資源簡介

第2節　與圓有關的位置關系
(6年10考,2~10分)
　　與圓有關的位置關系涉及的知識點很多,其中切線的性質是重中之重.預測2025年中考的解答題中,仍會考查切線的性質,并與其他幾何知識組合成為圓的綜合題,而且考查難度增大.
回歸教材·過基礎——河北中考核心考點梳理
【知識體系】
【考點清單】
考點1與圓有關的位置關系　
點與圓的 位置關系 設點到圓心的距離為d 1.d①　　　　r 點在☉O內. 2.d②　　　　r 點在☉O上. 3.d③　　　　r 點在☉O外
直線與 圓的位 置關系 位置關系 相離 相切 相交
圖形
公共點個數 0 1 2
數量關系 d>r d=r d考點2切線　(常考點)
切線的判定 1.與圓只有一個公共點的直線是圓的切線(定義法). 2.到圓心的距離等于④　　　　的直線是圓的切線. 3.經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線
切線的性質 1.切線與圓只有一個公共點. 2.切線到圓心的距離等于圓的⑤　　　　. 3.切線垂直于經過切點的半徑
切線長 1.定義:從圓外一點作圓的切線,這點與切點之間的線段長叫作這點到圓的切線長. 2.切線長定理:從圓外一點可以引圓的兩條切線,兩切線長⑥　　　　,圓心與這一點的連線平分兩條切線的夾角
考點3三角形與圓　(輪考點)
三角形的 外接圓 圖形 相關概念 圓心的確定 內、外心的性質
經過三角形各頂點的圓叫作三角形的外接圓,外接圓的圓心叫作三角形的外心,這個三角形叫作圓的內接三角形 三角形三邊垂直平分線的交點 外心到三角形的三個⑦　　　　的距離相等
三角形的 內切圓 與三角形各邊都相切的圓叫作三角形的內切圓,內切圓的圓心叫作三角形的內心 三角形三條角平分線的交點 內心到三角形的三條邊的距離相等
【溫馨提示】1.在△ABC中,若∠ACB=90°,AC=b,BC=a,AB=c,則△ABC內切圓的半徑r= 2.△ABC的三邊長分別為a,b,c,☉O內切于△ABC,且半徑為r,則有r=
【基礎演練】
1.(人教九上P101第1題變式)已知☉O的半徑為3 cm,點P到圓心O的距離OP=2 cm,則點P (　　)
A.在☉O外 B.在☉O上
C.在☉O內 D.無法確定
2.如圖,在4×4的網格圖中,A,B,C是三個格點,其中每個小正方形的邊長為1,△ABC的外心可能是(　　)
A.M點 B.N點
C.P點 D.Q點
3.(冀教九下P9第1題變式)如圖,P為☉O外一點,PA為☉O的切線,A為切點,PO交☉O于點B,∠P=30°,OB=3,則線段OP的長為 (　　)
A.3
B.3
C.6
D.9
4.(冀教九下P7第2題變式)在平面直角坐標系中,以點(-3,4)為圓心,3為半徑的圓 (　　)
A.與x軸相離,與y軸相切
B.與x軸相離,與y軸相交
C.與x軸相切,與y軸相交
D.與x軸相切,與y軸相離
5.(北師九下P93習題3.8第2題改編)如圖,I是△ABC的內心,若∠AIB=125°,則∠C等于 (　　)
A.65° B.70°
C.75° D.80°
6.如圖,AB是☉O的直徑,要使得直線AT是☉O的切線,需要添加的一個條件是　　　　.(寫一個條件即可)
7.(北師九下P96第2題變式)如圖,☉O與△ABC的邊AB,AC,BC分別相切于點D,E,F,如果AB=4,AC=5,AD=1,那么BC的長為　　　　.
真題精粹·重變式——河北6年真題精選及拓展
考向1與切線有關的證明與計算　(6年6考)
1.(2021·河北24題9分)如圖,☉O的半徑為6,將該圓周12等分后得到表盤模型,其中整鐘點為An(n為1~12的整數),過點A7作☉O的切線交A1A11的延長線于點P.
(1)通過計算比較直徑和劣弧長度哪個更長.
(2)連接A7A11,則A7A11和PA1有什么特殊位置關系 請簡要說明理由.
(3)求切線長PA7的值.
2.(2020·河北22題9分)如圖,O為AB的中點,分別延長OA到點C,OB到點D,使OC=OD.以點O為圓心,分別以OA,OC為半徑在CD上方作兩個半圓.P為小半圓上任意一點(不與點A,B重合),連接OP并延長交大半圓于點E,連接AE,CP.
(1)①求證:△AOE≌△POC.
②寫出∠1,∠2和∠C三者間的數量關系,并說明理由.
(2)若OC=2OA=2,當∠C最大時,直接指出CP與小半圓的位置關系,并求此時S扇形EOD(答案保留π).
3.(2019·河北25題10分)如圖1和圖2,在 ABCD中,AB=3,BC=15,tan∠DAB=.P為AB延長線上一點,過點A作☉O切CP于點P,設BP=x.
(1)如圖1,x為何值時,圓心O落在AP上 若此時☉O交AD于點E,直接指出PE與BC的位置關系.
(2)當x=4時,如圖2,☉O與AC交于點Q,求∠CAP的度數,并通過計算比較弦AP與劣弧PQ長度的大小.
(3)當☉O與線段AD只有一個公共點時,直接寫出x的取值范圍.
　　圖1　　　　　　　圖2　　　　　備用圖
考向2三角形的內心和外心　(6年4考)
4.(2019·河北10題3分)根據圓規作圖的痕跡,可用直尺成功找到三角形外心的是 (　　)
　A　　　　　　　B　
　C　　　　　　　D　
5.(2020·河北14題2分)有一題目:“已知點O為△ABC的外心,∠BOC=130°,求∠A.”嘉嘉的解答為畫△ABC以及它的外接圓O,連接OB,OC,如圖所示.由∠BOC=2∠A=130°,得∠A=65°.而淇淇說:“嘉嘉考慮的不周全,∠A還應有另一個不同的值.”下列判斷正確的是 (　　)
A.淇淇說的對,且∠A的另一個值是115°
B.淇淇說的不對,∠A就得65°
C.嘉嘉求的結果不對,∠A應得50°
D.兩人都不對,∠A應有3個不同值
6.(2022·河北16題2分)題目:“如圖,∠B=45°,BC=2,在射線BM上取一點A,設AC=d,若對于d的一個數值,只能作出唯一一個△ABC,求d的取值范圍.”對于其答案,甲答:d≥2.乙答:d=1.6.丙答:d=.則正確的是 (　　)
A.只有甲答得對
B.甲、丙答案合在一起才完整
C.甲、乙答案合在一起才完整
D.三人答案合在一起才完整
核心突破·拓思維——學科核心素養提升
題型1　與切線有關的證明與計算
(原創·一題多設問)如圖1,已知AB是☉O的直徑,P為BA延長線上一點,PC是☉O的切線,C為切點,連接BC.
(1)若∠P=26°,則∠B的度數為　　　　°.
(2)若☉O 的直徑等于5, PC=6,則PA=　　　　.
(3)若CP=CB,①則∠B的度數為　　　　;②當PA=3時,PC=　　　　.
(4)如圖2,過點A作☉O的切線交CP于點E,若CP=8,AE=3,則△APE的周長為　　　　,☉O的半徑為　　　　.
(5)如圖3,過點B作BD⊥PC交PC的延長線于點D.
①求證:BC平分∠PBD.
②若BC=2,BD=3,求☉O的直徑AB的長.
　　　　“切線的故事”
1個主題 直角三角形
4條線索 勾股定理
三角函數
相似
面積法
　　圓的切線是河北省中考必考知識點,并且所占分量較重,有時在一份試卷的不同題型中兩次考查.其中,切線相關性質(包括切線長定理等)重點考查,切線的判定考查較少.因為圓的知識綜合性較強,所以在解答題中必然與其他幾何知識融為一體,有時甚至占據壓軸題的位置,難度相對較大.
1.如圖,△ABC是一張周長為17 cm的三角形紙片,BC=5 cm,☉O是它的內切圓,小明準備用剪刀在☉O的右側沿著與☉O相切的任意一條直線MN剪下△AMN,則剪下的三角形的周長為 (　　)
A.12 cm
B.7 cm
C.6 cm
D.隨直線MN的變化而變化
2.(中華優秀傳統文化)在古代,智慧的勞動人民已經會使用“石磨”,其原理為在磨盤的邊緣連接一個固定長度的“連桿”,推動“連桿”帶動磨盤轉動,將糧食磨碎,物理學上稱這種動力傳輸工具為“曲柄連桿機構”.
小明受此啟發設計了一個“雙連桿機構”,設計圖如圖1所示,兩個固定長度的“連桿”AP,BP的連接點P在☉O上,當點P在☉O上轉動時,帶動點A,B分別在射線OM,ON上滑動,OM⊥ON.當AP與☉O相切時,點B恰好落在☉O上,如圖2所示.請僅就圖2的情形解答下列問題.
(1)求證:∠PAO=2∠PBO.
(2)若☉O的半徑為3,AP=4,求BP的長.
　　1.一條切線時,可用切線的性質定理.
2.兩條切線時,若兩條切線相交,則可用切線長定理;若兩條切線平行,則兩條切線間的距離等于圓的直徑.
3.三條切線時,圍成的三角形是圓的外切三角形.
4.四條切線時,圍成的四邊形是圓的外切四邊形,兩組對邊的和相等.
5.更多切線時,圍成的多邊形是圓的外切多邊形,若多邊形是正多邊形,則可利用圓的有關計算方法解決正多邊形問題.
(1)由切線的性質,得到直角三角形銳角互余
↓
利用圓周角與圓心角的關系進行證明
↓
(2)過點P作PD⊥BC于點D,結合(1)證明△PDO∽△OPA
↓
由對應邊成比例,求出PD,OD
↓
在Rt△PBD中運用勾股定理求PB的長
題型2　與內心或外心相關的計算
(2024·邯鄲模擬)如圖1,把△ABC剪成三部分,邊AB,BC,AC放在同一直線l上(如圖2),點O都落在直線MN上,直線MN∥l.在△ABC中,若∠BOC=125°,則∠BAC的度數為 (　　)
圖1
圖2
A.60° B.65° C.70° D.75°
　　利用內心橫向拓展,串聯相關知識
·角平分線(出現相等的角)
·角平分線的性質(出現相等的垂線段)
·全等三角形(出現更多相等的角與相等的線段)
·“內心角”與內角關系∠BIC=90°+
·過內心作一邊的平行線→兩個等腰三角形→截得三角形的周長=另兩邊之和
·到三邊距離相等均為內切圓半徑r,S△ABC=,l=a+b+c
·m=,n=,p=
如圖,在△ABC中,AC=8,∠A=30°,∠CBA=50°,P為AB邊上任意一點(P不與點B,A重合),I為△BPC的內心,則
(1)CP的最小值為　　　　.
(2)∠CIB的取值范圍是　　　　.
　　三角形的內心與外心曾是河北省中考試卷上的“常客”,不僅會在選擇、填空題中單獨考查,也會與三角形、四邊形等知識綜合考查,并且在解答題中經常作為難度較大的題目出現.雖然近兩年輝煌不再,但仍值得重視,有時會“改頭換面”出現在試卷中.
　　(1)由“垂線段最短”構造直角三角形,利用含有30°角的直角三角形性質求解.
(2)由角平分線定義和三角形內角和定理,可得∠CIB=90°+∠BPC,故∠CIB的大小取決于∠BPC.由P為AB邊上任意一點(P不與點B,A重合)可知,30°<∠BPC<130°,據此計算∠CIB的取值范圍.
參考答案
考點清單
①<　②=　③>　④半徑　⑤半徑　⑥相等　⑦頂點
基礎演練
1.C　2.D　3.C　4.A　5.B
6.∠TAC=∠B(答案不唯一)　7.7
真題精粹·重變式
1.(1)劣弧=×2π×6=4π>12,
∴劣弧比直徑長.
(2)PA1⊥A7A11.理由:如圖,連接A1A7.
∵A1A7是☉O的直徑,
∴∠A7A11A1=90°,
∴PA1⊥A7A11.
(3)∵PA7是☉O的切線,
∴PA7⊥A1A7,
∴∠PA7A1=90°.
∵∠PA1A7=60°,A1A7=12,
∴PA7=A1A7·tan 60°=12.
2.(1)①證明:在△AOE和△POC中,
　
∴△AOE≌△POC(SAS).
②∠1+∠C=∠2.
理由:∵△AOE≌△POC,∴∠E=∠C.
∵∠1+∠E=∠2,∴∠1+∠C=∠2.
(2)當CP與小半圓相切時,∠C最大.
∵OC=2OA=2,∴OC=2OP.
∵CP與小半圓相切,∴∠OPC=90°,∴∠OCP=30°,∴∠DOE=∠OPC+∠OCP=120°,
∴S扇形EOD==π.
3.(1)∵CP與☉O相切于點P,∴∠APC=90°.
∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴AD∥BC,
∴∠PBC=∠DAB,
∴=tan∠PBC=tan∠DAB=.
設CP=4k,BP=3k,由CP2+BP2=BC2,
得(4k)2+(3k)2=152,解得k1=-3(舍去),k2=3,
∴x=BP=3×3=9,
故當x=9時,圓心O落在AP上.
∵AP是☉O的直徑,∴∠AEP=90°,∴PE⊥AD.
∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴BC∥AD,
∴PE⊥BC.
(2)如圖1,過點C作CG⊥AP于點G.
∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴BC∥AD,
∴∠CBG=∠DAB,
∴=tan∠CBG=tan∠DAB=.
設CG=4m,BG=3m,由勾股定理得(4m)2+(3m)2=152,解得m=3,
∴CG=4×3=12,BG=3×3=9,PG=BG-BP=9-4=5,AP=AB+BP=3+4=7,
∴AG=AB+BG=3+9=12,
∴tan∠CAP===1,∴∠CAP=45°.
連接OP,OQ,過點O作OH⊥AP于點H,則∠POQ=2∠CAP=2×45°=90°,PH=AP=.
在Rt△CPG中,CP===13.
∵CP是☉O的切線,∴∠OPC=∠OHP=90°,∠OPH+∠CPG=90°,∠PCG+∠CPG=90°,
∴∠OPH=∠PCG,∴△OPH∽△PCG,
∴=,即PH×CP=CG×OP,×13=12OP,∴OP=,
∴劣弧PQ的長度==π.
∵π<2π<7,
∴弦AP的長度>劣弧PQ的長度.
(3)如圖2,☉O與線段AD只有一個公共點,即圓心O位于直線AB下方,且∠OAD≥90°.
當∠OAD=90°,∠CPM=∠DAB時,此時BP取得最小值,過點C作CM⊥AB于點M.
∵∠DAB=∠CBP,
∴∠CPM=∠CBP,
∴CB=CP.
∵CM⊥AB,∴BP=2BM=2×9=18,∴x≥18.
4.C　5.A　6.B
核心突破·拓思維
例1
(1)32.　(2)4.　(3)30°;3.　(4)12;6.
(5) ①證明:如圖,連接OC.
∵PC與☉O相切,
∴OC⊥PC,即∠OCP=90°.∵BD⊥PD,
∴∠BDP=90°,
∴OC∥BD,
∴∠BCO=∠CBD.
∵OB=OC,∴∠PBC=∠BCO,∴∠PBC=∠CBD,
∴BC平分∠PBD;
②如圖,連接AC.
∵AB為☉O的直徑,∴∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠CDB=90°.∵∠ABC=∠CBD,
∴△ABC∽△CBD,∴BC∶BD= AB∶BC,
∴BC2=AB·BD,即(2)2=AB×3,∴AB=4.
變式訓練
1.B　提示:如圖,設D,E,F分別是☉O的切點,則DM=MF,FN=EN.
∵AB+BC+AC=17 cm,BC=5 cm,
由切線長定理,得BD+CE=BC=5 cm,
∴AD+AE=17-2×5=7(cm),
∴AM+AN+MN=AD+AE=7(cm),故選B.
2.(1)證明:如圖1,連接OP.
∵AP與☉O相切,
∴OP⊥AP,
∴∠APO=90°,
∴∠PAO+∠POA=90°,OM⊥ON,
∴∠POQ+∠POA=90°,
∴∠POQ=∠PAO.
∵點B恰好落在☉O上,
∴∠PBO=∠POQ=∠PAO,
∴∠PAO=2∠PBO.
(2)如圖2,連接CP,過點P作PD⊥BC于點D,∠PDO=90°,
由(1)可知,∠POQ=∠PAO,∠APO=90°,
∴△PDO∽△OPA,
∴==.
∵AO2=AP2+OP2,☉O的半徑為3,AP=4,
∴AO=5,∴==,∴PD=,OD=,
∴BD=BO+OD=3+=.
在Rt△PBD中,PB2=PD2+BD2,
∴PB2=2+2,∴PB=.
例2
C　提示:如圖,過點O分別作OD⊥AC于點D,OE⊥AB于點E,OF⊥BC于點F.
∵直線MN∥l,
∴OD=OE=OF,
∴點O是△ABC的內心,O為三個內角平分線的交點,
∴∠ABC+∠ACB=2(∠OBC+∠OCB)=2×(180°-125°)=110°,
∴∠BAC=70°,故選C.
變式訓練
(1)4　(2)105°<∠CIB<155°
提示:(1)根據垂線段最短可知,當CP⊥AB時,PC的值最小.
∵此時∠APC=90°,∠A=30°,
∴PC=AC=4.
故答案為4.
(2)∵I為△BPC的內心,
∴∠IBC=∠PBC,∠ICB=∠PCB,
∴∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-(180°-∠BPC)=90°+∠BPC.
∵30°<∠BPC<130°,
∴105°<∠BIC<155°.
故答案為105°<∠BIC<155°.

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