資源簡介

專題一　解直角三角形問題
(6年3考)
　　解直角三角形(含勾股定理問題)是近年來?？贾R點,多以基礎和中檔解答題的形式考查,考查內容主要是勾股定理的應用、銳角三角函數的應用等知識點,考查形式多樣,可與多種初中幾何代數知識點結合.預測2025年仍會延續這一特點.
類型一　勾股定理
(2019.T21)
(2024·邯鄲二模)小明在物理課上學習了發聲物體的振動實驗后,對其作了進一步的探究:如圖1,在一個支架的橫桿點O處用一根細繩懸掛一個小球A,小球A可以自由擺動,圖2是其抽象出的示意圖,OA表示小球靜止時的位置.當小明用發聲物體靠近小球時,小球從OA擺到OB位置,此時過點B作BD⊥OA于點D,當小球擺到OC位置時,OB與OC恰好垂直(圖中的點A,B,O,C在同一平面上),過點C作CE⊥OA于點E,測得OC=17 cm,OE=8 cm.
(1)試說明:OE=BD.
(2)求DE的長.
1.(2024·唐山一模)已知三角形的一條邊長為a cm,第二條邊比第一條邊短4 cm,第三條邊比第二條邊的2倍短4 cm.
(1)用含a的代數式表示這個三角形的周長.
(2)當a=10時,判斷該三角形的形狀,并說明理由.
2.(原創)當直角三角形的三邊長都是正整數時,我們稱這三個正整數為勾股數.
(1)若a,b為一個直角三角形的直角邊長,c為斜邊長,a,b,c為勾股數,且a=n+7,c=n+8,n為正整數,求b的值(用含n的式子表示).并直接寫出符合題意的最小的b的值.
(2)當n是大于1的整數時,判斷2n,n2-1,n2+1是不是勾股數,并說明理由.
類型二　三角函數的應用
(6年2考,2024.T22,2023.T26)
某數學興趣小組在校園內開展綜合與實踐活動,記錄如下:
活動項目測量校園中樹AB的高度
活動方案“測角儀”方案“平面鏡”方案
方案示意圖
實施過程①選取與樹底B位于同一水平地面的D處; ②測量D,B兩點間的距離; ③站在D處,用測角儀測量從眼睛C處看樹頂A的仰角∠ACF; ④測量C到地面的高度CD①選取與樹底B位于同一水平地面的E處; ②測量E,B兩點間的距離; ③在E處水平放置一個平面鏡,沿射線BE方向后退至D處,眼睛C剛好從鏡中看到樹頂A; ④測量E,D兩點間的距離; ⑤測量C到地面的高度CD
測量 數據 ①DB=10 m; ②∠ACF=32.5°; ③CD=1.6 m ①EB=10 m; ②ED=2 m; ③CD=1.6 m
備注 ①圖上所有點均在同一平面內; ②AB,CD均與地面垂直; ③參考數據:tan 32.5°≈0.64 ①圖上所有點均在同一平面內; ②AB,CD均與地面垂直; ③把平面鏡看作一個點,并由物理學知識可得∠CED=∠AEB
請你從以上兩種方案中任選一種,計算樹AB的高度.
(2024·廣東)中國新能源汽車為全球應對氣候變化和綠色低碳轉型作出了巨大貢獻.為滿足新能源汽車的充電需求,某小區增設了充電站,如圖,這是矩形PQMN充電站的平面示意圖,矩形ABCD是其中一個停車位.經測量,∠ABQ=60°,AB=5.4 m,CE=1.6 m,GH⊥CD,GH是另一個車位的寬,所有車位的長寬相同,按圖示并列劃定.
根據以上信息回答下列問題:(結果精確到0.1 m,參考數據:≈1.73)
(1)求PQ的長.
(2)該充電站有20個停車位,求PN的長.
參考答案
類型一　勾股定理
例(1)∵OB⊥OC,∴∠BOD+∠COE=90°.
∵CE⊥OA,BD⊥OA,∴∠CEO=∠ODB=90°.
∴∠BOD+∠B=90°,∴∠COE=∠B.
∵OC=OB,
∴△COE≌△OBD(AAS),
∴OE=BD.
(2)在Rt△OEC中,CE==15 cm.
∵△COE≌△OBD,
∴OD=CE=15 cm,
∴DE=OD-OE=7 cm.
變式訓練
1.(1)∵三角形的一條邊長為a cm,第二條邊比第一條短4 cm,第三條邊比第二條邊的2倍短4 cm,
∴第二條邊長為(a-4)cm,第三條邊長為2(a-4)-4=(2a-12)cm,
∴三角形的周長為a+a-4+2a-12=(4a-16)cm.
(2)當a=10時,三角形的一條邊長為10 cm,
第二條邊為10-4=6(cm),
第三條邊為2×10-12=8(cm),
∴三角形的三條邊長分別為10 cm,6 cm,8 cm.
∵62+82=36+64=100=102,
∴這個三角形為直角三角形,
∴當a=10時,這個三角形為直角三角形.
2.(1)由題意知b2=c2-a2
=(n+8)2-(n+7)2
=2n+15,
則b=.
符合題意的最小的b的值為5.
提示:∵n為正整數,∴當n=5時,b===5.
(2)2n,n2-1,n2+1是勾股數.
理由:由題意可知n2+1>2n,n2+1>n2-1,
則(2n)2+(n2-1)2=4n2+n4-2n2+1
=n4+2n2+1
=(n2+1)2,
∴2n,n2-1,n2+1是勾股數.
類型二　三角函數的應用
例“測角儀”方案:∵CD⊥BD,AB⊥BD,
∴四邊形CDBF是矩形,
∴CF=BD=10 m,BF=CD=1.6 m.
∵∠ACF=32.5°,
∴AF=CF·tan 32.5°≈10×0.64=6.4(m),
∴AB=AF+BF≈6.4+1.6=8(m).
答:樹AB的高度為8 m.
“平面鏡”方案:∵CD⊥BD,AB⊥BD,
∴∠CDE=∠ABE=90°.
∵∠CED=∠AEB,
∴△CDE∽△ABE,
∴=,
∴=,
∴AB=8 m.
答:樹AB的高度為8 m.
變式訓練
(1)∵四邊形PQMN是矩形,
∴∠Q=∠P=90°.
在Rt△ABQ中,∠ABQ=60°,AB=5.4 m,
則AQ=AB·sin ∠ABQ=(m),∠QAB=30°.
∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD=BC,∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠BCE=90°,
∴∠CBE=30°,
∴BC==(m),
∴AD= m.
∵∠PAD=180°-30°-90°=60°,
∴AP=AD·cos ∠PAD=(m),
∴PQ=AP+AQ=≈6.1(m).
(2)在Rt△BCE中,BE==3.2(m),
在Rt△ABQ中,BQ=AB·cos ∠ABQ=2.7(m).
∵該充電站有20個停車位,
∴QM=QB+20BE=66.7(m).
∵四邊形PQMN是矩形,
∴PN=QM=66.7 m.

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