資源簡介

第2節　概率
(6年6考,2~10分)
　　概率是河北省中考必考內容,既會在選擇題或填空題中單獨考查,也會出現在解答題中,與統計或其他知識綜合考查.2021年和2024年都有以概率為主的解答題,2019年和2020年出現概率與其他知識綜合的解答題,總體來看,概率的地位有所提升.預測2025年河北省中考對于統計與概率兩個主題的考查會綜合考慮,統籌布局,總分控制在12~14分.在實際問題中考查概率的計算,關鍵在于采用適當的方法列舉所有等可能出現的結果.
回歸教材·過基礎——河北中考核心考點梳理
【知識體系】
【考點清單】
考點1隨機事件與概率　
概率 定義:表示一個事件發生的可能性大小的數值
事件的類型及其概率 必然事件 ①　　　　
②　　　　 0
不確定性事件(隨機事件) ③　　　　考點2隨機事件概率的計算　(輪考點)
隨機事件概率的計算 公式法 P(A)=(m表示試驗中事件A出現的次數,n表示所有等可能出現的結果的次數)
直接列舉法 當一次試驗中可能出現的結果數量有限且各種結果出現的可能性相等時
⑤　　　　 當一次試驗涉及兩個因素,并且可能出現的結果數較多時
畫樹狀圖法 當一次試驗涉及兩個或更多因素(例如從3個口袋中取球)時
用頻率估計概率 在大量重復試驗條件下,事件發生的頻率會在某個常數附近擺動時,可用其頻率估計概率
【基礎演練】
1.(人教九上P128練習變式)下列語句所描述的事件是隨機事件的是 (　　)
A.兩點決定一直線
B.清明時節雨紛紛
C.沒有水分,種子發芽
D.太陽從東方升起
2.中國古代數學有著輝煌的成就,《周髀算經》《算學啟蒙》《測圓海鏡》《四元玉鑒》是我國古代數學的重要文獻.某中學擬從這四部數學名著中選擇一部作為校本課程“數學文化”的學習內容,恰好選中《算學啟蒙》的概率是 (　　)
A. B. C. D.
3.(北師七下P151議一議變式)如圖,這是由6個全等的小正方形組成的圖案,假設可以隨意在圖中取一點,那么這個點取在陰影部分的概率是 (　　)
A. B. C. D.1
4.(北師九上P62第2題變式)不透明的袋子中有3個小球,其中有1個紅球,1個黃球,1個綠球,除顏色外3個小球無其他區別,從中隨機摸出一個小球,放回并搖勻,再從中隨機摸出一個小球,那么兩次摸出的小球都是紅球的概率是 (　　)
A. B.
C. D.
5.一個不透明的布袋中裝有除顏色外均相同的14個黑球,5個白球和若干個紅球,每次搖勻后隨機摸出一個球,記下顏色后再放回袋中,通過大量重復摸球試驗后,發現摸到白球的頻率穩定在0.2,則袋中紅球有　　　　個.
真題精粹·重變式——河北6年真題精選及拓展
考向1可能性的大小　(6年1考)
1.(2023·河北4題3分)有7張撲克牌如圖所示,將其打亂順序后,背面朝上放在桌面上,若從中隨機抽取一張,則抽到的花色可能性最大的是 (　　)
A.(黑桃) B.(紅心)
C.(梅花) D.(方塊)
考點2單純概率計算　(6年2考)
2.(2022·河北17題3分)如圖,某校運會百米預賽用抽簽方式確定賽道.若琪琪第一個抽簽,她從1~8號中隨機抽取一簽,則抽到6號賽道的概率是　　　　.
3.(2021·河北22題9分)某博物館展廳的俯視示意圖如圖1所示.嘉淇進入展廳后開始自由參觀,每走到一個十字道口,她可能直行,也可能向左轉或向右轉,且這三種可能性均相同.
(1)求嘉淇走到十字道口A向北走的概率.
(2)補全圖2的樹狀圖,并分析嘉淇經過兩個十字道口后向哪個方向參觀的概率較大.
圖1
圖2
考點3統計與概率結合　(6年1考)
4.(2024·河北21題9分)甲、乙、丙三張卡片正面分別寫有a+b,2a+b,a-b,除正面的代數式不同外,其余均相同.
(1)將三張卡片背面向上并洗勻,從中隨機抽取一張,當a=1,b=-2時,求取出的卡片上代數式的值為負數的概率.
(2)將三張卡片背面向上并洗勻,從中隨機抽取一張,放回后重新洗勻,再隨機抽取一張.請在表格中補全兩次取出的卡片上代數式之和的所有可能結果(化為最簡),并求出和為單項式的概率.
a+b 2a+b a-b
a+b 2a+2b 2a
2a+b
a-b 2a
5.(2019·河北22題9分)某球室有三種品牌的4個乒乓球,價格(單位:元)是7,8,9三種.從中隨機拿出一個球,已知P(一次拿到8元球)=.
(1)求這4個球的價格的眾數.
(2)若甲組已拿走一個7元球訓練,乙組準備從剩余的3個球中隨機拿一個訓練.
①所剩的3個球價格的中位數與原來4個球的價格的中位數是否相同 請簡要說明理由;
②乙組先隨機拿出一個球后放回,之后又隨機拿一個,用列表法(如下表)求乙組兩次都拿到8元球的概率.
考點4數軸與概率結合　(6年1考)
6.(2020·河北25題10分)如圖,甲、乙兩人(看成點)分別在數軸-3和5的位置上,沿數軸做移動游戲.
移動游戲規則:裁判先捂住一枚硬幣,再讓兩人猜向上一面是正是反,而后根據所猜結果進行移動.
①若都對或都錯,則甲向東移動1個單位長度,同時乙向西移動1個單位長度;
②若甲對乙錯,則甲向東移動4個單位長度,同時乙向東移動2個單位長度;
③若甲錯乙對,則甲向西移動2個單位長度,同時乙向西移動4個單位長度.
(1)經過第一次移動游戲,求甲的位置停留在正半軸上的概率P.
(2)從如圖所示的位置開始,若完成了10次移動游戲,發現甲、乙每次所猜結果均為一對一錯.設乙猜對n次,且他最終停留的位置對應的數為m,試用含n的代數式表示m,并求該位置距離原點O最近時n的值.
(3)從如圖所示的位置開始,若進行了k次
移動游戲后,甲與乙的位置相距2個單位長度,直接寫出k的值.
核心突破·拓思維——學科核心素養提升
題型　求實際問題中的概率
(2024 廊坊一模)某中學對九年級100名學生進行了“是否喜歡打羽毛球”的問卷調查,得到下表:
已知在這100人中隨機抽取1人,抽到喜歡打羽毛球的學生的概率為.
(1)請將上表補充完整.
(2)現有A,B,C,D 4名喜歡打羽毛球的同學,其中2名男生2名女生,若從這4人中隨機挑選2人參加比賽,請用列表法求出選中一男一女的概率.
(3)若將(2)中A,B,C,D 4名同學分成兩組參加比賽,每組兩人,請直接寫出A與D在一組的概率.
　　概率與統計屬于同一知識領域,在河北省中考試卷上共占“一大一小”兩道題,即一道填空或選擇題,一道解答題.兩個知識的考查位置不確定,主要是在現實情境中利用列舉法求解古典概型問題,在解答題中常用畫樹狀圖法或列表法求概率.有時統計與概率會在同一道解答題中綜合考查.
(1)根據概率公式可知,喜歡打羽毛球的學生人數=總人數×相應概率
↓
計算喜歡打羽毛球的男生人數
↓
求得不喜歡打羽毛球的女生人數
↓
(2)用列表或者畫樹狀圖的方法,列舉出所有等可能的情況
↓
從中找到選中一男一女的結果數
↓
根據概率公式計算
↓
(3)選取4人中的兩個為一組,另兩個自然作為另一組,列舉出各種對陣情況
↓
利用概率公式求解
　　計算事件概率的常用方法
2025年春節期間調研小組隨機調查了某新開放景區的部分參觀群眾,請參觀群眾為本景區打分(打分按從高到低分為5個分值:5分,4分,3分,2分,1分),并將調查結果繪制成不完整的條形統計圖(如圖1)和扇形統計圖(如圖2).根據以上信息,回答下列問題:
(1)本次共調查了　　　　名參觀群眾,請補全條形統計圖,分值的眾數是　　　　,中位數是　　　　.
(2)為了進一步研究,調研小組又增加調查了5位參觀者,若他們的打分分別為5,4,4,5,3,則增加調查人數前后,本次活動打分分值的中位數與原來是否相同 請判斷并簡要說明理由.
(3)若從打分較低的四人中隨機抽取2人做情況反饋,發現抽取的2人恰為一成人一兒童的概率為,直接寫出這4人中成人與兒童的可能分布情況.
(1)由“4分”對應的人數及其所占百分比求出總人數
↓
求“5分” 對應的人數,補全條形統計圖
↓
利用條形圖中數據求眾數和中位數
↓
(2)求增加后的總人數和每個分數段的人數
↓
根據中位數的定義求解說明
↓
(3)用列表或畫樹狀圖的方法列舉所有情況,結合概率公式推算
易錯警示:
(3)中,不要輕易認為成人與兒童各占一半,得到“2名成人2名兒童”的錯誤結論在此情況下,抽取的2人恰為一成人一兒童的概率為 .
參考答案
考點清單
①1　②不可能事件　③0　④1　⑤列表法
基礎演練
1.B　2.C　3.B　4.D
5.6
真題精粹·重變式
1.B
2.
3.(1)嘉淇走到十字道口A向北走的概率為.
(2)補全樹狀圖如下:
共有9種等可能的結果,嘉淇經過兩個十字道口后向西參觀的結果有3種、向南參觀的結果有2種、向北參觀的結果有2種、向東參觀的結果有2種,
∴向西參觀的概率為=,向南參觀的概率=向北參觀的概率=向東參觀的概率=,
∴向西參觀的概率大.
4.(1)當a=1,b=-2時,a+b=-1,2a+b=0,a-b=3.
從三張卡片中隨機抽取一張,共有3種等可能的結果,其中取出的卡片上代數式的值為負數的結果有1種,
∴取出的卡片上代數式的值為負數的概率為.
(2)補全表格如下:
a+b 2a+b a-b
a+b 2a+2b 3a+2b 2a
2a+b 3a+2b 4a+2b 3a
a-b 2a 3a 2a-2b
共有9種等可能的結果,其中和為單項式的結果有2a,3a,2a,3a,共4種,
∴和為單項式的概率為.
5.(1)∵P(一次拿到8元球)=,
∴8元球的個數為4×=2(個),按照從小到大的順序排列為7,8,8,9,
∴這4個球的價格的眾數為8.
(2)①所剩的3個球的價格的中位數與原來4個球的價格的中位數相同.理由如下:
∵原來4個球的價格按照從小到大的順序排列為7,8,8,9,
∴原來4個球的價格的中位數為=8.
∵所剩的3個球的價格為8,8,9,
∴所剩的3個球的價格的中位數為8,
∴所剩的3個球的價格的中位數與原來4個球的價格的中位數相同.
②列表如下:
8 8 9
8 8,8 8,8 8,9
8 8,8 8,8 8,9
9 9,8 9,8 9,9
由表格可知共有9種等可能的結果,乙組兩次都拿到8元球的結果有4種,
∴乙組兩次都拿到8元球的概率為.
6.(1)第一次移動游戲有4種等可能的結果,分別是甲、乙都對,甲、乙都錯,甲對乙錯,甲錯乙對.
∵甲的位置停留在正半軸上,只有-3+4=1,即甲對乙錯這1種結果,
∴P=.
(2)根據題意可知乙答了10次,答對了n次,則答錯了(10-n)次.
根據題意可得,n次答對,向西移動4n個單位長度,
(10-n)次答錯,向東移動2(10-n)個單位長度,
∴m=5-4n+2(10-n)=25-6n.
當m=0時,由25-6n=0,解得n=,即n=4.
∵n表示次數,只能取整數,
∴當n=4時,距離原點最近.
(3)3或5.
提示:初始位置中,甲、乙的距離是8個單位長度,
由題意可知,當甲、乙一對一錯時,二者之間距離縮小2個單位長度;當甲、乙同時答對或同時答錯時,二者之間的距離也是縮小2個單位長度,
∴當甲、乙位置相距2個單位長度時,共縮小了6個單位長度或10個單位長度.
∵6÷2=3,10÷2=5,
∴k的值為3或5.
核心突破·拓思維
例(1)由題意可知,喜歡打羽毛球的學生人數為100×=80,
則喜歡打羽毛球的男生人數為80-30=50,
所以不喜歡打羽毛球的女生人數為100-(50+30+5)=15,
補全表格如下:
(2)列表如下:
男1男2女1女2
男1——(男2,男1)(女1,男1)(女2,男1)
男2(男1,男2)——(女1,男2)(女2,男2)
女1(男1,女1)(男2,女1)——(女2,女1)
女2(男1,女2)(男2,女2)(女1,女2)——
得到所有等可能的情況有12種,其中恰好抽中一男一女的情況有8種,所以恰好選中一男一女的概率為=.
(3)根據題意可知,所有等可能的情況有3種,分別是AB-CD,AC-BD,AD-BC,所以A與D能分在一起的概率為.
變式訓練
(1)30;5;4.5.
提示:本次被調查的總人數是11÷=30,
∴打5分的人數為30-11-2-1-1=15,
∴眾數為5分,中位數為=4.5(分).
補全統計圖如下:
(2)不相同.
理由:增加人數后,各個分數段的人數為5分17人,4分13人,3分3人,2分1人,1分1人,共35人,
∴中位數是4分,發生了改變.
(3)3名成人1名兒童,或3名兒童1名成人.
提示:3名成人(或兒童)分別用A1,A2,A3表示,一名兒童(或成人)用B表示,畫出樹狀圖如圖所示:
由樹狀圖可知,共有12種可能的情況,并且抽取的2人恰為一成人一兒童的情況有6種,則抽取的2人恰為一成人一兒童的概率為.

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