資源簡介

第2節　特殊的四邊形
(6年7考,2~3分)
　　在最近三年的中考選擇題中,以圖中標注數據、判斷畫圖方案、補充證明過程等不同方式考查平行四邊形的判定.特殊四邊形主要考查矩形、菱形、正方形的性質,涉及圖形的剪裁、拼接等.一般在選擇題和填空題中出現,考查基本性質與判定,也在探究題中作為鋪墊性內容,考查將復雜圖形轉化為基本圖形解決問題的能力.河北省近5年都在選擇題中出現,預測2025年河北省中考仍將延續這一命題特點.
回歸教材·過基礎——河北中考核心考點梳理
【知識體系】
【考點清單】
考點特殊四邊形的性質與判定　(常考點)
特殊四邊形 平行四邊形 矩形 菱形 正方形
圖形
性質 1.對邊①　　　　. 2.兩組對角分別相等. 3.對角線互相平分. 4.中心對稱圖形. 5.周長C=2(a+b),面積S=ah 1.對邊平行且相等. 2.四個角都是②　　　　. 3.對角線互相平分且相等. 4.既是中心對稱圖形,也是軸對稱圖形,有2條對稱軸. 5.周長C=2(a+b),面積S=ab 1.四條邊③　　　　. 2.兩組對角分別相等. 3.對角線互相④　　　　,且平分⑤　　　　. 4.既是中心對稱圖形,也是軸對稱圖形,有2條對稱軸. 5.周長C=4a,面積S=ah=mn 1.四條邊相等. 2.四個角都是直角. 3.對角線互相垂直平分且相等,平分一組對角. 4.既是中心對稱圖形,也是軸對稱圖形,有4條對稱軸. 5.周長C=4a, 面積S=a2=m2
判定 1.定義法:兩組對邊分別平行的四邊形. 2.兩組對邊分別相等的四邊形. 3.一組對邊⑥　　　　的四邊形. 4.兩組對角分別相等的四邊形. 5.兩條對角線互相平分的四邊形 1.定義法:有一個角是⑦　　　　的平行四邊形. 2.有三個角是直角的四邊形. 3.對角線⑧　　　　的平行四邊形 1.定義法:有一組鄰邊⑨　　　　的平行四邊形. 2.四條邊都相等的四邊形. 3.對角線互相⑩　　　　的平行四邊形 1.定義法:有一個角是直角,且有一組鄰邊相等的平行四邊形. 2.一組鄰邊相等的矩形. 3.有一個角是直角的菱形. 4.對角線相等且互相垂直、平分的四邊形
【基礎演練】
1.(北師九上P26第4題變式)已知菱形的兩條對角線長分別是7和8,則菱形的面積是 (　　)
A.56 B.28
C.15 D.20
2.(北師九上P13第2題變式)如圖,在矩形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,若AB=2,∠AOB=60°,則AC的長為 (　　)
A.2
B.3
C.4
D.6
3.如圖,在平行四邊形ABCD中,下列結論錯誤的是 (　　)
A.AD∥BC
B.AB=DC
C.∠DAB=∠BCD
D.AC=BD
4.如圖,在正方形ABCD的外側,作等邊三角形ADE,則∠BED的度數為 (　　)
A.15°
B.30°
C.45°
D.60°
5.(北師九上P29第20題改編)小琦在復習幾種特殊四邊形的關系時整理如圖所示,(1)(2)(3)(4)處需要添加條件,則下列條件添加錯誤的是 (　　)
A.(1)處可填∠A=90°
B.(2)處可填AD=AB
C.(3)處可填DC=CB
D.(4)處可填∠B=∠D
真題精粹·重變式——河北6年真題精選及拓展
考向1特殊四邊形的判定　(6年4考)
1.(2022·河北8題3分)依據所標數據,下列一定為平行四邊形的是 (　　)
　　　A 　　　 B
　　　C 　　　 D
2.(2023·河北8題2分)綜合實踐課上,嘉嘉畫出△ABD,利用尺規作圖找一點C,使得四邊形ABCD為平行四邊形.圖1~圖3是其作圖過程.
(1)作BD的垂直平分線交BD于點O;
(2)連接AO,在AO的延長線上截取OC=AO;
(3)連接DC,BC,則四邊形ABCD即所求.
在嘉嘉的作法中,可直接判定四邊形ABCD為平行四邊形的條件是 (　　)
A.兩組對邊分別平行
B.兩組對邊分別相等
C.對角線互相平分
D.一組對邊平行且相等
3.(2024·河北10題2分)下面是嘉嘉作業本上的一道習題及解答過程:
如圖,在△ABC中,AB=AC,AE平分△ABC的外角∠CAN,M是AC的中點,連接BM并延長交AE于點D,連接CD. 求證:四邊形ABCD是平行四邊形. 證明:∵AB=AC, ∴∠ABC=∠3. ∵∠CAN=∠ABC+∠3,∠CAN=∠1+∠2,∠1=∠2, ∴①　　　. 又∵∠4=∠5,MA=MC, ∴△MAD≌△MCB(②　　　), ∴MD=MB,∴四邊形ABCD是平行四邊形.
若以上解答過程正確,則①,②應分別為 (　　)
A.∠1=∠3,AAS
B.∠1=∠3,ASA
C.∠2=∠3,AAS
D.∠2=∠3,ASA
4.(2020·河北10題3分)如圖,將△ABC繞邊AC的中點O順時針旋轉180°.嘉淇發現,旋轉后的△CDA與△ABC構成了平行四邊形,并推理如下:
點A,C分別轉到了點C,A處, 而點B轉到了點D處. ∵CB=AD, ∴四邊形ABCD是平行四邊形.
小明為保證嘉淇的推理更嚴謹,想在方框中“∵CB=AD,”和“∴四邊形……”之間作補充.下列選項中正確的是 (　　)
A.嘉淇推理嚴謹,不必補充
B.應補充:且AB=CD
C.應補充:且AB∥CD
D.應補充:且OA=OC
考向2特殊四邊形的性質　(6年3考)
5.(2019·河北5題3分)如圖,在菱形ABCD中,∠D=150°,則∠1的度數為 (　　)
A.30° B.25° C.20° D.15°
6.(2023·河北11題2分)如圖,在Rt△ABC中,AB=4,M是斜邊BC的中點,以AM為邊作正方形AMEF.若S正方形AMEF=16,則S△ABC= (　　)
A.4
B.8
C.12
D.16
核心突破·拓思維——學科核心素養提升
題型1　特殊四邊形的三要素
(2024·邯鄲二模)在 ABCD中,EF經過兩條對角線的交點O,分別交AB,CD于點E,F,在對角線AC上通過作圖得到點M,N,如圖1,圖2,下面關于以F,M,E,N為頂點的四邊形的形狀的說法正確的是 (　　)
圖1 以點O為圓心,OE的長為半徑作弧,交AC于點M,N 圖2 過點E作EM⊥AC于點M,過點F作FN⊥AC于點N
A.都為矩形
B.都為菱形
C.圖1為矩形,圖2為平行四邊形
D.圖1為矩形,圖2為菱形
　　無論是特殊的平行四邊形,還是一般的平行四邊形,命題的著眼點都在于它們的邊、角和對角線三個基本要素,這也是反映它們的定義、性質和判定方法的研究方向.在具體的題目中,三要素的考查各有側重,信息的呈現方式靈活多樣.可以在選擇題中單獨考查,也可以在解答題中作為重要的構圖內容進行考查.除三要素外,它們的對稱性、面積也時有考查.
1.斜邊為2的兩個全等的含30°的直角三角板,按照如圖1所示的方式拼成一個矩形,將一個三角板保持不動,另一個三角板沿斜邊向右下方向滑動,當四邊形ABCD是菱形時,如圖2,則平移距離AE的長為 (　　)
A.1 B.
C. D.2
2.如圖,正方形ABCD的邊長為6,點E,F分別在DC,BC上,BF=CE,連接AE,DF,AE與DF相交于點G,連接AF,取AF的中點H,連接HG,若AE=2,則GH的長為 (　　)
A. B.2
C.2 D.4
題型2　特殊四邊形之間的聯系與轉化
(2024·石家莊一模)小明用四根長度相等的木條制作了能夠活動的菱形學具,他先活動學具成為如圖1所示的菱形,并測得∠B=60°,接著活動學具成為如圖2所示的正方形,并測得對角線AC=20,則圖1中菱形的對角線BD的長為 (　　)
A.20 B.30
C.20 D.20
　　只要證明EA=ED即可解決問題.
　　由正方形的性質結合勾股定理先后求出DE及CE的長,由BF=CE,根據勾股定理求AF的長,證明△ADE≌△DCF(SAS),得出∠DAE=∠CDF,求出∠AGF=∠DGE=90°,再由直角三角形的性質即可得出答案.
　　矩形、菱形、正方形之間,以及它們與平行四邊形之間有著密切的關系,可以通過邊、角、對角線的變化進行轉化,特別是由一般到特殊的轉化,體現了知識之間的內在聯系.此類問題在中考試卷上,經常以動態操作的方式呈現,解題時要注意在操作過程中保持不變的數量關系或位置關系,以及動態變化過程中的特殊時刻.
　　特殊的四邊形從屬關系圖
1.如圖,在 ABCD中,∠ABC=α,BC>AB,E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點,順次連接E,F,G,H,在α從0°逐漸增大到180°的過程中,四邊形EFGH形狀的變化依次是 (　　)
A.平行四邊形→菱形→平行四邊形
B.平行四邊形→矩形→平行四邊形
C.平行四邊形→菱形→正方形→平行四邊形
D.平行四邊形→矩形→正方形→平行四邊形
2.如圖,已知△ABC和△DEF是兩個邊長都為10 cm的等邊三角形,且點B,D,C,E都在一條直線上,連接AD,CF.
(1)四邊形ADFC的形狀是　　　　.
(2)若BD=3 cm,此時△ABC沿著BE方向以1 cm/s的速度運動,運動時間為t.
①當四邊形ADFC是菱形時,它的面積是　　　　　　　　cm2;
②當運動時間t=　　　　s時,四邊形ADFC是矩形.
　　(1)通過一組對邊AC與DF平行且相等,判定四邊形ADFC的形狀.
(2)①根據菱形的性質可知此時點B與點D重合,則菱形的面積等于2個等邊三角形的面積和;
②根據矩形的判定條件可知此時的對角線相等,則點B與點E重合,畫圖求解.
參考答案
考點清單
①平行且相等?、谥苯恰、巯嗟取、芷椒智掖怪?br/>⑤一組對角　⑥平行且相等?、咧苯恰、嘞嗟?br/>⑨相等　⑩垂直
基礎演練
1.B　2.C　3.D　4.C　5.D
真題精粹·重變式
1.D　2.C　3.D　4.B　5.D　6.B
核心突破·拓思維
例1　C
提示:在 ABCD中,AB∥DC,OA=OC,
∴∠FCO=∠EAO,∠CFO=∠AEO.
在△FCO和△EAO中,
∴△FCO≌△EAO(AAS),
∴OE=OF.
由圖1作圖可得OE=OF=OM=ON,
∴圖1中以F,M,E,N為頂點的四邊形為矩形.
由圖2作圖可得EM⊥AC,FN⊥AC,
∴∠EMO=∠FNO=90°.
在△OME和△ONF中,
∴△OME≌△ONF(AAS),
∴OM=ON.
又∵OE=OF,
∴圖2中以F,M,E,N為頂點的四邊形為平行四邊形,故選C.
變式訓練
1.A　
2.A　提示:∵四邊形ABCD為正方形,
∴AB=BC=CD=AD=6,∠B=∠C=∠ADE=90°,
∴DE===2,
∴BF=CE=CD-DE=6-2=4,
∴AF===2,CF=BC-BF=6-4=2=DE.
在△ADE和△DCF中,
∴△ADE≌△DCF(SAS),
∴∠DAE=∠CDF.
∵∠DAE+∠AED=90°,
∴∠EDG+∠DEG=90°,即∠AGF=∠DGE=90°.
∵H為AF的中點,
∴GH=AF=,
故選A.
例2　C
提示:在正方形ABCD中,∠B=90°,
∴AB2+CB2=AC2.
∵AB=CB,AC=20,
∴2AB2=(20)2,
∴AB=20.
在菱形ABCD中,AB=CB=20,∠B=60°,
∴△ABC是等邊三角形,∴AC=AB=20.
如圖,連接BD交AC于點O,
∴AC⊥BD,∠ABO=30°,
∴OA=AB=10,
∴OB=OA=10,
∴BD=2OB=20,故選C.
變式訓練
1.A　提示:如圖,連接AC,BD.
∵E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點,
∴EH是△ABD的中位線,FG是△BCD的中位線,EF是△ABC的中位線,
∴EH=BD,EH∥BD,FG=BD,FG∥BD,EF=AC,
∴EH=FG,EH∥FG,∴四邊形EFGH為平行四邊形.
當α=90°時,四邊形ABCD為矩形,則AC=BD,
∴EH=EF,此時平行四邊形EFGH為菱形,
∴α從0°逐漸增大到180°的過程中,四邊形EFGH形狀的變化依次是平行四邊形→菱形→平行四邊形,故選A.
2.(1)平行四邊形　(2)①50?、?3
提示:(1)∵△ABC和△FDE都是邊長為10 cm的等邊三角形,
∴AC=DF,∠ACD=∠FDE=60°,
∴AC∥DF,
∴四邊形ADFC是平行四邊形.
(2)①當四邊形ADFC是菱形時,點B與點D重合,
∴t=3 s時,平行四邊形ADFC是菱形,
∴AD=DF.
此時,S菱形ADFC=2S△ABC=2××102=50(cm2).
②當點B與點E重合時,AF=DC,AE=EF=DE=EC,
則四邊形ADFC是矩形,如圖所示,
此時,t=(3+10)÷1=13(s),
∴t=13 s時,四邊形ADFC是矩形.

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