資源簡介

專題二　圖形(三角形、四邊形)的變化
(6年6考)
　　三角形、四邊形綜合題近年考查次數較多,難度較大,以點、線運動為背景,綜合考查幾何推理與計算.主要考查運用圖形的變換、全等、相似等解決綜合問題,難點是審題和分析思路.預測2025年仍會延續這一特點.
類型一　旋轉問題
(6年2考,2023.T26,2021.T26)
(2024·泰安)如圖1,在等腰Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=CB,點D,E分別在AB,CB上,DB=EB,連接AE,CD,取AE的中點F,連接BF.
(1)求證:CD=2BF,CD⊥BF.
(2)將△DBE繞點B順時針旋轉到圖2的位置.
①請直接寫出BF與CD的位置關系:　　　　.
②求證:CD=2BF.
第(1)小問
證明△ABE≌△CBD
↓
∠FAB=∠BCD,AE=CD
↓
CD=AE=2BF=2AF
↓
∠DCB=∠DBF
↓
∠DCB+∠FBC=90°
↓
CD⊥BF
第(2)小問①
證明△AGB≌△BDC
↓
∠ABG=∠BCD=∠BAN
　　　　　　
8字模型
∠ABC=∠ANC=90°
↓
得出結論
第(2)小問②
證明△AGF≌△EBF
↓
證明△AGB≌△BDC
↓
得出結論
　　　　　　　　四線共點,兩兩相等,夾角相等
(原創)如圖1,在正方形ABCD中,AB=2,點E在DA的延長線上,且AE=1,F是AB的中點.
(1)將△AEF沿AD方向平移,直到點A與點D重合時,停止平移,設△AEF與正方形ABCD重疊部分的面積為y,平移的距離為x,求y與x的函數關系式,并寫出自變量的取值范圍.
(2)當點A與點D重合時,將△DEF繞點D順時針旋轉α(0°<α≤90°)得到△DE'F',射線CF',AE'相交于點H.
①求證:△DCF'≌△DAE'.
②如圖2,在△DEF的旋轉過程中,N為AD的中點,當點F'恰好落線段CN上時,求AH的長.
③在旋轉的過程中,直接寫出BF'的最小值.
類型二　平移問題
(2022.T26)
(原創)問題情境:如圖1,在四邊形ABCD中,AB=10,BC=8,AD⊥CD,對角線AC⊥BC,過點C作CE⊥AB,垂足為E,已知CD=CE.
(1)試判斷線段AD與AE的數量關系,并證明.
操作探究:將△ACD沿直線AB向右平移,點A,C,D的對應點分別為點A',C',D'.
(2)①如圖2,當點A'與點E重合時,連接DD',試判斷四邊形AED'D的形狀,說明理由,并求出此時△ACD平移的距離;
②當點D'恰好落在邊BC上時,請在圖1中畫出平移后的△A'C'D',并求出此時△ACD平移的距離.
拓展創新:
(3)如圖3,在(2)①的條件下,將△A'C'D'繞點E旋轉,在旋轉的過程中,記C'D'所在直線與邊BC交于點M,與邊AB交于點N,當BN=MN時,請直接寫出BN的長度.
第(1)小問
證明△ACD≌△ACE
↓
AD與AE的數量關系
第(2)小問①
平移
↓
AD=AD',AD∥AD'
↓
確認四邊形AED'D的形狀
↓
運用勾股定理求AC
↓
證明△ACE∽△ABC
↓
由對應邊成比例求AE
第(2)小問②
平移
↓
AC∥A'C',AD=A'D'
↓
A'C'⊥BC
↓
A'B=A'D'
↓
求出A'A
第(3)小問
證明NE=NC'
↓
求出BE
↓
運用勾股定理求NE
↓
求出BN
(原創)如圖1,正方形A'B'C'D與斜邊為BC的Rt△ABC按如圖所示的方式放在同一平面內,使點A'與點A重合,點D在BC上,BC∥A'C',其中AC=A'C'=6.正方形A'B'C'D固定不動.
(1)求A'D的長和∠C的度數.
(2)將△BAC繞點A按順時針方向旋轉,當AC與A'C'重合后,立刻沿射線A'C'方向平移,點D在BC邊上時停止.
①求邊AB旋轉結束時掃過的面積;
②求平移結束時,正方形A'B'C'D與Rt△ABC重疊部分的面積S.
(3)如圖2,若將(2)中的旋轉和平移同時進行,設邊AB與邊A'D的交點為M,邊AC與邊C'D的交點為N,AM=a,AC'=AA',直接寫出在運動過程中DM2+DN2的值.(用含a,k的式子表示)
類型三　裁剪問題
(2024.T23)
(一情境多變式)小明在一次數學活動中發現,可以用一刀將下圖1所示的直角三角形紙片裁剪為兩部分,然后將這兩部分拼成一個矩形.
(1)請你直接在圖1上畫出小明的方法,并簡要說明畫法.
(2)在小明研究的基礎上,小亮又發現對任意三角形紙片而言,只要兩刀將其裁剪后,也可以拼成一個矩形,并且裁剪的方法不同,所拼成的矩形也不同.請你在圖2-1和圖2-2中畫出兩種不同的裁剪拼接方法.
(3)小敏研究完上述兩位同學的探究后發現,可以取直角梯形紙片ABCD的腰CD的中點P,過點P作PE∥AB,裁掉△PEC,并將△PEC拼接到△PFD的位置,構成新圖形.如圖3-1,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠A=90°,AD=a,BC=b,AB=c.圖3-2中矩形ABEF的面積是　　　　.(用含a,b,c的式子表示)
在特殊點處裁剪
↓
平移旋轉等變化(全等)
↓
平行四邊形(或矩形等)
　　　　　　
利用四邊
形性質
解決問題
(4)類比圖3的剪接辦法,請你就圖4和圖5中的兩種情形分別畫出剪拼成一個平行四邊形的示意圖.(注:圖4和圖5中的四邊形均為梯形)
(5)解決問題:小剛原來有一塊七巧板,形狀為平行四邊形ACDE,如圖6所示,不小心損壞了一條邊變成了五邊形ABCDE的形狀,如圖7所示,小剛現在打算將圖7中的五邊形在不改變其面積的前提下通過裁剪與拼接變成一個平行四邊形,請你幫他畫出剪接的示意圖,并說明理由.
(五育并舉)在勞動教育課上白老師帶領同學們體會分割木板的樂趣,已知三角形木板ABC的面積為48,BC的長為8.按下列步驟將三角形木板ABC進行裁剪和拼接:
第一步:如圖1,沿三角形ABC的中位線DE將木板剪成兩部分.在線段DE上任意取一點F,在線段BC上任意取一點H,沿FH將四邊形木板DBCE剪成兩部分.
第二步:如圖2,將FH左側木板繞點D旋轉180°,使線段DB與DA重合;將FH右側木板繞點E旋轉180°,使線段EC與EA重合,再與三角形木板ADE拼成一個與三角形木板ABC面積相等的四邊形木板.
(1)當點F,H在如圖2所示的位置時,請按照第二步的要求,在圖2中補全拼接成的四邊形.
(2)在按以上步驟拼成的所有四邊形木板中,其周長的最小值為　　　　.
(3)白老師將三塊不全等的平行四邊形木板拼成了一個鄰邊長為5和12的大的平行四邊形木板,然后通過裁剪又拼成了一個不重疊,無縫隙的大正方形木板(圖4),數據如圖所示,記圖3中三個小平行四邊形的中心分別為A,B,C,點A,C在圖4中的對應點記為點A1,C1,連接A1B和A1C1.當A1B=A1C1時,求MN的長.
類型四　動點問題
(6年2考,2020.T26,2019.T23)
(改編·一題多設問)如圖,在矩形ABCD中,AB=5 cm,BC=6 cm,點P從點A開始沿邊AB向終點B以1 cm/s的速度移動,點Q從點B開始沿邊BC向終點C以2 cm/s的速度移動.如果點P,Q分別從點A,B同時出發,當點Q運動到點C時,兩點停止運動.設運動時間為t(t>0)s.
(1)PB=　　　　cm,BQ=　　　　cm.(用含t的代數式表示)
(2)當t為何值時,PQ的長度等于5 cm
(3)是否存在t,使得五邊形APQCD的面積等于26 cm2 若存在,請求出此時t的值;若不存在,請說明理由.
(4)當t為何值時,五邊形APQCD的面積有最小值 最小值為多少
(5)連接AC,當t為何值時,△BPQ與△ABC相似
　　化動為靜三步策略
線、式、驗
序號 口訣 做法
1 線 根據題中動點的出發位置,移動方向和速度,用含t的式子表示線段
2 式 根據等量關系,列出式子
3 驗 檢驗解是否在動點的運動時間范圍內
　　(1)根據路程與速度的關系解決問題即可.
(2)利用勾股定理構建方程.
(3)利用分割法構建方程.
(4)利用分割法構建函數.
(5)沒有指明對應關系,所以分情況討論.
1.(原創)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,D是邊AB上一動點,以CD為邊構造正方形CDEF,且點E,F位于AB的上方,連接BE.
(1)如圖1,當AD=BD時,∠EDB=　　°.
(2)如圖2,當點E在CB上時.
①求∠EDB的度數;
②AD∶DB=　　　　.
(3)如圖3,AC=2,EB⊥AB,FE的延長線與AB的延長線交于點M.
①AD∶DB=　　　　;
②求四邊形AMFC的面積.
　　　圖1　 　　　 　圖2　 　　　　圖3
2.(原創)如圖,在 ABCD中,BC=8,S ABCD=24,tan A=,M是BC的中點.點P從點M出發沿MB以每秒1個單位長度的速度向點B勻速運動,到達點B后立刻以原速度沿BM返回;點Q從點M出發以每秒1個單位長度的速度在射線MC上勻速運動.在點P,Q的運動過程中,以PQ為邊作等邊△EPQ,使它和 ABCD在射線BC的同側,點P,Q同時出發,點P返回到點M時終止運動,點Q也隨之停止運動,設點P,Q運動時間是t(t>0)秒.
(1)①當t=1秒時,S△PQE=　　　　;②當t=　　　　秒時,點E剛好落在邊AD上.
(2)當PM=2時,求△EPQ與 ABCD重疊部分的面積.
　　　　　　　　　　(備用圖)
參考答案
類型一　旋轉問題
例(1)證明∵AB=BC,∠ABE=∠CBD,BE=BD,
∴△ABE≌△CBD(SAS),
∴AE=CD,∠FAB=∠BCD.
∵F是Rt△ABE斜邊AE的中點,
∴AE=2BF,
∴CD=2BF.
∵BF=AE=AF,
∴∠FAB=∠FBA,
∴∠FBA=∠BCD.
∵∠FBA+∠FBC=90°,
∴∠FBC+∠BCD=90°.
∴BF⊥CD.
(2)①BF⊥CD.
提示:如圖1,延長BF到點G,使FG=BF,連接AG.延長EB到點M,使BM=BE,連接AM并延長交CD于點N.
證△AGB≌△BDC(具體證法過程跟②一樣).
∴∠ABG=∠BCD.
∵F是AE的中點,B是EM的中點,
∴BF是△AEM中位線,
∴BF∥AN,
∴∠ABG=∠BAN=∠BCD,
∴∠ABC=∠ANC=90°,
∴AN⊥CD.
∵BF∥AN,
∴BF⊥CD.
②證明:如圖2,延長BF到點G,使FG=BF,連接AG.
∵AF=EF,FG=BF,∠AFG=∠EFB,
∴△AGF≌△EBF(SAS),
∴∠FAG=∠FEB,AG=BE,
∴AG∥BE,
∴∠GAB+∠ABE=180°.
∵∠ABC=∠EBD=90°,
∴∠ABE+∠DBC=180°,
∴∠GAB=∠DBC.
∵BE=BD,
∴AG=BD.
∵AG=BD,∠GAB=∠DBC,AB=CB,
∴△AGB≌△BDC(SAS),
∴CD=BG.
∵BG=2BF,
∴CD=2BF.
變式訓練
(1)∵四邊形ABCD是正方形,∴∠DAB=90°.
∵F是AB的中點,∴AF=1.
∵AE=AF=1,∴△AEF是等腰直角三角形.
如圖1,AB與EF交于點M,由題意可得AA'=x,當0重合部分的面積為y=S△A'EF-S△AME=×1×1-(1-x)2=-x2+x;
如圖2,當1綜上所述,y與x的函數關系式為
y=
(2)①證明:∵△DEF繞點D順時針旋轉α(0°<α≤90°)得到△DE'F',
∴∠E'DF'=∠CDA=90°,DF'=DE',
∴∠CDF'=∠CDA-∠ADF'=∠E'DF'-∠ADF'
=∠ADE'.
又∵CD=DA,∴△DCF'≌△DAE'(SAS).
②如圖3,由題意可得DA=DC=2,DF'=DE'=1.
∵N為AD的中點,∴AN=DN=1,∴CN==.
由①可知△DCF'≌△DAE',∴∠DCF'=∠DAE'.
又∵∠DNC=∠ANH,∴△CDN∽△AHN,
∴=,即=,解得AH=.
③2-1.
提示:如圖3,在旋轉的過程中,點F'在以D為圓心,1為半徑的圓上.∵BD=2,∴BF'的最小值為2-1.
類型二　平移問題
例(1)AD=AE.
證明:∵AD⊥CD,CE⊥AB,
∴∠D=∠CEA=90°.
在Rt△ACD與Rt△ACE中,
∴Rt△ACD≌Rt△ACE(HL),
∴AD=AE.
(2)①四邊形AED'D是菱形.
理由:由平移的性質可知AD∥A'D',且AD=A'D',
點A'與點E重合,∴四邊形AED'D是平行四邊形.
由(1)可知AD=AE,
∴四邊形AED'D是菱形.
在Rt△ABC中,∵AB=10,BC=8,AC⊥BC,
∴根據勾股定理,得AC===6.
∵∠CAE=∠BAC,∠AEC=∠ACB=90°,
∴△ACE∽△ABC,
∴=,
∴AE===,
∴△ACD平移的距離為.
②如圖,過點D作DD'∥AB,交BC于點D',過點D'作D'A'∥DA,交AB于點A',過點D'作D'C'∥DC,過點A'作A'C'∥AC,D'C'交A'C'于點C',則△A'C'D'即所求.
由平移的性質可知,∠3=∠4,AC∥A'C',AD=A'D',
∴∠1=∠2.
∵AC⊥BC,
∴A'C'⊥BC.
由(1)知∠2=∠3,
∴∠1=∠4,
∴∠B=∠5,
∴A'B=A'D'.
由①可知AD=AE=A'D'=A'B=,
∴A'A=AB-A'B=10-=,
∴此時△ACD平移的距離為.
(3).
提示:當BN=MN時,∠B=∠NMB.
∵∠C'=∠B,∠MNB=∠ENC',
∴∠C'=∠NEC'=∠NMB=∠B,
∴NE=NC'.
由(2)知ED'=AD=AE=,EC'=AC=6,
∴EB=AB-AE=.
又∵BC=8,∴D'C'=DC=EC=.
設NE=NC'=x,則D'N=-x,
在Rt△D'EN中,根據勾股定理,得2+-x2=x2,
解得x=,
∴BN=EB-NE=-=.
變式訓練
(1)如圖1,過點A作AH⊥BC于點H,
在正方形A'B'C'D中,∠A'DC'=90°,
∠DA'C'=45°,A'C'=6,∴A'D=3.
∵BC∥A'C',∴∠HDA'=∠DA'C'=45°,∴AH=3.
在Rt△AHC中,AC=6,sin C==,∴∠C=30°.
(2)①如圖2,邊AB旋轉結束掃過的面積為扇形ABB1的面積.
∵BC∥A'C',∴旋轉角∠B1AB=∠C'AC=∠C=30°.
在Rt△ABC中,∵AC=6,∠ACB=30°,∴AB=2,
∴扇形ABB1的面積為=π.
②如圖3,設AB交A'D于點P,∴△A'AP是等腰直角三角形,AA'=AP.過點D作DE⊥AC于點E.
在Rt△C'DE中,∠DC'E=45°,DC'=A'D=3,
∴C'E=DE=3.
在Rt△ECD中,∵∠C=30°,∴CE=DE=3,
∴平移距離為AA'=CC'=CE-C'E=3-3,
∴S=S△A'DC'-S△A'AP=×6×3-×(3-3)2=9-9.
(3)DM2+DN2=(k+1)a2.
提示:如圖4,連接MN,過點A作AF⊥A'C'交A'D于點F,則△A'AF為等腰直角三角形,
∴AF=A'A.∵AC'=AA',
∴AC'=AF,∴AC'∶AF=.
∵∠MAF+∠FAN=90°,∠NAC'+∠FAN=90°,
∴∠MAF=∠NAC'.
∵∠A'FA=∠DC'A'=45°,∴△NAC'∽△MAF.
∴AC'∶AF=AN∶AM=.
∵AM=a,∴AN=AM=a.
在Rt△AMN中,MN2=AM2+AN2=a2+(a)2=(k+1)a2.
在Rt△DMN中,DM2+DN2=MN2=(k+1)a2.
類型三　裁剪問題
例(1)如圖1,將直角△ABC紙片從中位線DE處剪開成兩部分,然后將第1部分放在第3部分的位置上,拼成矩形DFBC.
(2)如圖2,裁剪方法1,得矩形CBFE.
如圖3,裁剪方法2,得矩形DNFE.
(3).
(4)如圖4所示.
(5)裁剪方式如圖5所示,其中點Q和T分別為AB和BC的中點,WF∥DE,將第1部分拼接到第2部分的位置,將第4部分拼接到第3部分的位置.
理由:如圖5,過點B作HZ∥AE.
∵Q,T分別是AB,BC中點,
∴△AVQ≌△BSQ,
△SBT≌△GCT,
∴符合要求.
變式訓練
(1)補全的圖形如圖所示:
(2)28.
提示:∵△ABC的面積是48,BC=8,∴點A到BC的距離為12.∵DE是△ABC的中位線,∴平行線DE與BC間的距離為6,由題意知四邊形F'H'H''F''是平行四邊形,∴ F'H'H''F''的周長為2F'F''+2F'H'=4DE+2FH=2BC+2FH=16+2FH.∵拼成的所有四邊形紙片中,其周長最小時,FH最小,即FH⊥BC時,四邊形紙片的周長最小,∴FH=6,∴周長的最小值為16+2×6=28.
(3)如圖2,設直線AB交ZM于點R,交QH于點W,交EF于點J.作FV⊥LE,交直線AB于點D,設NE=2a,BW=x.
由題意可知,△YLZ是直角三角形,
∴LZ==3,
∴PZ=LZ=3.
∵四邊形PKQL是正方形,
∴PL=LQ=QK=PK=ZH=6,
∴HF=WD=QV=2,QE=6,
∴VE=4.
∵FD=DV,FJ=JE,
∴DJ為△FVE的中位線,
∴DJ=VE=2,
∴WJ=WD+DJ=4.
∵ME=8,
∴BC=4=WJ,
∴BW=CJ.
∵CJ=NE=a,
∴a=x.
∴A1C1=QE-WC=6-(4-a)=2+a,A1B=.
∵A1C1=A1B,
∴(2+a)2=a2+32,
∴a=,
∴NE=2a=,
∴MN=8-=.
類型四　動點問題
例
(1)(5-t);2t.
(2)由題意,得(5-t)2+(2t)2=25,解得t1=0(不合題意,舍去),t2=2.
∴當t=2 s時,PQ的長度等于5 cm.
(3)存在,當t=1 s時,五邊形APQCD的面積等于26 cm2.理由如下:
(5-t)×2t×=30-26,解得t1=4(不合題意,舍去),t2=1.
∴當t=1 s時,五邊形APQCD的面積等于26 cm2.
(4)設五邊形APQCD的面積為S.
∵S矩形ABCD=6×5=30(cm2),S△PBQ=×(5-t)×2t=5t-t2,
∴S=S矩形ABCD-S△PBQ=30-(5t-t2)=t2-5t+30=t-2+,當t= s時,五邊形APQCD的面積取得最小值,最小值為 cm2.
(5)分兩種情況,當△BPQ∽△BAC時,BP∶BA=BQ∶BC,即=,解得t=;
當△BPQ∽△BCA時,BP∶BC=BQ∶BA,即=,解得t=.
∴當t為 s或 s時,△BPQ與△ABC相似.
變式訓練
1.(1)30.
(2)①∵四邊形CDEF為正方形,∴∠CED=45°.
∵∠B=30°,∴∠EDB=15°.
②.
(3)①.
②如圖,過點C作CN⊥AB,N為垂足.
∵AC=2,∠A=60°,∴AN=1,CN=.
易證Rt△CDN≌Rt△DEB,∴CN=BD=,
∴DN=AB-AN-BD=3-,
∴BE=DN=3-.
又∵EB⊥AB,∴易證△EBM∽△DBE,
∴=,
∴BM==,
∴BM=4-6,
∴S四邊形AMFC=S△ACD+S正方形CDEF+S△EDM=(4-)×+(3-)2+()2+(5-6)×(3-)=.
2.(1)如圖1,①當t=1秒時,據題意知M是PQ的中點,△EPQ是等邊三角形,連接EM,
圖1
∴∠EPQ=60°,EM⊥BC,MP=MQ=1,EP=PQ=EQ=2.∴EM=EP·sin 60°=.
∴S△PQE=PQ·EM=.
②如圖2,過點B作BF⊥AD于點F,連接EM.
圖2
∵M是BC的中點,△EPQ是等邊三角形,
∴∠EPQ=60°,EM⊥BC.
∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴BF=EM.
∵S ABCD=BC·BF=24,∴BF=EM=3,
∴PM=QM=3,∴t==3.
故答案為①;②3.
(2)當點P未返回時,如圖3,連接EM,PQ=2PM=4,EM=PM=2,
∴S重疊部分=S△EPQ=PQ·ME=4;
當點P返回時,如圖4,EP交AD于點H,過點E作EN⊥BC,作DN'⊥BC,此時t=6,∴MQ=6,
∴PQ=PM+MQ=8,PN=PQ=4,
∴EN=PN=4.易知DK=3,CN=PM+MC-PN=2+4-4=2.
∵∠BCD=∠A,∴tan∠BCD==,
∴CN'=2=CN,∴N與N'重合.
∵∠EHD=∠EPN,∠HED=∠PEN,∴△EHD∽△EPN,∴==,
∴HD=1,∴S重疊部分=×(6+1)×3=.
∴△EPQ與 ABCD重疊部分的面積為4或.

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