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第4節　一元一次不等式(組)及其應用
(6年6考,3~9分)
　　一元一次不等式(組)的解法在選擇題中偶爾單獨考查,更多是在數學情境或現實情境中,通過不等量關系列不等式求未知數的取值范圍或最大值、最小值、整數值等特殊值.會與有理數的運算、函數、統計等知識綜合,這一特點在2025年的中考仍將作為工具性內容加以考查,可能與函數或統計等實際應用問題相結合,但按照課標要求不會有列不等式組解決實際問題的題目.
回歸教材·過基礎——河北中考核心考點梳理
【知識體系】
【考點清單】
考點1不等式及其基本性質
不等式的相關概念1.不等式:用不等號(>,≥,<,≤或≠)表示不等關系的式子. 2.不等式的解:使不等式成立的未知數的值. 3.不等式的解集:使不等式成立的未知數的取值范圍
不等式的基本性質性質1:如果a>b,那么 a±c>b±c. 性質2:如果a>b,c①　　　　0,那么ac>bc,>. 性質3:如果a>b,c②　　　　0,那么ac考點2一元一次不等式
定義用不等號連接,含有一個未知數,并且含有未知數項的次數都是1的,左右兩邊為整式的式子叫作一元一次不等式
解法及解集表示 步驟:去分母;去括號;③　　　　;合并同類項;系數化為1
解集在數軸上表示:
1.方向:小于向左,大于向右. 2.邊界:“≥”“≤”用實心圓點,“>”“<”用空心圓圈
考點3一元一次不等式組的定義及其解法　(輪考點)
定義由幾個含有同一個未知數的一元一次不等式合在一起,就組成一個一元一次不等式組
解法先分別求出各個不等式的解集,再求出各個解集的公共部分
不等式組 解集的類型 假設a④　　　　 同大取大
⑤　　　　 同小取小
⑥　　　　 大小小大中間找
⑦　　　　 大大小小無處找
【基礎演練】
1.“x與5的差的一半是正數”,用不等式可表示為 (　　)
A.x->0 B.>0
C.≥0 D.-5≥0
2.(冀教七下P125習題第1題(1)變式)不等式3x-9≤0的解集在數軸上表示正確的是 (　　)
A. B.
C. D.
3.某同學在解不等式組的過程中,畫的數軸(如圖)除不完整外,沒有其他問題,則他解的不等式組可能是 (　　)
A. B.
C. D.
4.已知實數a,b滿足a>b-1,則下列結論正確的是 (　　)
A.a>b B.aC.a+2>b+1 D.a+25.(人教七下P130第2題(4)變式)不等式組的正整數解有 (　　)
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
真題精粹·重變式——河北6年真題精選及拓展
考向1不等式的性質　(6年1考)
1.(2023·河北3題3分)已知a>b,則一定有-4a□-4b,“□”中應填的符號是 (　　)
A.> B.< C.≥ D.=
考向2解一元一次不等式(組)及其解集表示　(6年3考)
2.(2024·河北4題3分)下列數中,能使不等式5x-1<6成立的x的值為 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
3.(2024·河北20題9分)整式3-m的值為P.
(1)當m=2時,求P的值.
(2)若P的取值范圍如圖所示,求m的負整數值.
4.(2023·河北20題8分)已知兩個有理數:-9和5.
(1)計算:.
(2)若再添一個負整數m,且-9,5與m這三個數的平均數仍小于m,求m的值.
考向3一元一次不等式的實際應用　
(6年2考)
5.(2024·河北4題3分)語句“x的與x的和不超過5”可以表示為 (　　)
A.+x≤5 B.+x≥5
C.≤5 D.+x=5
6.(2023·河北21題9分)已知訓練場球筐中有A,B兩種品牌的乒乓球共101個,設A品牌的乒乓球有x個.
(1)淇淇說:“筐里B品牌的乒乓球的數量是A品牌的乒乓球的兩倍.”嘉嘉根據她的說法列出了方程:101-x=2x.請用嘉嘉所列方程分析淇淇的說法是否正確.
(2)據工作人員透露,B品牌的乒乓球的數量比A品牌的乒乓球至少多28個,試通過列不等式的方法說明A品牌的乒乓球最多有幾個.
核心突破·拓思維——學科核心素養提升
題型1　利用不等式(組)求整數解
已知多項式P=(x+2)2+x(1-x)-9(x為整數).
(1)試說明:多項式P能被5整除.
(2)若P對應的數在數軸上的表示如圖所示,求滿足條件的所有整數x的和.
　　用兩個相同方向的不等號連接的不等式組的兩種解法
　　一元一次不等式組的解法不是河北省的必考知識點,考查難度通常不大.在選擇題中出現的不等式組比較簡單,在解答題中不會單獨考查,有時與其他知識相結合,作為數學工具確定取值范圍或特殊值,尤其是整數值.
如圖,這是一道關于整式運算的例題及正確的解答過程,其中A,B是兩個關于x的二項式.
(1)直接寫出二項式A和B,并求出該題目的最后運算結果.
(2)若A例題:先去括號,再合并同類項.
　　　　2(A)-3(B)
解:原式=4x-6-9x-15
=　　　　.
題型2　說理決策型問題
空地上有一段長為a米的舊墻MN,工人師傅欲利用舊墻和木欄圍成一個封閉的矩形菜園(如圖),已知木欄總長為40米,所圍成的菜園面積為S平方米.若a=18,S=196,則 (　　)
A.有一種圍法
B.有兩種圍法
C.不能圍成菜園
D.無法確定有幾種圍法
　　(1)根據整式的乘法法則求出A,B即可,再根據整式的運算法則求出最后結果.
(2)先列出不等式,再求出不等式的解集,最后求出最小整數解即可.
參考答案
考點清單
①>　②<　③移項　④x≥b　⑤x≤a　⑥a≤x≤b　⑦無解
基礎演練
1.B　2.C　3.B　4.C　5.C
真題精粹·重變式
1.B　2.A
3.(1)根據題意,得P=3×-2=3×-=-5.
(2)由數軸知,P≤7,
即3-m≤7,
解得m≥-2.
∵m為負整數,
∴m=-1或m=-2.
4.(1)==-2.
(2)根據題意,得∴-4+m<3m,
∴m-3m<4,
∴-2m<4,
∴m>-2.
∵m是負整數,
∴m=-1.
5.A
6.(1)嘉嘉所列方程為101-x=2x,
解得x=33.
又∵x為整數,
∴x=33不合題意,
∴淇淇的說法不正確.
(2)設A品牌的乒乓球有x個,則B品牌的乒乓球有(101-x)個,
依題意得101-x-x≥28,
解得x≤36.
又∵x為整數,
∴x可取的最大值為36.
答:A品牌的乒乓球最多有36個.
核心突破·拓思維
例1
(1)P=(x+2)2+x(1-x)-9
=x2+4x+4+x-x2-9
=5x-5
=5(x-1).
∵x為整數,
∴多項式P能被5整除.
(2)由題意得-20≤5(x-1)≤40,
∴-4≤x-1≤8,即-3≤x≤9,
滿足條件的所有整數x的值為-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,
∴滿足條件的所有整數x的和為-3-2-1+0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=39.
變式訓練
(1)A=(4x-6)÷2=2x-3,B=(-9x-15)÷(-3)=3x+5.
2(2x-3)-3(3x+5)
=4x-6-9x-15
=-5x-21.
(2)∵A∴2x-3<3x+5,
∴2x-3x<5+3,
∴-x<8,
∴x>-8,
∴x的最小整數解是-7.
例2　A
提示:如圖,設矩形ABCD的邊AB為x米,則寬BC為(40-2x)米,
根據題意得(40-2x)x=196,
即-2x2+40x=196,
解得x1=10+,x2=10-,
而40-2x≤18,∴x≥11,∴x=10+,
所以只有一種圍法.故選A.