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第3節　一元二次方程及其應用
(6年3考,2~3分)
　　一元二次方程是河北省中考的必考內容,在選擇題或填空題中,單獨考查的知識點主要是根的判別式,有時考查解法;在解答題中一般不會單獨考查,而是與二次函數、勾股定理等代數或幾何知識綜合解決實際問題和數學問題.預測這些命題趨勢會延伸到2025年的中考試卷上.
回歸教材·過基礎——河北中考核心考點梳理
【知識體系】
【考點清單】
考點1一元二次方程及其解法
一元二次方程的概念 定義 只含有一個未知數,并且未知數的最高次數是2的整式方程
一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0),其中ax2、bx、c分別叫作二次項、一次項、常數項,a、b分別稱為二次項系數、一次項系數
一元二次方程的解法 直接開平方法 1.當方程缺少一次項時,即方程ax2+c=0(a≠0,ac<0). 2.形如(x+m)2=n(n≥0)的方程. 【溫馨提示】以上情況可直接開平方求解,開方后取正負兩個值
配方法 當一元二次方程的二次項系數為1,一次項系數為偶數時,適用配方法解方程
公式法 一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式為x=(b2-4ac≥0). 【溫馨提示】應用公式法的前提條件:判別式Δ≥0;等號的右邊為0
因式分解法 1.常數項為0,即方程ax2+bx=0(a≠0). 2.一元二次方程的一邊為0,另一邊易分解成兩個一次因式的乘積
考點2一元二次方程根的判別式及根與系數的關系　(輪考點)
根的判別式(1)當Δ=b2-4ac①　　　　0時,原方程有兩個不相等的實數根. (2)當Δ=b2-4ac②　　　　0時,原方程有兩個相等的實數根. (3)當Δ=b2-4ac③　　　　0時,原方程沒有實數根
根與系數的關系(1)基本關系:若關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個根分別為x1,x2,則x1+x2=④　　　　,x1x2=⑤　　　　.注意運用根與系數關系的前提條件是Δ≥0. (2)解題策略:已知一元二次方程,求關于方程兩根的代數式的值時,先把所求代數式變形為含有x1+x2,x1x2的式子,再運用根與系數的關系求解
考點3一元二次方程的應用
平均增長率(降低率)問題a(1±x)2=b,a表示原來的量,x表示平均增長率(降低率),b表示變化后的量
利潤問題總利潤=單件利潤×銷售數量
循環問題 (以比賽問題為例) 單循環問題 (每兩隊之間比賽一場) 設總共有x支隊伍,則x(x-1)=總的比賽場次
雙循環問題 (每兩隊之間比賽兩場) 設總共有x支隊伍,則x(x-1)=總的比賽場次
面積問題 1.直接利用相應圖形的面積公式列方程. 2.將不規則圖形通過割補或平移形成規則圖形,運用面積之間的關系列方程
【基礎演練】
1.下列方程是一元二次方程的是 (　　)
A.ax2+bx+c=0
B.2x2+3x-1=2(x2-4)
C.x2+2=0
D.4x2+=5
2.(人教九上P4習題21.1第1題(1)變式)方程3x2-2x=1的二次項系數、一次項系數、常數項分別是 (　　)
A.3,2,1 B.3,-2,1
C.3,-2,-1 D.-3,2,-1
3.(人教九上P4第7題變式)若1是關于x的方程x2+x-t=0的一個根,則t的值為 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
4.(冀教九上P39練習第1題(3)變式)用配方法解方程x2-8x+2=0,則方程可變形為 (　　)
A.(x-4)2=6 B.(x-8)2=18
C.(x-4)2=18 D.(x-4)2=14
5.(冀教九上P42習題B組第1題變式)關于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有兩個實數根,那么實數k的取值范圍是 (　　)
A.k≤1 B.k<1且k≠0
C.k≤1且k≠0 D.k≥1
6.若一元二次方程x2-3x-2=0的兩個實數根為a,b,則a-ab+b的值為　　　　.
7.用適當的方法解下列方程:
(1)(x-2)2=1;
(2)3x2+2x=2.
真題精粹·重變式——河北6年真題精選及拓展
考向1解一元二次方程　(6年2考)
1.(2024·河北9題2分)淇淇在計算正數a的平方時,誤算成a與2的積,求得的答案比正確答案小1,則a的值為 (　　)
A.1
B.-1
C.+1
D.1或+1
考向2根的判別式　(6年1考)
2.(2024·河北15題2分)小剛在解關于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)時,只抄對了a=1,b=4,解出其中一個根是x=-1.他核對時發現所抄的c比原方程的c值小2,則原方程的根的情況是 (　　)
A.不存在實數根
B.有兩個不相等的實數根
C.有一個根是x=-1
D.有兩個相等的實數根
核心突破·拓思維——學科核心素養提升
題型1　一元二次方程的解法
(2024·廊坊一模)關于y的方程y(y-2)=4(y-2),下面解法完全正確的是 (　　)
A.甲　　　　　B.乙　　　　　C.丙　　　　　D.丁
　　解一元二次方程從本質上體現了轉化思想,基本思路是一個一元二次方程的最高項由二次降為一次,從而將一元二次方程轉化為一元一次方程求解.
一元二次方程
降次↓轉化
一元一次方程
　　方程兩邊同時除以一個數(或式子)需保證該數(或式子)不為0.
某節數學課上,甲、乙、丙三位同學都在黑板上解關于x的方程x(x-1)=3(x-1),下列解法完全正確的個數為 (　　)
A.3 B.2 C.1 D.0
題型2　含有參數的一元二次方程
(2024·張家口一模)在解關于x的一元二次方程x2-2x+k=0時,嘉嘉將k的值寫成了-k,方程有兩個相等的實數根,則原方程 (　　)
A.沒有實數根
B.無法判斷根的情況
C.有兩個相等的實數根
D.有兩個不相等的實數根
　　判別式關系圖
在講解一元二次方程x2-6x+□=0時,老師故意把常數項“□”空下了,讓同學們填一個正整數,使這個一元二次方程有兩個不相等的實數根,則大家在其中所填的值可能有 (　　)
A.6個 B.8個 C.9個 D.10個
　　一元二次方程的系數(包括常數項)用字母參數表示,根據根的判別式的性質,利用根的情況求參數的值或者取值范圍.為了增加新穎性,有時用符號代替參數.
　　“□”相當于一個參數.
參考答案
考點清單
①>　②=　③<　④-　⑤
基礎演練
1.C　2.C　3.B　4.D　5.C
6.5
7.(1)∵(x-2)2=1,
∴x-2=1或x-2=-1,
解得x1=3,x2=1.
(2)∵3x2+2x=2,
∴3x2+2x-2=0,
∴a=3,b=2,c=-2,
∴Δ=b2-4ac=22-4×3×(-2)=28>0,
∴x===,
解得x1=,x2=.
真題精粹·重變式
1.C
2.A　提示:∵在關于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,a=1,b=4,且其中一個根是x=-1,
∴(-1)2-4+c=0,解得c=3,故原方程中c=5,則b2-4ac=16-4×1×5=-4<0,
則原方程的根的情況是不存在實數根.故選A.
核心突破·拓思維
例1　D
變式訓練
C
例2　D　
變式訓練　B
提示:設常數項為m.
∵一元二次方程x2-6x+m=0有兩個不相等的實數根,
∴Δ=b2-4ac=36-4×1×m=36-4m>0,∴m<9.
∵m為正整數,∴常數項有8種可能的值.故選B.

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