資源簡介

第3節　一次函數的實際應用
(6年2考,9~10分)
　　一次函數與二次函數一共占據2道解答題,通常其中一道考查圖象性質,另一道考查實際應用.近年來,一次函數的實際應用問題以圖象型居多,但2024年發生改變,以文字為主闡述現實情境,通過變量關系列一次函數解決實際問題,并且與統計實現跨領域結合.這意味著2025年對一次函數實際應用的考查類型不確定性變大,綜合性增強.
真題精粹·重變式——河北6年真題精選及拓展
考向1圖象型一次函數應用問題　(6年1考)
1.(2023·河北23題9分)如圖,這是某機場監控屏顯示兩飛機的飛行圖象,1號指揮機(看成點P)始終以3km/min的速度在離地面5km高的上空勻速向右飛行,2號試飛機(看成點Q)一直保持在1號機P的正下方.2號機從原點O處沿45°仰角爬升,到4km高的A處便立刻轉為水平飛行,再過1 min到達B處開始沿直線BC降落,要求1 min 后到達C(10,3)處.
(1)求OA的h關于s的函數解析式,并直接寫出2號機的爬升速度.
(2)求BC的h關于s的函數解析式,并預計2號機著陸點的坐標.
(3)通過計算求出兩機距離PQ不超過3km的時長.
(注:(1)及(2)中不必寫s的取值范圍)
考向2文字、表格型一次函數應用問題　(6年1考)
2.(2024·河北24題10分)長為300 m的春游隊伍,以v(單位:m/s)的速度向東行進,如圖1和圖2,當隊伍排尾行進到位置O時,在排尾處的甲有一物品要送到排頭,送到后立即返回排尾,甲的往返速度均為2v(單位:m/s),當甲返回排尾后,他及隊伍均停止行進.設排尾從位置O開始行進的時間為t(單位:s),排頭與O的距離為S頭(單位:m).
圖1　　　　　　　　圖2
(1)當v=2時,解答:
①求S頭與t的函數關系式(不寫t的取值范圍);
②當甲趕到排頭位置時,求S頭的值;在甲從排頭返回到排尾過程中,設甲與位置O的距離為S甲(單位:m),求S甲與t的函數關系式(不寫t的取值范圍).
(2)設甲這次往返隊伍的總時間為T(單位:s),求T與v的函數關系式(不寫v的取值范圍),并寫出隊伍在此過程中行進的路程.
核心突破·拓思維——學科核心素養提升
題型1　圖象型一次函數應用問題
小明和爸爸各買了一個保溫壺,分別記為甲和乙.小明對這兩個保溫壺進行了保溫測試,在其中同時分別倒入同樣多90 ℃的熱水,經過一段時間的測試發現,乙的保溫性能好且這段時間內,甲、乙保溫壺中的水溫y(單位:℃)與時間x(單位:min)之間都近似滿足一次函數關系如圖所示.根據相關信息,解答下列問題:
(1)求甲壺中的水溫y與x的函數關系式(不必寫自變量的取值范圍).
(2)當乙壺中的水溫是78 ℃時,甲壺中水的溫度是多少
(3)測試多長時間內,這兩個保溫壺中水的溫差不超過5 ℃
　　實際問題中一次函數的確定方法
　　(1)第一步:甲壺中的水溫y(單位:℃)與時間x(單位:min)之間近似滿足一次函數關系,所以可設y=kx+b.
第二步:把圖象經過的兩點的坐標,代入解析式,可得方程組.
第三步:解方程組得到k與b的值,從而求得函數解析式.
以上求函數解析式所用的數學方法是待定系數法.
(2)第一步:觀察圖象可知,當乙壺中的水溫是78 ℃時,x對應的值.
第二步:將x的值代入(1)中求得的解析式,計算得到甲壺中水的溫度.
(3)第一步:同(1)求得乙壺中的水溫y與x的函數關系式.
　　第二步:根據“兩個保溫壺的溫差不超過5 ℃”列不等式.
第三步:解不等式,得到答案
題型2　文字、表格型實際應用問題
(2024·石家莊模擬)某電子屏上下邊緣距離為12 cm,A點為左邊緣上一點,一光點P從左邊緣A點出發在電子屏上沿圖中虛線L(直線方向)運動,到達下邊緣停止,運動時間為t(單位:s),圖是光點P運動過程中的某位置,P與電子屏左邊緣的水平方向的距離為S cm,S與t成正比例,P與電子屏上邊緣豎直距離為d cm,d由兩部分組成,一部分與t成正比例,一部分保持不變,且S,d與t滿足表格中的數據.
t/s 1 2
S/cm 4 8
d/cm 6 9
(1)用含t的代數式表示S與d,并直接寫出P點在水平方向的運動速度vL,及在豎直方向的運動速度v2.
(2)P與電子屏下邊緣豎直距離為h cm,求出h與S之間的關系式,并通過計算說明h不少于3 cm的時長是多少.
　　解一次函數實際應用問題的一般方法
　　河北省考查一次函數的實際應用問題,通常會涉及23個函數關系式,通過它們之間的聯系與差異作為命題點,與方程、不等式相結合.有時會借助表格、圖畫、圖形、光點運動等表達方式,豐富情境素材.
參考答案
真題精粹·重變式
1.(1)∵2號機爬升角度為45°,
∴OA上的點的橫縱坐標相同,
∴A(4,4).
設OA的解析式為h=ks,
∴4k=4,
∴k=1,
∴OA的解析式為h=s.
∵2號機一直保持在1號機的正下方,
∴它們飛行的時間和飛行的水平距離相同.
∵2號機爬升到A處時水平方向上移動了4km,飛行的距離為4km,
又∵1號機的飛行速度為3km/min,
∴2號機的爬升速度為4÷=3 km/min.
(2)設BC的解析式為h=ms+n.
由題意得B(7,4),C(10,3),
∴解得
∴BC的解析式為h=-s+.
令h=0,則s=19.
∴預計2號機著陸點的坐標為(19,0).
(3)當PQ=3km時,h=5-3=2(km).
由h=s,得s=2;
由-s+=2,得s=13.
∴兩機距離PQ不超過3km的時長為(13-2)÷3=(min).
2.(1)①排尾從位置O開始行進的時間為t (s),則排頭也離開原排頭t (s),
∴S頭=2t+300.
②甲從排尾趕到排頭的時間為300÷(2v-v)=300÷v=300÷2=150 s,此時S頭=2t+300=600 m.
甲返回時間為(t-150)s,
∴S甲=600-S甲回=600-4(t-150)=1 200-4t;
因此,S頭與t的函數關系式為S頭=2t+300,當甲趕到排頭位置時,S頭的值為600 m,在甲從排頭返回到排尾過程中,S甲與t的函數關系式為S甲=1 200-4t.
(2)T=t追及+t返回=+=,
在甲這次往返隊伍的過程中隊伍行進的路程為v×=400 m.
因此T與v的函數關系式為T=,此時隊伍在此過程中行進的路程為400 m.
核心突破·拓思維
例1
(1)設甲壺中的水溫y與x的函數關系式為y=kx+b.
∵乙壺的保溫性能好,
∴甲壺的水溫y與時間x的關系圖象經過點(0,90),(360,60).
分別代入,得解得
∴y=-x+90.
(2)由題圖可知,當乙壺中的水溫是78 ℃時,x=216.
將x=216代入y=-x+90,
得-×216+90=72.
∴當乙壺中的水溫是78 ℃時,甲壺中水的溫度是72 ℃.
(3)同(1)求得乙壺中的水溫y與x的函數關系式為y=-x+90.
由題意,得-x+90--x+90≤5,解得x≤180,
即測試180 min內(含180 min),這兩個保溫壺中水的溫差不超過5 ℃.
例2
(1)∵S與t成正比例,
∴設S=k1t(k1≠0),
把t=1,S=4代入,得k1=4,
∴S=4t.
∵d由兩部分組成,一部分與t成正比例,一部分保持不變,
∴設d=k2t+b(k2≠0),
把t=1,d=6與t=2,d=9代入,得
解得
∴d=3t+3.
點P在水平方向運動的速度vL:(8-4)÷(2-1)=4(cm/s).
點P在豎直方向的運動速度v2:(9-6)÷(2-1)=3(cm/s).
∴點P在水平方向的運動速度為4 cm/s,點P在豎直方向的運動速度為3 cm/s.
(2)根據題意,得h=12-d=12-(3t+3)=-3t+9,
∵S=4t,
∴t=S,
∴h=-3t+9=-S+9.
∵0≤t≤3,
∴0≤S≤12,
∴h=-S+9(0≤S≤12).
當h≥3時,-3t+9≥3,
解得t≤2.
答:h不少于3 cm的時長是不超過2 s.

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