資源簡介

第1節　一次方程(組)及其應用
(6年3考,2~9分)
　　在河北省中考試卷上,通過列一元一次方程或二元一次方程組,解決數字問題(比如與有理數運算相結合)、應用性問題、函數或幾何問題,體現了方程的工具性和方程思想的重要性.二元一次方程組的解法主要突出消元思想,根據方程特點適當選用代入法或加減法;偶爾出現利用消元思想解決解答題中遇到的代數式變形問題.預測2025年的河北省中考會在數學情境或現實情境中考查這部分知識,解題關鍵是根據題意找到等量關系;會利用待定系數法列一次方程(組)求函數解析式.
回歸教材·過基礎——河北中考核心考點梳理
【知識體系】
【考點清單】
考點1方程(組)及其相關概念　
等式的基本性質1.性質1:等式兩邊加或減同一個數或同一個整式,所得結果仍是等式,即若a=b,則a±c=①　　　　. 2.性質2:等式兩邊同乘(或除以)同一個數(除數不能為0),所得結果仍是等式,即若a=b,則ac=②　　　　,=(c≠0). 3.性質3:(對稱性)若a=b,則b=a. 4.性質4:(傳遞性)若a=b,b=c,則a=c
方程(組)的基本概念1.一元一次方程:只含有③　　　　個未知數,并且未知數的次數是1,且等式兩邊都是整式的方程. 2.二元一次方程:含有兩個未知數,并且含有未知數的項的次數都是1的整式方程. 3.二元一次方程組:含有兩個未知數的兩個一次方程所組成的一組方程. 4.二元一次方程組的解:二元一次方程組的兩個方程的④　　　　
考點2解一元一次方程和二元一次方程組　(輪考點)
解一元一次方程的步驟1.去分母:方程兩邊同乘分母的最小公倍數,不要漏乘常數項. 2.去括號:括號外若為負號,去括號后括號內各項均要變號. 3.移項:移項要變號. 4.合并同類項:把方程化成ax=-b(a≠0)的形式. 5.系數化為1:方程兩邊同除以系數a,得到方程的解x=-
二元一次方程組的解法 思路:消元,將二元一次方程組轉化為一元一次方程
1.代入消元法:從一個方程中求出某一個未知數的表達式,再把“它”代入另一個方程,進行求解. 2.加減消元法:把兩個方程的兩邊分別相加或相減消去一個未知數的方法
考點3一次方程(組)的實際應用
列方程(組)解應用題的一般步驟1.審題:審清題意,分清題中的已知量、未知量. 2.設未知數. 3.列方程(組):找出等量關系,列方程(組). 4.解方程(組). 5.檢驗:檢驗所解答案是否正確或是否符合題意. 6.作答:規范作答,注意單位名稱
常見題型及關系式1.利潤問題:售價=標價×折扣,銷售額=售價×銷量,利潤=售價-進價,利潤率=×100%. 2.利息問題:利息=本金×利率×期數,本息和=本金+利息. 3.工程問題:工作總量=工作效率×工作時間. 4.行程問題:路程=速度×時間. (1)相遇問題:全路程=甲走的路程+乙走的路程. (2)追及問題: a.同地不同時出發:前者走的路程=追者走的路程. b.同時不同地出發:前者走的路程+兩地間距離=追者走的路程
【基礎演練】
1.(冀教七下P4練習第2題變式)若方程x+y+□z=1是二元一次方程,則“□”表示的數是 (　　)
A.-1 B.0 C.1 D.2
2.(冀教七下P4練習第3題變式)對于以下兩個方程組,下列說法正確的是 (　　)
①②
A.①是二元一次方程組
B.②是二元一次方程組
C.①②均是二元一次方程組
D.①②均不是二元一次方程組
3.下列運用等式的性質變形正確的是 (　　)
A.若x=y,則x+5=y-5
B.若a2=b2,則a=b
C.若=,則a=b
D.若ax=ay,則x=y
4.(冀教七上P153練習第1題變式)下列方程變形中,正確的是 (　　)
A.方程3x-2=2x+1,移項得3x-2x=1-2
B.方程-=1,去分母得5(x-1)-2x=10
C.方程t=,系數化為1得t=1
D.方程3-x=2-5(x-1),去括號得3-x=2-5x-1
5.方程2x+y=5的非負整數解有 (　　)
A.1組 B.2組
C.3組 D.4組
6.①④是關于x,y的二元一次方程,若組合其中的兩個,恰好是解為的二元一次方程組,則應選擇 (　　)
①x-y=-3;②2x=3y;③y=;
④+=6.
A.①③ B.②③
C.③④ D.①④
7.已知方程組和有相同的解,則a,b的值為 (　　)
A.14,2 B.4,-6
C.-6,2 D.1,2
8.若是方程x+ky=5的一組解,則k的值為　　　　.
真題精粹·重變式——河北6年真題精選及拓展
考向1等式的性質
1.(2024·河北7題3分)有三種不同質量的物體“”“”“”,其中,同一種物體的質量都相等,現左右手中同樣的盤子上都放著不同個數的物體,只有一組左右質量不相等,則該組是 (　　)
考向2解一元一次方程　(6年1考)
2.小組活動中,同學們采用接力的方式求一元一次方程的解,規則:每人只能看到前一人給的式子,并進行一步計算,再將結果傳遞給下一人,最后求出方程的解.過程 如下: 　
接力中,自己負責的一步出現錯誤的是 (　　) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
考向3解二元一次方程組
3.如圖,嘉嘉和琪琪用不同的方法解方程組兩人求x的過程正確的是 (　　) 嘉嘉
解:①×2得
2x+4y=2③,
②-③得
x=4.
　琪琪
解:由②得
x+2(x+2y)=6③,
把①代入③得
x+2=6,
x=4. A.嘉嘉正確,琪琪不正確 B.嘉嘉不正確,琪琪正確 C.兩人都正確 D.兩人都不正確
考向4一次方程(組)的實際應用　(6年3考)
4.(2024·河北15題2分)“曹沖稱象”是流傳很廣的故事.如圖,按照他的方法:先將象牽到大船上,并在船側面標記水位,再將象牽出,然后往船上抬入20塊等重的條形石,并在船上留3個搬運工,這時水位恰好到達標記位置,如果再抬入1塊同樣的條形石,船上只留1個搬運工,水位也恰好到達標記位置.已知搬運工體重均為120斤,設每塊條形石的重量是x斤,則下列選項正確的是 (　　)
A.依題意有3×120=x-120
B.依題意有20x+3×120=(20+1)x+120
C.該象的重量是5 040斤
D.每塊條形石的重量是260斤
5.(2024·河北19題3分)如圖,棋盤旁有甲、乙兩個圍棋盒.
(1)設甲盒中都是黑子,共10個,乙盒中都是白子,共8個.嘉嘉從甲盒拿出a個黑子放入乙盒,使乙盒棋子總數是甲盒所剩棋子數的2倍,則a=　　　　.
(2)設甲盒中都是黑子,共m(m>2)個,乙盒中都是白子,共2m個.嘉嘉從甲盒拿出a(16.(2023·河北20題9分)某慣性飛鏢游戲的靶盤如圖所示.珍珍玩了兩局,每局投10次飛鏢,若投到邊界則不計入次數,需重新投.計分規則如下:
在某一局中,珍珍投中A區4次,B區2次,脫靶4次.
(1)求珍珍第一局的得分.
(2)第二局,珍珍投中A區k次,B區3次,其余全部脫靶.若本局得分比第一局提高了13分,求k的值.
核心突破·拓思維——學科核心素養提升
題型1　結合數或式的運算考查一元一次方程
嘉嘉和琪琪玩圓珠游戲,如圖,三個圓珠可以在槽內左右滾動,當圓珠發生碰撞時,就得到相撞圓珠上的代數式所表示數的和y.當三個圓珠同時相撞時,不論x的值為多大,y的值總不變.
(1)求a的值.
(2)若x是一個整數,當某些圓珠相撞時,得到y的值都恰好為-1,求x的值.
題型2　運用消元思想解二元一次方程組
在解二元一次方程組時,下列方法中無法消元的是 (　　)
A.①-②
B.由①變形得x=2+2y③,將③代入②
C.①×4+②
D.由②變形得2y=4x-5③,將③代入①
　　對于一元一次方程的解法,河北省通常將其融合到其他問題中進行考查,比如放到解答題的第一題中,與數軸、有理數、整式等知識綜合考查;如果放到后面的解答題中,則通常將其作為運用待定系數法或確定取值范圍的工具.題目力求形式新穎,比如以圖示、新運算、游戲等方式呈現.
　　符合題意的圓珠相撞情況有兩種,分別是第一、二個圓珠相撞,第二、三個圓珠相撞,要分類討論解答.
　　河北省對于二元一次方程組的解法,通常在選擇題中考查消元轉化的基本步驟,在解答題中主要是用待定系數法求函數解析式.
　　解二元一次方程組的基本思路
題型3　利用方程思想建立數學模型
(1)電氣機車和磁懸浮列車從相距298千米的兩地同時出發、相對而行,磁懸浮列車的速度比電氣機車速度的5倍還快20千米/時,半小時后兩車相遇.兩車的速度各是多少
①設電氣機車的速度為x千米/時,則磁懸浮列車的速度為　　　　　千米/時.
②根據題意列方程,得　　　　　　　　　　　.
③完成后續解題步驟.
(2)一名叉車駕駛員和一名徒手搬運工一起搬運298箱貨物,叉車駕駛員每小時搬運的貨物比徒手搬運工搬運貨物的5倍還多20箱,半小時后把全部貨物搬運完畢.兩人每小時各搬運多少箱貨物
(3)嘉淇花298元購買了甲、乙兩種茶葉,甲種茶葉每千克的單價比乙種茶葉的5倍還多20元,若兩種茶葉各買了0.5千克,則甲、乙兩種茶葉的單價分別是多少
　　河北省的中考命題中,盡量破除固定的題型模式,重視核心素養的考查,比如對于“三會”中“會用數學的語言表達現實世界”突出 “模型觀念”的考查.例題中的三個問題背景雖然不同,分別涉及速度問題、工作效率問題和購物問題,但它們都可以用同一個方程模型來刻畫,反映了模型與題型的不同價值追求.
參考答案
考點清單
①b±c　②bc　③一　④公共解
基礎演練
1.B　2.D　3.C　4.B　5.C　6.D　7.A
8.2
真題精粹·重變式
1.A　2.B　3.C　4.B
5.(1)4　(2)(m+2a)　1
提示:(1)依題意有a+8=2(10-a),解得a=4.
(2)依題意有2m+a-(m-a)=m+2a,
y=a-(a-x)=a-a+x=x,
∴==1.
6.(1)由題意可得4×3+2×1+4×(-2)=6(分).
答:珍珍第一局的得分為6分.
(2)由題意可得3k+3×1+(10-k-3)×(-2)=6+13,解得k=6.
核心突破·拓思維
例1
(1)(2x-1)+3+ax=2x-1+3+ax=(2+a)x+2.
∵當三個圓珠同時相撞時,不論x的值為多大,得到y的值總不變,
∴2+a=0,
解得a=-2.
(2)當y=2x-1+3=2x+2時,
因為y=-1,所以-1=2x+2,
解得x=-1.5(因為x為整數,舍去);
當y=3+(-2x)=-2x+3時,
因為y=-1,
所以-1=-2x+3,
解得x=2.
答:x的值為2.
例2　C
提示:①-②,可以消去y,故A不符合題意;
由①變形得x=2+2y③,將③代入②,可以消去x,故B不符合題意;
①×4+②,無法消元,故C符合題意;
由②變形得2y=4x-5③,將③代入①,可以消去y,故D不符合題意.
綜上可知,選C.
例3
(1)①(5x+20).
②[x+(5x+20)]=298 .
③去分母,得x+(5x+20)=596.
去括號,得x+5x+20=596.
移項、合并同類項,得6x=576.
系數化為1,得x=96.
所以5x+20=5×96+20=500.
答:電氣機車的速度為96千米/時,磁懸浮列車的速度為500千米/時.
(2)設徒手搬運工每小時搬運x箱貨物,則叉車駕駛員每小時搬運(5x+20)箱貨物.
根據題意列方程,得[x+(5x+20)]=298 .
解得x=96.
所以5x+20=5×96+20=500.
答:徒手搬運工每小時搬運96箱貨物,叉車駕駛員每小時搬運500箱貨物.
(3)設乙種茶葉的單價為x元/千克,則甲種茶葉的單價為(5x+20)元/千克.
根據題意列方程,得[x+(5x+20)]=298.
解得x=96.
所以5x+20=5×96+20=500.
答:甲種茶葉的單價為500元/千克,乙種茶葉的單價為96元/千克.

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