資源簡介

第3節(jié)　與圓有關(guān)的計(jì)算
(6年3考,2~14分)
　　弧長和扇形面積考查的主要是公式的應(yīng)用,理解并記住公式是解決問題的關(guān)鍵.河北中考單獨(dú)考查弧長和扇形面積的題目較少,多與圓的其他知識相結(jié)合進(jìn)行考查.河北省近4年三次考查弧長,兩次考查扇形面積.預(yù)測2025年河北省中考試題仍將延續(xù)將弧長和扇形面積融入其他問題的解決之中這一傳統(tǒng).
回歸教材·過基礎(chǔ)——河北中考核心考點(diǎn)梳理
【知識體系】
【考點(diǎn)清單】
考點(diǎn)與圓有關(guān)的計(jì)算　(常考點(diǎn))
弧長和扇形面積的計(jì)算弧長公式:l=. 扇形的面積公式:S==lr
圓錐與 側(cè)面展開圖 圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形,扇形的①　　　　等于圓錐的母線,扇形的弧長等于圓錐的②　　　　
底面周長 C=2πr(r是底面圓的半徑)
底面面積 S底=③　　　　
側(cè)面積 S側(cè)=④　　　　
全面積 S全=S側(cè)+S底=⑤　　　　
【基礎(chǔ)演練】
1.(北師九下P101例2變式)如圖,在扇形OAB中,OA=2 cm,∠AOB=120°,則的長為　　　　cm.
2.(北師九下P101例2變式)一個(gè)扇形的圓心角是135°,半徑為4,則這個(gè)扇形的面積為　　　　.(結(jié)果保留π)
3.(冀教九上P169習(xí)題A組第2題變式)小吳同學(xué)在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動中,制作了一個(gè)圓錐模型(如圖),經(jīng)過小吳同學(xué)的測量得到圓錐底面的直徑為10 cm,圓錐的高為12 cm,則根據(jù)測量數(shù)據(jù)推算該圓錐的側(cè)面積為　　　　cm2.(結(jié)果保留π)
4.如圖,在菱形ABCD中,∠A=60°,AB=2,以C為圓心,CB的長為半徑畫弧,圖中陰影部分的面積為　　　　.
真題精粹·重變式——河北6年真題精選及拓展
考向關(guān)于弧長或扇形面積的計(jì)算　(6年6考)
(2024·河北14題2分)扇文化是中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的組成部分,在我國有著深厚的底蘊(yùn).如圖,某折扇張開的角度為120°時(shí),扇面面積為S,該折扇張開的角度為n°時(shí),扇面面積為Sn,若m=,則m與n之間的關(guān)系圖象大致是 (　　)
核心突破·拓思維——學(xué)科核心素養(yǎng)提升
題型　關(guān)于弧長或扇形面積的計(jì)算
如圖,P是△ABC內(nèi)一點(diǎn),PD⊥BC,垂足為D,將線段PD繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到扇形DPE,過點(diǎn)E作EM⊥PE交AB于點(diǎn)M,連接PM,與交于點(diǎn)F,過點(diǎn)P作PN⊥PM交BC于點(diǎn)N.
(1)求證:△EPM≌△DPN.
(2)已知PD=3,EM=(取1.73).
①通過計(jì)算比較線段PN和哪個(gè)長度更長;
②計(jì)算圖中陰影部分的面積(結(jié)果保留π).
　　計(jì)算弧長或者扇形面積(包括與扇形有關(guān)的面積計(jì)算)是河北省中考的必考知識,大多放到圓的綜合題中,難度較大,可能放到壓軸題的位置;有時(shí)在選擇題中還要增加一道,充分體現(xiàn)了對幾何計(jì)算的重視.雖然解題過程中包含推理成分,但并不是嚴(yán)格意義上的證明題,所以即便是在壓軸題中,關(guān)于圓的推理步驟可以適當(dāng)簡略,只要能體現(xiàn)基本思路即可.
　　求陰影面積的三種常用方法
1.公式法:若所求陰影部分的面積是規(guī)則圖形,直接用幾何圖形的面積公式求解.
2.和差法:將不規(guī)則陰影面積通過和差的方法,轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的計(jì)算.
3.等積轉(zhuǎn)化法:通過對圖形的變換,為利用公式法或和差法求解創(chuàng)造條件.
(1)直接等面積轉(zhuǎn)化:當(dāng)CD∥AB時(shí).
(2)平移轉(zhuǎn)化法:當(dāng)E,F分別是AB,CD的中點(diǎn)時(shí).
(3)對稱轉(zhuǎn)化法:當(dāng)D是AB的中點(diǎn)時(shí).
(4)旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化法
　　(1)由題意可知所證明的兩個(gè)直角三角形有一銳角相等,所夾直角邊相等,故可用ASA證明.
(2)①在直角三角形中,由兩條直角邊長可得銳角度數(shù)與斜邊PN的長.
利用弧長公式求的長度,比較近似值或用平方法比較它與PN的大小;
②將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為△PEM與扇形PEF面積之差,分別計(jì)算二者面積,相減得到結(jié)果.
參考答案
考點(diǎn)清單
①半徑　②底面周長　③πr2　④πrl　⑤πrl+πr2
基礎(chǔ)演練
1.　2.6π　3.65π　4.2-π
真題精粹·重變式
1.C
核心突破·拓思維
例(1)證明:∵EM⊥PE,PD⊥BC,
∴∠PEM=∠PDN=90°.
∵PM⊥PN,∠EPD=90°,
∴∠EPD=∠MPN=90°,
∴∠EPD-∠MPD=∠MPN-∠MPD,
∴∠EPM=∠DPN.
在△EPM和△DPN中,
∴△EPM≌△DPN(ASA).
(2)①∵PD=3,EM=,△EPM≌△DPN,
∴DN=EM=,
∴PN===2≈3.46.
在Rt△PDN中,tan ∠DPN==,
∴∠DPN=30°,
∴∠DPF=90°-30°=60°,
∴的長==π≈3.14,
∴線段PN的長度更長.
②∵PD=3,EM=,∠DPN=30°,△EPM≌△DPN,
∴PE=PD=3,∠EPM=∠DPN=30°,
∴陰影部分的面積=S△PEM-S扇形PEF
=×3×-
=-π.

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