接OB,若∠ABC=65°,則∠BOD的大小為 .
2.(2023·衡陽中考)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.以點C為圓心,r為半徑作圓,當所作的圓與斜邊AB所在的直線相切時,r的值為 .
3.(2023·常德中考)如圖,四邊形ABCD是☉O的內接四邊形,AB是直徑,C是的中點,過點C作CE⊥AD交AD的延長線于點E.
(1)求證:CE是☉O的切線;
(2)若BC=6,AC=8,求CE,DE的長.
4.(2024·湖南中考)【問題背景】
已知點A是半徑為r的☉O上的定點,連接OA,將線段OA繞點O按逆時針方向旋轉α(0°<α<90°)得到OE,連接AE,過點A作☉O的切線l,在直線l上取點C,使得∠CAE為銳角.
【初步感知】
(1)如圖1,當α=60°時,∠CAE= °;
【問題探究】
(2)以線段AC為對角線作矩形ABCD,使得邊AD過點E,連接CE,對角線AC,BD相交于點F.
①如圖2,當AC=2r時,求證:無論α在給定的范圍內如何變化,BC=CD+ED總成立:
②如圖3,當AC=r,=時,請補全圖形,并求tan α及的值.
5.(2024·長沙中考)對于凸四邊形,根據它有無外接圓(四個頂點都在同一個圓上)與內切圓(四條邊都與同一個圓相切),可分為四種類型,我們不妨約定:
既無外接圓,又無內切圓的四邊形稱為“平凡型無圓”四邊形;
只有外接圓,而無內切圓的四邊形稱為“外接型單圓”四邊形;
只有內切圓,而無外接圓的四邊形稱為“內切型單圓”四邊形;
既有外接圓,又有內切圓的四邊形稱為“完美型雙圓”四邊形.
請你根據該約定,解答下列問題:
(1)請你判斷下列說法是否正確(在題后相應的括號中,正確的打“√”,錯誤的打“×”).
①平行四邊形一定不是“平凡型無圓”四邊形;(　　)
②內角不等于90°的菱形一定是“內切型單圓”四邊形;(　　)
③若“完美型雙圓”四邊形的外接圓圓心與內切圓圓心重合,外接圓半徑為R,內切圓半徑為r,則有R=r.(　　)
(2)如圖1,已知四邊形ABCD內接于☉O,四條邊長滿足:AB+CD≠BC+AD.
①該四邊形ABCD是“ ”四邊形(從約定的四種類型中選一種填入);
②若∠BAD的平分線AE交☉O于點E,∠BCD的平分線CF交☉O于點F,連接EF.求證:EF是☉O的直徑.
(3)已知四邊形ABCD是“完美型雙圓”四邊形,它的內切圓☉O與AB,BC,CD,AD分別相切于點E,F,G,H.
①如圖2,連接EG,FH交于點P.求證:EG⊥FH;
②如圖3,連接OA,OB,OC,OD,若OA=2,OB=6,OC=3,求內切圓☉O的半徑r及OD的長.
第二十四講　與圓有關的位置關系 教師版
知識要點 對點練習
1.點與圓的位置關系 (1)設圓O的半徑為r,點P到圓心的距離為OP=d.則: 點P在圓外 　d>r　;點P在圓上 　d=r　; 點P在圓內 　d2.直線與圓的位置關系 (1)設圓O的半徑為r,圓心到直線的距離為OP=d.則:直線與圓相離 　d>r　;直線與圓相切 　d=r　;直線與圓相交 　d3.三角形的內切圓 (1)定義:與三角形各邊都　相切　的圓. (2)三角形的內心:三角形　內切圓　的圓心,是三角形三條　角平分線　的交點. (3)性質:三角形的內心到三角形的　三邊　的距離相等. (4)半徑:r= 　.特別地,直角三角形內切圓的半徑為r= 　. 3.兩直角邊分別為6,8,那么Rt△ABC的內切圓的半徑為　2　.
考點1　點、線與圓的位置關系
【例1】如圖,已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=3 cm,BC=4 cm.O為AB的中點.
問題1　以C為圓心,2.5 cm為半徑作☉C,則O與☉C的位置關系為(B)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.O在☉C內 B.O在☉C上
C.O在☉C外 D.無法確定
問題2　以B為圓心,R為半徑作圓,使得點C在圓內,點A在圓外,則R的值可以是(B)
A.4 B.4.6 C.5 D.5.6
問題3　以C為圓心,2 cm為半徑作☉C,直線AB與☉C位置關系是　相離　.
問題4　以C為圓心,以r為半徑作圓.若此圓與線段AB只有一個交點,則r的取值范圍為　3 cm【方法技巧】
“一找二求三比”定位置關系
第一步,找到半徑;
第二步,求出距離(圓心到點的距離或圓心到線的距離);
第三步,比較大小得結論.
提醒:直線與圓交點的個數對應直線與圓的位置關系.
【變式訓練】
1.已知☉O的半徑是4,OA=3,則點A與☉O的位置關系是　(A)
A.點A在圓內　 B.點A在圓上
C.點A在圓外　 D.無法確定
2.已知☉O的半徑等于5,圓心O到直線l的距離是3,則直線l與☉O公共交點的個數是(C)
A.0　 B.1
C.2　 D.無法確定
考點2　切線的性質
【例2】(2024·鹽城中考)如圖,點C在以AB為直徑的☉O上,過點C作☉O的切線l,過點A作AD⊥l,垂足為D,連接AC,BC.
(1)求證:△ABC∽△ACD;
(2)若AC=5,CD=4,求☉O的半徑.
【自主解答】(1)連接OC,
∵l是☉O的切線,∴OC⊥l,
∵AD⊥l,∴OC∥AD,∴∠CAD=∠ACO=∠CAB,
∵∠D=∠ACB=90°,
∴△ABC∽△ACD;
(2)∵AC=5,CD=4,∠D=90°,
∴AD==3,
∵△ABC∽△ACD,
∴=,∴=,∴AB=,
∴☉O半徑為.
【方法技巧】
見切線,連半徑
題目中如果出現切線,連接圓心和切點,得到垂直,再根據直角三角形和等腰三角形的結論,利用勾股定理、銳角三角函數等求出邊長和角的度數.
【變式訓練】
(2024·臨夏州中考)如圖,直線l與☉O相切于點D,AB為☉O的直徑,過點A作AE⊥l于點E,延長AB交直線l于點C.
(1)求證:AD平分∠CAE;
(2)如果BC=1,DC=3,求☉O的半徑.
【解析】(1)連接OD,如圖,
∵直線l與☉O相切于點D,
∴OD⊥CE,
∵AE⊥CE,∴OD∥AE,
∴∠ODA=∠EAD,
∵OA=OD,
∴∠ODA=∠OAD,
∴∠OAD=∠EAD,∴AD平分∠CAE;
(2)設☉O的半徑為r,則OB=OD=r,
在Rt△OCD中,∵OD=r,CD=3,OC=r+1,∴r2+32=(r+1)2,解得r=4,
即☉O的半徑為4.
考點3　切線的判定
【例3】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D為邊AC上的點,以AD為直徑作☉O,連接BD并延長交☉O于點E,連接CE,CE=BC.
(1)求證:CE是☉O的切線;
(2)若CD=2,BC=4,求AC的長.
【自主解答】(1)連接OE,
∵∠ACB=90°,
∴∠DBC+∠BDC=90°,
∵CE=BC,
∴∠DBC=∠BEC,
∵OE=OD,
∴∠OED=∠ODE,
∵∠ODE=∠BDC,
∴∠OED=∠BDC,
∴∠OED+∠BEC=90°,
即∠OEC=90°,
∴OE⊥CE,
∵OE是☉O的半徑,
∴CE是☉O的切線.
(2)∵BC=CE,BC=4,
∴CE=4,
設☉O的半徑為r,則OD=OE=r,OC=r+2,
∵∠OEC=90°,
∴OE2+CE2=OC2,
∴r2+42=(r+2)2,
解得r=3,
∴AD=6,
∴AC=AD+CD=6+2=8.
【方法技巧】
切線判定的兩種方法
1.直線與圓有公共點時,連半徑,證垂直.常用的方法有:
(1)利用等角轉換證垂直;
(2)利用三角形全等證垂直;
(3)利用平行證垂直.
2.沒有給出直線與圓的公共點,作垂直,證半徑.常用的方法有:
(1)當有角平分線時,可利用角平分線的性質,來證明所作垂線等于半徑;
(2)當存在線段相等、角相等等條件時,通過構造直角三角形,利用全等三角形的性質,來證明所作垂線等于半徑.
【變式訓練】
(2024·內江中考)如圖,AB是☉O的直徑,C是的中點,過點C作AD的垂線,垂足為點E.
(1)求證:△ACE∽△ABC;
(2)求證:CE是☉O的切線;
(3)若AD=2CE,OA=,求陰影部分的面積.
【解析】(1)∵C是的中點,
∴=,
∴∠EAC=∠BAC.
∵AB是☉O的直徑,
∴∠ACB=90°.
∵CE⊥AE,
∴∠AEC=90°,
∴∠AEC=∠ACB,
∴△ACE∽△ABC;
(2)連接OC,如圖,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
由(1)知:∠EAC=∠BAC,
∴∠EAC=∠OCA,
∴OC∥AE,
∵CE⊥AE,
∴OC⊥CE.
∵OC為☉O的半徑,
∴CE是☉O的切線;
(3)連接OD,過點O作OF⊥AD于點F,如圖,
則AF=FD=AD,
∵AD=2CE,
∴AF=CE.
∵OF⊥AD,CE⊥AE,OC⊥CE,
∴四邊形EFOC為矩形,
∴OF=CE,
∴OF=AF,
則△AFO為等腰直角三角形,
∴∠FAO=45°,AF=FO=OA=1.
∵OA=OD,
∴∠ODA=∠FAO=45°,
∴∠AOD=90°.
∴S△OAD=OA·OD=××=1,
S扇形OAD==,
∴陰影部分的面積為S扇形OAD-S△OAD=-1.
考點4　三角形的外接圓與內切圓
【例4】(教材原題·湘教版九年級下冊·P74例6)
如圖2-51,☉O是△ABC的內切圓,∠A=70°,求∠BOC的度數.
【思路點撥】由O是內心,可得角平分線,再利用三角形內角和定理即可解得.
【自主解答】∵∠A=70°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°.
∵☉O是△ABC的內切圓,
∴BO,CO分別是∠ABC與∠ACB的平分線,
即∠1=∠ABC,∠2=∠ACB.
∴∠BOC=180°-(∠1+∠2)=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-×110°=125°.
【方法技巧】
三角形內切圓有關性質
1.三角形的內心是三條角平分線的交點;
2.如圖1:∠BOC=90°+∠A,
S△ABC=(a+b+c)r;
3.如圖2:r=(a+b-c).
【變式訓練】
1.(2024·長沙模擬)如圖,△ABC的內切圓☉O分別與AB,BC,AC相切于點D,E,F,且AD=3,BE=2,CF=4,則△ABC的周長為(A)
A.18　 B.17　 C.16　 D.15
2.(2024·濱州中考)劉徽(今山東濱州人)是魏晉時期我國偉大的數學家,中國古典數學理論的奠基者之一,被譽為“世界古代數學泰斗”.劉徽在注釋《九章算術》時十分重視一題多解,其中最典型的是勾股容方和勾股容圓公式的推導,他給出了內切圓直徑的多種表達形式.如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,AB,BC,CA的長分別為c,a,b.則可以用含c,a,b的式子表示出△ABC的內切圓直徑d,下列表達式錯誤的是(D)
A.d=a+b-c B.d=
C.d= D.d=|(a-b)(c-b)|
3.《九章算術》中記載:“今有勾八步,股一十五步.問勾中容圓,徑幾何 ”譯文:現在有一個直角三角形,短直角邊的長為8步,長直角邊的長為15步.問這個直角三角形內切圓的直徑是多少 書中給出的算法譯文如下:如圖,根據短直角邊的長和長直角邊的長,求得斜邊的長.用直角三角形三條邊的長相加作為除數,用兩條直角邊相乘的積再乘2作為被除數,計算所得的商就是這個直角三角形內切圓的直徑.根據以上方法,求得該直徑等于　6　步.(注:“步”為長度單位)
1.(2023·邵陽中考)如圖,AD是☉O的直徑,AB是☉O的弦,BC與☉O相切于點B,連接OB,若∠ABC=65°,則∠BOD的大小為　50°　.
2.(2023·衡陽中考)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.以點C為圓心,r為半徑作圓,當所作的圓與斜邊AB所在的直線相切時,r的值為 　.
3.(2023·常德中考)如圖,四邊形ABCD是☉O的內接四邊形,AB是直徑,C是的中點,過點C作CE⊥AD交AD的延長線于點E.
(1)求證:CE是☉O的切線;
(2)若BC=6,AC=8,求CE,DE的長.
【解析】(1)如圖,連接OC,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
∵點C是的中點,
∴∠OAC=∠CAE,
∴∠CAE=∠OCA,
∴OC∥AE,
∵AE⊥CE,
∴OC⊥CE,
∵OC是☉O的半徑,
∴CE是☉O的切線;
(2)∵AB為☉O的直徑,
∴∠ACB=90°,
∵BC=6,AC=8,
∴AB==10,
又∵∠BAC=∠CAE,∠AEC=∠ACB=90°,
∴△AEC∽△ACB,
∴=,
即=,
∴EC=,
∵點C是的中點,即=,
∴CD=BC=6,
∴DE==.
4.(2024·湖南中考)【問題背景】
已知點A是半徑為r的☉O上的定點,連接OA,將線段OA繞點O按逆時針方向旋轉α(0°<α<90°)得到OE,連接AE,過點A作☉O的切線l,在直線l上取點C,使得∠CAE為銳角.
【初步感知】
(1)如圖1,當α=60°時,∠CAE=　　　　　°;
【問題探究】
(2)以線段AC為對角線作矩形ABCD,使得邊AD過點E,連接CE,對角線AC,BD相交于點F.
①如圖2,當AC=2r時,求證:無論α在給定的范圍內如何變化,BC=CD+ED總成立:
②如圖3,當AC=r,=時,請補全圖形,并求tan α及的值.
【解析】(1)∵α=60°,OA=OE,
∴∠OAE=∠OEA=α=60°,
∵AC與圓相切,
∴∠OAC=90°,
∴∠CAE=30°.
答案:30
(2)①∵四邊形ABCD是矩形,AC=2r,
∴OA=OE=CF=DF=r,
∵∠OAC=∠ADC=90°,
∴∠OAE+∠CAD=∠ACD+∠CAD,
∴∠OAE=∠ACD,
∵OA=OE,CF=DF,
∴∠OAE=∠OEA=∠ACD=∠CDF,
在△OAE和△FCD中,
,
∴△OAE≌△FCD(AAS),
∴AE=CD,
∵AD=AE+ED,
∴BC=CD+ED.
即無論α在給定的范圍內如何變化,BC=CD+ED總成立.
②補全圖形如圖,
∵AC是切線,
∴∠OAC=90°,
∵AC=r,
∴tan α==.
設OA=3m,則AC=r=4m,OC=5m,
∵=,OE=OA=3m,
∴CE=2m,OE+CE=OC=5m,
即點E在線段OC上,
如圖,過O作OH⊥AE,垂足為H,則AH=EH,
∵∠OHE=∠D=90°,∠OEH=∠CED,
∴△OEH∽△CED,
∴==,
設EH=AH=3a,則DE=2a,
∴AD=AH+EH+ED=8a,
在Rt△ACD中,CD2=AC2-AD2=16m2-64a2,
在Rt△CED中,CD2=CE2-ED2=4m2-4a2,
∴16m2-64a2=4m2-4a2,解得a=m,
∴CB=AD=m,CD=AB==m,
∴==.
5.(2024·長沙中考)對于凸四邊形,根據它有無外接圓(四個頂點都在同一個圓上)與內切圓(四條邊都與同一個圓相切),可分為四種類型,我們不妨約定:
既無外接圓,又無內切圓的四邊形稱為“平凡型無圓”四邊形;
只有外接圓,而無內切圓的四邊形稱為“外接型單圓”四邊形;
只有內切圓,而無外接圓的四邊形稱為“內切型單圓”四邊形;
既有外接圓,又有內切圓的四邊形稱為“完美型雙圓”四邊形.
請你根據該約定,解答下列問題:
(1)請你判斷下列說法是否正確(在題后相應的括號中,正確的打“√”,錯誤的打“×”).
①平行四邊形一定不是“平凡型無圓”四邊形;(　　)
②內角不等于90°的菱形一定是“內切型單圓”四邊形;(　　)
③若“完美型雙圓”四邊形的外接圓圓心與內切圓圓心重合,外接圓半徑為R,內切圓半徑為r,則有R=r.(　　)
(2)如圖1,已知四邊形ABCD內接于☉O,四條邊長滿足:AB+CD≠BC+AD.
①該四邊形ABCD是“　　　　　　”四邊形(從約定的四種類型中選一種填入);
②若∠BAD的平分線AE交☉O于點E,∠BCD的平分線CF交☉O于點F,連接EF.求證:EF是☉O的直徑.
(3)已知四邊形ABCD是“完美型雙圓”四邊形,它的內切圓☉O與AB,BC,CD,AD分別相切于點E,F,G,H.
①如圖2,連接EG,FH交于點P.求證:EG⊥FH;
②如圖3,連接OA,OB,OC,OD,若OA=2,OB=6,OC=3,求內切圓☉O的半徑r及OD的長.
【解析】(1)①∵平行四邊形對角不互補,
∴平行四邊形無外接圓.
∵平行四邊形對邊之和也不相等,
∴平行四邊形無內切圓.
∴平行四邊形是“平凡型無圓”四邊形,
故①錯誤;
②∵內角不等于90°的菱形對角不互補,但是對邊之和相等,
∴菱形是“內切型單圓”四邊形,
故②正確;
③由題可知外接圓圓心與內切圓圓心重合的“完美型雙圓”四邊形是正方形,
如圖,此時OM=r,ON=R,
∵△OMN是等腰直角三角形,
∴ON=OM,
∴R=r,
故③正確.
答案:①×　②√　③√
(2)①該四邊形ABCD是“外接型單圓”四邊形;
理由:∵AB+CD≠BC+AD,
∴四邊形ABCD無內切圓.
∴四邊形ABCD是“外接型單圓”四邊形;
答案:外接型單圓
②方法1:如圖1,∵AE平分∠BAD,CF平分∠BCD,
∴=,=,
∴+=+,即=,
∴與均為半圓,
∴EF是☉O的直徑.
方法2:如圖1,連接AF.
∵四邊形ABCD內接于☉O,
∴∠BAD+∠BCD=180°,
∵AE平分∠BAD,CF平分∠BCD,
∴∠1=∠BAD,∠2=∠BCD,
∴∠1+∠2=90°,
由同弧所對的圓周角相等可得∠2=∠FAD,
∴∠1+∠FAD=90°,即∠EAF=90°.
∴EF是☉O的直徑.
方法3:如圖2,連接FD,ED.
∵四邊形ABCD內接于☉O,
∴∠BAD+∠BCD=180°,
由題意,得∠1=∠BAD,∠2=∠BCD,
∵由同弧所對的圓周角相等可得:∠EFD=∠1,∠FED=∠2,
∴∠EFD+∠FED=(∠BAD+∠BCD)=90°,
∴∠FDE=90°.
∴EF是☉O的直徑.
(3)①如圖3,連接OE,OF,OG,OH,HG.
∵☉O是四邊形ABCD的內切圓,
∴OE⊥AB,OF⊥BC,OG⊥CD,OH⊥AD.
∴∠OEA=∠OHA=90°.
∴在四邊形EAHO中,∠A+∠EOH=360°-90°-90°=180°.
同理可證∠FOG+∠C=180°,
∵四邊形ABCD是“完美型雙圓”四邊形,
∴四邊形ABCD有外接圓,
∴∠A+∠C=180°,
∴∠EOH=∠C.
∴∠FOG+∠EOH=180°
又∵∠FHG=∠FOG,∠EGH=∠EOH,
∴∠FHG+∠EGH=90°.
∴∠HPG=90°,即EG⊥FH.
②如圖4,連接OE,OF,OG,OH,HG.
∵四邊形ABCD是“完美型雙圓”四邊形,
∴∠OAH+∠OAE+∠OCG+∠OCF=180°.
∵☉O與AB,BC,CD,AD分別相切于點E,F,G,H,
∴∠OAH=∠OAE,∠OCG=∠OCF.
∴∠OAH+∠OCG=90°.
∵∠COG+∠OCG=90°,
∴∠OAH=∠COG.
∵∠AHO=∠OGC=90°,
∴△AOH∽△OCG.
∴=,即=,解得CG=r,
在Rt△OGC中,有OG2+CG2=OC2,
即r2+(r)2=32,解得r=,
在Rt△OBE中,BE===,
同理可證△BEO∽△OHD,
所以=,即=,
解得OD=.
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