資源簡介

第2節　一次函數的圖象、性質與解析式
(每年1~2題,2~13分)
　　一次函數是河北中考必考的重點內容,題型大致集中在兩個方面:一是考查一次函數的圖象性質,解答難度較大的問題時可使用少量幾何原理(比如平行線分線段成比例定理);二是一次函數的實際應用,每年或隔年輪換一次題型.預測2025年河北省中考解答題會出現上述兩種題型之一,需要確定一次函數的解析式,并根據一次函數性質求解,可能涉及直線的平移、軸對稱等圖形變換.同時考查數形結合思想、待定系數法等重要的數學思想方法.
回歸教材·過基礎——河北中考核心考點梳理
【知識體系】
【考點清單】
考點1一次函數的概念及其圖象、性質　(常考點)
一次函數 的相關 概念 1.概念:一般來說,形如y=kx+b(k≠0)的函數叫作一次函數.特別地,當b=0時,稱為正比例函數. 2.圖象形狀:一次函數y=kx+b是一條經過點(0,b)和(① 　　　　,0)的直線.特別地,正比例函數y=kx的圖象是一條恒經過點②　　　　的直線
一次函數 的性質 k,b符號 k>0,b>0 k>0,b<0 k>0,b=0 k<0,b>0 k<0,b<0 k<0,b=0
大致圖象
經過象限 一、二、三 一、三、四 一、三 一、二、四 二、三、四 二、四
圖象性質 y隨x的增大而③　　　　 y隨x的增大而④　　　　
一次函數與 坐標軸交 點坐標 1.交點坐標:求一次函數與x軸的交點,只需令y=0,解出x即可;求與y軸的交點,只需令x=0,求出y即可.故一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象與x軸的交點是-,0,與y軸的交點是(0,b). 2.正比例函數y=kx(k≠0)的圖象恒過點(0,0)
考點2確定一次函數解析式　(輪考點)
確定一次函數解析式的條件1.待定系數法,其一般步驟如下: 設:設函數解析式為⑤　　　　(k≠0). 代:將已知點的坐標代入函數解析式,解方程或方程組.解:求出k與b的值,得到函數解析式. 寫:將k,b的值代入所設解析式. 2.常見類型: (1)已知兩點確定解析式. (2)已知兩對函數對應值確定解析式. (3)平移轉化型:如已知函數是由y=2x平移所得到的,且經過點(0,1),則可設要求函數的解析式為⑥　　　　,再把點(0,1)的坐標代入即可
一次函數y=kx+b(k≠0)圖象的平移規律: 1.一次函數圖象平移前后⑦　　　　不變,或兩條直線可以通過平移得到,則可知它們的⑧　　　　值相同. 2.若向上平移h(h>0)個單位長度,則函數解析式變為y=kx+b+h;若向下平移h(h>0)個單位長度,則函數解析式變為y=kx+b-h. 3.若向左平移m(m>0)個單位長度,則函數解析式變為y=k(x+m)+b;若向右平移m(m>0)個單位長度,則函數解析式變為y=k(x-m)+b
考點3一次函數與方程(組)、不等式的關系
一次函數與方程一元一次方程kx+b=0的根就是一次函數y=kx+b(k,b是常數,k≠0)的圖象與x軸交點的橫坐標
一次函數與方程組二元一次方程組的解 兩個一次函數y=k1x+b1 和y=k2x+b2圖象的交點坐標
一次函數與不等式1.函數y=kx+b的函數值y⑨　　　　時,自變量x的取值范圍就是不等式kx+b>0的解集. 2.函數y=kx+b的函數值y⑩　　　　時,自變量x的取值范圍就是不等式kx+b<0的解集
【基礎演練】
1.(人教八下P82第4題變式)下列函數中,y是x的一次函數的是 (　　)
A.y=x2-5 B.y=3
C.y=kx+b D.y=x-1
2.對于一次函數y=-2x+6的圖象及性質,下列結論正確的是 (　　)
A.函數圖象經過第一、二、三象限
B.y隨x的增大而增大
C.函數圖象與y=-2x+1的圖象平行
D.函數圖象必過點(-3,0)
3.(人教八下P90第2題變式)在一次函數y=kx+b中,當x=1時,y=-1;當x=2時,y=3.則當x=-2時,y的值是 (　　)
A.-3 B.-2 C.13 D.-13
4.(北師大八上P124習題5.7第1題變式)如果直線y=3x+6與y=2x-4的交點坐標為(a,b),那么下列選項中解為的方程組是 (　　)
A. B.
C. D.
真題精粹·重變式——河北6年真題精選及拓展
考向1一次函數圖象的判斷
1.若k≠0,b<0,則y=kx+b的圖象可能是 (　　) A　　　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　　　D
考向2一次函數的圖象與性質　(6年5考)
2.如圖,直線l:y=-x-3與直線y=a(a為常數)的交點在第四象限,則a的值可能是 (　　) A.1 B.-1 C.-3 D.-4
考向3一次函數圖象的綜合問題　(6年4考)
3.(2024·河北25題10分)如圖,在平面直角坐標系中,線段AB的端點為A(-8,19),B(6,5).
(1)求AB所在直線的解析式.
(2)某同學設計了一個動畫:在函數y=mx+n(m≠0,y≥0)中,分別輸入m和n的值,得到射線CD,其中C(c,0).當c=2時,會從C處彈出一個光點P,并沿CD飛行;當c≠2時,只發出射線而無光點彈出.
①若有光點P彈出,試推算m,n應滿足的數量關系;
②當有光點P彈出,并擊中線段AB上的整點(橫、縱坐標都是整數)時,線段AB就會發光,求此時整數m的個數.
4.(2023·河北24題10分)表格中的兩組對應值滿足一次函數y=kx+b,現畫出了它的圖象為直線l,如圖所示.而某同學為觀察k,b對圖象的影響,將上面函數中的k與b交換位置后得到另一個一次函數,設其圖象為直線l'.
x -1 0
y -2 1
(1)求直線l的解析式.
(2)請在圖上畫出直線l'(不要求列表計算),并求直線l'被直線l和y軸所截線段的長.
(3)設直線y=a與直線l,l'及y軸有三個不同的交點,且其中兩點關于第三點對稱,直接寫出a的值.
核心突破·拓思維——學科核心素養提升
題型1　用動態觀念解決一次函數圖象問題
如圖,在平面直角坐標系中,線段AB兩個端點的坐標分別為A(0,1),B(2,1).
(1)若直線y=x+b與線段AB有交點,求b的取值范圍.
(2)若直線y=kx-1與線段AB有交點,求k的取值范圍.
　　(1)把直線y=x+b看作是由直線y=x平移得到的一條直線,分別計算它經過點A,B時b的值,進而得到b的取值范圍.
(2)把直線y=kx-1看作繞點(0,-1)旋轉的一條直線,分別計算它經過點A,B時k的值,進而得到k的取值范圍.
題型2　一次函數圖象綜合問題
(2024·河北一模)如圖,在平面直角坐標系xOy中,直線l1:y=2x+1與y軸交于點A,直線l2與y軸,x軸交于點B,點C,l1與l2交于點D(1,m),連接OD,已知OC的長為4.
(1)求點D的坐標及直線l2的解析式.
(2)求△AOD的面積.
(3)若直線l2上有一點P使得△ADP的面積等于△ADO的面積,直接寫出點P的坐標.
　　坐標系中三角形面積的求法
　　河北省中考試卷上出現一次函數圖象綜合問題,除了與其他圖象的綜合外,主要是與幾何圖形的簡單綜合,之所以簡單,體現在三個方面:一是幾何圖形簡單,以三角形或矩形為主,且經常有平行于坐標軸的邊;二是圖形關系簡單,通常不涉及全等、相似等;三是圖形的地位簡單,在題目中屬于“配角”,考查的重點仍然是一次函數圖象.
參考答案
考點清單
①-　②(0,0)　③增大?、軠p小　⑤y=kx+b
⑥y=2x+b　⑦k　⑧k?、?0?、?0
基礎演練
1.D　2.C　3.D　4.A
真題精粹·重變式
1.B　2.D
3.(1)設直線AB的解析式為y=kx+b,
把A(-8,19),B(6,5)代入,得
解得
故直線AB的解析式為y=-x+11.
(2)①由題意可知直線y=mx+n經過點(2,0),
∴2m+n=0.
②由2m+n=0,得n=-2m,則射線CD所在直線的解析式為y=mx-2m.
設直線AB與射線CD交于點E,
由得-x+11=mx-2m,
∴(m+1)x=2m+11,
∴x===2+.
∵x為整數,∴m+1可取-9,-3,-1,1,3,9,對應的2+分別為1,-1,-7,11,5,3,
對應的m分別為-10,-4,-2,0,2,8.
∵m≠0,∴整數m的個數為5.
4.(1)∵在直線l:y=kx+b中,當x=-1時,y=-2;當x=0時,y=1,∴解得
∴直線l的解析式為y=3x+1.
(2)依題意可得直線l'的解析式為y=x+3.
如圖,由得
∴兩直線的交點為A(1,4).
∵直線l':y=x+3與y軸的交點為B(0,3),
∴直線l'被直線l和y軸所截線段的長為AB==.
(3)把y=a代入y=3x+1,得a=3x+1,解得x=;
把y=a代入y=x+3,得a=x+3,解得x=a-3.
分三種情況:
①當第三點在y軸上時,a-3+=0,
解得a=;
②當第三點在直線l上時,2×=a-3,
解得a=7;
③當第三點在直線l'上時,2×(a-3)=,
解得a=.
綜上所述,當直線y=a與直線l,l'及y軸有三個不同的交點,且其中兩點關于第三點對稱時,a的值為或7或.
核心突破·拓思維
例1
(1)當直線y=x+b經過點A(0,1)時,
可得b=1.
當直線y=x+b經過點B(2,1)時,
可得×2+b=1,解得b=0.
∵直線y=x+b在點A,B之間平移,
∴b的取值范圍為0≤b≤1.
(2)當直線y=kx-1經過點B(2,1)時,
可得2k-1=1,解得k=1.
直線y=kx-1繞點(0,-1)逆時針旋轉的過程中,
經過第一象限時,k的值變大,則k的取值范圍為k≥1;
經過點A(0,1)時,與y軸重合,直線為x=0,不含k;
經過第二象限時,即k<0,與線段AB無交點,
綜上可知,k的取值范圍為k≥1.
例2
(1)∵點D(1,m)在直線l1:y=2x+1上,
∴m=2×1+1=3,
∴點D的坐標為(1,3).
∵OC的長為4,
∴C(4,0).
設直線l2的解析式為y=kx+b,
把D(1,3),C(4,0)代入y=kx+b,得
解得
∴直線l2的解析式為y=-x+4.
(2)∵直線l1的解析式為y=2x+1,
∴點A坐標為(0,1),
∴SAOD=OA·xD=×1×1=.
(3)由(1)知,直線l2的解析式為y=-x+4,
∴點B坐標為(0,4).
如圖,設點P坐標為(m,-m+4),
當P在射線DB上時,
∵S△APD=S△ABD-S△ABP,
∴=AB·xD-AB·xP,
即=×3×1-×3m,
解得m=,
∴P,;
當P在射線DC上時,
過點A作x軸的平行線交BC于點Q,
則Q(3,1),
∴S△ADQ=AQ·(yD-1)=×3×2=3,
S△APQ=AQ·(yP-1)=×3(-m+3),
∴S△ADP=S△ADQ-S△APQ,
∴=3-(-m+3),
解得m=,
∴P,.
綜上所述,點P的坐標為,或,.

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