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2025年湖南省中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)
第二十三講　圓的有關(guān)概念及性質(zhì) 學(xué)生版
知識(shí)要點(diǎn) 對(duì)點(diǎn)練習(xí)
1.圓的定義及性質(zhì) (1)定義:在一個(gè)平面內(nèi),線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn) ,另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形. (2)軸對(duì)稱性:圓是 ,任何一條 都是它的對(duì)稱軸. (3)旋轉(zhuǎn)不變性:圍繞著它的 任意旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度都能與原來(lái)的圓重合 1.(教材再開發(fā)·湘教九下P46習(xí)題2.1T2改編)下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)有( ) ①平分弦的直徑一定垂直于弦; ②圓是軸對(duì)稱圖形,每一條直徑都是對(duì)稱軸; ③直徑是弦; ④長(zhǎng)度相等的弧是等弧.　 A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
2.垂徑定理及推論 (1)垂徑定理:垂直于弦的直徑 ,并且平分弦所對(duì)的 . (2)推論:平分弦(不是直徑)的直徑 ,并且平分弦所對(duì)的 . 2.(2024·新疆中考)如圖,AB是☉O的直徑,CD是☉O的弦,AB⊥CD,垂足為E.若CD=8,OD=5,則BE的長(zhǎng)為( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.1　 B.2　 C.3　 D.4
3.弧、弦、圓心角的關(guān)系 (1)定理:在同圓或等圓中,相等的圓心角所對(duì)的弧 ,所對(duì)的弦也 . (2)推論:在同圓或等圓中, ①如果兩條弧相等,那么它們所對(duì)的圓心角 ,所對(duì)的弦 . ②如果兩條弦相等,那么它們所對(duì)的圓心角 ,所對(duì)的優(yōu)弧和劣弧分別 . 3.(教材再開發(fā)·湘教九下P49T1改編)如圖,在☉O中=, ∠AOB=45°,則∠COD=( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.60° B.45° C.30° D.40°
4.圓周角定理及推論 (1)定理:在同圓或等圓中,同弧或等弧所對(duì)的圓周角 ,都等于這條弧所對(duì)的圓心角的 . (2)推論: ①半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是 ,90°的圓周角所對(duì)的弦是 . ②在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓周角 ,它們所對(duì)的弧一定 . 4.如圖,A,B,C為☉O上的三個(gè)點(diǎn),∠AOB=80°,則∠C的度數(shù)為( ) 　　　　 A.30° B.35° C.40° D.45°
5.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì) (1)性質(zhì):圓內(nèi)接四邊形對(duì)角 . (2)推論:圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的 . 5.(2024·吉林中考)如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,過(guò)點(diǎn)B作BE∥AD,交CD于點(diǎn)E.若∠BEC=50°,則∠ABC的度數(shù)是( ) 　　 A.50°　 B.100° C.130°　 D.150°
考點(diǎn)　　圓的基本性質(zhì)的相關(guān)計(jì)算(一題多設(shè)問(wèn))
【例】如圖,點(diǎn)A,B,C,D在☉O上,AC是☉O的直徑.連接AB,BC,CD,AD,DB,OD,OB.AC與BD交于點(diǎn)F,請(qǐng)回答下列問(wèn)題: 問(wèn)題1　若∠ACB=30°,則∠BOC= ,∠BDC= ,∠AOB= ,∠ADB= . 問(wèn)題2　若∠BAC=40°,則∠OBC= . 問(wèn)題3　若☉O的半徑為2,∠AOB=∠AOD=60°,則AB= ,AD= . 問(wèn)題4　若=,∠BOC=100°,則∠AOB= ,∠COD= . 問(wèn)題5　若∠BOC=∠DOC,∠BCD=60°,BC=3,則BD= . 問(wèn)題6　若AC⊥BD,垂足為點(diǎn)F,BD=8,AF=2,求☉O的半徑. 問(wèn)題7　若AC⊥BD,垂足為點(diǎn)F,BD=8,☉O的直徑為10,求AF的長(zhǎng). 問(wèn)題8　已知∠BOD=130°,則∠BAD= . 問(wèn)題9　已知∠ACB=30°,若點(diǎn)E是圓上異于A,B,C的另一點(diǎn),則∠AEB的度數(shù)是 . 【滿分技法】 1.在解決與圓有關(guān)的角度的相關(guān)計(jì)算問(wèn)題時(shí),一般先判斷角是圓周角還是圓心角;再轉(zhuǎn)化成同弧所對(duì)的圓周角或圓心角,利用同弧所對(duì)的圓周角相等,同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半等關(guān)系求解;當(dāng)角是圓周角時(shí),也可考慮圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)或等腰三角形的性質(zhì),求解角的度數(shù). 提醒:當(dāng)點(diǎn)在圓上的位置不確定時(shí),一定要考慮優(yōu)弧或劣弧的不同情況,避免漏解. 2.在同圓或等圓中,兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等,則它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量也相等. 3.垂徑定理基本圖形計(jì)算中的“四變量”“兩關(guān)系” (1)四變量:如圖,設(shè)弦長(zhǎng)為a,圓心到弦的距離(弦心距)為d,半徑為r,弧的中點(diǎn)到弦的距離(弓形高)為h,這四個(gè)變量知任意兩個(gè)即可求其他兩個(gè). (2)兩關(guān)系:①()2+d2=r2;②h+d=r. 注意:計(jì)算時(shí)常通過(guò)作半徑或過(guò)圓心作弦的垂線段來(lái)構(gòu)造直角三角形.
1.(2024·湖南中考)如圖,AB,AC為☉O的兩條弦,連接OB,OC,若∠A=45°,則∠BOC的度數(shù)為( )
　　　　　　　　　　　　　　　
A.60°　 B.75°　 C.90°　 D.135°
2.(2024·長(zhǎng)沙中考)如圖,在☉O中,弦AB的長(zhǎng)為8,圓心O到AB的距離OE=4,則☉O的半徑長(zhǎng)為( )
A.4　 B.4　 C.5　 D.5
3.(2022·株洲中考)如圖所示,等邊△ABC的頂點(diǎn)A在☉O上,邊AB,AC與☉O分別交于點(diǎn)D,E,點(diǎn)F是劣弧上一點(diǎn),且與D,E不重合,連接DF,EF,則∠DFE的度數(shù)為( )
A.115° B.118° C.120° D.125°
4.(多選題·2023·湘潭中考)如圖,AC是☉O的直徑,CD為弦,過(guò)點(diǎn)A的切線與CD延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)B,若AB=AC,則下列說(shuō)法正確的是(ABD)
A.AD⊥BC B.∠CAB=90°
C.DB=AB D.AD=BC
5.(2023·株洲中考)如圖所示,點(diǎn)A,B,C是☉O上不同的三點(diǎn),點(diǎn)O在△ABC的內(nèi)部,連接BO,CO,并延長(zhǎng)線段BO交線段AC于點(diǎn)D.若∠A=60°,∠OCD=40°,則∠ODC= 度.
6.(2022·長(zhǎng)沙中考)如圖,A,B,C是☉O上的點(diǎn),OC⊥AB,垂足為點(diǎn)D,且D為OC的中點(diǎn),若OA=7,則BC的長(zhǎng)為 .
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第二十三講　圓的有關(guān)概念及性質(zhì) 教師版
知識(shí)要點(diǎn) 對(duì)點(diǎn)練習(xí)
1.圓的定義及性質(zhì) (1)定義:在一個(gè)平面內(nèi),線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)　一周　,另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形. (2)軸對(duì)稱性:圓是　軸對(duì)稱圖形　,任何一條　過(guò)圓心的直線　都是它的對(duì)稱軸. (3)旋轉(zhuǎn)不變性:圍繞著它的　圓心　任意旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度都能與原來(lái)的圓重合 1.(教材再開發(fā)·湘教九下P46習(xí)題2.1T2改編)下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)有(A) ①平分弦的直徑一定垂直于弦; ②圓是軸對(duì)稱圖形,每一條直徑都是對(duì)稱軸; ③直徑是弦; ④長(zhǎng)度相等的弧是等弧.　 A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
2.垂徑定理及推論 (1)垂徑定理:垂直于弦的直徑　平分弦　,并且平分弦所對(duì)的　兩條弧　. (2)推論:平分弦(不是直徑)的直徑　垂直于弦　,并且平分弦所對(duì)的　兩條弧　. 2.(2024·新疆中考)如圖,AB是☉O的直徑,CD是☉O的弦,AB⊥CD,垂足為E.若CD=8,OD=5,則BE的長(zhǎng)為(B) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.1　 B.2　 C.3　 D.4
3.弧、弦、圓心角的關(guān)系 (1)定理:在同圓或等圓中,相等的圓心角所對(duì)的弧　相等　,所對(duì)的弦也　相等　. (2)推論:在同圓或等圓中, ①如果兩條弧相等,那么它們所對(duì)的圓心角　相等　,所對(duì)的弦　相等　. ②如果兩條弦相等,那么它們所對(duì)的圓心角　相等　,所對(duì)的優(yōu)弧和劣弧分別　相等　. 3.(教材再開發(fā)·湘教九下P49T1改編)如圖,在☉O中=, ∠AOB=45°,則∠COD=(B) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.60° B.45° C.30° D.40°
4.圓周角定理及推論 (1)定理:在同圓或等圓中,同弧或等弧所對(duì)的圓周角　相等　,都等于這條弧所對(duì)的圓心角的　一半　. (2)推論: ①半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是　90°　,90°的圓周角所對(duì)的弦是　直徑　. ②在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓周角　相等　,它們所對(duì)的弧一定　相等　. 4.如圖,A,B,C為☉O上的三個(gè)點(diǎn),∠AOB=80°,則∠C的度數(shù)為(C) 　　　　 A.30° B.35° C.40° D.45°
5.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì) (1)性質(zhì):圓內(nèi)接四邊形對(duì)角　互補(bǔ)　. (2)推論:圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的　內(nèi)對(duì)角　. 5.(2024·吉林中考)如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,過(guò)點(diǎn)B作BE∥AD,交CD于點(diǎn)E.若∠BEC=50°,則∠ABC的度數(shù)是(C) 　　 A.50°　 B.100° C.130°　 D.150°
考點(diǎn)　　圓的基本性質(zhì)的相關(guān)計(jì)算(一題多設(shè)問(wèn))
【例】如圖,點(diǎn)A,B,C,D在☉O上,AC是☉O的直徑.連接AB,BC,CD,AD,DB,OD,OB.AC與BD交于點(diǎn)F,請(qǐng)回答下列問(wèn)題: 問(wèn)題1　若∠ACB=30°,則∠BOC=　120°　,∠BDC=　60°　,∠AOB=　60°　,∠ADB=　30°　. 問(wèn)題2　若∠BAC=40°,則∠OBC=　50°　. 問(wèn)題3　若☉O的半徑為2,∠AOB=∠AOD=60°,則AB=　2　,AD=　2　. 問(wèn)題4　若=,∠BOC=100°,則∠AOB=　80°　,∠COD=　80°　. 問(wèn)題5　若∠BOC=∠DOC,∠BCD=60°,BC=3,則BD=　3　. 問(wèn)題6　若AC⊥BD,垂足為點(diǎn)F,BD=8,AF=2,求☉O的半徑. 【解析】設(shè)☉O的半徑為r, ∵AC⊥BD,BD=8,∴BF=4. ∵AF=2,則OF=r-2. 在Rt△OBF中,OB2=BF2+OF2, 即r2=16+(r-2)2, 解得r=5. ∴☉O的半徑為5. 問(wèn)題7　若AC⊥BD,垂足為點(diǎn)F,BD=8,☉O的直徑為10,求AF的長(zhǎng). 【解析】∵AC⊥BD,BD=8, ∴BF=4, ∵☉O的直徑為10, ∴☉O的半徑OB=5. 由勾股定理得OF==3, ∴AF=5-3=2. 即AF的長(zhǎng)為2. 問(wèn)題8　已知∠BOD=130°,則∠BAD=　115°　. 問(wèn)題9　已知∠ACB=30°,若點(diǎn)E是圓上異于A,B,C的另一點(diǎn),則∠AEB的度數(shù)是　30°或150°　. 【滿分技法】 1.在解決與圓有關(guān)的角度的相關(guān)計(jì)算問(wèn)題時(shí),一般先判斷角是圓周角還是圓心角;再轉(zhuǎn)化成同弧所對(duì)的圓周角或圓心角,利用同弧所對(duì)的圓周角相等,同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半等關(guān)系求解;當(dāng)角是圓周角時(shí),也可考慮圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)或等腰三角形的性質(zhì),求解角的度數(shù). 提醒:當(dāng)點(diǎn)在圓上的位置不確定時(shí),一定要考慮優(yōu)弧或劣弧的不同情況,避免漏解. 2.在同圓或等圓中,兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等,則它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量也相等. 3.垂徑定理基本圖形計(jì)算中的“四變量”“兩關(guān)系” (1)四變量:如圖,設(shè)弦長(zhǎng)為a,圓心到弦的距離(弦心距)為d,半徑為r,弧的中點(diǎn)到弦的距離(弓形高)為h,這四個(gè)變量知任意兩個(gè)即可求其他兩個(gè). (2)兩關(guān)系:①()2+d2=r2;②h+d=r. 注意:計(jì)算時(shí)常通過(guò)作半徑或過(guò)圓心作弦的垂線段來(lái)構(gòu)造直角三角形.
1.(2024·湖南中考)如圖,AB,AC為☉O的兩條弦,連接OB,OC,若∠A=45°,則∠BOC的度數(shù)為(C)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.60°　 B.75°　 C.90°　 D.135°
2.(2024·長(zhǎng)沙中考)如圖,在☉O中,弦AB的長(zhǎng)為8,圓心O到AB的距離OE=4,則☉O的半徑長(zhǎng)為(B)
A.4　 B.4　 C.5　 D.5
3.(2022·株洲中考)如圖所示,等邊△ABC的頂點(diǎn)A在☉O上,邊AB,AC與☉O分別交于點(diǎn)D,E,點(diǎn)F是劣弧上一點(diǎn),且與D,E不重合,連接DF,EF,則∠DFE的度數(shù)為(C)
A.115° B.118° C.120° D.125°
4.(多選題·2023·湘潭中考)如圖,AC是☉O的直徑,CD為弦,過(guò)點(diǎn)A的切線與CD延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)B,若AB=AC,則下列說(shuō)法正確的是(ABD)
A.AD⊥BC B.∠CAB=90°
C.DB=AB D.AD=BC
5.(2023·株洲中考)如圖所示,點(diǎn)A,B,C是☉O上不同的三點(diǎn),點(diǎn)O在△ABC的內(nèi)部,連接BO,CO,并延長(zhǎng)線段BO交線段AC于點(diǎn)D.若∠A=60°,∠OCD=40°,則∠ODC=　80　度.
6.(2022·長(zhǎng)沙中考)如圖,A,B,C是☉O上的點(diǎn),OC⊥AB,垂足為點(diǎn)D,且D為OC的中點(diǎn),若OA=7,則BC的長(zhǎng)為　7　.
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