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第4節　銳角三角函數及其應用
(每年1~3題,2~12分)
　　解直角三角形主要考查直角三角形中邊角的關系和利用勾股定理(逆定理)解直角三角形,從難易度上分為兩類,第一類考查直角三角形中的常見角等概念,第二類考查數學轉化思想,將實際問題轉化為解直角三角形的問題,預測2025年河北中考仍將延續這一特點.
回歸教材·過基礎——河北中考核心考點梳理
【知識體系】
【考點清單】
考點1銳角三角函數的定義　(輪考點)
銳角三角函數 正弦:sin A==①　　　　
余弦:cos A==②　　　　
正切:tan A==③　　　　　　　　　　
特殊角的三角函數值 函數 α
30° 45° 60°
sin α ④　　　　
cos α ⑤　　　　
tan α 1
考點2解直角三角形　
解直角三角形的概念在直角三角形中,除直角外,一共有五個元素,即三條邊和兩個銳角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程叫作解直角三角形
解直角三角形的常用關系(1)三邊之間的關系:a2+b2=c2. (2)銳角之間的關系:∠A+∠B=90°. (3)邊角之間的關系:sin A=cos B=,cos A=sin B=,tan A==
考點3解直角三角形的實際應用　(常考點)
仰、俯角在視線與水平線所成的角中,視線在水平線上方的角叫仰角,視線在水平線下方的角叫俯角
坡度 坡面的鉛直高度h和水平寬度l之比叫坡度(或者叫坡比),用字母i表示
坡角 坡面與水平面的夾角叫作坡角,用α表示,則i=tan α=,坡度越大,坡角越大,坡面越陡
方向角 指北或指南方向線,與目標方向線所成的小于90°的角叫作方向角.【溫馨提示】東北方向指北偏東45°方向,東南方向指南偏東45°方向,西北方向指北偏西45°方向,西南方向指南偏西45°方向
【基礎演練】
1.(人教九下P69第6題變式)在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A的余弦是 (　　)
A. B.
C. D.
2.在△ABC中,若+-cos B2=0,則∠C的度數是(　　)
A.45° B.75°
C.105° D.120°
3.如圖,在4×4正方形方格中,每個小正方形的邊長均為1,頂點為格點,若△ABC的頂點均是格點,則sin B的值為 (　　)
A. B.
C. D.
4.(北師九下P6做一做變式)如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AB=2,則BC等于 (　　)
A.1 B. C. D.4
5.如圖,已知一臺觀測車對空中目標A進行觀測,觀測車從B點沿直線行駛到C點的過程中,仰角將 (　　)
A.增大
B.減小
C.先增大,后減小
D.先減小,后增大
6.桔槔俗稱“吊桿”“秤桿”(如圖1),是我國古代農用工具,始見于《墨子·備城門》,是一種利用杠桿原理的取水機械.桔槔示意圖如圖2所示,OM是垂直于水平地面的支撐桿,OM=3米,AB是杠桿,AB=6米,OA∶OB=2∶1.當點A位于最高點時,∠AOM=120°.此時,點A到地面的距離為 (　　)
A.(2+3)米 B.5米
C.6米 D.7米
真題精粹·重變式——河北6年真題精選及拓展
考向1仰角、俯角、方向角、坡度　(6年5考)
1.(2019·河北3題3分)如圖,從點C觀測點D的仰角是 (　　)
A.∠DAB
B.∠DCE
C.∠DCA
D.∠ADC
2.(2023·河北2題3分)淇淇一家要到革命圣地西柏坡參觀.如圖,西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向,則淇淇家位于西柏坡的 (　　)
A.南偏西70°方向
B.南偏東20°方向
C.北偏西20°方向
D.北偏東70°方向
3.(2020·河北12題2分)如圖,從筆直的公路l旁一點P出發,向西走6 km到達l,從點P出發向北走6 km也到達l.下列說法錯誤的是 (　　)
A.從點P向北偏西45°走3 km到達l
B.公路l的走向是南偏西45°
C.公路l的走向是北偏東45°
D.從點P向北走3 km后,再向西走3 km到達l
考向2解直角三角形的應用　(6年2考)
4.(2024·河北22題9分)中國的探月工程激發了同學們對太空的興趣.某晚,淇淇在家透過窗戶的最高點P恰好看到一顆星星,此時淇淇距窗戶的水平距離BQ=4 m,仰角為∠α;淇淇向前走了3 m后到達點D,透過點P恰好看到月亮,仰角為∠β,如圖,已知淇淇的眼睛與水平地面BQ的距離AB=CD=1.6 m,點P到BQ的距離PQ=2.6 m,AC的延長線交PQ于點E.(注:圖中所有點均在同一平面)
(1)求∠β的大小及tan α的值.
(2)求CP的長及sin∠APC的值.
5.(2022·河北24題10分)如圖,某水渠的橫斷面是以AB為直徑的半圓O,其中水面截線MN∥AB.嘉琪在A處測得垂直站立于B處的爸爸頭頂C的仰角為14°,點M的俯角為7°.已知爸爸的身高為1.7 m.
(1)求∠C的大小及AB的長.
(2)請在圖中畫出線段DH,用其長度表示最大水深(不說理由),并求出最大水深的深度(結果保留小數點后一位).
(參考數據:tan 76°取4,取4.1)
核心突破·拓思維——學科核心素養提升
題型　銳角三角函數的應用
(2024·邢臺一模)某水渠的橫斷面是以AC為直徑的半圓O,圖1表示水渠正好盛滿了水,點D是水面上只能上下移動的浮漂,AB是垂直于水面線的發光物體且從點B發出光線,測得∠BDA,∠BCA分別為60°,30°,已知AD=1 m.
(1)求AC的長.
(2)如圖2,把水渠中的水放掉一部分,得到水面線為MN,若的長為π m,求DN的長.tan 27°≈
　　近年來,銳角三角函數的“獨立性”有所削弱,“工具性”有所增強.很少出現單獨考查的情況,而更多的是與其他幾何知識綜合在一起,把三角函數作為求線段長度或角的度數的工具.
(1)先在Rt△BDA中,利用∠BDA的正切求出AB的長
↓
在Rt△BCA中,利用∠BCA的正切求出AC的長
↓
(2)根據的長和弧長公式,求得所對的圓心角度數
↓
構造垂徑定理基本圖形,利用銳角三角函數和勾股定理,求弦MN的一半
↓
結合點D的位置求DN的長
　　解直角三角形口訣
實際轉化為模型,沒有直角作出高;給出直角三角形的邊,三角函數直接套;
不是直角三角形的邊,去把方程來尋找;找出等腰三角形,解題快速又高效.
步驟 口訣 做法
1 實際轉化 為模型 把實際問題轉化為數學模型,畫出圖形,并將已知條件轉化為圖中的邊、角或它們之間的關系
2 沒有直角 作出高 若沒有現成的直角三角形,可通過作高線產生直角三角形.作高線的原則是:不破壞特殊角(30°,60°,45°,120°,150°,135°)
3 利用勾股定理, 三角函數求解 若條件中給出的是直角三角形的邊,利用三角函數直接求解;若給出的不是直角三角形的邊,一般列方程求解;若題中有30°,60°角,利用里面的等腰三角形求解會更便捷
乒乓球臺(如圖1)的支架可近似看成圓弧,其示意圖如圖2,AC與BD所在的直線過弧EF所在圓的圓心,直線AB與弧EF所在的圓相切于點G,連接CG,DG,且AB∥EF,AG=BG.
(1)求證:∠AGC=∠BGD.
(2)若弓形EGF的高為80 cm,AG=74 cm,且tan∠BAC=,求EF的長.
　　銳角三角函數經常和勾股定理或相似三角形結合使用,成為解直角三角形乃至解決幾何計算問題的重要工具.
參考答案
考點清單
①　②　③　④　⑤
基礎演練
1.D　2.C　3.C　4.B　5.C　6.B
真題精粹·重變式
1.B　2.D　3.A
4.(1)由題意可得PQ⊥AE,PQ=2.6 m,AB=CD=EQ=1.6 m,AE=BQ=4 m,AC=BD=3 m,
∴CE=4-3=1(m),PE=2.6-1.6=1(m),∠CEP=90°,
∴CE=PE,
∴∠β=∠PCE=45°,tan α=tan∠PAE==.
(2)∵CE=PE=1 m,∠CEP=90°,
∴CP== m.
如圖,過點C作CH⊥AP于點H.
∵tan α=tan∠PAE==,設CH=x m,則AH=4x m,
∴x2+(4x)2=AC2=9.
∴x=,
∴CH= m,
∴sin∠APC===.
5.(1)∵嘉琪在A處測得垂直站立于B處的爸爸頭頂C的仰角為14°,
∴∠CAB=14°,∠CBA=90°,∴∠C=180°-∠CAB-∠CBA=76°.
∵tan C=,BC=1.7 m,∴tan 76°=,
∴AB=1.7×tan 76°≈6.8(m).
答:∠C=76°,AB的長為6.8 m.
(2)畫出線段DH,如圖所示:
如圖,連接OM.
∵OA=OM,∠BAM=7°,∴∠OMA=∠OAM=7°.
∵AB∥MN,∴∠AMD=∠BAM=7°,∴∠OMD=14°,∴∠MOD=76°.
在Rt△MOD中,tan∠MOD=,∴tan 76°=,
∴MD=4OD.
設OD=x m,則MD=4x m,在Rt△MOD中,OM=OA=AB=3.4 m,
∴x2+(4x)2=3.42.
∵x>0,∴x=≈0.82,∴OD=0.82 m,
∴DH=OH-OD=OA-OD=3.4-0.82=2.58≈2.6(m).
答:最大水深約為2.6 m.
核心突破·拓思維
例
(1)在Rt△BDA中,∠BAD=90°,AD=1 m,∠BDA=60°,∴AB=AD·tan 60°=1×= m,
在Rt△BCA中,∠BCA=30°,
∴AC==3(m),
∴AC的長為3 m.
(2)如圖,連接OM,過點O作OE⊥MN于點E,則ME=EN.
設∠AOM=n°,
∴的長==π,
∴n=27°,
∴∠AOM=27°.
∵AC∥MN,
∴∠AOM=∠OMN=27°,
在Rt△MOE中,ME=≈2OE.
根據勾股定理,可知OM2=OE2+ME2,
∴OE= m,ME= m,
∴ME=EN= m.
過點D作DD'⊥AC于點D',則DD'∥OE.
∵AC∥MN,
∴四邊形DD'OE是平行四邊形,
∴DE=D'O=OA-AD'=AC-AD'=-1= m,
∴DN=DE+EN=+(m),
∴DN的長為+ m.
變式訓練
(1)證明:如圖,延長AC,BD交于點O,則點O是弧EF所在圓的圓心,連接OG.
∵直線AB與圓O相切于點G,
∴OG⊥AB,∴∠AGO=∠BGO=90°.
∵AG=BG,∠AGO=∠BGO=90°,GO=GO,
∴△AGO ≌△BGO(SAS),
∴AO=BO,∠AOG=∠BOG.
∵CO=DO=GO,
∴∠GCO=∠CGO=∠DGO=∠GDO.
∵∠AGO=∠BGO=90°,∠CGO=∠DGO,
∴∠AGC=∠BGD.
(2)如圖,連接OE,設EF與OG交于點H.
∵OG⊥AB,AG=74 cm,tan∠BAC==,
∴GO=130 cm,
∴OE=130 cm.
∵AB∥EF,OG⊥AB,
∴OG⊥EF,EF=2EH,弓形EGF的高HG=80 cm,
∴HO=GO-HG=50 cm.
在Rt△EHO中,由勾股定理得EH==120 cm,
∴EF=2EH=240 cm.

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