資源簡介

2025年湖南省中考數學一輪復習
第五講　整式方程(組)的概念及解法 學生版
知識要點 對點練習
1.整式方程(組)的定義 　　　　　　　　　　　　　 1.(1)下列是一元一次方程的是( ) A.3-2x B.6+2=8 C.x2-49=0 D.5x-7=3(x+1) (2)下列是二元一次方程組的是( ) A. B. C. D. (3)(教材再開發·湘教九上P28練習T1改編)下列方程中,不是一元二次方程的是( ) A.x2-1=0 B.x2++3=0 C.x2+2x+1=0 D.3x2+x+1=0
2.方程(組)的解 (1)方程的解:使方程兩邊 的 的值.只含一個未知數的方程的解,也叫方程的 . (2)方程組的解:使方程組中的各個方程都 的未知數的值. 　　　　　　　　　　　　　　　　 2.如果方程x-y=3與下面方程中的一個組成的方程組的解為,那么這個方程可以是( ) A.3x-4y=16 B.x+2y=5 C.x+3y=8 D.2(x-y)=6y
3.等式的性質 (1)等式兩邊同時 (或 )同一個整式,等式仍然成立. (2)等式兩邊同時 或 同一個 的整式,等式仍然成立. 3.下列變形不正確的是( ) A.若x=y,則x+5=y+5 B.若x=y,則= C.若x=y,則1-3x=1-3y D.若a=b,則ac=bc
續表
知識要點 對點練習
4.整式方程(組)的解法 　　　　　　　　　　　　　　　　 4.(1)研究下面解方程1+4(2x-3)=5x-(1-3x)的過程: 去括號,得1+8x-12=5x-1-3x,① 移項,得8x-5x+3x=-1-1+12,② 合并同類項,得6x=10,③ 系數化為1,得x=. 對于上面的解法,你認為( ) A.完全正確 B.變形錯誤的是① C.變形錯誤的是② D.變形錯誤的是③ (2)(教材再開發·湘教九上P33例3改編)一元二次方程x2-4x-8=0的解是( ) A.x1=-2+2,x2=-2-2 B.x1=2+2,x2=2-2 C.x1=2+2,x2=2-2 D.x1=2,x2=-2 (3)關于x的一元二次方程(m+1)x|m|+1+4x+2=0的解為( ) A.x1=1,x2=-1 B.x1=x2=1 C.x1=x2=-1 D.無解 (4)下列關于x的一元二次方程沒有實數根的是( ) A.x2+2x-5=0 B.x2-6=x C.5x2+1=5 D.x2-2x+2=0 (5)方程組的解是 .
(6)已知x1,x2是一元二次方程2x2+3x-5=0的兩個根,則x1+x2= ,x1x2= . (7)目前以5G為代表的新興產業蓬勃發展,某市2021年底有5G用戶20萬戶,計劃到2023年底該市5G用戶數累計達到33.8萬戶.設該市5G用戶數年平均增長率為x,則x的值是 .
考點1　整式方程(組)的解
【例1】(1)(2024·聊城模擬)已知方程組的解是則a-b+c的值為( )
A.1　 B.0　 C.-2　 D.-1
(2)(2024·涼山州中考)若關于x的一元二次方程(a+2)x2+x+a2-4=0的一個根是x=0,則a的值為( )
A.2　 B.-2　 C.2或-2　 D.
【方法技巧】
“讓根回家”來求值
　已知方程的根,一般將其代回原方程,得到關于未知系數(參數)的方程(組)求解,注意還要符合“二次項系數不為0”等隱含條件.
【變式訓練】
1.(2024·聊城模擬)關于x的一元一次方程2x-3m=6-x的解是負數,則m的取值范圍是( )
A.m<-1　 B.m<-2　 C.m>1　 D.m>0
2.(2024·吉林模擬)若方程組的解為,小亮求解時不小心滴上了兩滴墨水,剛好遮住了m和n兩個數,則這兩個數分別為( )
A.6和4　 B.10和0
C.2和-4　 D.4和2
3.(2024·深圳中考)一元二次方程x2-3x+a=0的一個解為x=1,則a= .
考點2　一次方程(組)的解法
【例2】(1)解方程:-=1.
(2)解方程組:.
【自主解答】(1)-=1,
去分母得,3(x-1)-(2x+3)=6,
去括號得,3x-3-2x-3=6,
移項得,3x-2x=6+3+3,
合并同類項得,x=12.
(2),
①×2得4x+6y=16③,
②×3得9x-6y=-42④,
③+④得13x=-26,解得x=-2,
把x=-2代入①得-2×2+3y=8,解得y=4,
所以原方程組的解是.
【變式訓練】
1.(2024·西安模擬)已知關于x,y的方程組和有相同的解,那么2a+b值是( )
A.3　 B.4　 C.5　 D.6
2.(2024·南陽模擬)解方程(組).
(1)=+1.
(2).
考點3　一元二次方程的解法
【例3】(1)(2024·阜陽模擬)4位同學以接龍的方式解一元二次方程,每人負責完成一個步驟,如圖所示,其中有一位同學所負責的步驟是錯誤的,則這位同學是( )
A.小張　 B.小王　 C.小李　 D.小趙
(2)(2023·新疆中考)用配方法解一元二次方程x2-6x+8=0,配方后得到的方程是( )
A.(x+6)2=28　 B.(x-6)2=28
C.(x+3)2=1　 D.(x-3)2=1
【方法技巧】
方程解法選擇的“優勝劣汰”
1.未指明用什么方法的前提下,優先考慮因式分解法.
2.特殊形式,如a(x+b)2=b(b≥0),可用直接開平方法.
3.判斷不明時,當選公式法.
提醒:配方法煩瑣,但二次項系數為1,且一次項系數為偶數時,一般運用配方法.
【變式訓練】
1.(2024·貴州中考)一元二次方程x2-2x=0的解是( )
A.x1=3,x2=1　 B.x1=2,x2=0
C.x1=3,x2=-2　 D.x1=-2,x2=-1
2.(2024·濱州中考)解方程:x2-4x=0.
3.(2024·齊齊哈爾中考)解方程:x2-5x+6=0.
考點4　根的判別式及根與系數的關系
【例4】(2023·岳陽二模)已知m,n是關于x的一元二次方程x2-3x+a=0的兩個解,若(m-1)(n-1)=-6,則a的值為( )
A.-10 　B.4 C.-4 D.10
【方法技巧】
判別式的“雙向應用”
1.正向:系數已知,可以判斷方程根的情況.
2.逆向:已知方程根的情況,可以求未知系數或參數的值.
提醒:要根據a≠0和Δ≥0這兩個前提進行所求參數值的檢驗和取舍.
【變式訓練】
1.(2024·自貢中考)關于x的方程x2+mx-2=0根的情況是( )
A.有兩個不相等的實數根
B.有兩個相等的實數根
C.只有一個實數根
D.沒有實數根
2.(2024·樂山中考)若關于x的一元二次方程x2+2x+p=0兩根為x1,x2,且+=3,則p的值為( )
A.-　 B.　 C.-6　 D.6
1.(2022·株洲中考)對于二元一次方程組,將①式代入②式,消去y可以得到( )
A.x+2x-1=7 B.x+2x-2=7
C.x+x-1=7 D.x+2x+2=7
2.(2022·常德中考)關于x的一元二次方程x2-4x+k=0無實數解,則k的取值范圍是( )
A.k>4 B.k<4 C.k<-4 D.k>1
3.(2023·懷化中考)已知關于x的一元二次方程x2+mx-2=0的一個根為-1,則m的值為 ,另一個根為 .
4.(2024·湖南中考)若關于x的一元二次方程x2-4x+2k=0有兩個相等的實數根,則k的值為 .
5.(2024·長沙中考)為慶祝中國改革開放46周年,某中學舉辦了一場精彩紛呈的慶祝活動,現場參與者均為在校中學生,其中有一個活動項目是“選數字猜出生年份”,該活動項目主持人要求參與者從1,2,3,4,5,6,7,8,9這九個數字中任取一個數字,先乘10,再加上4.6,將此時的運算結果再乘10,然后加上1978,最后減去參與者的出生年份(注:出生年份是一個四位數,比如2010年對應的四位數是2010),得到最終的運算結果.只要參與者報出最終的運算結果,主持人立馬就知道參與者的出生年份.若某位參與者報出的最終的運算結果是915,則這位參與者的出生年份是 .
6.(2023·岳陽中考)已知關于x的一元二次方程x2+2mx+m2-m+2=0有兩個不相等的實數根,且x1+x2+x1·x2=2,則實數m= .
7.(2023·常德中考)解方程組:.
2025年湖南省中考數學一輪復習
第五講　整式方程(組)的概念及解法 教師版
知識要點 對點練習
1.整式方程(組)的定義 　　　　　　　　　　　　　 1.(1)下列是一元一次方程的是(D) A.3-2x B.6+2=8 C.x2-49=0 D.5x-7=3(x+1) (2)下列是二元一次方程組的是(D) A. B. C. D. (3)(教材再開發·湘教九上P28練習T1改編)下列方程中,不是一元二次方程的是(B) A.x2-1=0 B.x2++3=0 C.x2+2x+1=0 D.3x2+x+1=0
2.方程(組)的解 (1)方程的解:使方程兩邊　相等　的　未知數　的值.只含一個未知數的方程的解,也叫方程的　根　. (2)方程組的解:使方程組中的各個方程都　成立　的未知數的值. 　　　　　　　　　　　　　　　　 2.如果方程x-y=3與下面方程中的一個組成的方程組的解為,那么這個方程可以是(D) A.3x-4y=16 B.x+2y=5 C.x+3y=8 D.2(x-y)=6y
3.等式的性質 (1)等式兩邊同時　加上　(或　減去　)同一個整式,等式仍然成立. (2)等式兩邊同時　乘　或　除以　同一個　不為0　的整式,等式仍然成立. 3.下列變形不正確的是(B) A.若x=y,則x+5=y+5 B.若x=y,則= C.若x=y,則1-3x=1-3y D.若a=b,則ac=bc
續表
知識要點 對點練習
4.整式方程(組)的解法 　　　　　　　　　　　　　　　　 4.(1)研究下面解方程1+4(2x-3)=5x-(1-3x)的過程: 去括號,得1+8x-12=5x-1-3x,① 移項,得8x-5x+3x=-1-1+12,② 合并同類項,得6x=10,③ 系數化為1,得x=. 對于上面的解法,你認為(B) A.完全正確 B.變形錯誤的是① C.變形錯誤的是② D.變形錯誤的是③ (2)(教材再開發·湘教九上P33例3改編)一元二次方程x2-4x-8=0的解是(B) A.x1=-2+2,x2=-2-2 B.x1=2+2,x2=2-2 C.x1=2+2,x2=2-2 D.x1=2,x2=-2 (3)關于x的一元二次方程(m+1)x|m|+1+4x+2=0的解為(C) A.x1=1,x2=-1 B.x1=x2=1 C.x1=x2=-1 D.無解 (4)下列關于x的一元二次方程沒有實數根的是(D) A.x2+2x-5=0 B.x2-6=x C.5x2+1=5 D.x2-2x+2=0 (5)方程組的解是 　.
(6)已知x1,x2是一元二次方程2x2+3x-5=0的兩個根,則x1+x2=　-　,x1x2=　-　. (7)目前以5G為代表的新興產業蓬勃發展,某市2021年底有5G用戶20萬戶,計劃到2023年底該市5G用戶數累計達到33.8萬戶.設該市5G用戶數年平均增長率為x,則x的值是　30%　.
考點1　整式方程(組)的解
【例1】(1)(2024·聊城模擬)已知方程組的解是則a-b+c的值為(D)
A.1　 B.0　 C.-2　 D.-1
(2)(2024·涼山州中考)若關于x的一元二次方程(a+2)x2+x+a2-4=0的一個根是x=0,則a的值為(A)
A.2　 B.-2　 C.2或-2　 D.
【方法技巧】
“讓根回家”來求值
　已知方程的根,一般將其代回原方程,得到關于未知系數(參數)的方程(組)求解,注意還要符合“二次項系數不為0”等隱含條件.
【變式訓練】
1.(2024·聊城模擬)關于x的一元一次方程2x-3m=6-x的解是負數,則m的取值范圍是(B)
A.m<-1　 B.m<-2　 C.m>1　 D.m>0
2.(2024·吉林模擬)若方程組的解為,小亮求解時不小心滴上了兩滴墨水,剛好遮住了m和n兩個數,則這兩個數分別為(C)
A.6和4　 B.10和0
C.2和-4　 D.4和2
3.(2024·深圳中考)一元二次方程x2-3x+a=0的一個解為x=1,則a=　2　.
考點2　一次方程(組)的解法
【例2】(1)解方程:-=1.
(2)解方程組:.
【自主解答】(1)-=1,
去分母得,3(x-1)-(2x+3)=6,
去括號得,3x-3-2x-3=6,
移項得,3x-2x=6+3+3,
合并同類項得,x=12.
(2),
①×2得4x+6y=16③,
②×3得9x-6y=-42④,
③+④得13x=-26,解得x=-2,
把x=-2代入①得-2×2+3y=8,解得y=4,
所以原方程組的解是.
【變式訓練】
1.(2024·西安模擬)已知關于x,y的方程組和有相同的解,那么2a+b值是(B)
A.3　 B.4　 C.5　 D.6
2.(2024·南陽模擬)解方程(組).
(1)=+1.
(2).
【解析】(1)=+1,
去分母得,3x=2(2-x)+6,
去括號得,3x=4-2x+6,
移項,合并同類項得,5x=10,
系數化為1得,x=2,
∴原方程的解為x=2.
(2),
由①+②×2得,7x=14,
解得x=2,
將x=2代入②式得,2×2-y=1,
解得y=3,
∴原方程組的解為.
考點3　一元二次方程的解法
【例3】(1)(2024·阜陽模擬)4位同學以接龍的方式解一元二次方程,每人負責完成一個步驟,如圖所示,其中有一位同學所負責的步驟是錯誤的,則這位同學是(D)
A.小張　 B.小王　 C.小李　 D.小趙
(2)(2023·新疆中考)用配方法解一元二次方程x2-6x+8=0,配方后得到的方程是(D)
A.(x+6)2=28　 B.(x-6)2=28
C.(x+3)2=1　 D.(x-3)2=1
【方法技巧】
方程解法選擇的“優勝劣汰”
1.未指明用什么方法的前提下,優先考慮因式分解法.
2.特殊形式,如a(x+b)2=b(b≥0),可用直接開平方法.
3.判斷不明時,當選公式法.
提醒:配方法煩瑣,但二次項系數為1,且一次項系數為偶數時,一般運用配方法.
【變式訓練】
1.(2024·貴州中考)一元二次方程x2-2x=0的解是(B)
A.x1=3,x2=1　 B.x1=2,x2=0
C.x1=3,x2=-2　 D.x1=-2,x2=-1
2.(2024·濱州中考)解方程:x2-4x=0.
【解析】∵x2-4x=0,
∴x(x-4)=0,
∴x=0或x-4=0,
解得x1=0,x2=4.
3.(2024·齊齊哈爾中考)解方程:x2-5x+6=0.
【解析】∵x2-5x+6=0,
∴(x-2)(x-3)=0,
則x-2=0或x-3=0,
解得x1=2,x2=3.
考點4　根的判別式及根與系數的關系
【例4】(2023·岳陽二模)已知m,n是關于x的一元二次方程x2-3x+a=0的兩個解,若(m-1)(n-1)=-6,則a的值為(C)
A.-10 　B.4 C.-4 D.10
【方法技巧】
判別式的“雙向應用”
1.正向:系數已知,可以判斷方程根的情況.
2.逆向:已知方程根的情況,可以求未知系數或參數的值.
提醒:要根據a≠0和Δ≥0這兩個前提進行所求參數值的檢驗和取舍.
【變式訓練】
1.(2024·自貢中考)關于x的方程x2+mx-2=0根的情況是(A)
A.有兩個不相等的實數根
B.有兩個相等的實數根
C.只有一個實數根
D.沒有實數根
2.(2024·樂山中考)若關于x的一元二次方程x2+2x+p=0兩根為x1,x2,且+=3,則p的值為(A)
A.-　 B.　 C.-6　 D.6
1.(2022·株洲中考)對于二元一次方程組,將①式代入②式,消去y可以得到(B)
A.x+2x-1=7 B.x+2x-2=7
C.x+x-1=7 D.x+2x+2=7
2.(2022·常德中考)關于x的一元二次方程x2-4x+k=0無實數解,則k的取值范圍是(A)
A.k>4 B.k<4 C.k<-4 D.k>1
3.(2023·懷化中考)已知關于x的一元二次方程x2+mx-2=0的一個根為-1,則m的值為　-1　,另一個根為　2　.
4.(2024·湖南中考)若關于x的一元二次方程x2-4x+2k=0有兩個相等的實數根,則k的值為　2　.
5.(2024·長沙中考)為慶祝中國改革開放46周年,某中學舉辦了一場精彩紛呈的慶祝活動,現場參與者均為在校中學生,其中有一個活動項目是“選數字猜出生年份”,該活動項目主持人要求參與者從1,2,3,4,5,6,7,8,9這九個數字中任取一個數字,先乘10,再加上4.6,將此時的運算結果再乘10,然后加上1978,最后減去參與者的出生年份(注:出生年份是一個四位數,比如2010年對應的四位數是2010),得到最終的運算結果.只要參與者報出最終的運算結果,主持人立馬就知道參與者的出生年份.若某位參與者報出的最終的運算結果是915,則這位參與者的出生年份是　2009　.
6.(2023·岳陽中考)已知關于x的一元二次方程x2+2mx+m2-m+2=0有兩個不相等的實數根,且x1+x2+x1·x2=2,則實數m=　3　.
7.(2023·常德中考)解方程組:.
【解析】①×2+②得5x=25,
解得x=5,
將x=5代入①得5-2y=1,
解得y=2,
所以原方程組的解是.
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