資源簡介

第7節　二次函數的實際應用
(6年3考,9~10分)
　　二次函數的實際應用問題中,所采用的情境多元化,盡量避免模式化、不真實等現象,以拋物線形式出現的問題近年較多.解題時要充分利用數形結合思想,準確把握二次函數的性質以及二次函數與一元二次方程等相關知識的聯系和轉化.預測2025年的河北省中考試題中,二次函數的實際應用或圖象性質中必有一道解答題,分值較重,10分左右.
真題精粹·重變式——河北6年真題精選及拓展
考向1拋物線型實際問題　(6年2考)
1.(2023·河北23題10分)嘉嘉和淇淇在玩沙包游戲.某同學借此情境編制了一道數學題,請解答這道題.
如圖,在平面直角坐標系中,一個單位長度代表1 m長.嘉嘉在點A(6,1)處將沙包(看成點)拋出,其運動路線為拋物線C1:y=a(x-3)2+2 的一部分,淇淇恰在點B(0,c)處接住,然后跳起將沙包回傳,其運動路線為拋物線C2:y=-x2+x+c+1的一部分.
(1)寫出C1的最高點坐標,并求a,c的值.
(2)若嘉嘉在x軸上方1 m的高度上,且到點A水平距離不超過1 m的范圍內可以接到沙包,求符合條件的n的整數值.
考向2文字、表格型二次函數實際問題　(6年1考)
2.(2023·河北23題9分)用承重指數W衡量水平放置的長方體木板的最大承重量.實驗室有一些同材質同長同寬而厚度不一的木板,實驗發現:木板承重指數W與木板厚度x(單位:厘米)的平方成正比,當x=3時,W=3.
(1)求W與x的函數關系式.
(2)如圖,選一塊厚度為6厘米的木板,把它分割成與原來同長同寬但薄厚不同的兩塊板(不計分割損耗).設薄板的厚度為x(單位:厘米),Q=W厚-W薄.
①求Q與x的函數關系式;
②x為何值時,Q是W薄的3倍 (注:(1)及(2)中的①不必寫x的取值范圍)
核心突破·拓思維——學科核心素養提升
題型1　拋物線型實際問題
(2024·唐山一模)為了給觀光綠化帶澆水,擬安裝一排噴水口,噴水口噴水的橫截面如圖所示,該噴水口H離地豎直高度OH為1.5 m.可以把噴出水的上、下邊緣抽象為兩條拋物線的部分圖象;把綠化帶橫截面抽象為矩形DEFG,其中DE=2 m,EF=0.5 m.其下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到,上邊拋物線最高點A離噴水口的水平距離為2 m,高出噴水口0.5 m,噴水口到綠化帶的水平距離OD為d(單位:m).
(1)求上邊緣拋物線的解析式,并求噴出水的最大射程OC.
(2)通過計算求點B的坐標.
(3)綠化帶右側(圖中點E的右側)1 m外是人行道,要使噴出的水能澆灌到整個綠化帶,同時不會淋濕行人,直接寫出d的取值范圍.
(1)由題意得上邊緣拋物線頂點A的坐標,故用頂點式設其解析式
↓
把點H的坐標代入,求得解析式
↓
拋物線與x軸的正半軸交點橫坐標即OC的長度
↓
(2)由點H在上邊緣拋物線上的對稱點,判斷拋物線平移的距離
↓
求得下邊緣拋物線解析式
↓
取y=0,求得x的正值,即得點B的橫坐標
↓
(3)要使噴出的水能澆灌到整個綠化帶,則上邊緣拋物線恰好經過點F
↓
不會淋濕行人,則上邊緣拋物線恰好經過人行道的左邊緣
↓
求出兩個臨界點對應的d的值
↓
根據圖象性質得到d的取值范圍
題型2　文字、表格型二次函數實際問題
(2024·石家莊模擬)圖1是矩形電子屏中某光點P的運動軌跡示意圖,光點從屏邊緣點A處發出,運行路線近似拋物線的一部分,光點到底部的豎直高度記為y,光點運行的水平距離記為x,測得如下數據:
水平距離x 0 1 2 4
豎直高度y 2 3 3 0
(1)觀察表格,直接寫出拋物線的頂點坐標.
(2)求滿足條件的拋物線解析式.
(3)如圖2,電子屏長OB為6,中間位置CD為一擋板,擋板高為3,當光點擊中底部邊緣OB時,擋板CD就會發光.如果只改變光點P的初始高度OA(光點的運行軌跡只發生上下平移),當光點既能跨過擋板,又能擊中邊緣OB時,請計算OA的取值范圍.
圖1　　　　　　　　　圖2
　　二次函數應用“六步走”
序號 步驟 做法
1 審 審清題意并找出變量之間的等量關系
2 列 根據等量關系或圖象特征列出二次函數解析式
3 定 確定二次函數的頂點坐標和對稱軸
4 求 根據二次函數性質求解
5 驗 檢驗結果的實際意義
6 答 寫出問題的答案
(1)由表中相等的y值,推斷拋物線的對稱軸與頂點坐標
↓
(2)設拋物線的配方式,選取表中數據求解析式
↓
(3)在(2)中解析式后再加上一個字母常數
↓
分別代入點D與點B的坐標,求得新解析式的常數項
↓
得OA的兩個臨界點,得到OA的取值范圍
參考答案
真題精粹·重變式
1.(1)∵拋物線C1:y=a(x-3)2+2,
∴C1的最高點坐標為(3,2).
∵點A(6,1)在拋物線C1:y=a(x-3)2+2上,
∴1=a(6-3)2+2,
∴a=-,
∴拋物線C1:y=-(x-3)2+2,
當x=0時,c=1.
(2)∵嘉嘉在x軸上方1 m的高度上,且到點A水平距離不超過1 m的范圍內可以接到沙包,
∴嘉嘉可以接到沙包的坐標范圍是(5,1)~(7,1),
當C2經過點(5,1)時,1=-×25+×5+1+1,
解得n=,
當C2經過點(7,1)時,1=-×49+×7+1+1,
解得n=,
∴≤n≤.
∵n為整數,
∴符合條件的n的整數值為4和5.
2.(1)設W=kx2(k≠0).
∵當x=3時,W=3,
∴3=9k,解得k=,
∴W與x的函數關系式為W=x2.
(2)①設薄板的厚度為x厘米,則厚板的厚度為(6-x)厘米,
∴Q=W厚-W薄=(6-x)2-x2=-4x+12,
即Q與x的函數關系式為Q=-4x+12.
②∵Q是W薄的3倍,
∴-4x+12=3×x2,
整理得x2+4x-12=0,
解得x1=2,x2=-6(不合題意,舍去),
∴當x=2時,Q是W薄的3倍.
核心突破·拓思維
例1(1)由題意得拋物線的頂點A的坐標為(2,2),
∴設上邊緣的拋物線解析式為y=a(x-2)2+2.
∵經過點H(0,1.5),
∴4a+2=1.5,
解得a=-,
∴上邊緣的拋物線解析式為y=-(x-2)2+2.
當y=0時,0=-(x-2)2+2.
(x-2)2=16,解得x1=6,x2=-2.
∵點C在x軸正半軸,
∴C(6,0),
∴噴出水的最大射程OC長6 m.
(2)∵點H(0,1.5)關于上邊緣拋物線對稱軸對稱點的坐標為(4,1.5),
∴下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移4個單位長度得到,
∴下邊緣的拋物線解析式為y=-(x-2+4)2+2=-(x+2)2+2.
當y=0時,0=-(x+2)2+2,
解得x1=-6,x2=2.
∵點B在x軸的正半軸,
∴點B的坐標為(2,0).
(3)由題意得點F的縱坐標為0.5.
若上邊緣拋物線恰好經過點F,則0.5=-(x-2)2+2,
(x-2)2=12,
解得x1=2+2,x2=2-2.
∵點F在第一象限,
∴x=2+2,
∴點E的坐標為(2+2,0),
∴OE=(2+2)m.
∵DE=2 m,
∴OD=2 m.
若上邊緣的拋物線恰好經過人行道的左邊緣,則
0=-(d+2+1-2)2+2,
(d+1)2=16,
解得d1=3,d2=-5.
∵距離d為正數,
∴d=3.
綜上所述,d的取值范圍為3≤d≤2.
例2(1)觀察表格數據,可知當x=1和x=2時,函數值相等,
∴對稱軸為直線x==,
∴拋物線的頂點坐標為,.
(2)設拋物線解析式為y=ax-2+,
將(0,2)代入得2=a·2+,
解得a=-,
∴拋物線的解析式為y=-x-2+=-x2+x+2.
(3)當光點恰好經過點 D(3,3)時,
設拋物線的解析式為y=-x2+x+2+h,
由-×32+×3+2+h=3,解得h=1,
∴初始高度OA=2+h=3;
當光點恰好經過點B(6,0)時,
設拋物線的解析式為y=-x2+x+2+h,
由-×62+×6+2+h=0,解得h=7,
∴初始高度OA=2+h=9,
∴OA的取值范圍為3

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