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第4節　反比例函數
(6年7考,2~6分)
　　反比例函數是河北中考的必考知識,如果單獨考查,必然是出現在填空題或選擇題中,難度不大,預計2025年也是如此.如果出現在解答題中,必定與一次函數或二次函數綜合考查,且反比例函數在題中所占成分較少,考查重點是反比例函數的解析式求法與圖象性質.
回歸教材·過基礎——河北中考核心考點梳理
【知識體系】
【考點清單】
考點1反比例函數的概念及其圖象、性質　(?？键c)
反比例函 數的概念 1.定義:形如y=(k≠0)的函數稱為反比例函數,其中x是自變量,y是函數,自變量x的取值范圍是①　　　　的一切實數. 2.形式: 反比例函數有以下三種基本形式:(1)y=; (2)y=kx-1; (3)②　　　　=k(其中k為常數,且k≠0)
反比例函 數的圖象 和性質 k的符號 圖象 象限 y隨x變化的情況
k③　　　　0 函數圖象分別位于第一、第三象限(x,y同號) 在每一個象限內,函數y的值隨x的增大而減小
k④　　　　0 函數圖象分別位于第二、第四象限(x,y異號) 在每一個象限內,函數y的值隨x的增大而增大
反比例函 數的圖象 特征 1.由兩條曲線組成,叫作雙曲線. 2.圖象的兩個分支都無限接近x軸和y軸,但都不會與x軸和y軸相交. 3.圖象是中心對稱圖形,⑤　　　　為對稱中心;也是軸對稱圖形,兩條對稱軸分別是平面直角坐標系第一、第三象限和第二、第四象限的角平分線
待定系數法 只需要知道雙曲線上任意一點坐標,設函數解析式,代入求出反比例函數系數k即可
考點2反比例系數的幾何意義及與一次函數綜合
系數k的幾何意義1.意義:從反比例函數y=(k≠0)圖象上任意一點向x軸和y軸作垂線,垂線與坐標軸所圍成的矩形面積為|k|,以該點、一個垂足和原點為頂點的三角形的面積為⑥　　　　. 2.常見的面積類型:
反比例函數與一次函數的綜合1.確定交點坐標: 【方法一】已知一個交點坐標為(a,b),則根據中心對稱性,可得另一個交點坐標為⑦　　　　. 【方法二】聯立兩個函數解析式,利用方程思想求解. 2.確定函數解析式:利用待定系數法,先確定交點坐標,再分別代入兩個函數解析式中求解. 3.在同一坐標系中判斷函數圖象:充分利用函數圖象與各字母系數的關系,可采用假設法,分k>0和k<0兩種情況討論,看哪個選項符合要求即可,也可逐一選項判斷、排除. 4.比較函數值的大小:主要通過觀察圖象,圖象在上方的值大,圖象在下方的值小,結合交點坐標,確定解集的范圍
【基礎演練】
1.(冀教九上P133習題B組第1題變式)如圖,A為反比例函數y=(k≠0,x<0)圖象上的一點,過點A作AB⊥y軸,垂足為B,若△OAB的面積為1,則k的值為 (　　)
A.1
B.-1
C.2
D.-2
2.對于反比例函數y=-,下列說法不正確的是(　　)
A.點(-2,1)在它的圖象上
B.它的圖象在第二、第四象限
C.圖象關于原點對稱
D.若點A(x1,y1),B(x2,y2)都在圖象上,且x1真題精粹·重變式——河北6年真題精選及拓展
考向1反比例函數圖象的判斷　(6年1考)
1.(2024·河北12題2分)如圖,函數y=的圖象所在坐標系的原點是 (　　)
A.點M
B.點N
C.點P
D.點Q
2.變設問——判斷函數的增減性 函數y=的圖象上有A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,針對y1與y2的大小關系,三人的說法如下: 甲:若x1<0y2. 乙:若x1+x2=0,則y1=y2. 丙:若0y2. 下列判斷正確的是 (　　) A.只有甲錯　　　　　　B.只有丙對 C.甲、丙都對 D.甲、乙、丙都錯
考向2反比例函數的圖象與性質　(6年3考)
3.(2023·河北17題2分)如圖,已知點A(3,3),B(3,1),反比例函數y=(k≠0)圖象的一支與線段AB有交點,寫出一個符合條件的k的整數值:　　　　.
4.(2023·河北19題6分)如圖,這是8個臺階的示意圖,每個臺階的高和寬分別是1和2,每個臺階凸出的角的頂點記作Tm(m為1~8的整數).函數y=(x<0)的圖象為曲線L.
(1)若L過點T1,則k=　　　　.
(2)若L過點T4,則它必定還過另一點Tm,則m=　　　　.
(3)若曲線L使得T1~T8這些點分布在它的兩側,每側各4個點,則k的整數值有　　　　個.
5.(2023·河北19題4分)用繪圖軟件繪制雙曲線m:y=與動直線l:y=a交于一點,圖1為a=8時的視窗情形.
(1)當a=15時,l與m的交點坐標為　　　　.
(2)視窗的大小不變,但其可視范圍可以變化,且變化前后原點O始終在視窗中心.
例如,在視窗中看到(1)中的交點,可將圖1中坐標系的單位長度變為原來的,其可視范圍就由-15≤x≤15及-10≤y≤10變成了-30≤x≤30及-20≤y≤20(如圖2).當a=-1.2和a=-1.5時,l與m的交點分別是點A和點B,為能看到m在A和B之間的一整段圖象,需要將圖1中坐標系的單位長度至少變為原來的,則整數k=　　　　.
圖1　　　　　　　　　　圖2
考向3反比例函數的實際應用　(6年3考)
6.(2024·河北7題2分)節能環保已成為人們的共識.淇淇家計劃購買500千瓦時電,若平均每天用電x千瓦時,則能使用y天.下列說法錯誤的是 (　　)
A.若x=5,則y=100
B.若y=125,則x=4
C.若x減小,則y也減小
D.若x減小一半,則y增大一倍
7.(2024·河北12題2分)某項工作,已知每人每天完成的工作量相同,且一個人完成需12天.若m個人共同完成需n天,選取6組數對(m,n),在坐標系中進行描點,則正確的是 (　　)
A. B.
C. D.
8.(原創)如圖,這是輪滑場地的截面示意圖,平臺AB距x軸(水平地面)18米,與y軸交于點B,與滑道y=(x≥1)交于點A,且AB=1米. (1)求滑道曲線的解析式. (2)當運動員在滑道上滑至與y軸相距6米時,到地面的豎直高度為多少米
核心突破·拓思維——學科核心素養提升
題型1　雙曲線的性質
(2024·河北模擬)如圖,BA的延長線垂直于x軸,點A(2,1)在反比例函數y=(x>0)的圖象上,點B在反比例函數y=(x>0)和y=(x>0)的圖象之間,寫出一個符合條件的點B的坐標:　　　　.
　　反比例函數雖是在河北省中考的必考知識,但比重較少,主要涉及反比例函數解析式的確定和圖象的性質.經常添加平行于坐標軸的直線或線段、簡單幾何圖形(比如一邊與坐標軸平行的三角形或平行四邊形)等.一般不會出現求雙曲線與一次函數圖象交點問題,因為列出的分式方程(組),轉化為一元二次方程求解屬于“超標”內容.
(2024·張家口一模)如圖,在 OABC中,點C(3,0),點A(1,3),反比例函數y1=(x>0)的圖象經過點B,反比例函數y2=(x>0)的圖象與BC交于點F,與折線OAB交于點E.
(1)k=　　　　.
(2)若 OABC夾在y1,y2之間的整數點(橫、縱坐標均為整數的點)有7個(包括邊界),則m的取值范圍為　　　　.
題型2　實際問題中的反比例函數
(2024·石家莊一模)驗光師通過檢測發現近視眼鏡的度數
y(單位:度)與鏡片焦距x(單位:米)成反比例,y關于x的函數圖象如圖所示.經過一段時間的矯正治療后,小雪的鏡片焦距由0.25米調整到0.5米,則近視眼鏡的度數減少了　　　　度.
1.(2024·滄州一模)圖1是一個亮度可調節的臺燈,其燈光亮度的改變,可以通過調節總電阻控制電流的變化來實現.圖2是該臺燈的電流I(單位:A)與電阻R(單位:Ω)成反比例函數的圖象,該圖象經過點P(880,0.25).根據圖象可知,下列說法正確的是 (　　)
圖1　　　　　　　　　　圖2　　　
(1)利用點的平移規律得到點B坐標
↓
利用待定系數法確定反比例函數關系式中k的值
↓
(2)在坐標系中畫出 OABC的整數點
↓
從點B開始向左、向下找到滿足題意的整數點
↓
將邊界位置附近的整數點坐標代入解析式求解
　　反比例函數在物理、化學等其他學科中有著廣泛的應用,所以經常命制跨學科綜合試題.
　　先由點P的坐標求出反比例函數解析式,再結合圖象及其增減性,判斷R的不同取值范圍所對應的I的取值范圍.
A.當R<0.25時,I<880
B.I與R之間的函數關系式是I=(R>0)
C.當R>1 000時,I>0.22
D.當8802.(2024·河北一模)生產甲、乙兩種產品需要A、B兩種化工原料,具體數據如下:
A種化工原料/g B種化工原料/g
1件甲產品 300 150
1件乙產品 100 200
現生產甲產品x件,乙產品y件,恰好用完A種原料20 000 g和用去B種原料若干.
(1)求y與x之間的函數關系式.
(2)已知生產甲、乙兩種產品均能售出,設每件甲產品的利潤為w元(w為整數),每件乙產品的利潤為20元,若B種原料不超過26 500 g,銷售總利潤為4 050元且x為整數,求w的值.
　　(1)(2)中求函數關系式,都用到了“等式變形法”.
(2)①如果一個關系式中有三個變量,需要將其中一個變量用另外兩個變量中的一個表示出來,再化簡變形得到解析式.
②w與x之間的函數關系式是反比例函數與常數的和.
參考答案
考點清單
①非零?、趚y?、??、??、菰c
⑥|k| ?、?-a,-b)
基礎演練
1.D　2.D
真題精粹·重變式
1.A　2.A
3.k=4(答案不唯一)　4.-16　5　7
5.(1)(4,15)　(2)4
提示:(1)當a=15時,y=15,
由=15,解得x=4,
∴當a=15時,l與m的交點坐標為(4,15).
(2)由=-1.2,解得x=-50,∴A(-50,-1.2);
由=-1.5,解得x=-40,∴B(-40,-1.5).
∴≤=,即k≥.
∵將題圖1中坐標系的單位長度至少變為原來的,
∴整數k=4.
6.C
7.C　提示:∵一個人完成需12天,∴一人一天的工作量為.
∵m個人共同完成需n天,∴一人一天的工作量為.
∵每人每天完成的工作量相同,∴mn=12,∴n=,
∴n是m的反比例函數,
∴選取6組數對(m,n),在坐標系中描點正確的是C.
8.(1)由題意,將點A(1,18)代入y=,得18=,解得k=18,
故滑道曲線的解析式為y=.
(2)當x=6時,y==3,
故運動員到地面的豎直高度為3米.
核心突破·拓思維
例1
(2,2)(答案不唯一)
提示:∵BA的延長線垂直于x軸,
∴點B的橫坐標=點A的橫坐標=2,點B的縱坐標>點A的縱坐標=1.
∵點B在反比例函數y=(x>0)和y=(x>0)的圖象之間,點A(2,1)在反比例函數y=(x>0)的圖象上,
∴點B的縱坐標0)的值,即點B的縱坐標<,
∴符合條件的點B的橫坐標為2,縱坐標大于1小于,比如(2,2)(答案不唯一).
變式訓練
(1)12　(2)2提示:(1)∵OC=3,點A(1,3),
∴將點A向右平移3個單位長度得到點B(4,3),
將點B(4,3)代入y1=中,得k=12.
(2) OABC中的整數點如圖所示,
將點A(1,3)代入y2=,得m=3,將點(1,2)代入y2=,得m=2,∴若 OABC夾在y1,y2之間的整數點有7個(包括邊界),則m的取值范圍為2例2　200
提示:設反比例函數的解析式為y=(k≠0).
∵(0.2,500)在圖象上,
∴k=500×0.2=100,
∴反比例函數的解析式為y=.
當x=0.25時,y==400,
當x=0.5時,y==200,
∴度數減少了400-200=200(度).
變式訓練
1.D　提示:設I與R之間的函數關系式是I=(R>0).
∵該圖象經過點P(880,0.25),
∴=0.25,
∴U=220,
∴I與R之間的函數關系式是I=(R>0),故選項B不符合題意;
當R=0.25時,I=880,當R=1 000時,I=0.22.
∵反比例函數I=(R>0)中,I隨R的增大而減小,
當R<0.25時,I>880,當R>1 000時,I<0.22,故選項A,C不符合題意;
∵R=880時,I=0.25,當R=1 000時,I=0.22,
∴當8802.(1)由題意得300x+100y=20 000,
∴y=-3x+200,
∴y與x之間的函數關系式為y=-3x+200.
(2)依題意得wx+20y=4 050.
∵y=200-3x,
∴w=60+.
∵150x+200y=150x+200(200-3x)≤26 500,
解得x≥30.
∵x,w為整數,
∴x=50時,w=60+=61.

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