資源簡介

第6節　二次函數的解析式(含平移)
(6年2考,4~6分)
　　用待定系數法確定二次函數的解析式,是河北省中考的必考知識;有時會考查圖象的平移變化,探討圖象變化過程中位置與系數的關系;有時與其他函數綜合考查,即便有幾何圖形,也是以函數為主,簡單的圖形僅起到輔助作用,但解題時可借助幾何知識(比如圖形變換的性質)簡化思路.2025年的河北省中考必將涉及以上的一個或多個方面,若將二次函數的解析式、圖象的平移與性質,與其他函數綜合考查,則成為整卷的壓軸題.
回歸教材·過基礎——河北中考核心考點梳理
【知識體系】
【考點清單】
考點1二次函數解析式的確定
二次函數解析式的三種形式1.一般式:y=ax2+bx+c(a≠0). 2.頂點式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其中二次函數的頂點坐標是①　　　　. 3.交點式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中x1,x2為拋物線與x軸交點的橫坐標
待定系數法求解析式1.巧設二次函數的解析式. 2.根據已知條件,得到關于待定系數的方程(組). 3.解方程(組),求出待定系數的值,從而求出函數的解析式
考點2二次函數圖象的平移　(輪考點)
平移與解析 式的關系 平移前 平移方式(m>0) 平移后 規律
頂點式y=a(x-h)2+k(a≠0) 向左平移m個單位長度 ②　　　　 左加
向右平移m個單位長度 y=a(x-h-m)2+k ③　　　　
向上平移m個單位長度 ④　　　　 上加
向下平移m個單位長度 y=a(x-h)2+k-m ⑤　　　　
【溫馨提示】二次函數的平移實質是頂點坐標的平移,因此只要找出原函數頂點的平移方式即可確定平移后的函數解析式
【基礎演練】
1.(北師九下P41第2題變式)將拋物線y=2(x-2)2+3向左平移3個單位長度,再向下平移2個單位長度,得到的拋物線為 (　　)
A.y=2(x-5)2+1　　 B.y=2(x+1)2+1
C.y=2(x+1)2+5 D.y=2(x+3)2-2
2.(人教九上P57第6題變式)小聰在畫一個二次函數的圖象時,列出了下面幾組y與x的對應值:
該二次函數的解析式是　　　　.
真題精粹·重變式——河北6年真題精選及拓展
考向2次函數圖象的平移　(6年2考)
1.(2024·河北23題10分)如圖,點P(a,3)在拋物線C:y=4-(6-x)2上,且在C的對稱軸右側.
(1)寫出C的對稱軸和y的最大值,并求a的值.
(2)坐標平面上放置一透明膠片,并在膠片上描畫出點P及C的一段,分別記為P',C'.平移該膠片,使C'所在拋物線對應的函數恰為y=-x2+6x-9.求點P'移動的最短路程.
2.變設問——平移后拋物線頂點在三角形內 如圖,拋物線y=x2-2mx+9的頂點P在x軸的正半軸上,直線y=-x+b與y軸交于點B,拋物線與直線交于A,B兩點. (1)求m的值與點A的坐標. (2)連接AO,若將該拋物線向上平移n個單位長度,使平移后得到的拋物線頂點在△OAB內部(不包括三角形△OAB的邊界),求n的取值范圍.
核心突破·拓思維——學科核心素養提升
題型　平移拋物線問題
如圖,拋物線L:y=x(3-x)經過點A(1,2),且與x軸交于O,E兩點,點B,C的坐標分別為(1,1),(2,1).
(1)寫出點E的坐標和拋物線L的對稱軸.
(2)若M為拋物線L上一點,且在點A,E之間(不包括點A,E),求點M的縱坐標y0的取值范圍.
(3)若拋物線L平移后經過A,B,C中的兩個點,求平移后的拋物線的頂點坐標.
　　拋物線的平移問題主要包括兩種類型:一是二次函數解析式中二次項系數是確定的,一次項系數或常數項中含有字母參數,參數的變化導致拋物線發生平移;二是給定一條拋物線,然后提出平移的條件,根據要求確定數值,有時求平移的距離或相關的取值范圍.
(2024·邯鄲二模)如圖,拋物線L:y=-x(x-3)+n與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側),與y軸交于點M.
(1)若該拋物線過點(1,6).
①求該拋物線的表達式,并求出此時A,B兩點的坐標;
②將該拋物線進行平移,平移后的拋物線對應的函數為y=-x(x-3)+6,A點的對應點為A',求平移后頂點坐標和線段AA'的長.
(2)點M關于L:y=-x(x-3)+n的對稱軸對稱的點的坐標為　　　　(用含n的代數式表示).
(1)①將(1,6)代入L解析式,求出n的值
↓
確定函數解析式
↓
②比較n的變化,得平移方向和距離
↓
用頂點坐標公式或配方法求平移后拋物線的頂點坐標
↓
(2)求點M坐標和拋物線的對稱軸直線方程
↓
結合中點公式確定點M關于對稱軸的對稱點坐標
參考答案
考點清單
①(h,k)　②y=a(x-h+m)2+k　③右減
④y=a(x-h)2+k+m　⑤下減
基礎演練
1.B
2.y=x2-6x+5
真題精粹·重變式
1.(1)∵拋物線C:y=4-(6-x)2=-(x-6)2+4,
∴拋物線的頂點為Q(6,4),
∴拋物線的對稱軸為直線x=6,y的最大值為4.
當y=3時,3=-(x-6)2+4,∴x=5或x=7.
∵點P在對稱軸的右側,∴P(7,3),∴a=7.
(2)∵平移后的拋物線的解析式為y=-(x-3)2,
∴平移后的頂點Q'(3,0).
∵平移前拋物線的頂點Q(6,4),
∴點P'移動的最短路程=QQ'==5.
2.(1)∵拋物線y=x2-2mx+9經過點B,
∴B(0,9).
∵直線y=-x+b與y軸交于點B,
∴b=9,
∴直線的解析式為y=-x+9.
∵拋物線y=x2-2mx+9的頂點P在x軸的正半軸上,
∴->0,Δ=(-2m)2-4×1×9=0,解得m=3,∴拋物線為y=x2-6x+9,
由解得或
∴A(5,4).
(2)如圖,設直線OA的解析式為y=kx,
∵A(5,4),
∴4=5k,
解得k=,
∴直線OA的解析式為y=x.
∵拋物線y=x2-6x+9=(x-3)2,
∴頂點坐標是(3,0),
∴直線OA與拋物線對稱軸的交點坐標為,直線AB與拋物線對稱軸的交點坐標是(3,6),
由圖象可知,n的取值范圍是核心突破·拓思維
例(1)將y=0代入y=x(3-x),得x(x-3)=0,
解得x1=0,x2=3,
∴E(3,0),
∴拋物線L的對稱軸為直線x==.
(2)y=x(3-x)=-x2+3x=-+,
∵a=-1<0,
∴當x=時,y有最大值.
∵點M在拋物線上,且在點A,E之間(不包括點A,E),
∴點M的縱坐標y0的取值范圍為0(3)設平移后的拋物線為y=-x2+bx+c,
當拋物線經過B,C兩點時,
由
解得
∴y=-x2+3x-1=-+,
∴頂點坐標為;
當拋物線經過A,C兩點時,由
解得∴y=-x2+2x+1=-(x-1)2+2,
∴頂點坐標為(1,2).
綜上所述,平移后的拋物線的頂點坐標為或(1,2).
變式訓練
(1)①將點(1,6)代入L:y=-x(x-3)+n,則6=-1×(-2)+n,
則n=4,
∴L:y=-x(x-3)+4.
∵拋物線L與x軸交于A,B兩點,
∴將y=0代入L:y=-x(x-3)+4,即-x(x-3)+4=0,
解得x1=4,x2=-1,
∴A(-1,0),B(4,0).
②∵拋物線y=-x(x-3)+4向上平移2個單位長度后為拋物線y=-x(x-3)+6=-x-2+,
∴平移后頂點坐標為,,線段AA'的長為2.
(2)(3,n).
提示:當x=0時,y=n,
∴M(0,n).
∵y=-x(x-3)+n=-x-2+n+,
∴拋物線的對稱軸為直線x=.
∵×2=3,
∴點M關于L:y=-x(x-3)+n的對稱軸對稱的點的坐標為(3,n).

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