資源簡介

第4節　圖形的平移與旋轉
(6年5考,2~12分)
　　圖形的平移與旋轉屬于河北中考的高頻考查內容,偶爾以識別圖形變換和簡單計算為主,多數時候是以三角形、四邊形、圓(或半圓)為背景,在幾何探究題中結合其他知識進行考查.預測2025年河北省中考試題仍將延續這一命題特點,將圖形的平移與旋轉融入其他問題中.
回歸教材·過基礎——河北中考核心考點梳理
【知識體系】
【考點清單】
考點平移與旋轉　(常考點)
內容要素性質作圖步驟
(1)平移的方向; (2)平移的距離(1)平移前后對應線段平行(或共線)且①　　　　,對應點所連的線段②　　　　; (2)對應角分別③　　　　,且對應角的兩邊分別平行(或共線),方向一致; (3)平移變換后的圖形與原圖形④　　　　(1)確定平移方向和平移距離; (2)找出原圖形中的關鍵點; (3)按平移方向和距離平移各關鍵點; (4)按原圖形順次連接各關鍵點平移后的對應點,得到平移后的圖形
(1)旋轉中心; (2)旋轉方向; (3)旋轉角度(1)對應點到旋轉中心的距離⑤　　　　; (2)對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于⑥　　　　; (3)旋轉前后的圖形⑦　　　　(1)確定旋轉中心、旋轉方向及旋轉角度; (2)找出原圖形中的關鍵點; (3)連接關鍵點與旋轉中心,按旋轉方向與旋轉角度將它們旋轉,得到各關鍵點的對應點; (4)按原圖形順次連接各關鍵點旋轉后的對應點,得到旋轉后的圖形
【基礎演練】
1.(北師八下P78第5題變式)如圖所示的Rt△ABC向右翻滾,下列說法正確的有 (　　)
(1)① ②是旋轉;(2)① ③是平移;
(3)① ④是平移;(4)② ③是旋轉.
A.1種 B.2種 C.3種 D.4種
2.“方勝”是中國古代婦女的一種發飾,其圖案由兩個全等的正方形相疊組成,寓意是同心、吉祥.如圖,將邊長為2 cm的正方形ABCD沿對角線BD方向平移1 cm得到正方形A'B'C'D',從而形成了一個“方勝”圖案,則點D,B'之間的距離為 (　　)
A.1 cm B.2 cm
C.(-1)cm D.(2-1)cm
3.(北師八下P90第21題變式)如圖,在平面直角坐標系中,點A的坐標為(-1,),以原點O為中心,將點A順時針旋轉90°得到點A',則點A'的坐標為 (　　)
A.(1,-)
B.(-,1)
C.(0,2)
D.(,1)
4.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=70°,將Rt△ABC繞點C順時針旋轉角度α(0°<α<180°)得到Rt△A1B1C,使得A1,B1,A三點共線,則α的度數為 (　　)
A.110°
B.120°
C.130°
D.140°
真題精粹·重變式——河北6年真題精選及拓展
考向1與平移有關的證明與計算　(6年1考)
1.如圖,在平面直角坐標系中,等邊△OAB的頂點B的坐標為(2,0),點A在第一象限內,將△OAB沿直線OA的方向平移至△O'A'B'的位置,此時點A'的橫坐標為3,則點B'的坐標為 (　　) A.(4,2) B.(3,3) C.(4,3) D.(3,2)
考向2與旋轉有關的證明與計算　(6年4考)
2.(2019·河北16題2分)對于題目:“如圖1,平面上,正方形內有一長為12、寬為6的矩形,它可以在正方形的內部及邊界通過移轉(平移或旋轉)的方式,自由地從橫放移轉到豎放,求正方形邊長的最小整數n.”甲、乙、丙作了自認為邊長最小的正方形,先求出該邊長x,再取最小整數n.
甲:如圖2,思路是當x為矩形對角線長時就可移轉過去;結果取n=13.
乙:如圖3,思路是當x為矩形外接圓直徑長時就可移轉過去;結果取n=14.
丙:如圖4,思路是當x為矩形的長與寬之和的時就可移轉過去;結果取n=13.
下列說法正確的是 (　　)
A.甲的思路錯,他的n值對
B.乙的思路和他的n值都對
C.甲和丙的n值都對
D.甲、乙的思路都錯,而丙的思路對
核心突破·拓思維——學科核心素養提升
題型　與圖形變換有關的計算
如圖1,這是實驗室中的一種擺動裝置,BC在地面上,支架ABC是底邊為BC的等腰直角三角形,擺動臂AD可繞點A旋轉,擺動臂DM可繞點D旋轉,AD=13,DM=5.
(1)直接寫出AM的取值范圍.
(2)當A,D,M三點為同一直角三角形的頂點時,求AM的長.
(3)若擺動臂AD順時針旋轉90°,點D的位置由△ABC外的點D1轉到其內的點D2處,連接D1D2.如圖2,此時∠AD2C=135°,CD2=20,求BD2的長.
　　圖1　　　　　　　　　　圖2
　　(1)只考慮“擺動臂DM可繞點D旋轉”,確定AM取最大值和最小值時的狀態,計算解答.
(2)由于DM(3)連接CD1,則可將△BAD2看作是由△CAD1旋轉得到的,結合特殊的角度關系和勾股定理進行計算求值.
　　“轉出的精彩”——常見的幾類旋轉模型
模型名稱旋轉方法圖形重要結論
等邊三角形模型在等邊△ABC中,P為△ABC內一點,將△ABP繞點A按逆時針方向旋轉60°,使得AB與AC重合△P'AP為等邊三角形
等腰直角三角形模型在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,P為△ABC內一點,將△APC繞點C按逆時針方向旋轉90°,使得AC與BC重合△P'CP為等腰直角三角形
正方形模型在正方形ABCD中,P為正方形ABCD內一點,將△ABP繞點B按順時針方向旋轉90°,使得BA與BC重合△BPP'為等腰直角三角形
在平面上,邊長為2的正方形和短邊長為1的矩形的幾何中心重合,如圖1,當正方形和矩形都水平放置時,容易求出重疊面積S=2×1=2.
甲、乙、丙三位同學分別給出了兩個圖形不同的重疊方式:
　圖1　　　 　　圖2　　　　 　圖3　　 　 　圖4　　　　　　圖5
甲:矩形繞著幾何中心旋轉,從圖2到圖3的過程中,重疊面積S大小不變.
乙:如圖4,矩形繞著幾何中心繼續旋轉,矩形的兩條長邊與正方形的對角線平行時,此時的重疊面積大于圖3的重疊面積.
丙:如圖5,將圖4中的矩形向左上方平移,使矩形的一條長邊恰好經過正方形的對角線,此時的重疊面積在5個圖形中最小.
下列說法正確的是 (　　)
A.甲、乙、丙都對 B.只有乙對
C.只有甲不對 D.甲、乙、丙都不對
　　明顯都是平行四邊形,陰影左側的邊長在變大,高都為2,所以三個圖形的面積在增大,由此即可判斷.
參考答案
考點清單
①相等　②平行且相等　③相等　④全等　⑤相等　⑥旋轉角　⑦全等
基礎演練
1.C　2.D　3.D　4.D
真題精粹·重變式
1.A　2.B
核心突破·拓思維
例
(1)8≤AM≤18.
提示:由題意可知,當點M在線段AD的延長線上時,AM取最大值,此時AM=AD+DM=13+5=18;
當點M在線段AD上時,AM取最小值,此時AM=AD-DM=13-5=8.
∴AM的取值范圍為8≤AM≤18.
(2)若AM為斜邊,則AM===;
若AD為斜邊,則AM===12.
綜上所述,AM=12或.
(3)如圖,連接CD1,
由旋轉90°可知,AD1=AD2=13,∠D2AD1=90°,
∴∠AD2D1=∠AD1D2=45°,
∴D1D2=13,
∴∠D1D2C=∠AD2C-∠AD2D1=90°.
在Rt△D1D2C中,由勾股定理,得D1C===3.
由△ABC為等腰直角三角形可知AB=AC,∠BAC=90°=∠D2AD1,
∴∠BAC-∠D2AC=∠D2AD1-∠D2AC,
即∠BAD2=∠CAD1.
又∵AD2=AD1,AB=AC,
∴△BAD2≌△CAD1(SAS),
∴BD2=D1C=3.
變式訓練
C　提示:明顯都是平行四邊形,陰影左側的邊長在變大,高都為2,所以前面三個圖形的面積一定在增大,第四個圖的面積最大,第五個圖的面積最小,所以只有甲錯,故選C

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