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第5節　二次函數的圖象與性質
(6年6考,2~6分)
　　二次函數的圖象與性質是河北省中考的重點考查內容,有時會在選擇題和解答題中同時考查,主要涉及二次函數的對稱軸、頂點坐標、增減性、與坐標軸的交點等,會根據圖象的對稱性解題,突出數形結合思想,預計這些內容仍將是2025年中考的必考知識點,作為各種題型的中檔題或壓軸題.
回歸教材·過基礎——河北中考核心考點梳理
【知識體系】
【考點清單】
考點1二次函數的概念及其圖象、性質　(常考點)
二次函數 的定義 形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常數,a≠0)的函數,叫作二次函數
二次函數的 圖象與性質 圖象
開口 向①　　　　 向②　　　　
對稱軸 直線x=-
頂點坐標 -,
增減性 當x>-時,y隨x的增大而③　　　　;當x<-時,y隨x的增大而④　　　　 當x>-時,y隨x的增大而⑤　　　　;當x<-時,y隨x的增大而⑥　　　　
最值 當x=-時,y最小= 當x=-時,y最大=
考點2二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與系數a,b,c的關系
a決定拋物線的開口⑦　　　　及開口⑧　　　　當a>0時,拋物線開口向上; 當a<0時,拋物線開口向下;|a|越大,開口越小
a,b決定對稱軸直線x=-的位置當a,b同號時,-⑨　　　　0,對稱軸在y軸⑩　　　　; 當b=0時,-=0,對稱軸為y軸; 當a,b異號時,-　　　　0,對稱軸在y軸　　　　
c決定拋物線與y軸的交點的位置當c>0時,拋物線與y軸的交點在正半軸上; 當c=0時,拋物線經過原點; 當c<0時,拋物線與y軸的交點在負半軸上
考點3二次函數與一元二次方程的關系
關系二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交點的橫坐標是一元二次方程ax2+bx+c=0的根
Δ=b2-4ac>0方程有兩個不相等的實數根,拋物線與x軸有　　　　個交點
Δ=b2-4ac=0方程有兩個相等的實數根,拋物線與x軸有一個交點
Δ=b2-4ac<0方程無實數根,拋物線與x軸沒有交點
【基礎演練】
1.(人教九上P37練習變式)拋物線y=-3(x-4)2+5的頂點坐標是 (　　)
A.(4,5)　　　　　　B.(-4,5)
C.(4,-5) D.(-4,-5)
2.(冀教九下P38A組第2題(3)變式)設A(-2,y1),B(1,y2),C(2,y3)是拋物線y=3(x+1)2+4m(m為常數)上的三點,則y1,y2,y3的大小關系為 (　　)
A.y1C.y33.如圖,在同一平面直角坐標系中,一次函數y=ax+b和二次函數y=ax2+bx+c(c≠0)的圖象可能是 (　　)
　　A　　　　　　B　　
　　C　　　　　　D　　
4.二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,則下列說法正確的是 (　　)
A.c<0
B.方程ax2+bx+c=0的根為x1=1,x2=3
C.當x>1時,y隨x值的增大而減小
D.當y≥0時,0真題精粹·重變式——河北6年真題精選及拓展
考向2次函數的圖象與性質　(6年5考)
1.(2023·河北15題2分)如圖,現要在拋物線y=x(4-x)上找點P(a,b),針對b的不同取值,所找點P的個數,三人的說法如下:
甲:若b=5,則點P的個數為0.
乙:若b=4,則點P的個數為1.
丙:若b=3,則點P的個數為1.
下列判斷正確的是 (　　)
A.乙錯,丙對
B.甲和乙都錯
C.乙對,丙錯
D.甲錯,丙對
2.變條件——解析式含參 如圖,對于拋物線G:y=x(4-x+m)與直線L:y=m(m為常數),針對m的不同取值,三人的說法如下. 甲:無論m為何值,G與x軸總有兩個交點. 乙:無論m為何值,G與L不會有交點. 丙:無論m為何值,G與L總有兩個交點. 下列判斷正確的是 (　　) A.只有甲錯 B.只有丙對 C.只有甲、乙對 D.甲、乙、丙都錯
3.(2023·河北16題2分)已知二次函數y=-x2+m2x和y=x2-m2(m是常數)的圖象與x軸都有兩個交點,且這四個交點中每相鄰兩點間的距離都相等,則這兩個函數圖象對稱軸之間的距離為 (　　)
A.2 B.m2 C.4 D.2m2
核心突破·拓思維——學科核心素養提升
題型　二次函數圖象的性質
(2024·石家莊一模)已知P1(x1,y1),P2(x2,y2)是拋物線y=ax2+4ax+3(a是常數,a≠0)上的點,現有以下四個結論:①該拋物線的對稱軸是直線x=-2;②點(0,3)在拋物線上;③若x1>x2>-2,則y1>y2;④若y1=y2,則x1+x2=-2.其中,正確結論的個數為 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
　　二次函數的圖象與性質是河北省中考的必考知識,也是考查的重點和難點.考查內容主要涉及拋物線的對稱軸特征或兩條拋物線的對稱軸關系;判斷函數值符號、拋物線是否過某點;拋物線上點的同坐標值的大小比較,或相關字母取值(范圍),有時考查拋物線與平行于坐標軸的直線關系,或考查拋物線上特定的點的數量或封閉區域內部或邊界上的整點問題.
　　利用拋物線的性質解題“二字訣”
口訣含義具體內容
看觀察位置與形狀拋物線所在象限、開口方向與大小、頂點與對稱軸、與坐標軸交點、升降特征等
化化形為數來描述把上述圖象性質用二次函數系數的符號、大小、等量關系、不等量關系表示出來
1.(2024·張家口一模)設二次函數y=a(x-m)(x-m-k)(a>0,m,k是實數),則 (　　)
A.當k=2時,函數y的最小值為-a
B.當k=2時,函數y的最小值為-2a
C.當k=4時,函數y的最小值為-a
D.當k=4時,函數y的最小值為-2a
2.題目“如圖,平面直角坐標系內有A(-1,0),B(3,2)兩點,一拋物線y=a(x-h)2+k(a<0)經過A,B兩點,求h的取值范圍.”對于其答案,甲答:h≥3.乙答:1A.只有甲的答案正確 　　　　　 B.乙、丙的答案合在一起才正確
C.甲、乙的答案合在一起才正確 D.三人的答案合在一起才正確
3.已知a(a<0),h(0結論Ⅰ:h的值可能為5.
結論Ⅱ:點P(m,n)在二次函數的圖象上,若n=8,則滿足條件的點P有兩個.
對于結論Ⅰ和Ⅱ,下列判斷正確的是 (　　)
A.Ⅰ和Ⅱ都對 B.Ⅰ和Ⅱ都不對
C.Ⅰ不對,Ⅱ對 D.Ⅰ對,Ⅱ不對
　　在河北省中考試卷上,已知或求解二次函數的解析式除了一般式和頂點式外,還經常出現兩根式y=a(x-m)(x-n)(或稱“交點式”),由此可得拋物線與x軸的兩個交點坐標為(m,0),(n,0),對稱軸為直線x=.
　　由a<0可得拋物線開口向下.
　　題目中沒有畫出二次函數圖象的問題,往往需要根據題目中的系數特征畫出草圖,有時需要分類討論.
參考答案
考點清單
①上　②下　③增大　④減小　⑤減小　⑥增大　⑦方向
⑧大小　⑨<　⑩左邊　>　右邊　兩
基礎演練
1.A　2.A　3.C　4.C
真題精粹·重變式
1.C　提示:y=x(4-x)=-x2+4x=-(x-2)2+4,
∴拋物線的頂點坐標為(2,4),
∴在拋物線上的點P的縱坐標最大為4,
∴甲、乙的說法正確.
若b=3,則拋物線上縱坐標為3的點有2個,
∴丙的說法不正確,故選C.
2.B　3.A
核心突破·拓思維
例　B　
提示:∵拋物線y=ax2+4ax+3的對稱軸為直線x=-=-2,
∴①正確;
當x=0時,y=3,則點(0,3)在拋物線上,
∴②正確;
當a>0時,若x1>x2>-2,則y1>y2,
當a<0時,若x1>x2>-2,則y1∴③錯誤;
當y1=y2,則P1,P2關于直線x=-2對稱,則x1+x2=-4,
∴④錯誤.
綜上所述,正確的結論是①②,共2個,故選B.
變式訓練
1.A　提示:令y=0,則(x-m)(x-m-k)=0,
∴x1=m,x2=m+k,
∴二次函數y=a(x-m)(x-m-k)的圖象與x軸的交點坐標是(m,0),(m+k,0),
∴二次函數的對稱軸是直線x===.
∵a>0,
∴y有最小值,
當x=時,y最小,
即y=a-m-m-k=-a,
當k=2時,函數y的最小值為y=-a=-a;
當k=4時,函數y的最小值為y=-a=-4a.
故選A.
2.C　提示:∵y=a(x-h)2+k(a<0),
∴拋物線開口向下,對稱軸在A,B之間或點B右側,
∴點B與對稱軸的距離小于點A與對稱軸的距離,
∴h≥3或13.C　
提示:畫出二次函數圖象的草圖,如圖所示.
∵二次函數y=a(x-h)2+k,
∴拋物線的對稱軸為直線x=h.
∵a<0,
∴拋物線開口向下.
∵圖象經過(0,5),(10,8)兩點,0∴對稱軸在5到10之間,
故結論Ⅰ不正確.
∵圖象經過(0,5),(10,8)兩點,0∴(10,8)不是拋物線的頂點,函數的最大值大于8,
∴滿足條件的點P有兩個,
故結論Ⅱ正確.故選C.

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